必修二与必修五数学试题及答案解析(一)
必修二与必修五综合测试题
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。 1.．若函数
()()0,1x f x a a a =>≠且是定义域为R 的减函数，则函数()()
log 1a f x x =-的图象大致是（ ）
2. 已知数列 满足
，且 ，则 （ ）。
A.
B.125
C.61
D.
3．如图所示，圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥上方嵌入一个半径为r 的球，使圆 锥的母线与球面相切，切点为圆锥母线的端点，则该球的表面积为（ ） A ．
23
π
B ．3π
C ．4π
D ．163
π
4．已知正三棱柱111ABC ABC -中，12AB BB ==，则异面直线1AB 与
1BC 所成角的余
弦值为（ ）
A ．
B ．12
C ．1
4
-
D ．
14
5．已知函数()1,02ln ,0x
x f x x x ???≤? ?=????>?
，若函数()()g x f x k =-有两个零点， 则实数k 的取
值范围为（ ） A ．
()0+∞，
B ．[)1+∞，
C ．()01，
D ．()1+∞， 6. 在等差数列{a n }中，a 5=33，公差d =3，则201是该数列的第（ ）项． A ．60
B ．61
C ．62
D ．63
第3题图
7. 在△ABC 中，∠A =60°，AB =2，且△ABC 的面积为
，则BC 的长为（ ） A ． B ．3 C ． D ．7
8. 已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．则△ABC 是（ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
9.用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ） A ．30
B ．36
C ．40
D ．50
10. 已知圆()22:200M
x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是
M 与圆的
()()2
2
:111N x y -+-=的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
11. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于 A 、B 两点， OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1
12. 点M 在()()2
2
539x y -+-=上，则点M 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A ．9 B ．8 C.5 D ．2
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 若S n 等差数列{a n }的前n 项和，且a 3=2，a 8=10，则S 10= ． 14. 设a ＞0，b ＞0，若 是3a 与3b 的等比中项，则
的最小值是 ．
15．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a =2且（2+b ）（sin A ﹣sin B ）=（c ﹣b ）sin C ，则△ABC 面积的最大值为 ． 16．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，
1AD =，点E ，F ，G 分别
是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是 ．
三、简答题：
17.已知直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；
（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离． 18．（本小题满分12分）
已知单调递增等比数列 满足 ，且 是 的等差中项. （1）求数列 的通项公式；
（2）数列 为等差数列，其前n 项和 ， 求数列 的前n 项和 . 19．（12分）在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，A =60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值． 20.（本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，2
ABD π
∠=
，AD =22AB DC ==，F 为PA 中点.
（1）在棱PB 上确定一点E ，使得CE ∥平面PAD
； （2）若PA PB PD ===P BDF -的体积.
21. （本小题满分12分）在数列{a n }中，a 1=1，a n ﹣1=2a n ． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若b n =（2n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 22．（本题满分12分）
已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2=2，S 6=21 （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令
，求数列{b n }的前n 项和T n ．
答案：
F
P
D
C
第20题图
C B
A
1.B ；
2.C ；
3.D ；
4.D ；
5.B ；
6.B ；
7.A ；
8.B ；
9.C ；10.B ；11.C ；12.D 13.60；14.4；15. ；16.90
3.解法一：在Rt △ABC 中，
，∴∠BAC=30 ， ∴
，解得
。 解法二：由△OBC ∽△OAB 得
，解得 ，所以表面积
。
4解：延长A ′B ′到D ，使B ′D=AB ，则四边形AB ′DB 是平行四边形 ∴AB ′∥BD
∴∠DBC ′就是异面直线AB ′与B ′所成的角 由余弦定理得 由勾股定理得 ∴
。
8.解法一：由已知易求出∠B=60 ， ∵a 、b 、c 成等比数列 ∴
由 得
∴ 。
解法二：由已知易求出∠B=60 ，设公比为q ，则 ， ，由余弦定理即可算出q=1，所以是等边三角形。
11.利用菱形的性质易求出圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离公式即可求出k=0。
15.解：由已知把角换成边得 ，整理得 ∴
，
，
∵
，∴ ∴
。
16.解：连接 、 ，分别计算 、 、FG= ，满足勾股定理逆定理。 三．解答题
17.解：（1）由12l l ⊥知()3
20a a +-=，解得3
2
a =；