曲线与方程的教学反思
“曲线与方程”的教学实践与反思
“曲线与方程”的教学实践与反思深圳中学郭慧清2008年10月17日~19日，在嘉兴，那是思绪飞扬与心情澎湃的日子．尽管西塘古镇那通向久远的小巷故事伴着轻风潜入记忆滋润着心灵，但脑海中却总想着自己要送给孩子们什么？是“曲线的方程”？还是“方程的曲线”？或者是别的什么？在第七次课题研讨会上，笔者以“曲线与方程”为课题进行了教学设计并进行了教学实践．本文是根据教学设计实施后，通过两次重新设计与教学实践再写出的反思，希望能为一线教师的教学提供参考．第一部分教学反思在秀州中学上完课后，看着自己眼前的那群孩子，内心充满遗憾．那一刻，我甚至在想，自己要是能留在秀州中学一段时间该多好！虽然感慨万千，但现在想来，最想写下来的有以下几点：1．了解学生基本情况是进行教学设计和实施教学的重要条件在设计和实施教学时，笔者不仅关注概念的形成，而且充分关注知识间的联系以及知识所体现出来的思想方法．但是，如果设计离学生原有的认知环境、认知水平有较大差异的话，在教学实施时是很难达到预期目标的．因此，进行教学设计时，了解学生是非常重要的．例如，原设计中的“引子”是想让学生体会坐标法在刻画点中的重要作用，为将曲线与方程之间的对应关系转化为“点”与“坐标”之间的对应关系作准备．但是“引子”中的聚会地点是深圳市的某个位置，秀州中学的学生是不熟悉的，讲解时学生脑子中根本没有这个位置，所以教师费了较多的时间来说明环境，这是不可取的．又如，原设计[问题1]中“台风”发生后轮船航道是否需要变化的问题，是学生在《数学2》中学习过的问题，设计的意图是想让学生在回顾的基础上重新认识“试验”的方法不可取，建立坐标系后可以通过考察直线与圆的方程所组成的方程组是否有解来解决问题，让他们体会坐标法的重要作用，为曲线与方程的学习提供兴趣与动力．但教学中发现不少学生对这个问题不了解（似乎没有学习过一样），被提问的学生回答说“把台风范围与航道画在纸上就能看出有没有危险”，这说明学生没有用坐标法思考问题的意识，这也就使得实现原设计的意图费时耗力．如果学生学习《数学2》时对这个问题所渗透的思想方法有深刻印象，或者课前让学生重新回顾了《数学2》上的这个问题，课堂上是可以做到更流畅地实现意图的．当然，从这个问题也能看到，教学中思想方法的渗透是多么重要！再如，原设计中的[问题2]的设计意图，一方面是想为归纳曲线与方程提供特例，另一方面，我们知道曲线上的点的几何特征是求曲线方程的重要基础，而直线是没有定义的，因而直线上的点的几何特征难以表述，因此，这里试图以向量方法来刻画直线上的点的几何特征，以方便求出直线的方程，并从“统一性”的角度说明直线方程的形式是二元一次方程．在实际教学中，我们看到学生对两个向量平行的坐标刻画方式是不熟悉的，这也为课堂教学增加了难度．由此可见，应充分重视了解学生、根据学生的认知水平设计问题的重要性．如果是给自己不了解情况的学生上课，教学设计中的问题应在能达到目标的前提下尽可能简单．2．数学内容的地位与作用决定教学目标，教学目标的份量产生教学重点如果不明确教学过程中的数学内容，或者不明确数学内容的地位与作用，我们就不可能制定出恰当的教学目标，就不可能通过教学培养学生的能力与素质．因此，对教学内容的解析，不仅可以明确内容中所涉数学概念的核心是什么，概念是否是核心概念，而且还是确定教学目标的依据．但有些情况下教学目标是不唯一的，不同目标在教学中所占的份量（或比重）也是不同的．因此，按照各教学目标所占的份量来产生教学重点就是一件自然的事情．笔者认为，应该在对教学目标进行解析时给出教学重点．例如，对曲线与方程的内容进行分析后，我们确立了四个教学目标（见后），在对目标进行解析时，我们指出了目标中的（1）、（2）分别为第一课时、第二课时的教学重点．3．教学过程的设计，必须紧密围绕教学目标（特别是教学重点）设计问题串引导学生思考是教学过程设计的重点之一，设计的指导思想是有利于以最小的教学资源（如教学时间）来达成教学目标，也就是说所设计的问题必须紧密围绕教学目标，必须始终关注学生的知识构建和思想方法的提炼．例如，在曲线与方程的第一课时中，我们的问题始终是围绕“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念形成（也是第一课时的教学重点）来设计的；而在曲线与方程的第二课时中，我们的问题就是围绕“求曲线的方程，并证明方程就是曲线的方程”（也就是第二课时的教学重点）来设计．在对原设计进行修改时，第一课时删去原来的[问题1]，增加[问题2]、[问题3]、[问题6],修改原来的[问题3]为现在的[问题4]，并把原来的[问题2]作为第二课时的[问题10]，第二课时设置[问题11]、[问题12]、[问题14]，就是基于上述原因．4．教学支持条件不应仅是客观条件（如信息技术），更重要的是学生的认知基础就本节课而言，学生对函数及其图象的了解，以及在《数学2》的学习中对直线方程和圆的方程的了解均是现在学习曲线与方程的重要支持条件．同时，学生对向量知识与向量运算的掌握程度，也是教学设计得以顺利实施的重要条件．如果没有这些基础，学生对曲线与方程的理解会更困难，也直接影响到教学过程的设计与实施．第二部分反思后的教学设计一、教学内容与内容解析1．内容：（1）曲线的方程与方程的曲线的概念；（2）求曲线的方程；（3）坐标法的基本思想.其中（1）、（3）为第一课时的内容，（2）、（3）为第二课时的内容．2．内容解析：“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容．这一内容既是直线与方程、圆与方程理论的一般化，也是进一步学习椭圆、双曲线、抛物线的指导思想．尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但是更为重要的是使人们通过坐标系这座桥，可以利用方程以及代数的运算来研究曲线，这正是这一内容成为数学的核心概念的原因，也是曲线与方程这一概念的核心之所在．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.事实上，研究曲线与方程的过程，就是把曲线的几何特征转化为代数中的数量关系，并通过代数中的运算等方便手段，处理已得到的数量关系来得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有惟一的方程，任何方程也都有惟一确定的曲线(或点集)．曲线与方程之间的一一对应的关系，是通过曲线上的点所成的集合与方程所有解所成的集合之间存在一一对应关系来建立的．因此，曲线的方程是曲线的惟一表示．这种表示，不仅为我们研究曲线提供了方便，还为人们表达自己的思想观点提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素养．二、教学目标与目标解析1．目标：（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.（4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想．2．目标解析：教学目标（1）、（4）是第一课时应该完成的目标，其中（1）是教学重点；（2）、（3）、（4）是第二课时应该完成的目标，（2）是教学重点．教学时，落实好目标（1）、（2）和（3）是实现教学目标（4）的前提与保证.学生通过函数及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.教学目标（3）是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，这应该是实现教学目标（4）的一种较好的方法．三、教学问题诊断分析1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题，也是第一课时的教学难点. 这个教学问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是第二课时的教学难点．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因此教学时可适当使用信息技术工具以解决这个问题.4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.四、教学支持条件1．在进行曲线与方程的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数及其图象，在数学必修2中学习了直线的方程与圆的方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要条件，因此教学时应予以充分注意，引导学生多进行归纳与概括.2．向量是刻画直线的几何特征、位置关系以及进行运算的重要工具，学生在数学4时学习了平面向量，这就使其成为学习本内容的重要支持．3．曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，图形计算器或几何画板是重要的支持条件，教学时充分注意这一条件，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析.五、教学过程设计第一课时[问题1]如果你邀请朋友在你所在城市的某餐馆聚会，你会怎样告诉他（她）聚会地点？例如，如果聚会地点在“深圳市笋岗路南，宝安路东的澳葡街”（如图一），你会怎样说？（图一）（图二）意图：通过建立平面直角坐标系，用坐标来刻画点的位置，为后面用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，同时让学生体会坐标法思想．师生活动：教师提出问题让学生思考，然后通过建立平面直角坐标系，给出聚会地点的坐标（如图二）．[问题2]请你先在纸上画出一条直线与一个圆，然后与你同桌同学所画的图形进行比较，你们所画的图形一致吗？如果要大家画的直线与圆都一样，然后研究直线与圆的位置关系，该怎么办？意图：通常情况下，不同学生画出的图形是不一致的．如果是在平面直角坐标系中，只要给出了直线与圆的方程，那么不同学生画出的直线与圆应该是一样的位置关系，提此问题主要是让学生增加曲线与方程的感性认识，并由此认识坐标系的重要作用，进一步体会坐标法思想．师生活动：（1）教师提出问题后让学生先画一条直线与一个圆，然后同桌进行比较．（2）给出直线与圆的方程分别为、，然后让学生在同一坐标系（两轴上的单位长为1 cm）中画出图形．（3）计算圆心与直线的距离，并回答直线与圆的位置关系．（4）学生回答问题．[问题3]为什么说方程表示一、三象限的平分线？意图：学生已经知道平面直角坐标系中的点与坐标是一一对应的，也知道方程确实可以表示一、三象限的平分线，但并不知道这是为什么，而这正是本节课要学习的内容．因此，本问题是为引出曲线与方程的概念作准备．师生活动：（1）教师提出问题后让学生说说“为什么表示一、三象限的平分线？”（2）指出：一、三象限的平分线上的点组成集合，方程的全部解组成集合，那么P、Q之间有什么关系呢？（3）通过说明P、Q之间存在一一对应关系，让学生体会方程与一、三象限的平分线可以互相表示的原因．[问题4]我们知道，圆心在(0,1)，半径为2的圆C可用方程表示，可这是为什么呢？意图：通过对本问题的研究，让学生发现圆与其方程之间的关系和直线与其方程之间的关系完全类似，以此丰富学生对曲线与方程的认识，为归纳得出曲线与方程的概念作进一步的准备．师生活动：（1）教师结合讲解给出下列过程：设点是圆C上任意一点，则，因此，即的坐标是方程的解．反过来，设是方程的解，则，即．所以，对应的点M满足，即点M在(0,1)为圆心，2为半径的圆C上．（2）给出，，帮助学生体会到：P、Q之间存在一一对应关系．[问题5]对一般的曲线与方程，你能给出方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线的概念吗？意图：让学生在归纳概括[问题3]、[问题4]的基础上，给出曲线的方程与方程的曲线的概念.师生活动：（1）让学生先思考，然后教师引领学生阅读教科书上的“定义”，给出曲线的方程与方程的曲线的概念：如果曲线C上的点的坐标都是方程f (x,y) = 0 的解；反过来，以方程f (x,y) = 0 的解为坐标的点都是曲线C上的点，那么，方程f (x,y) = 0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f (x,y) = 0的曲线.（2）教师引导学生总结出：若，，则“方程f (x,y) = 0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f (x,y) = 0的曲线”等价于“P、Q之间存在一一对应关系”．[问题6]我们知道，直线x-y = 0上的点到两坐标轴的距离相等，你认为到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是否为x-y = 0？意图：让学生根据曲线与方程的概念来判断，以此加深对概念的理解，并得到“方程是曲线的方程”或“曲线是方程的曲线”否定方法．师生活动：（1）学生思考、交流，发现“直线x-y = 0上的点到两坐标轴的距离相等”，但是，发现点（－1,1）到两坐标轴的距离相等，但（－1,1）的坐标不是方程的解，而是方程的解．（2）得出结论：“到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程不是x-y = 0，而是”．（3）在教师启发下，帮助学生总结出“方程是曲线的方程”或“曲线是方程的曲线”的否定方法：若曲线C上存在点，其坐标不是方程f (x,y) = 0 的解，或方程f (x,y) = 0存在解为坐标的点不是曲线C上的点，则方程f (x,y) = 0不是曲线C的方程，曲线C也不是方程f (x,y) = 0的曲线.（4）学生完成教科书P37练习第1题，并将题中的“中线AO（O为原点）所在直线的方程”修改为“中线AO（O为原点）的方程”后，提问学生结论有无改变？（5）学生完成P37练习第2题．[问题7] 你能画出函数的图象吗？图象上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征？是否具有这些几何特征的点都在图象上？意图：在一定意义上，这个问题是[问题6]的延续,用以帮助学生巩固刚得到的认识，进一步体会如何判断“方程不是曲线的方程”或“曲线不是方程的曲线”．同时使学生认识到，用解析式表示的函数与其图象之间的关系，其实就是方程与曲线之间的关系，以此可以丰富并巩固对曲线与方程之间的关系的认识.师生活动：（1）师生画出函数的图象（可以利用信息技术工具）．（2）学生思考“图象上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征”，利用信息技术工具探究，可能归纳出的几何特征是“图象上的点到两坐标轴的距离的乘积是常数”．（3）学生思考：“到两坐标轴的距离的乘积是常数的点都在图象上”吗？（4）师生得出“到两坐标轴的距离的乘积是常数的点的轨迹方程是”．（5）证明所得结论，完成教科书P35例1．[问题8]你能说说本节课学习的主要内容是什么吗？意图：对本节课进行总结，并以此帮助学生归纳与概括学习内容．师生活动：让学生明确本节课主要研究的内容是：（1）满足怎样的条件，方程f (x,y) = 0与曲线C的可以互相表示？（2）怎样证明一个方程是曲线的方程，或曲线是方程的曲线？第二课时[问题9] 阅读教科书P35“2．1．2求曲线的方程”的第一段内容，你能得出什么结论？意图：明确解析几何研究的基本内容：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质．师生活动：学生阅读教科书并提炼回答内容，请学生回答，教师点评．教师指出，本节课的主要任务是求曲线的方程．[问题10]我们知道，在平面直角坐标系中，经过点，且方向向量为的直线是惟一确定的，你能求出这条直线的方程吗？怎么说明你所求得的方程就是这条直线的方程呢？意图：直线是没有定义的，因此要想像圆那样把直线上的点所满足的几何特征表达出来是一件困难的事情，但[问题10]蕴含了刻画直线上的点应满足的几何特征的一种方式，并且这种方式具有普遍意义．同时，[问题10]还给出了求曲线方程的最重要的环节：将曲线上的点应满足的“几何特征”等价转化为点的坐标应满足的“数量关系”.师生活动：（1）教师引导学生复习两个向量平行的刻画方式：在平面直角坐标系中，若，则（2）教师讲解：设点是所求直线上的任一点，则点应满足的几何特征是：．因此，所求直线可以看成点集．因为，又，所以．设，下面证明所求的直线方程为：．①设点是所求直线上的任一点，由上面的过程知点的坐标是方程①的解；反过来，设是方程①的解，由于以上每一步都可逆，所以对应的点在所求直线上．所以，方程①就是所求的直线方程．（3）教师引导学生对[问题10]中的直线进行分析，然后指出：方程①可以表示平面直角坐标系中的任意一条直线，由此可以看到：任何直线的方程均是二元一次方程，任何一个二元一次方程均表示直线．[问题11] 如果给出A，B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点P到A,B的距离相等. 你知道动点P 的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？意图：学生通过已学知识知道，本问题中的点的轨迹是直线（而且是线段AB的垂直平分线），他们可能会用中点公式求出线段AB的中点，并通过求出AB的斜率而得出直线的斜率，最后用直线的点斜式写出直线方程．但如果问学生：为什么问题中的点的轨迹是直线？如果所求轨迹不是直线，你怎么能用求直线方程的方法去求呢？很有可能学生回答不出原因来，这就为用求曲线方程的一般方法求出轨迹方程，并用[问题10]的结论说明“点P的轨迹是直线”提供了可能．这个问题的另一个意图是让学生体会求曲线方程的步骤．师生活动：（1）教师给出问题后问学生：你知道点P的轨迹是什么吗？你会怎样求出点P的轨迹？（2）如果学生是用求线段AB的中垂线的方式求出点P的轨迹方程，那么问点P的轨迹为什么是线段AB的中垂线？（3）教师按教科书P35例2 的方式求出点P的轨迹方程，并按定义证明自己的结论．[问题12] 已知A，B 是平面上两个定点，动点P到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？意图：［问题11］可以让学生体会到求曲线方程的基本步骤，但由于问题中已经建立了坐标系，所以步骤不完整．本问题的一个重要作用就是让学生体会如何建立平面直角坐标系，并以此完善求曲线方程的步骤．师生活动：（1）让学生比较［问题12］与［问题11］有什么相同点与不同点．（2）让学生尝试着建立平面直角坐标系，体会建立平面直角坐标系的要点．（3）教师帮助学生总结出以下两种建立坐标系的方式：（4）师生一起总结建立坐标系的要点：如果曲线（或轨迹）有对称中心，通常以对称中心为原点；如果曲线（或轨迹）有对称轴，通常以对称轴为坐标轴；尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上.[问题13] 你能简要地说出求曲线方程的步骤吗？意图：帮助学生总结求曲线方程的基本步骤，并了解各个步骤的地位与作用．师生活动：通过引导学生归纳总结［问题11］与［问题12］的求解过程，得出下列求曲线方程的步骤：(1)建系设点：设动点M的坐标为（x,y）；(2)写出集合：P={M|p(M)}；(3)写出方程：根据p(M）写出f(x,y)=0;(4)化简方程：化f(x,y)=0为最简形式；(5)验证结论：解为坐标的点在曲线上.[问题14]已知平面上的线段的长为，动点位于线段所在直线的同一侧，且向线段所张的角恒为，动点的轨迹是否有有限长度？若有，你能求出其长度吗？意图：学生通过平面几何知识可以知道动点的轨迹是一段圆弧，但他们并不知道这是为什么，或者说很难由平面几何的方法证明他们的结论．通过求曲线方程的方法，我们可以得出点的轨迹方程，并可由方程说明轨迹是一段圆弧．因此，本问题可以让学生更深刻地感受曲线与方程之间的关系，体会求曲线的方程的重要意义不仅在于寻求曲线的表示，而且在于研究曲线的性质．师生活动：（1）教师讲解：以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则，．设点在x轴的上方，坐标为，则点的集合为．由于因为所以所以，点的坐标满足方程；反过来，由于上述的步骤均可逆，所以方程①的解作为坐标的点都在集合P中．所以，点的轨迹方程是①，点的轨迹是一段以2为半径的圆弧，它的长度是整个圆的．因此，动点的轨迹的长度为（2）提问学生，有无其它建立坐标系的方法使点的轨迹方程更简单，更简单的原因是什么？。
双曲线及其标准方程的教学反思
双曲线及其标准方程的教学反思双曲线及其标准方程在本节课中，我选择了一些实际问题作为研究素材，将数学应用于实际生活，让学生能够在学习过程中体会到学习数学的乐趣，增强他们的应用意识和创新意识。
而且注重培养学生的动手操作能力，并将探索结果与学生的日常生活相联系，充分地调动学生学习的积极性和主动性。
例如：学习了双曲线后，让学生用自己学到的知识解决日常生活中的实际问题。
学生在课堂上有说有笑，积极性很高，一个个都争先恐后的举手发言。
这就是我所设计的课堂氛围。
总的来说，本节课的教学是成功的，我所执教的班级的学生是优秀的。
学生通过对图形的观察、操作、思考与交流，获得了知识和技能，也发展了空间观念、几何直观和数形结合思想。
在教学中，注重利用现代信息技术，发挥计算机的优势，突出了“做数学”，开发了学生潜能，培养了他们的数学兴趣。
本节课，我根据教材特点，重视双曲线的教学。
在教学中，引导学生通过观察、猜测、试验等活动进行探索，鼓励学生提出问题，学生独立思考、大胆猜测、踊跃发言，课堂气氛很活跃。
同时通过对本节内容进行反复的训练，使学生熟练掌握了双曲线的有关概念和性质，能正确求出双曲线的方程。
双曲线在现实世界中具有广泛的背景，与生活有着紧密的联系。
在这样的背景下，对本节内容进行深入的挖掘和拓展，是本节课的最大亮点。
让学生感受到学习数学的价值和意义。
通过教学实践，我认为应从以下几方面去把握： 1、这一次的教学是成功的，但在教学中，还有许多不尽人意的地方。
例如：对教材的挖掘不够。
没有真正体现数学知识来源于生活，又服务于生活。
2、备课不充分。
虽然有足够的备课时间，但是教案准备的还不够充分，没有很好地体现课改精神。
例如，我对教学目标的预设不足。
对学生没有很好地把握。
3、由于对学生的基础估计不足，致使部分学生对本节课失去兴趣，产生厌学情绪，我没有及时地进行补救措施，收效甚微。
今后我要继续努力，刻苦钻研教材，注意提高自身素质，做到因材施教，让每位学生都能体验成功的喜悦。
《求曲线的方程》的教学反思
教学文档
（求曲线的方程）的教学反思
一、以“问题链〞为主线,激活学生思维
精心设计“问题链〞，是让学生在研究、解答问题中猎取数学知识的关键. “问题链〞不仅为学生的探究学习搭建了平台，努力援助学生用自己的眼光去汲取和开展数学知识、提升学习能力；更能使学生很好地研究和掌握求曲线的方程的方法〔如探究一的“问题链〞〕；也更能援助学生进一步加深对解析几何本质的理解：用代数方程去研究几何图形.
二、生为主体，探究知识的发生过程
在课堂教学中，学习是学习者的行动、感受、体验，是任何人替代不了的.让学生动手实验、自主探究、合作交流的学习方法是新课程所倡导的，也是本节课让每个学生对求曲线的方程方法和技巧内化的一个过程.尤其是对数学概念、定理、法则的理解的易错处〔如3.4即时反应的第—题，斜率要存在〕肯定要让学生自主探究，老师绝不能一讲到底，只有让学生探究了错误的原因，才能预防犯错、提升解题能力.
三、意学法、解题及运算指导，培养学生学习能力
本节课是圆锥曲线的方程的连续，故对求曲线的方程的方法的提炼总结显得尤为重要.对课堂上在求曲线的方程的运算时，学生个体出现的错误更需要及时指出来，预防下次再错，培养了学生的学习、解题能力.
四、用（几何画板），促进学生数与形的结合
利用几何画板可以将探究一、二中轨迹追踪出来，使得几何图形中的结论直观化、形象化.有利于老师化解难点，促进学生数与形的完美结合，让学生进一步体会曲线与方程的定义.也能激发学生对几何结论的探究欲望.
五、足之处
对例题的标准板书还不够，今后教学中要注意和重视例题的示范作用.
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《圆锥曲线及其标准方程》教学反思
《圆锥曲线及其标准方程》教学反思圆锥曲线及其标准方程教学反思背景圆锥曲线是数学中重要的概念之一，它在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
在本次教学中，我主要讲授了圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程以及它们的性质和特点。
教学目标本次教学的主要目标是帮助学生掌握圆锥曲线的基本概念及其标准方程，理解它们在实际问题中的应用，培养学生的几何思维能力和数学建模能力。
教学内容我采用了简洁清晰的教学方式，首先介绍了圆锥曲线的定义和分类，然后重点讲解了圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程及其几何性质。
我结合生动的例子和图示，使学生能够更好地理解和记忆这些概念和方程。
教学方法为了达到教学目标，我采用了多种教学方法。
首先，我使用了板书和投影仪展示标准方程和图示，使学生可以清晰地看到并理解概念。
其次，我设计了一些互动的问题和练，激发学生的思维，培养他们的解决问题的能力。
同时，我鼓励学生积极参与课堂讨论，并提供实际问题的应用案例，帮助他们将所学内容与实际生活相结合。
教学效果通过本次教学，我发现学生对圆锥曲线的理解和掌握程度有所提高。
他们能够较好地区分不同类型的圆锥曲线，并能够根据标准方程绘制图形。
在解决实际问题时，学生也能够灵活运用所学的知识，进行数学建模和分析。
反思与改进尽管本次教学取得了一定的成效，但我也发现了一些问题和不足之处。
首先，部分学生对于推导圆锥曲线标准方程的过程不够理解，需要更详细的解释和练习。
其次，部分学生对于圆锥曲线的应用还不够熟悉，需要更多的实例演练和应用训练。
针对这些问题，我将进一步优化教学内容，增加更多的练习和案例分析，帮助学生深入理解和掌握圆锥曲线及其标准方程。
“曲线与方程”数学教学实践反思
“曲线与方程”数学教学实践反思本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！2008年10月17日~19日，在嘉兴，那是思绪飞扬与心情澎湃的日子．尽管西塘古镇那通向久远的小巷故事伴着轻风潜入记忆滋润着心灵，但脑海中却总想着自己要送给孩子们什么？是“曲线的方程”？还是“方程的曲线”？或者是别的什么？在第七次课题研讨会上，笔者以“曲线与方程”为课题进行了教学设计并进行了教学实践．本文是根据教学设计实施后，通过两次重新设计与教学实践再写出的反思，希望能为一线教师的教学提供参考．第一部分教学反思在秀州中学上完课后，看着自己眼前的那群孩子，内心充满遗憾．那一刻，我甚至在想，自己要是能留在秀州中学一段时间该多好！虽然感慨万千，但现在想来，最想写下来的有以下几点：1．了解学生基本情况是进行教学设计和实施教学的重要条件在设计和实施教学时，笔者不仅关注概念的形成，而且充分关注知识间的联系以及知识所体现出来的思想方法．但是，如果设计离学生原有的认知环境、认知水平有较大差异的话，在教学实施时是很难达到预期目标的．因此，进行教学设计时，了解学生是非常重要的．例如，原设计中的“引子”是想让学生体会坐标法在刻画点中的重要作用，为将曲线与方程之间的对应关系转化为“点”与“坐标”之间的对应关系作准备．但是“引子”中的聚会地点是深圳市的某个位置，秀州中学的学生是不熟悉的，讲解时学生脑子中根本没有这个位置，所以教师费了较多的时间来说明环境，这是不可取的．又如，原设计[问题1]中“台风”发生后轮船航道是否需要变化的问题，是学生在《数学2》中学习过的问题，设计的意图是想让学生在回顾的基础上重新认识“试验”的方法不可取，建立坐标系后可以通过考察直线与圆的方程所组成的方程组是否有解来解决问题，让他们体会坐标法的重要作用，为曲线与方程的学习提供兴趣与动力．但教学中发现不少学生对这个问题不了解（似乎没有学习过一样），被提问的学生回答说“把台风范围与航道画在纸上就能看出有没有危险”，这说明学生没有用坐标法思考问题的意识，这也就使得实现原设计的意图费时耗力．如果学生学习《数学2》时对这个问题所渗透的思想方法有深刻印象，或者课前让学生重新回顾了《数学2》上的这个问题，课堂上是可以做到更流畅地实现意图的．当然，从这个问题也能看到，教学中思想方法的渗透是多么重要！再如，原设计中的[问题2]的设计意图，一方面是想为归纳曲线与方程提供特例，另一方面，我们知道曲线上的点的几何特征是求曲线方程的重要基础，而直线是没有定义的，因而直线上的点的几何特征难以表述，因此，这里试图以向量方法来刻画直线上的点的几何特征，以方便求出直线的方程，并从“统一性”的角度说明直线方程的形式是二元一次方程．在实际教学中，我们看到学生对两个向量平行的坐标刻画方式是不熟悉的，这也为课堂教学增加了难度．由此可见，应充分重视了解学生、根据学生的认知水平设计问题的重要性．如果是给自己不了解情况的学生上课，教学设计中的问题应在能达到目标的前提下尽可能简单．2．数学内容的地位与作用决定教学目标，教学目标的份量产生教学重点如果不明确教学过程中的数学内容，或者不明确数学内容的地位与作用，我们就不可能制定出恰当的教学目标，就不可能通过教学培养学生的能力与素质．因此，对教学内容的解析，不仅可以明确内容中所涉数学概念的核心是什么，概念是否是核心概念，而且还是确定教学目标的依据．但有些情况下教学目标是不唯一的，不同目标在教学中所占的份量（或比重）也是不同的．因此，按照各教学目标所占的份量来产生教学重点就是一件自然的事情．笔者认为，应该在对教学目标进行解析时给出教学重点．例如，对曲线与方程的内容进行分析后，我们确立了四个教学目标（见后），在对目标进行解析时，我们指出了目标中的（1）、（2）分别为第一课时、第二课时的教学重点．3．教学过程的设计，必须紧密围绕教学目标（特别是教学重点）设计问题串引导学生思考是教学过程设计的重点之一，设计的指导思想是有利于以最小的教学资源（如教学时间）来达成教学目标，也就是说所设计的问题必须紧密围绕教学目标，必须始终关注学生的知识构建和思想方法的提炼．例如，在曲线与方程的第一课时中，我们的问题始终是围绕“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念形成（也是第一课时的教学重点）来设计的；而在曲线与方程的第二课时中，我们的问题就是围绕“求曲线的方程，并证明方程就是曲线的方程”（也就是第二课时的教学重点）来设计．在对原设计进行修改时，第一课时删去原来的[问题1]，增加[问题2]、[问题3]、[问题6],修改原来的[问题3]为现在的[问题4]，并把原来的[问题2]作为第二课时的[问题10]，第二课时设置[问题11]、[问题12]、[问题14]，就是基于上述原因．4．教学支持条件不应仅是客观条件（如信息技术），更重要的是学生的认知基础就本节课而言，学生对函数及其图象的了解，以及在《数学2》的学习中对直线方程和圆的方程的了解均是现在学习曲线与方程的重要支持条件．同时，学生对向量知识与向量运算的掌握程度，也是教学设计得以顺利实施的重要条件．如果没有这些基础，学生对曲线与方程的理解会更困难，也直接影响到教学过程的设计与实施．第二部分反思后的教学设计一、教学内容与内容解析1．内容：（1）曲线的方程与方程的曲线的概念；（2）求曲线的方程；（3）坐标法的基本思想.其中（1）、（3）为第一课时的内容，（2）、（3）为第二课时的内容．2．内容解析：“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容．这一内容既是直线与方程、圆与方程理论的一般化，也是进一步学习椭圆、双曲线、抛物线的指导思想．尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但是更为重要的是使人们通过坐标系这座桥，可以利用方程以及代数的运算来研究曲线，这正是这一内容成为数学的核心概念的原因，也是曲线与方程这一概念的核心之所在．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.事实上，研究曲线与方程的过程，就是把曲线的几何特征转化为代数中的数量关系，并通过代数中的运算等方便手段，处理已得到的数量关系来得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有惟一的方程，任何方程也都有惟一确定的曲线．曲线与方程之间的一一对应的关系，是通过曲线上的点所成的集合与方程所有解所成的集合之间存在一一对应关系来建立的．因此，曲线的方程是曲线的惟一表示．这种表示，不仅为我们研究曲线提供了方便，还为人们表达自己的思想观点提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素养．二、教学目标与目标解析1．目标：（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.（4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想．2．目标解析：教学目标（1）、（4）是第一课时应该完成的目标，其中（1）是教学重点；（2）、（3）、（4）是第二课时应该完成的目标，（2）是教学重点．教学时，落实好目标（1）、（2）和（3）是实现教学目标（4）的前提与保证.学生通过函数及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.教学目标（3）是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，这应该是实现教学目标（4）的一种较好的方法．三、教学问题诊断分析1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题，也是第一课时的教学难点.这个教学问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是第二课时的教学难点．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因此教学时可适当使用信息技术工具以解决这个问题.4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.四、教学支持条件1．在进行曲线与方程的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数及其图象，在数学必修2中学习了直线的方程与圆的方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要条件，因此教学时应予以充分注意，引导学生多进行归纳与概括.2．向量是刻画直线的几何特征、位置关系以及进行运算的重要工具，学生在数学4时学习了平面向量，这就使其成为学习本内容的重要支持．3．曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，图形计算器或几何画板是重要的支持条件，教学时充分注意这一条件，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！。
《双曲线及其标准方程》教学反思
《双曲线及其标准方程》教学反思今天下午在高二（8）班讲了《双曲线及其标准方程》，这节课总体感觉教学效果不错。
在上完这堂课后，我认真的反思了我的这堂课，在以下几个方面为我以后的教学指明了方向。
1.教学回顾：课前，我反复阅读了教材和课程标准，针对教材的内容，编排了一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来。
课上，首先从椭圆的定义出发，引出本节课的第一个问题“平面内到两个定点距离的差是一个定长的点的轨迹是什么呢？”，让学生亲历知识发生的过程。
其次通过几何画板展示双曲线的形成，得到双曲线上的动点满足的几何条件“（为常数，且）”，从而得到双曲线的定义，让学生感受知识发展的过程。
然后通过问题“类比椭圆标准方程的建立过程，说说怎样建立适当的坐标系，求双曲线的方程呢？”引出双曲线的标准方程的推导过程并引导学生进行化简。
最后是对例题的处理，让学生通过个人、集体的方式解决问题，提高了学生主体的合作意识，达到了设计中所预想的目标。
2.成功之处：（1）深入研究教材。
备课时，我阅读了四遍教材和两次课程标准，较好地熟悉了教学内容，为本节课突破教学重点难点完成教学目标提供了基础。
（2）以学生为主体，教师为主导。
以问题为主线，让学生积极主动的去解决问题。
期间遇到较难问题时，适时的进行引导。
总体感觉学生参与的程度还可以，基本上可以按要求完成任务。
（3）多媒体的运用。
教材中的拉链实验操作起来不方便，因此我利用几何画板动态演示平面内到两定点距离之差为常数的点的轨迹，直观地展示了双曲线的形成过程，让双曲线更形象，更让学生可以接受。
合理和有效的利用多媒体动画和画图使本节课的教学更有动感，更具直观性。
（4）及时发现和解决学生的问题。
这节课在讲解例题时，受空间限制，只叫了一名学生进行板演。
虽然该学生最后的结果是对的，但是，当我提到这个答案是否可以作为参考答案时，一名学生指出了答案的不足之处——“”和“∴”不能同时运用，强调要规范答题，这也是本节课的一个亮点。
“曲线和方程”的教学设计与体会
程 厂（ ） ０的 曲线” 则 甲是 乙 的 ， 一 ，
件 ．充 分不 必 要条 件 ） （
条
掌 握 了“ 线 的 方 程 ” “ 程 的 曲线 ” 定 曲 和 方 的
义 ， 会 定 义 时 ， 牢 记 ｉ 和 ．） 者 缺 一 不 可 ． 领 要 ） １两
・
问题 ２ ３ 若命 题 “ ． 曲线 Ｃ上 的 点 的 坐标 满 足 方程 （ ） ” ｚ， 一Ｏ 是正 确 的 ， 下列 命题 中正确 则
方 程 的定 义．
解 为 坐标 的点 都在 直线 上．
问题 １ ３ 在 判 断 曲线 的方 程 时 ， 对“ 线 ． 针 直 上 含 有坐标 不 是方 程 的解 的点”应 作何 规定 ？ 引导 学生 回答 ：直 线上 的点 的坐 标都 是这 个 “
方 程 的解 ” ．
问题 ２ １ 问题 １ １中方程 （ ） ２ （ ）分别 ． ． １ （）３ 表示 什么 曲线 ？ （ 略） 小结 ： 曲线上 的点 的坐标 都是这 个方 程 的 ①“ 解 ” 阐 明曲线 上没 有 坐 标 不 满 足方 程 的点 ， ， 即是 说 曲线 上所 有 的点都 符合 这个 条件 而无 一例 外．
让 学 生 明确 为 什 么要 研 究 曲 线
与 方程 的 目的 ， 了解 来龙 去脉 ， 解其 引入 的必要 理
给 定 曲线 Ｃ与二元 方 程ｆ（ ） ， 满 足 ： ｘ， 一Ｏ 若
ｉ 曲线 Ｃ上 点 的坐标 （ ） 是 方程 ｆ ｘ， ） ｚ， 都 （
新课
） ０的解 ； 一
问题 １ ４ 在判 断 曲线 的方 程 时 ， ． 针对 “ 以方
②“ 以这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都 在 曲 线 上 ” 阐 明符 合条 件 的所有 点都 在 曲线上 而无 一遗 ，
高中数学“曲线与方程”的教学反思
“曲线与方程”的教学反思一、对教学设计的再思考本内容包含“曲线与方程”和“求曲线的方程”。
前一小节引入“曲线的方程”和“方程的曲线”概念,并通过概念的简单应用，使学生初步理解概念；后一小节给出求轨迹方程的一般步骤和方法，通过求轨迹方程帮助学生进一步理解、掌握曲线方程的概念.在先前的教学设计中，主要考虑贯彻教材编写意图问题，注重利用学生在学习“直线的方程”“圆的方程”中建立的已有经验，通过适当的问题引导学生学习，这样的安排充分注意了学生已有的认知基础，有利于学生主动构建概念。
我认为这样的设计对学生理解概念、发展能力都有积极意义，但做好这一点必须有充足的时间让学生进行归纳、思考、总结. 从实际的教学情况来看,在概念的引入上是比较成功的,学生在课堂中的表现和教学设计的预设比较一致,这是设计中值得肯定的一面.先前的设计的不足主要是没有充分重视轨迹方程的求解过程.要完整地体现教材的编写意图,在重视概念形成发展过程的同时还需要重视习题内容的处理.我们来看教材中的一个习题(37页练习3):如图,已知点的坐标是,过点的直线与轴交于点,过点与直线垂直的直线与轴交于点.设点是线段的中点，求点的轨迹方程.这个问题的解答途径主要有两种:（1）用和有公共的斜边这一特性,得出点到定点及的距离相同,得出所求的轨迹就是线段的垂直平分线,因此可以利用例2的方法来求解;（2）引入一个参数,设直线的斜率为,然后根据已有的知识将点的坐标用来表示,最后消去参数.这两种方法学生都比较陌生,前一种解法的“平面几何味道”很浓,有一个转化的过程;后一种解法主要是用参数方程的思想,学生没有接触过,没有可以模仿的例题,独立解决有困难,需要教师的铺垫与归纳.同样，学生独立完成教科书上的习题也有一定的难度。
因此，课堂教学中，通过例题有效地帮助学生体会到“曲线与方程”中蕴含的数学思想和方法是非常重要的任务.鉴于上述分析,应将求轨迹方程的方法列入教学的重点和难点,但一个课时无法完成教学任务，需要增加一个课时.二、对教学设计的调整基于上面的思考，现将教学设计作一个调整，将本节内容改成两节课完成，两节课的内容安排如下：第一课2.1.1曲线与方程的全部内容加上2.1.1求曲线的方程例2;第二课例3结合作业分析,归纳几种主要的求轨迹方程的方法.下面是修改后的教学设计：（一）课前预习在上课前一天布置学生复习回顾下列内容，并思考：从中可以归结出哪些观点？片断1数学2第三章中直线与方程的章头语：……通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。
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“曲线与方程”的教学反思
上海曹杨二中桂思铭（200062）
一、对教学设计的再思考
本内容包含“曲线与方程”和“求曲线的方程”。
前一小节引入“曲线的方程”和“方程的曲线”概念,并通过概念的简单应用，使学生初步理解概念；后一小节给出求轨迹方程的一般步骤和方法，通过求轨迹方程帮助学生进一步理解、掌握曲线方程的概念.
在先前的教学设计中，主要考虑贯彻教材编写意图问题，注重利用学生在学习“直线的方程”“圆的方程”中建立的已有经验，通过适当的问题引导学生学习，这样的安排充分注意了学生已有的认知基础，有利于学生主动构建概念。
我认为这样的设计对学生理解概念、发展能力都有积极意义，但做好这一点必须有充足的时间让学生进行归纳、思考、总结. 从实际的教学情况来看,在概念的引入上是比较成功的,学生在课堂中的表现和教学设计的预设比较一致,这是设计中值得肯定的一面.
先前的设计的不足主要是没有充分重视轨迹方程的求解过程.要完整地体现教材的编写意图,在重视概念形成发展过程的同时还需要重视习题内容的处理.我们来看教材中的一个习题(37页练习3):
如图,已知点的坐标是,过点的直线与轴交于点,过点与直线垂直的直
线与轴交于点.设点是线段的中点，求点的轨迹方程.
这个问题的解答途径主要有两种:
（1）用和有公共的斜边这一特性,得出点到定点及的距离相同,得出所求的轨迹就是线段的垂直平分线,因此可以利用例2的方法来求解;
（2）引入一个参数,设直线的斜率为,然后根据已有的知识将点的坐标用来表示,最后消去参数.
这两种方法学生都比较陌生,前一种解法的“平面几何味道”很浓,有一个转化的过程;后一种解法主要是用参数方程的思想,学生没有接触过,没有可以模仿的例题,独立解决有困难,需要教师的铺垫与归纳.
同样，学生独立完成教科书上的习题也有一定的难度。
因此，课堂教学中，通过例题有效地帮助学生体会到“曲线与方程”中蕴含的数学思想和方法是非常重要的任务.
鉴于上述分析,应将求轨迹方程的方法列入教学的重点和难点,但一个课时无法完成教学任务，需要增加一个课时.
二、对教学设计的调整
基于上面的思考，现将教学设计作一个调整，将本节内容改成两节课完成，两节课的内容安排如下：
第一课 2.1.1曲线与方程的全部内容加上2.1.1求曲线的方程例2;
第二课 例3结合作业分析,归纳几种主要的求轨迹方程的方法.
下面是修改后的教学设计:
(1) 课前预习
在上课前一天布置学生复习回顾下列内容，并思考：从中可以归结出哪些观点？
片断1 数学2第三章中直线与方程的章头语：
……通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。
……建立直线方程.然后通过方程,研究直线的有关性质…….
片断2 第四章 圆与方程的章头语
……建立圆的方程.通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系.
片断3 数学2中第97页的思考栏目
（1）平面直角系中的每一条直线都可以用一个关于、的二元一次方程来表示吗？
（2）每一个关于、的二元一次方程都能表示一条直线吗？
(二)概念导入
1．通过投影呈现上述片断，让学生回答从中可以得出哪些主要信息?
(从上述片断中可以提炼出观点:①解析几何主要是通过方程来研究几何问题;②二元一次方程和直线间具有一一对应关系;③片断3也提供了建立方程和曲线联系的途径;④更一般的,可以先建立曲线的方程，通
过方程来研究曲线的几何性质.)
2.指出今天我们要学习的内容,板书标题 “曲线与方程”。
3.为了帮助学生给曲线的方程下定义,进一步提供以下问题:
(1)写出表示下列图形(实线部分)的方程：
(i) (ii)
(2)作下列方程所表示的图形：
(i); (ii).
(通过具体问题体会“纯粹性”和“完备性”。
教学中可根据学生的回答情况，通过追问的方式，在上述两点上帮助学生深入理解。
)
4.结合对前面问题的观察分析,请学生给曲线的方程下个定义：
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线(看作点的集合或某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
5.证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是.
(1)先用信息技术展示“与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹”，再引导学生分析，明确解题任务——要证明轨迹方程为，就是要证明两个命题：轨迹上的点的坐标满足方程，并且方程的解为坐标的点都在轨迹上;
(2)教师展示证明过程,帮助学生规范证明的书写,体会解题过程.
(三)求曲线的方程
1.对什么是求曲线的方程作简单讲解(结合前面的问题来讲解,明确求曲线的方程是要做什么工作，要注意哪些问题)。
2.通过投影显示例2的内容,请学生阅读例2,学习解题的方法(这里将直线看作点的轨迹), 并对照例2的解题步骤,写出求曲线方程的一般步骤.
(四)巩固练习
1.完成教科书第37页上的练习1.2,请学生谈谈这两个题主要帮助自己加深了对哪些问题的认识?
2.阅读37页上的练习3,教师用几何软件作轨迹图形(线段的垂直平分线)然后帮助学生形成解题的方法.
(设计说明：前面已分析了学生解这个问题的困难所在,先用软件作图的目的在于启发学生的思维,帮助学生形成解题策略,有了轨迹可以启发学生用平面几何的知识将问题进行转化,同时也可以对解题中为什么要引入参数,如何引入参数作一些必要的说明,让学生掌握解题的方法。
)
目标检测还是延用原来的内容.
家庭作业 习题2.1 的A组习题,再补充一个习题：
已知在长为线段上有一个动点,以、为边在的同一侧作等边三角形、,建立适当的坐标系,求线段的中点的轨迹方程.
(这个习题的目的是要求学生体会解析法的思想,体会运用参数求轨迹方程的方法。
)
三、对教学设计中“问题串”的思考
本课题在前期研究中确定，教学设计以问题串的形式进行，这种做法的实际意义在于：便于课题组成员之间相互借鉴,同时能促进设计者更好地思考、把握好教学的细节，在课后也便于总结回顾和修改.经过较长时间的对“问题串”设计的思考，我认为“问题串”可以有“串联”和“并联”两种模式：
串联模式并联模式
“串联模式”通常是将一个大的问题肢解成若干小问题，通过小问题引领学生步步深入而得出结论,其优势是针对性强,学生容易操作,缺点是不够开放,有时会产生“只见树木不见森林”的局面;而“并联模式”优势在于学生的独立思考空间较大，更有利于从整体上把握问题，但针对性不如前一种强.这两种模式各有特点,我们应根据实际的教学内容来合理的加以运用.
在本节课教学设计中，我希望学生能通过问题的引导自己得出结论，这就需要给学生提供适当的素材来帮助学习活动，进行概括总结。
在开始阶段，我要求学生回顾过去学过的相关内容，目的是为本课的学习提供一个比较开放的背景，使学生的思考活动有一个合适的出发点，知道要研究的问题是什么，可以通过怎样的方法去研究，从而使学生明确思考的方向。
在这个大背景下，再结合具体问题，进一步深入概念的本质。
因此，我设计的“问题串”相对比较开放。
在教学实施中，我还根据学生的实际情形，对“问题”作了一些调整和补充，从实施过程看，这种调整是必要的，教学效果是好的.。