岩土应变硬化指数理论及其分数阶微积分理论基础_殷德顺

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2023年高等土力学试题考博专用

参考书目《高等土力学》李广信第1章土工实验及测试一、简述土工实验的目的和意义。

1）揭示土的一般或特有的物理力学性质。

2）针对具体土样的实验，揭示区域性土、特殊土、人工复合土的物理力学性质。

3）拟定理论计算和工程设计的参数。

4）验证理论计算的对的性及实用性。

5）原位测试、原型监测直接为土木工程服务，也是分析和实现信息化施工的手段。

第2章土的本构关系★二、广义讲，什么是土的本构关系？与其他金属材料比，它有什么变形特性（应力应变特性）？（2.3节）P51土的本构关系广义上讲是指反映土的力学性状的数学表达式，表达形似一般为应力-应变-强度-时间的关系。

与金属材料相比，土的变形特性包含：①土应力应变的非线性。

由于土由碎散的固体颗粒组成，土的宏观变形重要不是由土颗粒自身变形，而是由于颗粒间位置的变化。

这样在不同的应力水平下由相同应力增量引起的应变增量就不会相同，即表现出非线性。

②土的剪胀性。

由于土石由碎散颗粒组成的，在各向等压或等比压缩时，孔隙总是减少的，从而可发生较大的体积压缩，这种体积压缩大部分死不可恢复的，剪应力会引起土塑性体积变形，这叫剪胀性，另一方面，球应力又会产生剪应变，这种交叉的，或者耦合的效应，在其他材料中很少见。

③土体变形的弹塑性。

在加载后再卸载到本来的应力状态时，土一般不会完全恢复到本来的应变状态，其中有一部分变形是可以恢复的，部分应变式不可恢复的塑性应变，并且后者往往占很大的比例。

④土应力应变的各向异性和土的结构性。

不仅存在原生的由于土结的各向构异性带来的变形各向异性，并且对于各向受力不同时，也会产生心的变形和各向异性。

⑤土的流变性。

土的变形有时会表现出随时间变化的特性，即流变性。

与土的流变特性有关的现象只要是土的蠕变和应力松弛。

影响土的应力应变关系的应力条件重要有应力水平，应力途径和应力历史。

★三、何为土的剪胀性，产生剪胀的因素？P52(2.3.2)土体由于剪应力引起的体积变化称为剪胀性，广义的剪胀性指剪切引起的体积变化，既涉及体胀，也涉及体缩，但后者常被称为“剪缩”。

应变硬化指数

应变硬化指数应变硬化指数（SHSI）是指当自由应变（或应变率）在某一极限值时，材料的弹性模量快速增加的能力的一种指标。

它是应力应变曲线靠近线性区域后的斜率，以一种精确的、定量的方式表征材料的硬化特性。

它可以反映出材料在施加应力或应变时，其力学性能和变形性能（如疲劳强度）随应变率增大而发生改变的程度。

应变硬化指数的定义是：当应变速率增大到一定的激变极限以后，材料的弹性模量增加的快慢程度的指标，例如：应变硬化指数（SHSI）=kdε/dt其中，kd应变速率，ε应变，dt是极限应变速率。

应变硬化指数可以表示材料在应力变形过程中，其变形特性随应变速率增大而发生变化的程度。

当应变速率增大时，应变硬化指数也会显著增大，且材料弹性模量和硬度会随之增大。

此外，应变硬化指数还可以反映材料的疲劳极限，即材料可以在多大程度的应力下进行变形。

应变硬化指数的测量，可以利用金属力学的研究基础和实验方法，比如动态力学弹性实验和应变硬化试验。

动态力学弹性实验可以测量材料应力应变曲线在非线性范围中的变化，包括计算材料的屈服点、最大应力和总变形。

应变硬化试验，是测量材料应变速率和应变硬化指数的一种实验方法，一般以动态变形法测量材料的应变硬化指数，可以测出材料在低至中应变速率范围内的应变硬化指数以及应力和总变形。

应变硬化指数的实际应用，通常用于研究材料动态力学变形性能，比如疲劳强度、屈服强度、减震性能等。

此外，也可以应用于工程材料研发和分析，充分挖掘材料应变硬化性能，以改变材料的性能和结构，确保材料更好地适应自然界和人工环境的改变，增强材料的动态力学变形性能，提高材料的安全性。

总之，应变硬化指数是材料力学变形性能研究的重要指标，它可以定量表示材料的硬化性能，反映材料的变形性能。

随着力学理论和实验技术的发展，应变硬化指数测试技术也在不断更新，以更精确的方式表征材料的硬化性能，增强材料的设计效能，进一步为工程应用提供准确可靠的材料信息。

《岩土工程施工》课程教学大纲

《岩土工程施工》教学大纲课程编号：632023课程名称：岩土工程施工课程英文名称：Geotechnical Engineering Construction课程类别：专业教育课程课程性质：必修课学时（理论+实践）：48学时学分：3开课学期：第七学期选用教材：《岩土工程施工》，陈晨主编，地质出版社，2003 主要参考书：1.林宗元主编.《岩土工程治理手册》.辽宁科学技术出版社，1993年2.陈晨主编.《现代地基处理技术》.地质出版社，2012年一、中英文课程简介岩土工程施工课程系统介绍了岩土工程施工各种方法的原理、相关设计计算及施工工艺，主要内容包括绪论、工程勘察钻探、工程孔施工技术、地基处理技术、桩基础施工技术、地下连续墙施工技术、锚固技术、非开挖施工技术、其他岩土工程施工技术等。

The curriculum of geotechnical engineering construction introduces the principle of various methods x the design calculation and construction technology in geotechnical engineering.The main content includes introduction, engineering investigation drilling, engineering hole construction technology, ground treatment technology, pile foundation construction technology, construction technology of underground diaphragm wall, anchorage technology, trenchless excavation technology and other geotechnical engineering construction technology , etc.二、课程的目的、性质与任务“岩土工程施工”是地质工程（勘察工程方向）专业的专业主干课。

分数阶微积分流变模型在岩体结构加速流变破坏分析中的应用

ｄｓｒｃｉｎａａｙｉｆａｃｌｒｔｄｒｅｌｇｆｄｆｅｅｔｒｃｔｃｕｅ．Ｉｓｓｏｈｔｔｅａｃｌｒｔｄｅｔｕｔｏｎｌｓｓｏｃｅｅａｅｈｏｏｙｏｉｒｎｏｋｓｒｔｒｓｔｉｈｗｎｔａｃｅｅａｅｕｈ
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分数阶微积分流变模型在岩体结构加速流变破坏分析中的应用
黄耀英，郑宏
４０７）３０１
（．三峡大学水利与环境学院，北宜昌４３０；１湖４０２
关键词：数阶微积分；流变模型；速流变；分加破坏
中图分类号：Ｕ５Ｔ１５Ｔ４７；Ｂ１
文献标志码：Ａ
Ａｐｌｃｔｏｆｆａｔｏａｒｅａｃｌｓｒｅｌｇｃｌｍｏｅｎｐｉａｉｎｏｒｃｉｎｌｏｄｒｃｌｕｕｈｏｏｉａｄｌｉ
ｃｌｕａｉｎｆｒｌａｅｅｕｅａｃｌｔｏ０ｍｕａｒｄｄｃｄ．Ｔｈｎｒｃｉｎａｏｄｒａｃｌｓｈｏｏｉａｍｏｌｓｐｌｅｔｔｅｅｆａｔｏｌｒｅｃｌｕｕｒｅｌｇｃｌｄｅｉａｐｉｄｏｈ
ＣｉｅｅＡａｅｙｏｃｎｅ，ｈｎ４０７，ＣｉａｈｎｓｃｄｍｆｉｃｓＷｕａ３０１ｈ）Ｓｅｎ
Ａｂｓｒｃ：Ａｓｔｈｉａｖｎａｅｏｅｄｎｎｒｍｅｅｓｗｈｎｃｎｅｔｏａｌｍｅｔｍｏｌｉｓｄｔａｔｏｔｅｄｓｄａｔｇｆｎｅｉｇｍａｙｐａａｔｒｅｏｖｎｉｎｌｅｅｎｄｅｓｕｅｔｔｅｐｒｍｅｔａａｗｅｌｈｈｏｙｏａｔｎｌｏｄｒｃｌｕｕｓａｐｉｄｔｈｈｏｏｙａａｙｉｆｏｆｘｅｉｎａｄｔｌ，ｔｅｔｅｒｆｆｃｉａｒｅａｃｌｓｉｐｌｏｔｅｒｅｌｇｎｌｓｓｏｉｌｒｏｅ

岩土应变硬化指数理论及其分数阶微积分理论基础_殷德顺

第32卷第5期岩土工程学报 Vol.32 No.5 2010年 5月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering May 2010岩土应变硬化指数理论及其分数阶微积分理论基础殷德顺，和成亮，陈文(河海大学工程力学系，江苏南京 210098)摘要：应变硬化型岩土的三轴试验应力应变曲线能够表现出不同的弯曲程度，而应力应变曲线的弯曲程度是岩土应变硬化能力的体现，但已有的研究中还没有相应的参数来描述岩土的硬化能力。

为了获得反映岩土应变硬化能力的参数，从而有助于了解岩土的塑性性能和指导土体的合理承载，根据Hollomon 提出的描绘金属塑性拉伸变形的指数方程（经验公式），提出了岩土应变硬化指数理论。

通过许多三轴试验，发现岩土应变硬化指数理论提出的岩土应力应变关系符合乘幂函数关系的假设能够被验证，岩土的应变硬化指数能够反映岩土的硬化能力。

岩土的力学性质介于理想固体和理想流体之间，其应力应变关系既不遵守胡克定律，也不遵守牛顿黏性定律，而是遵守介于它们之间的某种关系。

利用分数阶微积分理论给出了恒应变率加载情况下的土应力应变关系。

关系式显示应力应变之间也呈乘幂函数关系，说明岩土分数阶应力应变关系能够为岩土应变硬化指数理论提供理论基础。

关键词：应变硬化指数；分数阶微积分；三轴试验；理论基础中图分类号：TU43 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2010)05–0762–05作者简介：殷德顺(1972– )，男，副教授，主要从事土的本构模型及基本理论研究。

E-mail: yindeshun@ 。

Theory of geotechnical strain hardening index and its rationale fromfractional order calculusYIN De-shun, HE Cheng-liang, CHEN Wen(Department of Engineering Mechanics, Hohai University, Nanjing 210098, China)Abstract : The curvature of stress-strain curves from triaxial tests on harden soil is a reflection of hardening ability, but there isn’t a parameter of hardening ability in geotechnical mechanics. In order to gain such a parameter that can help us to know plasticity and proper bearing capacity of soil, a theory of geotechnical strain hardening index (TAGSHI) in response to exponential equation (an empirical equation) which Hollomon established from experience in metal tensile deformation is developed. Based on a lot of triaxial tests, it is shown that the assumption in TAGSHI is right, which thinks that stress-strain relationship of soil is the power function in triaxial tests, and the strain hardening index may reflect geotechnical hardening ability. As we all know that geotechnical mechanical property should be intermediate between that of an ideal solid and an ideal fluid, so its stress-strain relation should neither follow the Hook’s law nor obey the Newton's law of viscosity, and it should be consistent with the fractional expression ()d ()d t t t ββσε=, (01β<<). The geotechnical stress-strain relation is derived byapplying the theory of fractional order calculus operator under the condition of loading with constant strain rate. The analytic results show that the geotechnical stress-strain curves exhibit power relation, and it is consistent with the assumption in TAGSHI. This indicates that the fractional expression ()d ()t t t ββσε=, (01β<<) can give a rationale for TAGSHI.Key words : strain hardening index; fractional order calculus; triaxial test; rationale0 前言常规三轴试验是研究岩土材料力学性质的重要手段，无论是砂土[1]、黏土[2-3]，还是岩石材料[4]，它们的三轴试验已经积累了大量的试验数据和经验。

基于分数阶微积分的岩土材料变形研究

ＤＯＩ：１０．３８７６／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００— １９８０．２０１３．０２．０１０
基于分数阶微积分的岩土材料变形研究
段晓梦，殷德顺，李彦青，张伟
（河海大学力学与材料学院，江苏南京２１００９８）
ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌｓｔｒａｉｎｒａｔｅａｒｅｄｅｉｒｖｅｄｆｏｒｖｏｌｕｍｅｓｔｒａｉｎ．Ｔｈｅｎｅｗｍｏｄｅｌｅｎｊｏｙｓｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆｈａｖｉｎｇｆｅｗｅｒ
Ｓｔｕｄｙｏｎｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｇｅｏｍａｔｅｒｉａｌｓｂａｓｅｄｏｎ
ｆｒａｅｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｃａｌｃｕｌｕｓ
ＤＵＡＮＸｉａｏｍｅｎｇ，ＹＩＮＤｅｓｈｕｎ，ＬＩＹａｎｑｉｎｇ，ＺＨＡＮＧＷｅｉ
摘要：为更好地描述岩土材料的变形特性，利用分数阶微积分建立分数阶横向一纵向应变关系及分数阶体积应变模型，并推导等应变率加载时相应的变形公式。该分数阶应变模型具有参数少、形式简单的特点。通过常规（等应变率加载情况下）三轴压缩试验验证，发现该模型既能够较好地描述岩土材料的横向．纵向应变关系，也能够反映多种岩土材料的剪缩剪胀现象。

Ytsxlx第四章塑性位势理论

第四章塑性位势理论位势理论作为一种力学方法在弹性力学和塑性力学中都得到了广泛应用。

米赛斯于1928年借用弹性势函数作为塑性势函数，并提出了按照塑性势函数的梯度方向确定塑性流动方向的传统塑性位势理论。

后来又由德鲁克塑性公设，表明塑性势函数与屈服函数是一致的，从而形成了塑性应变增量方向必定正交于屈服面的关联流动法则，完善了传统塑性位势理论。

传统塑性位势理论不适应岩土材料的变形机制，因而基于传统塑性位势理论而建立的岩土本构模型，不能反映岩土的实际变形。

双屈服面模型与多重屈服面模型的出现实质上已经扩展了塑性位势理论。

作者在研究多重屈服面弹塑性理论时，提出建立岩土本构模型应采用三个塑性势面和三个屈服面，并建立了以三个主应力作为塑性势函数的岩土本构模型。

此后，杨光华用张量定律从理论上导出以三个塑性势函数表述的塑性应变增量公式。

作者在剖析传统塑性位势理论的基础上，提出以三个塑性势函数表述的塑性应变增量公式，可作为不考虑应力主轴旋转时的广义塑性位势理论。

并从基本力学概念出发，指出屈服函数与势函数必须相应，而不要求相等，相等只适用于金属情况。

郑颖人等又进一步发展建立了考虑应力主轴旋转情况下的广义塑性位势理论。

§4.1德鲁克(Drucker)塑性公设与伊留辛(Ильющин)塑性公设一、稳定与不稳定材料下图示出两类试验曲线。

在图a中，当∆σ> 0时，∆ε>0,这时附加应力∆σ对附加应变做功为非负，即有∆σ∆ε> 0。

这种材料被德鲁克(Drucker)称为稳定材料。

显然，应变硬化和理想塑性的材料属于稳定材料。

在图b所示的试验曲线上，当应力点超过p点以后，附加应力∆σ< 0，而附加应变∆ε> 0，故附加应力对附加应变做负功，即∆σ∆ε<0。

这类材料称为不稳定材料，应变软化材料属于不稳定材料。

图稳定与不稳定材料(a)稳定材料；(b)不稳定材料应当说明，德鲁克公设对稳定材料的定义只是充分条件，而非必要条件。

《土力学》考试大纲

《土力学》考试大纲学院（盖章）：力学与建筑工程学院负责人（签字）：专业名称：岩土工程，市政工程，供热、供暖气、通风及空调工程，防灾减灾工程，桥隧工程专业代码：081401、081403、081404、081405、081406考试科目代码：821 考试科目名称：土力学（一）考试内容试卷以单仁亮、李德建编著的《土力学简明教程》（机械工业出版社）为蓝本，内容涵盖该教材的第1至第8章。

试卷重点考查的内容包括：1。

土的物理性质和工程分类土的形成，土的三相组成，土的结构与土体构造，土的三相比例指标的测定及计算，土的物理状态指标，地基土的工程分类。

2。

土的渗透性和渗流土的渗透性，达西定律，渗透系数的测定及影响因素，层状土的渗透系数计算，流网在渗流中的作用，不同条件下渗透力的计算，渗透破坏的类型及其判别。

3。

土体中的应力计算地基中的自重应力与附加应力计算，集中力以及不同分布荷载作用下土体中的应力分布，角点法，饱和土体中的有效应力原理，自重应力下的有效应力计算。

4。

土的压缩性与地基沉降量计算土的压缩特性及压缩性指标，地基沉降量计算，饱和土体渗流固结理论，地基沉降与时间的关系。

5。

土的抗剪强度莫尔—库伦强度理论，抗剪强度指标的测定，孔压系数，应力路径与破坏主应力线，不同抗剪强度指标的分析与选用。

6。

挡土墙上的土压力挡土墙和土压力的概念，土压力的分类，静止土压力的计算，朗肯土压力理论，库伦土压力理论，常见情况的主动土压力计算，挡土墙类型与土压力计算。

7。

地基承载力和土坡稳定性地基承载力和地基破坏形式，地基的临塑荷载、临界荷载和极限荷载，地基极限承载力的一般计算公式，太沙基地基极限承载力。

土坡稳定及其影响因素，无粘性土坡的稳定分析，粘性土坡的稳定分析（瑞典圆弧法，瑞典条分法，毕肖普法）。

8。

土在动力荷载作用下的力学性质动荷载的作用类型，动荷载对土体的作用特点，土的动应力-应变关系，土的动剪切模量和阻尼比，土的动强度和动变形，土的压实，土的振动液化。

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岩土的力学性质介于理想固体和理想流体之间，其应力应变关系既不遵守胡克定律，也不遵守牛顿黏性定律，而是遵守介于它们之间的某种关系。

利用分数阶微积分理论给出了恒应变率加载情况下的土应力应变关系。

关系式显示应力应变之间也呈乘幂函数关系，说明岩土分数阶应力应变关系能够为岩土应变硬化指数理论提供理论基础。

E-mail: yindeshun@ 。

根据轴向应变达到15%前13()σσ−是否出现峰值，将岩土的应力应变关系分为应变硬化型和应变软化型两类[5]。

而现有的岩土力学只是根据三轴试验结果简单地将岩土材料分为应变硬化型和应变软化型，至今还没反映岩土应变硬化能力的参数，这使人们不能很好地认识岩土材料的力学性能。

比如，常规三轴试验可以得到两种土样的应力应变曲线，如图1（a ）所示（一种土样为实线，另一种土样为虚线），由于它们破坏时应力相同，所以它们可以得到相同的莫尔应力圆，也───────基金项目：中央高校基本科研业务专项资金资助项目收稿日期：2009–01–16第5期殷德顺，等. 岩土应变硬化指数理论及其分数阶微积分理论基础 763有相同的强度指标c 和ϕ，如图1（b ）所示。

但是，这两种土样在加载过程中应力应变曲线的弯曲程度却无法体现，而应力应变曲线的弯曲程度是岩土应变硬化能力的表现，它反映了材料的塑性，也直接反映了材料依靠自身硬化抵抗变形的能力大小。

如果能够获得反映岩土应变硬化能力的参数，不但有助于了解岩土的塑性性能，也有助于指导地基的合理承载等具体工作。

图1 应力应变关系曲线和强度包络线 Fig. 1 Stress-strain curves and strength envelope为得到简单、理论明确的应变硬化参数，本文提出岩土应变硬化指数理论，并通过岩土分数阶应力应变关系建立岩土应变硬化指数理论的理论基础，希望通过岩土应变硬化指数来反映岩土材料应变硬化能力。

1 岩土应变硬化指数理论1.1 金属材料拉伸变形应变硬化指数Hollomon [6]于1944年提出了描绘金属塑性拉伸变形的经验指数方程：n K σε= ， (1)并将应变硬化指数n 的概念引入了塑性工程力学领域。

从此，人们对于金属塑性成形性能的试验研究就从单纯的唯象观测推进到理论分析阶段。

随着汽车工业的发展，对金属薄板材料的拉胀成形性、类超塑性能提出了较高的要求，而应变硬化指数n 值因其本身所具备的代表材料抵抗持续变形能力的力学本质成为了评价金属板材冷成形性能的关键指标。

对于符合乘幂硬化规律的材料，n 值高低直接反映了材料发生颈缩前依靠硬化使材料均匀变形的能力大小，n 值不仅有助于了解材料的塑性加工性能，而且对于冲压成形件的合理选材也具有指导意义。

宋玉泉[7]通过理论推导和试验测量发现，应变硬化指数只在恒应变速率条件下才是常数， Holfomon 方程是恒应变速率条件下的本构方程，其中n 值的确切涵义是恒应变速率条件下的应变硬化指数。

1.2 岩土应变硬化指数理论岩土常规三轴试验13()σσ−–1ε曲线的形状与金属拉伸试验形状比较接近，如果将金属塑性拉伸变形的经验指数方程引入到岩土中，进而得到岩土的应变硬化指数，将有助于我们更好地区别不同应变硬化型岩土的力学性质。

因此，本文提出岩土应变硬化指数理论，该理论假定岩土三轴试验的应力应变曲线符合乘幂函数关系，其乘幂即为岩土应变硬化指数，关系式如下：131n K σσε−= ， (2)其中，应变硬化指数n 就是能够反映岩土应变硬化性能的参数，它的大小能够说明岩土的硬化程度，指数越大岩土均匀变形抗力越大。

对于应变硬化指数n 较小的土体，如果增加其承载，将会产生较大变形，所以，工程人员可以根据应变硬化指数n 的大小来合理布置荷载。

应变硬化指数n 是一个材料参数，当n =1时，它说明材料是理想固体，应力应变关系符合胡克定律，当n ＜1时，说明材料偏离理想固体逐渐变“软”，对于岩土而言，n 在0到1之间。

宋玉泉[8]依据材料均匀变形能力说明n 不能为0；笔者认为只有牛顿流体的应力硬化指数才能为0（根据牛顿黏性定律），除非岩土变成牛顿（理想）流体，否则岩土的应变硬化指数也不能为0。

需要说明的是公式（2）中的1σ为轴向应力，3σ为径向应力，1ε为轴向应变。

式（1）和式（2）描述轴向应力应变关系，因为在三轴固结剪切试验中，认为土样长时间固结后3σ不再产生变形，岩土试样固结后的轴向应变仅由13σσ−产生，所以，式（2）适用于三轴固结剪切试验。

2 乘幂函数应力应变关系的验证根据岩土应变硬化指数理论，岩土材料三轴试验应力应变曲线符合乘幂函数关系，该理论是否成立，只要验证三轴试验曲线能否用乘幂函数曲线拟合，或者证明13ln()σσ−–1ln ε曲线能否拟合成直线即可。

用取自南京的软土土样进行常规三轴压缩试验，得到应力应变关系如图2所示。