第四章 刚塑性有限元法

4-3 刚塑性可压缩材料的变分原理
• 拉格朗日乘子法和罚函数法都是在马尔科夫变分原理的 基础上，着重于数学方面来引入体积不可压缩约束条件， 以解决容许场不宜满足体积不可压缩条件和由材料模型 假定等带来的应力计算问题。 • 体积不可压缩必然导出屈服与静水压力无关的结论，因 而，同一种塑性变形状态可由同一应力偏量叠加上不同 静水应力形成的多种不同的应力状态所对应，反映在刚 塑性有限元中则不能由应变速率直接求出应力场。 • 可压缩法则从改变材料模型入手，放松体积不可压缩条 件，认为材料体积可少许压缩，亦即刚塑性可压缩材料 假设。这就为解决上述问题提供了另外一条途径。
1 2
• 对于刚塑性可压缩边值问题，在满足几何方程、速度边 界条件的一切容许速度场 u i 中，真实解使泛函
4
4

d V
V

Sp
• 取驻值，即 d V p u d S 0 • 优点是可以直接由应变速率场计算出应力场，因而计算 过程得到一定程度的简化。
• 刚塑性有限元法中的Lagrange乘子法的数学基础是数学
分析中多元函数的条件极值理论，若求目标函数
( u1 , u 2 , u n 1 , u n )
• 在约束函数
g i g i ( u1 , u 2 , u n ) 0 ,
F ( u1 , u 2 , u n )

*

* d V
V

Sp
1 p i u i d S ij ij ( u i , j u j , i ) d V V 2
*
0 V d V i ( i i )d S
V Su
1. Lagrange乘子法
2.罚函数法
• 罚函数法的基本思想是用一个足够大的正数把体积不可 压缩条件引入泛函式(4-9)，构造出一个新泛函，即 • (4-14) 2
2
dV
V

2

V
v dV

S
p i u i dS
p
• 则对于一切满足几何方程和位移速度边界条件的容许速 度场，其真实解使式(4-14)取极值，即满足 • (4-15) dV dV p u dS 0 • 它的作用原理是，当速度场远离真实解时，惩罚项值很 大，相当于对速度解违反约束条件施加一种“惩罚”作 用；而随着接近真解，罚项的作用也随之减弱。 • 当速度场为真实解时，Lagrange乘子法与罚函数法的 泛函驻值点应相同，即
o i
uio
刚性体 Su 塑性体 z SP
o
y
Pi
x
• 1.平衡微分方程 • 2.几何方程 • 3.本构关系 3 • 2 • 4. Mises屈服条件
ij 'ij
ij , j 0
ij
1 2 ( u i , j u j ,i )
（4-1） (4-2) (4-3) (4-4) (4-5) i 1, 2, m
• 把上述方法用于Markov变分原理，即把体积不 可压缩条件（4-5）式用Lagrange乘子引入泛函 式（4-9），构造的新泛函如下：
1
(4-11) • 同理，对于一切满足几何方程和位移速度边界条 件的容许速度场，其精确解使式（4-11）取极值， 即满足
1 2
ij ij k
v ij
2
• 5.体积不可压缩条件 0 (4-6) • 6.边界条件：包括应力边界和速度边界条件 n p (4-7) SS SS • (4-8) u u
ij
ij j i
p
i
0 i
u
二、理想刚塑性材料的变分原理
• 称为马可夫变分原理(Markov Principle)，表述如 下：对于刚塑性边值问题，在满足变形几何方程(42)、体积不可压缩条件（4-5）和边界位移速度条 件式(4-8)的一切运动容许速度场中，使泛函 dV p u dS • (4-9)
（1）简化积分法
• 所谓简化积分法，即减少V 罚项在数值积分 时的高斯积分点数。具体做法是将多点高斯积分 (如平面问题2×2点，三维问题2×2×2点)简化为 单元形心一点处的积分运算，亦即只要求单元形 心点很小，而对其它点不做要求。 • 对于平面问题简化积分值与积分原值相同。所以， 这种简化积分反映了单元内部体积变化的平均效 应，即只需单元整体满足体积不可压缩条件就可。 但是对于轴对称问题二者不相等。尽管如此，简 化积分法仍可以用于轴对称问题。
i 1, 2 , m
• 的条件下的极值，可构造如下修正函数
g (u , u • 并令其一阶偏导数为零而得到，即
i i 1 i 2
,un )
F ui F i
1
0 0
i 1, 2, n
• 这里 称为Lagrange乘子，数值待定。共有（m + n）个 方程，恰好可解出 u , u , u 和 , , 共（m + n）个未知数。
v d V
2
（2）修正罚函数法
• 该方法是通过对罚项构造形式的修改，来达到放松约束 的目的。修改后罚项的泛函表示为
dV [ dV ] 2 3 V V 2V V

S
p i u i dS
p
• 式中的第二项即为修改后的罚项，它的直观意义是要求 单元体积变化的平均值很小。因此，尽管修正的罚项与 前者在形式上不同，但它们的内涵是类似的。 • 同理，对于泛函上式，若取真实解时，静水压力为 m V v dV V • 实际应用时，两种放松约束的方法都能达到同样的目的。 对于修正罚函数法，各体积积分运算在同一数值积分格 式下进行，所以程序可适当简化。而对于简化积分法， 由于减少了积分点，因而降低了运算次数，提高了计算 效率。
三、刚塑性材料不完全广义变分原理
• Markov变分原理的意义在于：将 (4-1)～(4-8) 式 所描述的刚塑性材料边值问题归结为能量泛函对 位移速度场的极值问题，避开了偏微分方程组的 求解困难，一旦求得速度场 u 的精确解后，利用 几何方程(4-2)可求出应变率场 ，然后再由本构 关系(4-3)进一步确定出变形体瞬时的应力场 。 • 变分原理为塑性加工问题的求解指出了一条途径， 即在运动容许速度场中设法找出能使总能耗率泛 函取最小值的速度场，因而如何正确的构造容许 速度场 ，成为求解过程的关键问题。 * ui
* V S i * i
p
• 取驻值(即一阶变分
0 )的 u i为本问题的精确解
*
。
• Markov变分原理式(4-9)是塑性力学极限分析中上
限定理的另一种表达形式。它的物理意义是刚塑性 变形体的总能耗率，泛函的第一项表示变形工件内 部的塑性变形功率，第二项则代表工件表面的外力 功率。
2 V V v v S i i
p
1 2
2 罚函数法
• 实践表明， 的取值大小对解有很大的影响。若 取值太小，则体积不可压缩条件施加不当，以至 降低计算精度；若 取值过大，则有限元刚度方 程会出现病态，甚至不能求解。因此， 取值应适 宜。 • 罚函数中静水压力为： m v 2 • 罚函数泛函中罚项的被积函数采用 v 形式，它 要求 v2 在域内处处满足体积不可压缩条件，才 能保证惩罚项总值很小，过于严格。可通过适当 放松约束条件处理。 • 目前常用的方法有简化积分法和修正罚函数法
一、刚塑性材料的边值问题
• 塑性变形问题是一个边值 问题，可以描述如下：设 一刚塑性体，体积为V， 表面积为S，在表面力 p i 作用下整个变形体处于塑 性状态，表面分为S p和 S u 两部分，其中 S p上给定表 面力 p i , S u 上给定速度 u (如图所示)。该问题称之 为刚塑性边值问题，它由 以下塑性方程和边界条件 定义，即
i
ij
ij
不完全和完全广义变分原理
• 对一般的刚塑性材料，运动容许速度场须满足速度边界 条件、几何方程和体积不变条件，把这些限制条件作为 约束条件引入总能耗率泛函，则可使上述约束条件在对 泛函求变分的过程中得到满足，从而使初始速度场的设 定容易得多。引入约束条件后，变分原理的表述要有相 应的变化，统称为广义变分原理。根据引入部分或全部 约束条件，又分为不完全广义变分原理和完全广义变分 原理。 完全广义变分原理:
刚塑性有限元法的种类
• 刚（粘）塑性有限元法是建立在刚（粘） 塑性材料材料变分原理基础上的，其方法 主要三种： • Kobayashi 等提出的，建立在不完全广义变 分原理基础上的Lagrange乘子法； • 小坂田等人提出的，建立在可压缩性材料 基础上的刚塑性有限元法； • 由Zienkiewicz（监凯维奇） 等提出的罚函 数法。
4-3 刚塑性可压缩材料的变分原理
• 一、刚塑性可压缩材料的边值问题 • 改变的方程 有： • 1.本构关系 • 2.屈服条件 • 二、变分原理
Y
ij

3 2
ij
m
1
g

3

m
3 2 ij ij g m 2 1 2 2 1 2 ij ij v g 3
第四章 刚塑性有限元法
哈尔滨工业大学（威海） 材料科学与工程学院 王 刚
思考题
• • • • 1 写出刚塑性有限元的边值问题。 2 马尔科夫变分原理和广义变分原理 3 简述刚塑性有限元的种类。 4 比较Lagrange乘子法和罚函数法对计算 方面的影响。 • 5 简述摩擦力计算模型（公式）及适用范围 • 6. 什么是刚性区，如何对其进行处理？ • 7. 刚塑性有限元有什么缺点？