二次函数的四种表达式求法推导
二次函数的四种表达式求法推导
(1)如果二次函数的图像经过已知三点,则设表达式为c bx ax y ++=2
,把已知三点坐标代入其中构造三元一次方程组求a 、b 、c 。
(2)二次函数顶点式:如果二次函数的顶点坐标为(h ,k ),则二次函数的表达式为:
k h x a y +-=2)( 推导如下:
a b ac a b x a a b ac a b x a a c
a
b a b x a a
c
a b a b x a b x a a c
x a b x a c
bx ax y 44)2(]44)2[(]
4)2[(]
)2()2([)(2
22
2
222222222-+
+=-++=+-+=+-++=++
=++= 则a
b a
c k a b h 44,22
-=-=
顶点式的变形:
设二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图像交x 轴于点A ),(1o x 和B )0,(2x ,则a
b x x -
=+21 ,a
c x x =
?21 点A 、B 的距离为d ,
a
ac b a ac b a c a b x x x x x x x x d 444)(4)()(22222
12212
1212-=
-=--=?-+=-=-= 2
2222
22222222224
1
)2(]41)2[(]44)2[(]4)2[(])2()2([)(ad a b x a d a b x a a
ac
b a b x a a
c a
b a b x a a
c
a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y -+=-+=--+=+-+=+-++=++
=++= 已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ,则设二次函数的表达式为:)]()[(00d x x x x y +--= (3)二次函数两根式:如果二次函数的图像与x 轴交于点)0,()0,.(21x x 和,则二次函数的表达式为:
))((21x x x x a y --= 推导如下:
设二次函数的图像交x )0(2
≠++=a c bx ax y 于点),(1o x 和)0,(2x , 则21,x x 和是一元二次方程
)0(02≠=++a c x ax 的两个实数根,由一元二次方程根与系数的关系得:a b x x -=+21 ,a
c
x x =?21
所以,
)
)((])([)
(212121222x x x x a x x x x x a a
c
x a b x a c
bx ax y --=?++-=++=++=
(4)二次函数对称点式:
如果二次函数的图像过点),(),(21m x m x 和(它们关于抛物线对称轴2
2
1x x x +=对称),则可以得到二次函数的表达式对称点式:)0())((21≠+--=a m x x x x y ,推导如下:
方法1 二次函数的图像过点),(),(21m x m x 和,那么21x x 和是x 的一元二次方程
m c bx ax =++2(即02=-+m c bx ax )的两根,则有 ))((212x x x x a m c bx ax --=-++
∴))((212
m x x x x a c bx ax +--=++ 即 m x x x x a y +--=))((21
方法2 二次函数c bx ax y ++=2
的图像经过点),(),(21m x m x 和,则有
?
??++=++=c
bx ax m c bx ax m 12122
2 解得
{
)(2121x x a b m
x ax c +-=+=
代入c bx ax y ++=2
中,得
m
x x x x a m
x x x x x a m
x ax x x a ax y +--=+++-=+++-=))((])([)(212121221221
《求二次函数的表达式》练习题
3.求二次函数的表达式 类型一:已知顶点和另外一点用顶点式 已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数关系式. 练习: 已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10),求其解析式 类型二:已知图像上任意三点(现一般有一点在y轴上)用一般式 已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的关系式. 练习: 已知抛物线过三点:(-1,2),(0,1),(2,-7).求解析式
类型三:已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标,用两根式 已知二次函数的图象过(-2,0)、(4,0)、(0,3)三点,求这个二次函数的关系式. 练习: 已知抛物线过三点:(-1,0)、(1,0)、(0,3). (1).求这条抛物线所对应的二次函数的关系式; (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 巩固练习: 1.已知二次函数的图象过(3,0)、(2,-3)二点,且对称轴是x=1,求这个二次函数的关系式. 2..已知二次函数的图象过(3,-2)、(2,-3)二点,且对称轴是x=1,求这个二次函数的关系式.
3.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°,试确定这个二次函数的解析式 4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点(0,1),求这个二次函数的关系式. 小测: 1.二次函数y=x2-2x-k的最小值为-5,则解析式为。 2.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8,且顶点坐标为(1, 5),则它们的解析式为。 3.已知一个二次函数的图象经过点(6,0),且抛物线的顶点是(4,-8),求它的解析式。 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次函数的解析式.
二次函数的图像及其三种表达式
二次函数的图像及其三种表达式 学生: 时间: 学习目标 1、熟悉常见的二次函数的图像; 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P (h ,k )] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A (x1,0)和 B (x2,0)的抛物线] 2、一般地,自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0,且a 决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.) 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 例题1已知函数y=x 2 +bx +1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的表达式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x >0时,求使y ≥2的x 的取值范围. 例题2、一次函数y=2x +3,与二次函数y=ax 2 +bx +c 的图象交于A (m ,5)和B (3,n )两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9. (1)求二次函数的表达式; (2)在同一坐标系中画出两个函数的图象; (3)从图象上观察,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大. (4)当x 为何值时,一次函数值大于二次函数值? 随堂练习 1.已知函数y=ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象,如图①所示,则下列关系式中成立的是( ) A .0<- a b 2<1 B .0<-a b 2<2 C .1<-a b 2<2 D .-a b 2=1 图① 图② 2.函数y = 21x 2 +2x +1写成y =a (x -h)2+k 的形式是 A.y =21(x -1)2+2 B.y =21(x -1)2+2 1
九年级数学:二次函数表达式的确定练习(含解析)
九年级数学:二次函数表达式的确定练习(含解析) 1.函数y =21 x 2+2x +1写成y =a (x -h)2+k 的形式是 A.y =21 (x -1)2+2 B.y =21(x -1)2+21 C.y =21 (x -1)2-3 D.y =21 (x +2)2-1 2.抛物线y =-2x 2-x +1的顶点在第_____象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.不论m 取任何实数,抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都 A.在y =x 直线上 B.在直线y =-x 上 C.在x 轴上 D.在y 轴上 4.任给一些不同的实数n ,得到不同的抛物线y =2x 2+n ,如当n =0,±2时,关于这些抛物线有以下结论:①开口方向都相同;②对称轴都相同;③形状都相同;④都有最低点,其中判断正确的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.二次函数y =x 2+p x +q 中,若p+q=0,则它的图象必经过下列四点中 A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,-1) D.(1,1) 图3 6.下列说法错误的是 A.二次函数y =-2x 2中,当x =0时,y 有最大值是0 B.二次函数y =4x 2中,当x >0时,y 随x 的增大而增大 C.在三条抛物线y =2x 2 ,y =-0.5x 2 ,y =-x 2 中,y =2x 2 的图象开口最大,y =-x 2 的图象开口最小 D.不论a 是正数还是负数,抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2-1的最小值是0,则k 的值是 A.43 B.-43 C.45 D.-45
二次函数表达式、图象、性质及计算(讲义)
二次函数表达式、图象、性质 及计算(讲义) 一、知识点睛 1. 一般地,形如__________________(_______________)的 函数叫做x 的二次函数. 2. 表达式、图象及性质: ①由一般式通过______________可推导出顶点式. 顶点式:________________(其中h =______,k =_________). ②二次函数的图象是_________,是________图形,对称轴是__________,顶点坐标是_____________. ③当a_______时,函数有最_____值,是____________; 当a_______时,函数有最_____值,是____________. ④当a _____时,图象以对称轴为界,当x______时,y 随x 的增大而_______,当x______时,y 随x 的增大而_______;当a_____时,图 象以对称轴为界,当x______时,y 随x 的增大而_______,当x______时,y 随x 的增大而_______. ⑤a ,b ,c 符号与图象的关系: a 的符号决定了抛物线的开口方向,当_____时,开口向____;当_____时,开口向____. c 是抛物线与_______交点的______. b 的符号:与a_____________,根据_____________可推导. 3. 二次函数图象平移: ①二次函数图象平移的本质是__________,关键在______. ②图象平移口诀:________________、________________. 平移口诀主要针对二次函数_________________. 二、精讲精练 1. 下列函数(x ,t 是自变量)是二次函数的有________.(填写序号) ①2132y x x =--;②2123y x x =-+;③21 32 y x =-+; ④2 22y x =+;⑤2y x =-;⑥231252 y x x =-+; ⑦215s t t =++;⑧2 20x y -+=. 2. 若函数7 2 )3(--a x a y =为二次函数,则a =( ) A .-3 B .3 C .±3 D .5 3. 通过配方把221213y x x =-+写成2 ()y a x h k =-+的形式( ) A .2 (3)5y x =-- B .2 (3)5y x =+- C .2 2(3)5y x =-+ D .2 2(3)5y x =--
二次函数表达式三种形式练习题
7.已知二次函数的图象经过点(﹣1,﹣5),( 0, 4)和(1,1),则这二次函数的表达式为( A .y=﹣6x 2+3x+4 B .y=﹣2x 2+3x ﹣4 C .y=x 2+2x ﹣4 D .y=2x 2+3x ﹣4 8.若二次函数 y=x 2﹣2x+c 图象的顶点在 x 轴上,则 c 等于( )A .﹣1 B .1 C . ) D .2 9.如果抛物线经过点A (2,0)和B (﹣1,0),且与y 轴交于点C ,若OC=2.则这条抛物线的解析式是( ) A . 10. A . 11. A . y=x 2﹣x ﹣2 B .y=﹣x 2﹣x ﹣2 或 y=x 2+x+2 C .y=﹣x 2+x+2 D .y=x 2﹣x ﹣2 或 y=﹣x 2+x+2 如果抛物线 y=x 2 ﹣6x+c ﹣2 的顶点到 x 轴的距离是 3,那么 c 的值等于( ) 8 B .14 C .8 或 14 D .﹣8 或﹣14 二次函数 的图象如图所示,当﹣1≤x ≤0 时,该函数的最大值是( ) 3.125 B .4 C .2 D .0 当﹣2≤x ≤1 时,二次函数 y=﹣(x ﹣m )2+m 2+1 有最大值 3,则实数 m 的值为( ) A . 或﹣ B . 或﹣ C .2 或﹣ D . 或﹣ 13.如果一条抛物线经过平移后与抛物线 y=﹣ x 2 +2 重合,且顶点坐标为(4, 的解析式为 . 14.二次函数的图象如图所示,则其解析式为 . 15.若函数 y=(m 2﹣4)x 4+(m ﹣2)x 2的图象是顶点在原点,对称轴是 y 轴的抛物线,则 m= . 16.二次函数图象的开口向上,经过(﹣3,0)和(1,0),且顶点到x 轴的距离为 2, 则该二次函数的解析式为 . 17.如图,已知抛物线 y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线 x=1,且与x 轴的一个交点为(3,0), 那么它对应的函数解析式是 . 18.二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过 A (﹣1,0)、 B (0,﹣3)、 C (4,5)三点,求出 抛物线解析式 . 19.二次函数图象过点(﹣3,0)、(1,0),且顶点的纵坐标为 4,此函数关系式为 20.如图,一个二次函数的图象经过点A ,C ,B 三点,点A 的坐标为(﹣1,0),点B 的坐标为 (4,0),点 C 在 y 轴的正半轴上,且 AB=OC .则这个二次函数的解析式是 . 21.坐标平面内向上的抛物线y=a (x+2)( x ﹣8)与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,若 1.把二次函数 y=x 2﹣4x+5 化成 y=a (x ﹣h )2+k (a ≠0)的形式,结果正确的是( ) A .y=(x ﹣2)2+5 B .y=(x ﹣2)2+1 C .y=(x ﹣2)2+9 D .y=(x ﹣1)2+1 2.将 y=(2x ﹣1)?(x+2)+1 化成 y=a (x+m )2+n 的形式为( ) D . 3.与 y=2(x ﹣1)2+3 形状相同的抛物线为( )A .y=1+ x 2 B .y=(2x+1)2 C .y=(x ﹣1)2 D .y=2x 2 4.二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,﹣4),则这个二次函数的解析式为( A .y=﹣2(x+2)2+4 B .y=﹣2(x ﹣2)2+4 C .y=2(x+2)2﹣4 D .y=2(x ﹣2)2﹣4 5.已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为( ) A .y=﹣3(x ﹣1)2+3 B .y=3(x ﹣1)2+3 C .y=﹣3(x+1)2+3 D .y=3(x+1)2+3 6.顶点为(6,0),开口向下,开口的大小与函数 y= x 2的图象相同的抛物线所对应的函数是( ) A .y= (x+6)2 B .y= (x ﹣6)2 C .y=﹣ (x+6)2 D .y=﹣ (x ﹣6)2 A . B . C . ) 2),则它