初一 升初二数学衔接
20XX 年秋季初一升初二数学衔接·第9讲
——轴对称和轴对称图形（八年级12章）
【知识要点】
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴．
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 等腰三角形是轴对称图形． 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．
等腰三角形的两个底角相等．
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等．
对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 对应线段相等，对应角相等． 【典型例题】
例1 下列的对称图形各有几条对称轴？请画出它们的对称轴．
分析：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．这条直线就是对称轴．
解：图（1）有3条对称轴；图（2）有6条对称轴；图（3）有5条对称轴；
图（4）有4条对称轴；图（5）有1条对称轴；图（6）有2条对称轴． 画出对称轴如下列所示：
例2 已知等腰梯形两个内角之比为1：4，求这个等腰梯形的顶角．
分析：因为等腰三角形两底角相等．可设三角形两内角分别是x 度、4x 度，那么另一个角可能是x 度或4x 度，由三角形内角和为180º，可求解． 自我解答：
解：设这个等腰三角形两个内角分别是x 度、4x 度． （1）若x 度的角为顶角时，
因为等腰三角形两底角相等，则这个三角形的第三个角是4x 度， 由x ＋4x ＋4x ＝180º，求得x ＝20º， ∴顶角为20º；
（2）若4x 度的角为顶角，则这个三角形的第三个角是x 度， 由4x ＋x ＋x ＝180º，求得x ＝30º，则4x ＝120º， ∴顶角为120º； 例3 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，EF 是腰AB 的垂直平分线，交另一腰AC 于点D ，若BD ＋CD ＝10cm ，求AB 的长．
分析：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，知AD ＝BD ． 自我解答：
解：∵EF 是AB 的垂直平分线，且D 是EF 上一点，
∴AD ＝BD （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ∴AC ＝AD ＋CD ＝BD ＋CD ＝10cm ， ∵AB ＝AC ， ∴AB ＝10cm ．
例4 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，∠B ＝30º．求∠BAD 和∠ADC 的度数．
分析：由题知△ABC是等腰三角形，由“三线合一”知，AD是△ABC底边BC 上的中线，它又是底边上的高，还是顶角的平分线．
自我解答：
解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线，
∴AD也是BC边上的高，又是∠BAC的角平分线，（“三线合一”）
即∠ADC＝90º，∠BAD＝∠CAD，
又∵∠B＝30º，
∴∠C＝30º（等腰三角形两底角相等），
∴∠BAC＝180º－30º－30º＝120º，
∴∠BAD＝60º．
例5 如图，已知：△ABC和直线l．画出△ABC关于直线l的对称图形．
分析：要画出△ABC关于直线l的对称图形，只需先作出点A、B、C关于直线l 的对应点，再连接成三角形即可．
自我解答：解：如图，（1）画出点A、B、C关于直线l的对应点C
B
A'
'
'、
、；
（2）连接C
A
C
B
B
A'
'
'
'
'
'、
、．△C
B
A'
'
'就是所画的三角形．
例6 如图，在△ABC中，∠C＝90º，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BD＝2CD，BC＝30cm，求DE的长．
分析：由角平分线的性质，可知DE＝CD，求出CD即可．
自我解答：
解：∵AD平分∠BAC，且∠C＝90º，DE⊥AB，
∴DE＝CD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∵BC＝30，BD＝2CD，
∴CD＝10，
∴DE＝10（cm）．
说明：运用角平分线性质时，必须强调条件“到角两边的距离”．
20XX年秋季初一升初二数学衔接·第9讲
——轴对称的应用（八年级12章）【知识要点】
一、作一个简单图形关于某直线的对称图形
1．作一点P关于直线l的对称点：
①若点P在直线l上，则点P关于直线l的对称点就是它本身；
②若点P在直线l外，则通过点P作直线l的垂线段并延长，在直线l的另一侧取点，使之与直线l的距离与点P到直线l的距离相等．
2．作一个简单图形关于直线l的对称图形：
找出该图形的几个关键点，作出这些关键点关于直线l的对称点，再按原图形连结．
二、镜面对称
对于水平放置在镜面前的图形，若它有一条与水平方向且与镜面平行的对称轴时，镜中的像与原来一样；
对于正对镜面放置的图形，若它有一条竖直方向的对称轴，镜中的像就和原来一样．
物体正镜面放置时，镜中像的左右顺序与原图形左右顺序相反．
三、学习建议
对于这部分内容的学习，同学们要结合生活中的大量实例来理解、掌握轴对称的性质，同时要积极开动脑筋，多动手操作．通过收集、整理中国民间剪纸艺术、镶边图案，体会数学知识在实际生活中的广泛应用及期丰富的文化价值．
【典型例题】
例1 已知△ABC，直线l，画出△ABC关于直线l对称的三角形．
l
B
解：作图步骤如下：
l
B'
⑴画出点A、B、C关于直线l的对称点A’、B’、C’；
⑵连结A’B’，B’C’，C’A’．
△A’B’C’就是△ABC关于直线l对称的三角形．
例2 在河岸同旁有两个居民点A、B，如图所示，现需在河岸边修一水泵站向两居民点送水，为了使所用的输水管最短，请你确定水泵站应建在河边的哪一个位置，并说明理由．
河岸
A
B
解：如下图所示，先作出点A关于河岸的对称点A’，边接A’B，与河岸线交于点P，则点P满足条件．
河岸
A'
河岸
理由如下：在l 上任取一异于点P 的点P ’，因A 、A ’关于l 对称，由轴对称性质可
知，l 是AA ’的垂直平分线，则有PA ＝PA ’，P ’A ＝P’A’．所以PA ＋PB ＝PA ’＋PB ＝A ’B ，由三角形三边关系可知，P’A’＋ P’B
＞B A’，所以点
P 为所求的点．
例3 下列图形都是正多边形，它们是轴对称图形吗？若是，数一数它们各有多少
条对称轴，并将结果填入下表中．
你能根据上表，猜想正多边形的边数与对称轴条件之间的关系吗？ 解：它们都是轴对称图形，对称轴的条数如下表所示：。
怎样衔接初一初二的数学学习方法
怎样衔接初一初二的数学学习方法
怎样衔接初一初二的数学学习方法
升入初二，对于中学生来说，就是进入了初中学习的关键时期。
初一大家都处在小学向初中的过渡阶段，初三则大部分时间会用来进行全面的总结和复习。
因此，初二就成了初中积累知识的重要阶段，没有初二对知识的积累，初三的总结和复习也无从说起。
数学的学习，一直就不是一件简单的事情，处在初二这种关键时期，更应当将就一定的学习方法和技巧，初二数学学习的各方面的学习方法。
1、在课堂中，认真听取老师的讲解，应抓住课程中知识的重难点和问题，在听课时尽可能与老师的讲解同步思考，对好的解题思路、解题方法、好的例题等做好笔记。
每堂课结束后，对课堂内容进行整理复习，做到每一堂课都有所收获。
2、对课本进行阅读时，应仔细推敲，弄通其中的每一个数学概念、定理和法则。
对于一些重要的定力，应当尝试着自己去推理，这样不但能够提高自己解题的证明能力，也能够加深对公式的理解。
3、在数学的学习过程当中，要学会思考，在问题解决之后再探求一些新的方法，学会从不同角度去思考同一个问题，甚至改变条件或结论去发现新问题，经过一段学习，应当将自己的思路整理一下，以形成自己的思维规律。
4、学习了一个知识点后，应当做几道涵盖此知识点的题目，数学的知识点往往是一些比较抽象的定理或公式，想要靠背诵来记忆往往比较困难，而在解习题的过程中进行理解记忆则往往效果更加明显。
在做练习题时，先思考再动笔，争取做到做会一道题就领会一个知识点甚至是一大片。
总之，在初二数学的学习过程中，要认识到数学的重要性，积极主动地对之进行学习，从小细节注意起，养成良好的数学学习习惯，进而培养思考问题、分析问题和解决问题的能力，最终把数学学好并非难事。
初一升初二数学衔接班测试试卷
初一升初二数学衔接班测试试卷初一升初二数学衔接测试试卷时间：60分钟姓名：___________得分____________一、选择题（3分/题）1、方程y-(y-1)/2=5的解是（）A．y=9，B.y=-9，C.y=3，D.y=-3.2、下列说法正确的是（）A．2是-4的算术平方根B．5是(-5)^2的算术平方根C．9的平方根是±3D．27的立方根是±33、一个多项式与x^2-2x+1的和等于-3x+2，则此多项式是（）A.-x^2+x+1.B.-x^2+x-1C.-x^2-x-1D.-x^2-x+14、下列每组数分别是三根小木棒的长度，其中能摆成直角三角形的是（）A．6cm，8cm，10cm。
B。
7cm，8cm，9cmC．5cm，6cm，7cm。
D。
5cm，5cm，11cm5、若方程组{ x+4=y 2x-y=2a }中的x是y的2倍，则a等于（）A．-9B．8C．-7D．-66、√2，7/22，-7/4，9，-12，0.xxxxxxxx0.（从左往右两个2之间依次多一个）中，无理数共有（）个A。
1B。
2C。
3D。
47、已知某直角三角形的两边长为5cm,12cm,则第三边长为（）cm.A.13或11B.13或12C.13D.128、三角形的三边长为(a+b)^2=c^2+2ab，则这个三角形是(。
)A）等边三角形（B）钝角三角形C）直角三角形（D）锐角三角形.二、填空题（4分/题）9.若2ax+yb/3与-4a5bx-y是同类项，则x=，y=。
10.如果x=9，那么x=_______；如果x^2=9，那么x=________.11.三角形有两边的长为2cm和6cm，第三边的长为xcm，则x的范围是。
12.若（x-2）^2+|y+1/3|=0，则xy=。
13、当m≠3时，3-m有意义；14、16的平方根是4.15、直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长为10 cm。
初一升初二数学衔接班课程
初一升初二衔接课程数学代数部分专题一 有理数及其运算专题说明本专题内容从引入负数开始，与小学学习的整数、分数数纳入初中的有理数范畴，并进行加、减、乘、除、乘方等运算。
了解并利用数轴这一工具，方便地解决问题。
一、数的分类 （1）按大小来分 （2）按学习顺序来分 二、重要概念讲解①数的产生与发展（数的局限性） ②相反数③绝对值（非负数性质） ④倒数⑤大于1的数的科学记数法 三、工具--------数轴（三要素） 数形结合法 四、有理数的运算1、加法（符号、绝对值）2、减法（转化）3、乘法（符号、绝对值）4、运算律 加法交换律 a b b a +=+加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律ab=ba 乘法结合律(ab)c=a(bc)乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac5、运算顺序:先算乘方，再算乘除，最后算加减, 有括号，先算括号内的。
例题解析【例1】已知023=-+-b a a ，求b a 2+的值。
【例2】计算：（1））（）（317-31211-3-61-1÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛；（2）32211-811-321--31-1）（）（）（⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡÷⎪⎭⎫ ⎝⎛。
【例3】9867000000000= （科学记数法） 强化训练 一、选择题1.下列运算中正确的是 ( )A ．03-3-=B ．0=+-a a c ．1)981(89=-⨯- D ．1553= 2．下列说法中正确的是 ( ) A. 0是最小的整数； B ．任何数的绝对值是正数 C ．a -是负数D ．绝对值等于它本身的数是正数和0 3．在有理数一（一4），一23，一21，3）5（一， 0，一33）（+中，负数有 ( ) A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．计算3)2()32(31273-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷的值是 ( ) A ．316- B ．767- C ．718 D ．329 5．如果a 与b 互为相反数，且x 与y 互为倒数，那么xy b a 2)(2-+的值为 ( )A.0 B ．-2 C ．-1 D ．无法确定6．一根1m 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为 ( )A ．321⎪⎭⎫ ⎝⎛mB ．521⎪⎭⎫ ⎝⎛mC ．621⎪⎭⎫ ⎝⎛mD ．1221⎪⎭⎫ ⎝⎛m二、填空题7．把2)2.1(-，35.1-，3)2.0(-，22.0-按从小到大的顺序排列是 。
七年级升八年级衔接教材(七年级)
第一讲 和绝对值有关的问题一、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；第一种 ②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a①非负数的绝对值是它本身 第二种②非正数的绝对值是它的相反数⎩⎨⎧≤-≥=)0()0(a a a a a （3）非负数的性质：几个非负数之和零，则每个非负数都等于0二、典型例题题型一：给定范围的绝对值化简例1 设化简的结果是（ ）。
变式练习：A 、 B 、C 、D 、1、若 ，则有（ ）。
A 、B 、C 、D 、2、 已知a <b <c ，化简：a c c b b a -+-+-3、已知a 、b 、c 、d 满足且，那么题型二：与数轴有关的绝对值化简例2 实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（ ）、A 、B 、C 、D 、变式练习：1、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子化简结果为（）、A、 B、 C、 D、2、有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，中负数的个数是（）、A、0B、1C、2D、3题型三：用零点分段法进行绝对值化简例3 化简变式练习：1、设x是实数，下列四个结论中正确的是（）。
A、y没有最小值B、有有限多个x使y取到最小值C、只有一个x使y取得最小值D、有无穷多个x使y取得最小值2、化简零点分段讨论法的一般步骤是：①；②；③；④；题型四：绝对值的非负性例4 若012=++-y x ，求x +y 的值。
变式练习：1、若33-=-x x ，求x 的取值范围。
2、若42=-x ，求x 的值。
练习题一1、有理数的绝对值一定是（ ） A 、正数 B 、整数 C 、正数或零 D 、自然数2、绝对值等于它本身的数有（ ）A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个3、下列说法正确的是（ ）A 、—|a |一定是负数B 只有两个数相等时它们的绝对值才相等C 、若|a |=|b |，则a 与b 互为相反数D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 4、比较21-、31、41的大小，结果正确的是（ ） A 、21-＜31＜41 B 、21-＜41＜31 C 、41＜21-＜31 D 、31＜21-＜415、判断。
初一升初二数学衔接(3)
20XX年秋季初一升初二数学衔接·第11讲——一次函数及其图象【知识要点】一、函数的概念在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x的值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数。
其中x是自变量，y是因变量。
1．如何判断函数关系：判断两个变量是否存在函数关系，要注意三点：①是否存在一个变化过程；②是否存在两个变量；③x在某范围内每一个取值，y是否有唯一确定的值与它对应。
2．函数的三种表示方法：①图象法观形象，是研究函数性质的重要工具，但不够准确；②列表法：清楚，一目了然，但不够全面；③解析式：用代数式表示两个变量间的关系，但不直观，有些函数关系也不能用解析式表达。
3．确定自变量的取值范围：①实际问题中自变量取值范围要使实际问题有意义；②解析式中要考虑使表达式有意义（如分式的分母不为0，二次根式中被开方数非负等）。
二、一次函数两个变量x和y之间的关系可以表示成bkxy+=（k、b为常数，且k≠0）的形式，则y是x的一次函数。
特别的，当b＝0时，得kxy=（k是常数且k≠0），称y是x的正比例函数。
由此可知，正比例函数是一次函数的特殊形式，一次函数bkxy+=当b=0时为正比例函数，一次函数包括正比例函数。
三、函数的图象1．函数的图象：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出经的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。
显然：函数图象上任意点P（x，y）中的x，y满足函数关系式，满足函数关系式的任意一对x，y的值所对应的点一下在该函数的图象上。
要判断一个点P（x，y）是否在某个函数的图象上，只需将该点的坐标代入解析式，看其是否满足该解析式。
如果点的坐标满足解析式，则该点在此函数的图象上；否则这个点不在此函数的图象上。
2．作函数图象的步骤：①列表：给出一些自变量的值及其对应的函数值；②描点：以表中每对对应值为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点；③连线：用平滑曲线顺次（从左到右）连接各点。
初一升初二暑期衔接资料
第一讲勾股定理［情景引入］【知识要点】1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：222cba=+2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足222a b c+=那么这个三角形是直角三角形。
【典型习题】例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm例2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。
=AS=BS=CS=DS例3、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？例4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.8米9.6米例5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
例6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB 所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C 和点D 处。
CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB=25km ，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E 建在距A 点多远时，才能使它到C 、D 两所学校的距离相等？例 7、如图所示，MN 表示一条铁路，A 、B 是两个城市，它们到铁路的所在直线MN 的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km ，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1=80km 。
现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P ，使两个城市到中转站的距离之和最短。
请你设计一种方案确定P 点的位置，并求这个最短距离。
例8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方30米B 处，过了2秒后，测得小汽车C 与车速检测仪A 间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？例9、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20分米、3分米、2分米，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短的路程是多少?AEBDC11图2—5—4例10、直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为_______例11、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端也水平滑动2米吗？试说明理由。
初一升初二 数学 衔接
20XX年秋季初一升初二数学衔接·第2讲——一元一次不等式及一元一次不等式组【知识要点】一、不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫不等式。
不等符号常见的有5种：“＜”、“≤”、“＞”、“≥”及“≠”。
注意：“≠”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能确定哪个大，哪个小。
“≤”表示“小于或等于”或“不大于”，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。
二、不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向.等式性质与不等式性质的最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变三、不等式的解集：1．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值，叫做不等式的解．2．不等式的解集：不等式的解的集合叫做不等式的解集．它包含两个方面的意思：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使该不等式成立。
因此，解集要达到不多不漏的严格要求。
3．不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，在表示的时候，要注意“两定”：一是定边界点，若边界点含于解集，为实心点，不含于解集为空心点；二是定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”．不等式的解集在数轴上的表示4．不等式的解与解集的区别:解是一个或几个未知数的值，解集是所有的解组成的.5．求不等式解集的过程叫做解不等式.四、一元一次不等式1．一元一次不等式的定义：不等式的左右两边都是整式．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式．注意：一元一次不等式须具备的三个条件：不等式左、右两边都是整式；只有一个未知数；未知数的最高次数是1．2．一元一次不等式的解题步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1．与一元一次方程的解法步骤类似，但要注意化系数为1时，不等号是否改变方向．五、一元一次不等式组1．一元一次不等式组的定义：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．2．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．3．解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组．4．利用数轴求不等式组解集分以下四种情况．设a＞b．（1）不等式组⎩⎨⎧>>bx,ax的解集为x＞a．“大大取大”。
初一升初二数学衔接
初一升初二数学衔接·第8讲——二元一次方程组的解法（七年级第八章）【知识要点】（一）二元一次方程(组)的定义1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．注意：二元一次方程定义中，关键在于方程中必须含有两个未知数，并且方程中含未知数的项的次数是1次．2．二元一次方程的一个解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解．3．二元一次方程组: 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．注意体会二元一次方程组的两个特征：（1）方程组中共含有两个未知数，而每个方程所含未知数的个数可能是2个，也可能是1个；（2）方程组中至少含有两个方程. 每个方程中所含未知数的项的次数是1次． 对所给出的二元一次方程，要能熟练的整理成一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a4．二元一次方程组的解 :二元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.即:满足方程组中每个方程的一对未知数的值称为该二元一次方程组的解．（二）二元一次方程组的解法 1．代入法：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的关系式．（2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的未知数的值，再代入关系式求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来． （5）注意检验．2．加减法：用加减法解二元一次方程组的步骤．（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等． （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的两个未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“{”联立起来． (5)注意检验．注意：解二元一次方程组的方法很多，但常用的方法是代入法和加减法．这两种方法各有长处，解题时应注意审题，选择一种恰当的方法解题．二元一次方程、二元一次方程组及其解法是在一元一次方程及其解法基础上学习的，要注意新旧知识的联系和转化：【典型例题】例1 判断下列方程中，哪些是二元一次方程？哪些不是？为什么？（1）123-=-y x ； （2）13121=+y x ； （3）7532=-x ； （4）01=+xy ； （5）x 1+2y=4；（6）0=+y x ．自我解答：分析：根据二元一次方程的定义来判断． 解：（1）、（2）、（6）都是二元一次方程；（3）不是二元一次方程．因为它只含有一个未知数x ．（4）不是二元一次方程．因为方程中含未知数的项xy 的次数是2次．（5）不是二元一次方程．因为二元一次方程是整式方程，x1不是整式． 点评：二元一次方程是整式方程，方程中分母不能含有未知数．例2 判断下列说法是否正确： （1）二元一次方程734=-y x 的解是⎩⎨⎧-==11y x ； （2）⎩⎨⎧=-=01y x 是二元一次方程44-=-y x 的一个解； （3）方程组⎩⎨⎧+==-3203x y y x 是二元一次方程组；（4）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02113y x yx 是二元一次方程组； （5）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==+0333231y x yx y x 是二元一次方程组； （6）方程组⎩⎨⎧=+=+154432z y y x 是二元一次方程组.自我解答：解：（1）不正确．⎩⎨⎧-==11y x 只是方程734=-y x 的一个解，该方程还有无数个其它的解．（2）正确．把x ＝－1，y ＝0代入方程44-=-y x 左右两边，其值相等． （3）正确．（4）不正确． 因为方程3x+y1=1不是二元一次方程．（5）正确．方程组中尽管有三个方程，但只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1次．（6）不正确．因为方程组中含有三个未知数x ，y ，z ．点评：（1）区别“……是方程的（一个）解”与“方程的解是……”两种说法的含义．第一种说法只需判断所给数是否满足方程，第二种说法需判断方程的解集．在不限定条件下，二元一次方程的解有无限多个．（2）二元一次方程组中方程的个数可以是2个，也可以是3个，4个等．例3 已知方程132212=+-+n m y x 是一个二元一次方程，求m 和n 的值． 分析：二元一次方程必须同时满足下列条件：（1）是整式方程；（2）方程中含有两个未知数；（3）方程中含未知数的项的次数是1次． 自我解答：解：根据二元一次方程的意义可得： m ＋2＝1，1－2n ＝1 ∴m ＝－1，n ＝0点评：根据概念解题，必须掌握概念的全部含义．例4 已知方程632=-y x ．（1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 取何值时，y 的值为2？分析：用含x 的代数式表示y ，只需把x 看成已知数，把y 看成未知数，按一元一次方程的解法去解． 自我解答：解：（1）移项，得 632=-y x ，即623-=x y系数化为1，得 362-=x y （2）把y ＝2代入方程，得 2x －6＝6，2x ＝12∴x ＝6即当x ＝6时，y 的值为2． 例5 试求方程1323=+y x 的正整数解．分析：用含x 的代数式表示y ，注意条件“正整数解”，进一步讨论即可． 自我解答：解：由1323=+y x 可得2313x y -=． 根据题意，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝3时，y ＝2．∴方程1323=+y x 的整数解是⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2351y x y x ；．例6 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+ ② 02141① 13y x y x 分析：根据方程的特点，本题采用代入法较好． 自我解答：解法一：由①得 x ＝1－3y ③ 把③代入②得021)31(41=+-y y ，4141-=-y1=y 即把y =1代入③得 x ＝1－3×1＝－2． ∴ ⎩⎨⎧=-=12y x解法二：由②得x ＋2y ＝0，即x ＝－2y ③ 把③代入①得 －2y ＋3y ＝1，y ＝1把y ＝1代入③得 x ＝－2×1＝－2∴ ⎩⎨⎧=-=12y x点评：所选方程不同，变形的方式不同，代入后得到的方程也不同．但对有解方程而言，所得的结果应是相同的．例7 解方程组：⎩⎨⎧==+②42-3① 1223y x y x分析：观察方程①、②，发现y 的系数互为相反数，两方程相加，可消去y ，求得x 的值；方程中x 的系数相等，两方程相减，消去x ，可求得y 的值． 求出一个未知数的值后，代入原方程组任一方程可求得另一个未知数的值． 自我解答：解法一：①＋②，得6x ＝16，x ＝38把x ＝38代入①，得3×38＋2y ＝12y ＝2∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==238y x解法二： ①－②，得2y ＋2y ＝12－4 4y ＝8 y ＝2把y ＝2代入①， 得3x ＋2×2＝12x ＝38∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==238y x点评：两个方程相减时，第二个方程中各项符号要变号．例８ 解方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+② 2557①5531x y yx x 分析：先整理成一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ，再确定消去哪个未知数．自我解答：解：原方程组整理得： ⎩⎨⎧-=-=-④2575 ③ 5310y x y x③－④×2，得 －3y ＋14y ＝5＋50 11y ＝55 y ＝5把y ＝5代入③，得 10x －15＝5 x ＝2∴ ⎩⎨⎧==52y x点评：遇到形式比较复杂的方程组，首先化简成一般形式. 再决定采用什么方法去解题．例9 解方程组 ⎩⎨⎧-=+--=+--② 1)(5)(2① 21)(7)(6y x y x y x y x分析：根据此方程的特点，把（x －y ），（x ＋y ）分别看成整体，解出它们的值，再组成新的方程组求x 、y 的值． 自我解答：解：①－②×3， 得 8（x ＋y ）＝24x ＋y ＝3 ③ 把③代入②，得 6（x －y ）－21＝21 x －y ＝7 ④由③、④得 ⎩⎨⎧=-=+② 7① 3y x y x 解得 ⎩⎨⎧-==25y x ．点评：此题充分利用了方程的特点，采用整体代换的方法．解题中充分利用这一方法，可给解题带来方便．例10 解方程组0.1x －2＝y ＋7＝0.7x ＋y分析：此题是方程组的一种特殊形式，将它改写在一般形式，再去求解． 自我解答：解：由原方程组可得：⎩⎨⎧+=-+=-y x x y x 7.021.0721.0整理，得⎩⎨⎧=--=-②26.0 ① 91.0y x y x①－②，得 0.7x ＝7， x ＝10． 把x ＝10代入①，得0.1×10－y ＝9，y ＝－8．∴ 原方程组的解是 ⎩⎨⎧-==810y x ．点评：此形式的方程组可改写成三个一般形式的方程组，任选其中一个，便可求得原方程组的解．例11 解方程组⎩⎨⎧=+=②102① 3:2:y x y x分析：根据比例的性质，由①得2y ＝3x ，代入②可求得x 值，进而求得y 的值．另一种方法是根据方程①，引入比例系数k ．解法如下： 自我解答：解：由方程①，设x ＝2k ③y ＝3k ④ 把③、④代入方程②得 2k ＋3k ＝16， ∴k ＝2把k ＝2代入③、④得 x ＝2， y ＝6．∴ ⎩⎨⎧==64y x ．点评：有比例的方程组，通过“设k ”的办法，可以简化解题过程． 例12 已知代数式q px x ++2，当x ＝－1时，它的值是－5；当x ＝－2时，它的值是4，求p 、q 的值．分析：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p 、q 的方程． 自我解答：解：当x ＝－1时，代数式的值是－5，得5)1()1(2-=+-+-q p①当x ＝－2时，代数式的值是4，得4)2()2(2=+-+-q p②将①、②两个方程整理，并组成方程组⎩⎨⎧=+--=+-④ 02③ 6q p q p 解方程组，便可解决． 结果：由④得q ＝2p 把q ＝2p 代入③，得 －p ＋2p ＝－6 解得p ＝－6把p ＝－6代入q ＝2p ＝－12所以p 、q 的值分别为－6、－12．例13 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+ ③ ②①325232 0z y x z y x z y x 分析：通过消元的方法,将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．自我解答：解：③－①，得y ＝3把y ＝3代入①和②，得⎩⎨⎧=+-=-⑤ 7④3z x z x ④＋⑤，得2x ＝4， x ＝2把x ＝2代入⑤，得z ＝5∴⎪⎩⎪⎨⎧===532 z y x 点评：本题常规解法是先转化为二元一次方程组,但本题运用技巧可直接得到一元一次方程． 例14 解方程组26553423=-+=+=+zy x z y z x ． 分析：首先把方程组转化为一般形式．自我解答：解：原方程组可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=++ ＝265 25z3y 2 423zy x z x 整理得，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=+③②①125 103 823z y x z y z x ③×3－②，得15x －4z=26 ④ ①×2＋④，得21x ＝42， x ＝2把x ＝2代入①，得6＋2z ＝8， z ＝1把z ＝1代入②，得3y ＋1＝10， y ＝3∴⎪⎩⎪⎨⎧===1z 3y 2x 点评：题的关键是把方程组化为一般形式． 例15 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+53ny mx y x 与⎩⎨⎧=-=-512y x my nx 的解相同，求m 、n 的值．分析：不易直接解出方程组的解，但根据同解的定义把x ＋y ＝3和x －y ＝5组合成方程组即可． 自我解答：解：依题意得，⎩⎨⎧=-=+53y x y x解得⎩⎨⎧-==14y x 把x ＝4，y ＝－1代入⎩⎨⎧=-=-125my nx ny mx解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==731419n m点评：本题的解题关键是抓住了方程组的解相同的意义求解． 【中考链接】1．（南京市中考题）解方程组 ② 823① 02⎩⎨⎧=+=-y x y x解答：①＋②，得4x ＝8， ∴x ＝2，把x ＝2代入①，得2－2y ＝0， ∴y ＝1，∴原方程组的解是⎩⎨⎧==12x x ． 2．（江苏省南通市中考题）某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组（ ） （A ）⎩⎨⎧=+=+663227y x y x（B ）⎩⎨⎧=+=+1003227y x y x（C ）⎩⎨⎧=+=+662327y x y x（D ）⎩⎨⎧=+=+1002327y x y x答案：A3．（江苏省常州市中考题）解方程组：⎩⎨⎧=+=+② 82① 5y x y x解答：②－①，得x ＝3，把x ＝3代入①，得 3＋y ＝5 ∴y ＝2，∴方程组的解为⎩⎨⎧==23y x ． 4．（北京市海淀区中考题）解方程组⎩⎨⎧=+-=-16214y x y x解答：由①得，x ＝4y －１ ③把③代入②，得２（4y －１）＋y ＝16 ∴y ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝7， 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==27y x ． 5．（江苏省苏州市中考题）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-10231312y x y x 解答：把①去分母，化简得：3x －2y ＝8 ③ ②＋③，得：6x ＝18，∴x ＝3，把x ＝3代入②，得：9＋2y ＝10 ∴y ＝21所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧==213y x ．6．（江西省中考题）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11)1(2231y x yx 解答：由①得：x ＋1＝6y ③把③代入②，得 12y －y ＝11 ∴y ＝1把y ＝1代入③，得x ＋1＝6 ∴x ＝5所以原方程组的解是⎩⎨⎧==15y x ．仔细复习本讲例题及中考连接。
初一升初二数学暑期衔接教辅
初一升初二暑期数学辅导资料目录第一讲三角形总复习第二讲如何做几何证明题第三讲勾股定理第四讲平方根第五讲立方根第六讲实数第七讲非负数的性质及应用第八讲分母有理化第九讲二次根式的混合运算第十讲平行四边形的性质第十一讲平行四边形的判定第十二讲菱形第十三讲《勾股定理》质量检测第十四讲《实数》质量检测第十五讲《二次根式》质量检测第十六讲综合评估- 1 -乐教、诚毅、奉献、创新第一讲、三角形总复习【知识精读】1. 三角形的求证：说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。
- 2 -乐教、诚毅、奉献、创新2. 三角形三边关系的应用说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得，然后通过倍长中线的方法，相当于将绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。
很自然有。
请同学们自己试着证明。
223. 角平分线定理的应用说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。
同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。
- 3 -乐教、诚毅、奉献、创新4. 全等三角形的应用（1）构造全等三角形解决问题例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）交AC于N，。
采用旋转构造全等的方法来解决。
说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。
（2）“全等三角形”在综合题中的应用例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂10。
求AC乐教、诚毅、奉献、创新分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。
5、中考点拨例1.如图，在中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB6、题型展示例1. 已知：如图6，中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE 垂直BD的延长线于E，。
最新初一升初二暑期数学衔接教材
初一升初二暑期数学衔接教材第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑ 三角形的表示方法三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。
即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 【练习】1、三角形三边为3，5，3-4a ，则a 的范围是 。
2、三角形两边长分别为25cm 和10cm ，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为 。
3、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为4、一个三角形周长为27cm ，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长 。