中学几何研究与教学(部分习题答案)

D1 A1
∴ D1E // BF 又 D1 E ⊂ 平面AD1 E, BF ⊄ 平面AD1E
∴ BF // 平面 AD1 E 又 G 是棱 DA 的中点∴ GF // AD1 又 AD1 ⊂ 平面 AD1 E， GF ⊄ 平面 AD1 E ∴ GF // 平面 AD1 E 又 BF ∩ GF = F ∴平面 AD1 E // 平面 BGF
第二节 几何作图 的基本知识
第三节 常用的作图方法
1、定圆外有两个定点，求作定圆的一直径，使其两端点分别到定点的距离相等。 已知定圆⊙O，圆外两定点 A、B,求作定圆的一 直径 DE，使得点 D、E 到 A、B 的距离分别相等。 作法：⑴连接 AB； ⑵过圆心 O 作 MN 平行 AB； ⑶过圆心 O 作 MN 的垂直平 分线，交 AB 于 F,交圆 O 于 D、 E； ⑷知 DE 即为所求的直径。
E
n( x, y, z ) ⊥ BE , n( x, y, z ) ⊥ BD 即
B
n( x, y, z ) • BE =0 n( x, y, z ) • BD =0
2 2 y ,z） • (-1,-1,0)=0 得 x=1,y=-1,z=-1. 即 n =（1，-1,-1） (x ,y ,z)
C
•( − 1 ,-1, 1 )=0 且 （x ,
(Ⅱ)∵ AA1 = 2 ∴ AD1 = A1 A2 + A1D12 = 5 ,同理 AE = 2, D1 E = 3
∴ AD12 = D1 E 2 + AE 2 ∴ D1 E ⊥ AE ∵ AC ⊥ BD , AC ⊥ D1D ∴ AC ⊥ 面 BD1
又 D1 E ⊂ 平Байду номын сангаас BD1 ,∴ AC ⊥ D1 E
1 2
B B A B l B l
B l B
，其中 B1 是 B 关于直线 l 的对称点。
d
AB
=
( x1− x ) + ( y1− y )
2
2
2
d A B = ( x 2− x ) + ( y 2− y )
1
2
只要证明 d A B1
= d AB
,就说明符合条件的点 B 1 就在图像上。 − ⎡( x 2 − x ) + ( y − y ) ⎤ ) + ( y1− y ) ⎤ ⎥ ⎣ ⎢ 2 ⎥ ⎦ ⎦
2、求作一正三角形，使它的顶点分别在三个已知的同心圆上。 已知三个同心圆 O 1 、O 2 、O 3 。求作正三角 ABC,使其顶点 A、 B、 C 分别在三个圆上。 作法：⑴在⊙O 1 一点 A，由 A 作直径 AH 交圆 O 2 于 H， ⑵以 A 为中心，旋转角为 60° ，作旋转变换，且
H⎯ ⎯→ H ′ ，即 AH ′ = AH , ∠HAH ′ = 60° ;
故
A1D ⊥ 面 ACD
又
A1D ⊂ 面 A1DC
C1 B1
F E ｄ G D Ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ
则 A1DC 平面 ⊥ ADC 平面 . 3．在直四棱住 ABCD − A1 B1 C1 D1 中， AA1 = 2 ，底面是边长 为 1 的正方形， E 、 F 、 G 分别是棱 B1 B 、 D1 D 、 DA 的中点. (Ⅰ)求证：平面 AD1 E // 平面 BGF ; (Ⅱ)求证： D1 E ⊥ 面 AEC . 证明 : 1. 证明:(Ⅰ)∵ E , F 分别是棱 BB1 , DD1 中点 ∴ BE // D1 F且 BE = D1 F ∴四边形 BED1 F 为平行四边形
第五章 立体几何研究与教学
第一节 立体几何的投影与视图
1. 何谓中心投影和平行投影？ 答： 安中心投影法做出的投影称为中心投影；按平行投影法做出投影称为平面 投影。 2. 何谓三视图？它们都分别反映了空间物体的什么?它们之间的联系是什么？ 答：三视图分别为主视图，俯视图，左视图。其中水平投影面的正投影，叫做
2 1 1 2 2 2 2 2
d
2
AB
−d
2
= ⎡( x1− x ⎢ A B1 ⎣
= ( x 2 − x1)(2 x − x1 − x 2) + ( y − y )(2 y − y − y ) 其中
∴ − =0 即 d AB d AB 1 2 半径为定长的动圆，切于一个定圆，则定圆圆心的轨迹是定圆的两个同 心圆，其半径分别等于动圆与定圆的半径之和及差。
bh + ch − 2ah ； a+b ⑵过点 O 平行于 AB 的直线 FG ,与 AD 相交于 F ,与 BC 相交于 G 直线 FG 为所求作的线段。
5、已知两线段之差及积，求作这两线段。 已知两条线段 AB, CD 的长度分别为 x 、 y ，知 x + y = a, xy = b ，求 x, y 。 ⎧x + y = a 作法：⑴联解方程 ⎨ ， ⎩ xy = b ⎧ a + a 2 − 4b ⎪x = ⎪ 2 ⑵解得 ⎨ ； 2b ⎪y = ⎪ a + a 2 − 4b ⎩ ⑶线段 AB, CD 即为所求的两条线段。
（ 5-16） 注：φ=8 解： (1)由已知直径 d=8 ，则 r=4 (2)设体积为 v 由 v=4π r /3=256π/3 5. 设一圆柱体的三视图如图 5-17，试求此柱体的体积。 注：半径为 5 高为 8 解： 设圆柱的体积为 v， 底面面积为 s ， 高为 h 由 V=sh 得 v=200π
俯视图；正立投影面的正投影，叫做主视图；侧投影面的正投影，叫做左视图。 物体的三视图两两之间，都存在着一定的联系，而不是各自独立的，即主视图与 左视图有相同的高度，主视图与俯视图有相同的长度，左视图与俯视图有相同的 宽度。 3. 画出一个铆钉的三视图
（3 图分别是主视图 .俯视图.左视图） 4. 一个球体的主视图如图 5-16，试试求半径和体积。
C1 A1
B1
解：建立如图所示的坐标系 A-XYZ 设 AB=1 （1） 则 C1(0,1,2)，D(1,0,1)，A(0,0,2)， C(0,1,0).
���� ��� � 故 CD (1,-1,-1), AC (0,1,-2).
D
故
C
B
A
����� ���� � ����� ���� � C1D A1C −1 + 2 15 cos〈C1D, A1C 〉 = ����� i ���� = � = 15 3⋅ 5 C1D A1C
2 3 2
x + y = (r 1−r 3)
满足这个条件的动圆都在以半径为 r1 – r3,且
圆心为坐标原点的圆上。
3 夹在定三角形的两边之间，且平行与第三边的线段，其中的的轨迹是第 三边上的中线。 证明：完备性 线段 GK EF MN 都平行于 AB， H O P 是线段 GK EF MN 的中点， 连接 H O P 并延长且交于 C，交 AB 于 D 点，其中 MN ∥AB，D 是这些中的的延长线上 的一点，从而可以证明 D 也是 AB 的中的，于是，所有平行与底边的线段的中 的连线 CD 是 ABC 的中线。 纯粹性： S 是 CD 上的任意一点， H O P 分别是线段 GK EF MN 设 CD 是 ABC 的中线， 的中的。假设 S 是 CD 与 EF 的交点，则 S 在 EF 上。由于 S 是中线上的一点， ES=SF；O 是 EF 的中的， EO=OF。由此可以证得 O 与 S 是重合的。 由于 S 是中线 CD 上的任意一点， 且S又 是线段的中的，则 S 可以与所有线段中的重 合， 从而就可以证明所有在图形上的点都会满 足条件。
形
⑵ ∆DEF 即为所求三角形。
4、求作一条直线，平行于已知梯形的底边，且平分其面积。 已知梯形 ABCD , AB // DC , BE ⊥ DC. 且 AB = a, DC = b, BE = h ， 求作一条直线 FG , 使得 FG // AB, 且 S 梯形 ABGF =S 梯形 FGCD 。 作法:⑴在线段 BE 上作一点 O ，使 BO = x =
中学几何研究与教学
------郑州大学出版社 席高文，许梦日 (部分习题)
第四章 几何轨迹与几何作图
l
第一节 轨迹问题的探 求与证明
1 给定两点 A 和 B, l 为通 过点 A 的定直线，则 B 关于直 线 l 的对称点的轨迹，是一个点 A 为中心，以 AB 为半径的圆。 解：设 A 记 ( x , y ), B ( x1, y ), B1( x 2, y )
⑶过 H ′ 作圆 O 2 的切线交圆 O 3 于 C，连接 AC； ⑷点 B 为点 C 在旋转变换的原象。 三角形 ABC 即为所求作的正三角形。 24、求作已知弓形的内接正方形。 已知弓形 AB。求作弓形 AB 的内接正方形。 作法：⑴在弧 AB 上任取一点 D ′ ; ⑵由 D ′ 作 D ′E ′ ⊥ AB 于 E ′ ; ⑶由 D ′ 作 D ′G ′ // AB, 且 D ′E ′ = D ′G ′ ⑷由 G ′ 作 G ′F ′ ⊥ AB 于 F ′ ； ⑸连接 AG ′ ,并延长 AG ′ 交 AC 于 G; ⑹由 G 作 GF ⊥ AB 于 F； ⑺由 G 作 GD//AB 于 D; ⑻由 D 作 DE ⊥ AB 于 E。 矩形 DEFG 为所求作的图形。 3、作已知三角形的内接三角形，使各边与三定直线平 行。 已知 ∆ABC ,直线 a、b、c。求 ∆ABC 的内接三角 ∆DEF ，使 DE //a， DF //b， EF //c。 作法 : ⑴在 ∆ABC 内，作 DE // a, DF // b, EF // c ；
D
A
由于 n
• PA =(1,-1,-1) •(0,1,-1)=0
则 n ⊥ PA ，又 PA 不在平面 EDB 中 则 P A∥平面 EDB （ 2）设 ED 与面 ABCD 所成角为α，由于 PD ⊥ 面 ABCD 则 Sinα= Cos PD , ED =