利用柱面坐标计算三重积分精编版
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
0
0
0
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
规定： 0 r , 0 , 0 2.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
则 OA x, AP y, PM z.
用哪种坐标？柱面坐标 1
锥面化为: r = z
上顶： z = 1
下底： z r
Dxy: r 1
Dxy
0
....
x
1y
11
I
D
rdrdθ
r
r2
dz 1
2π
1r
1
0 dθ 0 r 2 1 dr r dz
2π
1 1 r
0
( 1
r
2
1)dr
(ln2 2 )
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
x
r sind rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
例4
z
: 球面 x2 y2 z2 R2
及 平 面 x 0, y 0,
z 0在 第 一 卦 限
所 围 成 的 区 域.
求 f (x, y, z)dxdydz
下底： z = 0
Dxy: x 2 y 2 1
.
.
Dxy 0
1y
1
x
x y
I dxdy
zdz
Dxy
用哪种坐标？ 柱面坐标
2π
1
1r 2
I = dθ rdr zdz
0
0
0
. .
4
例2
1
I
Ω
x2
y2
dxdydz 1
: 锥面 x y z , z 所围z
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
任取球体内一点
r
0
对r: 从0R积分,得半径
x
R
y
z
对:
从0
π 2
积分，
M
r
0
.
x
R
y
任取球体内一点
z
对r: 从0R积分
得半径
对:
从0
π
积分，
2 得锥面
0
对 :
从0 π 积分，
2
扫遍球体
x
Ry
z
0
R
y
.
x
.
I 2 d 2 d R f (r sin cos , r sin sin , r cos)r 2 sindr
d
4 d
2a r 2 sin dr
0
0
0
2
4
sinLeabharlann (2a)3 d 4 (
2 1)a3 .
0
3
3
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
a
d rdr
a r 2dz
0
0
r
2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
0
4 5 10
例 6 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
2
2
d dr
0
0
2
r2 2
r
r 2dz
25 6
,
原式I 45 25 336 . 36
. . .
2
.
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
是曲线 y2 2z， x 0 绕oz轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2, z 8所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
所围成的立体如图，
o
x
A
xy
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r
o
d
z .
o
x
r
y
P(r, )
如图，三坐标面分别为
r 为常数 圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面； 平 面．
M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为
o
r P(r, )
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
第五节 利用柱面坐标和球面坐标
计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标． z
规定： 0 r ,
M(x, y,z)
0 2,
解 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,
4
0 2,
由三重积分的性质知 V dxdydz,
V
2
0
0
0
例 5 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0)所围的立体.
解 1 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
dv rdrddz,
z
rd
dr
r
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
例1 计算 I zdxdydz : x2 y2 z2 1, z 0 z
上顶： z 1 x2 y2
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
「9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分」
§9.５ 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分对于某些三重积分，由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
一、利用柱面坐标计算三重积分１、柱面坐标设M x y z (,,)为空间的一点,该点在xoy 面上的投影为P ,P 点的极坐标为r ,θ,则r z ,,θ三个数称作点M 的柱面坐标。
规定r z ,,θ的取值范围是0≤<+∞r ，02≤≤θπ，-∞<<+∞z柱面坐标系的三组坐标面分别为r =常数,即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数,即过z 轴的半平面;z =常数,即与xoy 面平行的平面。
点M 的直角坐标与柱面坐标之间有关系式x r y r z z ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪cos sin θθ (1) ２、三重积分f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰在柱面坐标系中的计算公式用三组坐标面r=常数，θ=常数,z =常数,将Ω分割成许多小区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
考察由r z ,,θ各取得微小增量dr d dz ,,θ所成的柱体,该柱体是底面积为rdrd θ,高为dz 的柱体,其体积为dv rdrd dz =θ这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到（１)式有f x y z dv f r r z rdrd dz (,,)(cos ,sin ,)ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=θθθ(２)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。
(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量z r ,,θ的三次积分,其积分限要由z r ,,θ在Ω中的变化情况来确定。
3、用柱面坐标r z ,,θ表示积分区域Ω的方法(1)、找出Ω在xoy 面上的投影区域D xy , 并用极坐标变量r ,θ表示之;(2)、在D xy 内任取一点(,)r θ, 过此点作平行于z 轴的直线穿过区域, 此直线与Ω边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成r ,θ的函数)即为z 的变化范围。
三重积分重积分习题精编版
三重积分iiizdv 一一 、一 一1.将|=[1分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的二次积分，并选择其中一种计算出结果.其中「是由曲面Z »2-X 2_『 及乙之2+『2所围成的闭区域.分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，. ______________ 』Z = J2_X 2 _y 2,匚 22 2 2〕 2 丄 2z=.，2-x -y 及z=x y ，而由这两个方程所组成的方程组Z = x y极易消去乙我们把它投影到xoy 面上.然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把 的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可.[z = J?_x ：_y ,解 将门投影到xoy 平面上，由Z =x y消去Z 得(x 2+y 2)2 =2-(x 2 +y 2 ),_ 2 2 2 2 2 2或(X +y +2)(x +y -1)=0，于是有 x +y =1 .即知,为此在D 内任取一点Q(x , y)，过Q 作平行于Z 轴的直线自下而上穿过.穿入时碰_ 2 . 2 _ ■ o 2 2到的曲面为Z =x y ，离开时碰到的曲面为Z -・2-x - y (不画图，仅用代数方法也2 2 x +y<1由于是由两张曲面l'在xoy 平面上的投影为圆域2 2 • 2 2-易判断z=x y 2-x -y)，这是因为x2+y ^1)(1)直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找Z的变化范围从而化为三重积分.因此再由D : x2+y2<1,有x2y2 <Z= 2-x -y2 ,于是在直角坐标下，'J 可表示为1 -x2,\ 2 - x2- y2,于是有11 -X 22 ；」2dx dy zdz匸二―口X 2 旳2 .(2)柱面坐标下首先把I 1的表面方程用柱面坐标表示， 这时Z=X 2 +y 2表示为Z= :' , Z= 2 - X - y表示为z= ;2 - '2 •再由投影区域 D 为x 2+y 2 <1 .故0-二_1, Q< 0 < 2二•于是门可表示为0兰日兰2兀， *0兰P 兰1, P 2 兰 z 兰 <2 — P 2 •将所给三重积分中的体积元素d 用d = 'dJdvdz 去替换，有2二1 2「2zd 「 m z®drdz 0 .J dz =0=°= 0P(3)球面坐标下cos用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=X 2 +y 2变为'=Sin 2 ••；曲面 z = 2 一 X? - / 变为「= ... 2 . 由门在Xoy 平面上的投影为 X 2+y 2 _1知0乞二乞2二，下边找 '的变化范围.正z 轴在门内，即门内有点P,使0P 与oz 夹角为零，即的下界为零.又曲面z=X 2 +y 27131与Xoy 平面相切，故''的上界为2，于是0 -- 2再找'的变化范围.原点在门的表面上，故 '取到最小值为零. 为找'的上界，从原点出发作射线穿过11，由于门的表面由两张曲面所组成，因而1),故A 所对应的4 .的上界随相应的•的不同而不同.为此在两曲面的交线z= 2 _x 2 _ y 2上取一点A(0 , 1,兀 丄兀COS©2 ■当42时，r 的上界由曲面r=Sin 所给，故这时r 的变化范围为,当0时，4时。
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
z
rd
dr
r
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
例1 计算I zdxdydz，其中 是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
x r cos
解
由
y
r
sin
,
z z
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解: 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
0
球 面； 圆锥面； 半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r
• M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
则 OA x, AP y, PM z.
o
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
2
2
d dr
0
0
2
r2 2
r
r 2dz
25 6
,
原式I 45 25 336 . 36
二、利用球面坐标计算三重积分
柱面坐标系下的三重积分计算
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
柱面坐标下三重积分的计算
类似于极坐标下计算二重积分，有 些三重积分采用柱面坐标会更简便。
1、柱面坐标介绍
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点 M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为 ,，则这样的三
个数 , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 ,
0 2 ,
M(x, y,z)
z .
o
yLeabharlann P(, )x如图，三组坐标面分别为
为常数 为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x cos ,
y
sin
,
x
z z.
z
M (x, y, z)
z
o P(, )
y
2、柱面坐标下的计算公式
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f ( cos , sin , z)dddz.
3、例题
例1 计算 I zdxdydz，其中是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
3、例题
x r cos
解
由
y
r
sin
,
2.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
0 ≤ θ ≤ 2 π,
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平 面.
z
θ 为常数
z 为常数
M ( x, y , z )
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为 x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
o
θ
r
P (r ,θ )
y
x
讨论下列柱坐标系下的曲面方程表示的曲面
Answer : (a ) r = 5 x 2 + y 2 = 55
(b) (c )
Question: In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, dV=dxdydz,
D1 2
8
2π
0
45 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 3 2
4 8
I 2 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
D2 2
2
2π
0
25 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I = π π = 336π . 3 6
球面坐标与直角坐标的关系为
x = ρ sin cosθ, y = ρ sin sin θ, z = ρ cos.
A
x
ρ M ( x , y, z )
利用柱面坐标计算三重积分x^2+y^2dv
利用柱面坐标计算三重积分 x^2 + y^2 dv在数学中，三重积分是一种计算多变量函数在三维空间内某个区域上的积分的方法。
本文将探讨如何利用柱面坐标系统来计算三重积分x2+y2。
首先，让我们回顾一下柱面坐标。
在三维空间中，柱面坐标由极径r、极角$\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
其中，$x = r\\cos(\\theta)$，$y =r\\sin(\\theta)$，z保持不变。
假设我们需要计算的三重积分为：$$ \\iiint_D x^2 + y^2 \\, dV $$其中D为一个柱面和平面z=0所围成的区域。
我们可以通过柱面坐标来简化这个积分。
首先，将x和y换成柱面坐标表示：$x = r\\cos(\\theta)$，$y = r\\sin(\\theta)$。
然后，计算体积元素dV。
在柱面坐标下，体积元素dV可表示为：$dV = r\\, dr\\, d\\theta\\, dz$。
将x和y用柱面坐标表示，将dV替换为 $r\\, dr\\, d\\theta\\, dz$，我们可以将原积分转换为柱面坐标下的积分形式：$$ \\iiint_D (r^2\\cos^2(\\theta) + r^2\\sin^2(\\theta)) \\, r\\, dr\\,d\\theta\\, dz $$即$$ \\iiint_D r^3\\, dr\\, d\\theta\\, dz $$接下来，我们可以按照柱面坐标系下的积分计算方法进行计算：$$ \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\int_0^H r^3\\, dr\\, dz\\, d\\theta $$，其中R代表柱面的半径，H代表柱面的高度。
继续计算得到$$ \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\left. \\frac{1}{4}r^4 \\right|_0^H dz\\,d\\theta \\\\ = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\frac{1}{4}H^4 dz\\, d\\theta \\\\ =\\int_0^{2\\pi} \\frac{1}{4}H^4R d\\theta \\\\ = \\frac{1}{4}H^4R\\int_0^{2\\pi} d\\theta \\\\ = 2\\pi \\cdot \\frac{1}{4}H^4R \\\\ =\\frac{1}{2}\\pi H^4R $$因此，利用柱面坐标计算三重积分 $\\iiint_D x^2 + y^2 \\, dV$ 的结果为$\\frac{1}{2}\\pi H^4R$。
3.5 利用柱面坐标和球面坐标的计算三重积分
ex6.设f ( u)具有连续的导数, 且f (0) 0, 求 1 lim 4 t 0 t
x2 y2 z2 t 2
f (
r2 则 {( r , , z ) | z 4 r 2 , 0 r 3,0 2 } 3 z I zrdrddz z 4 r2
0 d 0 dr r 2
3
2
3
4 r 2
r zdz
13 . 4
r2 z 3 x
y
2
x
02 d 0
2 cos
8 2 a2 8 3 2 r dr 0 zdz 02 cos d a . 9 2 3
a
二. 在球面坐标下计算三重积分
1. 球面坐标及坐标面
设 M ( x , y, z ) 为空间内一点，则点M 可用 三个有次序的数 ，， 来确定，其中 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按 逆时针方向转到有向线 OP 的角，这里 P 为 段 点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 ，，
x sin cos y sin sin z cos
z
x
M ( x, y, z )
z
o
A
y
y
x
P
3. 球面坐标下的三次积分
球面坐标系中的体积元素为
d
z
d
sin
利用柱面坐标计算三重积分
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
二利用柱面坐标计算三重积分
一 柱面坐标系 二 利用柱面坐标计算三重积分 三 球面坐标系 四 利用球面坐标计算三重积分 五 小结与思考判断题
2019/5/28
1
一 柱面坐标系
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三
个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
2019/5/28
9
规定： 0 r , 0 , 0 2.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
2019/5/28
10
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
dv r2 sindrdd ,
r
rd
d
o
y
f ( x, y, z)dxdydz
d
x
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
2019/5/28
12
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,
4
0 2,
2019/5/28
15
由三重积分的性质知 V dxdydz,
V
2
d
4 d
2a r 2 sin dr
0
0