§3.2.1几种函数增长快慢的比较之欧阳理创编
湘教版高中数学必修1：几何函数增长快慢的比较
【课标要求】
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长 的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
2．能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常 见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的 增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型 (指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)，了解函数 模型的广泛应用．
预习测评
1．下列函数中随 x 的增大而增长速度最快的是
A．y＝1010ex C．y＝x100
B．y＝100ln x D．y＝100·2x
答案 A
( )．
2．我国工农业总产值从1980年到2000年的20年间翻两番，设平
均每年的增长率为x，则有
( )．
A．(1＋x)19＝4
B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2
在(0，＋∞)上 的增减性
_递__增__函__数__
_递__增__函__数__
_递__增__函__数__
增长的速度
_增__长__速__度__ _越__来__越__快__
_增__长__速__度__ _越__来__越__慢__
相对平衡
图象的变化
随x的增大逐 渐_变__“__陡__”_
随x的增大逐 渐_趋__于__稳__定__
5．比较模拟函数的优劣，既要考虑到_误__差__最小，又要考虑生产 的_实__际__问题，比如增产的趋势和可能性．
6．把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为_数__学__模__型__ ，求出 模型的_解__，验证模型的_合__理__性_，并用该数学模型所提供的解 答来解释_现__实__问__题__ ，数学知识的这一应用过程称为 _数__学__建__模__ ． 对于现实中的实际模型，适当作出一些必要的简化和假设，运 用适当的数学工具得到一个数学结构．也可以说，数学建模是 利用_数__学__语__言__(符号、式子与图象)模拟现实的原型，把现实 原型_抽__象__、__简__化__为某种数学结构是数学模型的基本特征．它 或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状 况，或者能提供处理对象的最优决策或控制方案．
最新湘教版高中数学《几种函数增长快慢的比较》教学课件
一 几种函数增长快慢的比较
当底数a>1时，指数函数y=ax和对数函数y=logax都是增函数；我们早已熟 悉的一次函数y=kx+b，当k>0时也是增函数；幂函数y=xα，当α>0时是［0，+∞) 上的增函数. 这些函数的函数值y都随着自变量x的增长而增长．
增函数的共同特点是，函数值y随着自变量x的增长而增长．同为增长， 但增长的快慢可能不同．这好比赛跑，有冠军亚军，也有排不上名次的．
一 几种函数增长快慢的比较
可见，当幂指数大于1时，不论一次函数的一次项系数和常数项多么大， 只要自变量足够大，幂函数的增长就比一次函数快得多.
类似地，C组的函数总比D组增长得快． 总之，指数增长最快，对数增长最慢．
在区间(0，＋∞)上，a>1， a>0，总会存在一个x0，当x> x0时，就有logax<xa<ax.
一 几种函数增长快慢的比较
同一组的比赛容易分出高低，看图便知分晓． 从图4.5-2(1)看出，A组内，a越大跑得越快；E组内，a越小跑得越快． 从图4.5-2(2)看出，B组和D组一起比赛，都是α越大跑得越快．
图4.5-2
一 几种函数增长快慢的比较
现在来看C组，一次函数y＝kx＋b (k>0). 如果两个一次函数的一次项系数相等，只有常数项不同，则两个函数的差是常 数．起跑时在前面的永远在前面，领先距离永远不变．从图象上看，是两条平行直 线． 如果两个一次函数的一次项系数不相等，系数大的跑得就快．不管起跑时落后 有多少，系数大的总能后来居上，而且将遥遥领先．在方格纸上画几个一次函数的 图象便能看出这个规律. 小组选拔赛的情形一目了然．组与组之间的比赛呢？ 上面已经对B，D两组做了比较．
《几种函数增长快慢的比较》教学设计(精品)
几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.③结论x∈(04)时，2x＜x三个函数图象如下：备选例题例1 某人现在一笔资金x万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：第一种方案：存入银行，年利润Q1 = 0.018x；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q2 = 0.02x + 0.2；第三种方案：办工厂，年利润Q3 = 0.2x2 + 2x– 35；问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案.(2)投资10万元，选择哪种投资方案.【解析】 (1)投资4万元，则有：Q= 0.072；Q2 = 0.28；Q3 = – 23.8，1∴Q2＞Q1＞Q3∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q1 = 0.18；Q2 = 0.4；Q3 = 5，∴Q3＞Q2＞Q1，∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =. 当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费一致； 当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜； 当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.如意卡便民卡。
数学必修一2.5.1 几种函数增长快慢的比较(配湘教版)学案设计
2.5.1 几种函数增长快慢的比较一、学习目标1.回顾一次函数、指数函数、对数函数的图形和性质.2.研究、了解指数函数、对数函数、幂函数模型增长的变化规律.二、重、难点分析指数函数、对数函数、幂函数模型增长的变化规律.三、学习过程(一)自主预习阅读课本.对于直线y=kx+b(k≥0)，指数函数y=a x(a＞1)、对数函数y=log b x(b＞1)研究如下：(1)通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长的块，一次函数比对数函数增长的快.(2)通过计算器或计算机得出多组数据，结合函数图象进一步体会：直线上升，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的.随着自变量不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大的惊人，因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容.对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升的速度.(二)合作探究研究指数函数、对数函数、幂函数模型，得到这三类函数增长的变化规律我们知道，对数函数y=log a x(a＞1)，指数函数y=a x(a＞1)与幂函数y=x n(n＞0)在区间(0，+∞)上都是增函数，这三类函数的增长是有差异的.一般地，对于指数函数y=a x(a＞1)和幂函数y=x n(n＞0)，通过探索规律可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.对于对数函数y=log a x(a＞1)和幂函数y=x n(n＞0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，log a x的增长越来越慢，图象就像渐渐与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，在区间(0，+∞)上，尽管函数y=a x(a＞1)，y=log a x(a＞1)和y=x n(n＞0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，y=a x(a＞1)的增长速度越来越大，会超过并远远大于y=x n(n＞0)的增长速度.而y=log a x(a＞1)的增长速度则会越来越小.总会存在一个x0，有log a x＜x n＜a x.四、同步练习1.下列函数中，随x的增大，其增大速度最快的是( )A.y=0.001e xB.y=1000lnxC.y=x1000D.y=1000·2x解析：在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，底数越大，增长速度越快.答案：A.2.当且仅当( )，x2＞2x＞log2x.A.3＜x＜4B.x＞4C.0＜x＜2D.2＜x＜4解析：在同一坐标系中作出三个函数的图象，如图所示；由图象知，当0＜x＜2时，log2x＜x2＜2x成立，当2＜x＜4时，log2x＜2x＜x2成立，当x＞4时，log2x＜x2＜2x成立，所以满足x2＞2x＞log2x的x的取值范围是2＜x＜4.答案：D.五、自我测评1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数解析：由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型.答案： D2.试比较函数y=x200，y=e x，y=lgx的增长差异.解析：根据幂函数、指数函数、对数函数的图象特征，增长最慢的是y=lgx；当x较小时，y=x200要比y=e x增长得快；当x较时，y=e x要比y=x200增长得快.答案：根据幂函数、指数函数、对数函数的图象特征，增长最慢的是y=lgx，由图象(图略)可知随着x的增大，它几乎平行于x轴；当x较小时，y=x200要比y=e x增长得快；当x较大(如x＞1000)时，y=e x要比y=x200增长得快.六、小结指数函数、对数函数、幂函数模型增长的变化规律.。
3.2.1几种函数增长快慢的比较全面版
3.2.1⼏种函数增长快慢的⽐较全⾯版3.2.1 ⼏种函数增长快慢的⽐较（⼀）教学⽬标1．知识与技能（1）掌握⼏种常⽤函数增长快慢的⽐较⽅法（2）熟悉⼏种常⽤函数增长快慢的⼀般规律2．过程与⽅程利⽤函数图象，借助计算机列出⾃变量和函数值的对照表，⽐较⼏种常⽤函数增长的快慢，从⽽熟知常见函数增长快慢的⼀般性结论.3．情感、态度与价值观通过⼏种常见函数增长快慢的⽐较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（⼆）教学重点与难点重点：函数增长快慢⽐较的常⽤途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学⽅法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的⼏种常见函数增长快慢的⽐较，体会⽐较⽅法，掌握基本结论，从⽽培养应⽤基本⽅法⽐较函数增长快慢的能⼒.否相同？图象上⽅增长较快图象下⽅，．实例探究：验证进⾏探究①列表②作图③结论log2x＜x2，且log进⼀步探究y = x2与y = 20 1 2 3∈(0，2)时2x＞＜x2，x∈(4,+∞三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆例1 某⼈现在⼀笔资⾦x 万元⽤于投资，经过市场调查研究，有三种⽅案：第⼀种⽅案：存⼊银⾏，年利润Q 1 = 0.018x ；第⼆种⽅案：借给朋友投资，年利润Q 2 = 0.02x + 0.2；第三种⽅案：办⼯⼚，年利润Q 3 = 0.2x 2 + 2x – 35；问：(1)投资4万元，选择哪种投资⽅案. (2)投资10万元，选择哪种投资⽅案. 【解析】 (1)投资4万元，则有： Q 1 = 0.072；Q 2 = 0.28；Q 3 = – 23.8，∴Q 2＞Q 1＞Q 3 ∴选择第⼆种⽅案(2)投资10万元，则有：Q 1 = 0.18；Q 2 = 0.4；Q 3 = 5，∴Q 3＞Q 2＞Q 1，∴选择第三种⽅案.例2 为了发展电信事业⽅便⽤户，电信公司对移动电话采⽤不同的收费⽅式，其中所使⽤的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每⽉（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所⽰.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式；（2）请帮助⽤户计算，在⼀个⽉内使⽤哪种卡便宜. 【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代⼊y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =.当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费⼀致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满⾜⼀次函数关系，为此可采取待如意卡便民卡定系数法，求出具体的函数关系式，最后运⽤⽅程的思想求出关键点从⽽使问题得以解决. 图表题⽬的处理关键就在于正确理解其全部信息，运⽤合理的⽅法解决问题.。
课件2：3.2.1 几类不同增长的函数模型
号，把问题转化为数学模型的过程；解模时我们可以借 助计算机等数学工具对所建模型求解；由于应用问题本 身的繁杂性、开放性，根据自己理解所建立的模型也有 局限性，最后要对模型的解检验，或取或舍，或重新修 正模型，直到满意为止．有些问题还需要我们利用信息 技术收集数据、绘图、计算、拟合函数．
2．三种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长பைடு நூலகம்但又不会增长过快，也不会增长 到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的 变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增 长较快．
f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
(6分)
∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)． (8分)
∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2 012. 由图象知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)； 当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数. ∴f(2 012)>g(2 012)>g(8)>f(8)．
解：(1)当 t∈[0,1]时，函数的解析式为 y＝kt.
将 M(1,4)代入得 k＝4，∴y＝4t.
当 t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为 y＝(12)t－a.
将(3,1)代入得 a＝3.∴y＝(12)t－3.
4t，
0≤t≤1，
综上有 y＝f(t)＝12t－3， t>1.
(2)由 f(t)≥0.25，解得116≤t≤5. 所以服药一次治疗疾病的有效时间为 5－116＝41156(小时).
几种函数增长快慢的比较解读
3.2.1 几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.否相同？图象上方增长较快图象下方，．实例探究：验证进行探究①列表②作图③结论log2x＜x2，且log进一步探究y = x2与y = 20 1 2 3∈(0，2)时2x＞＜x2，x∈(4,+∞三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆例1 某人现在一笔资金x 万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案： 第一种方案：存入银行，年利润Q 1 = 0.018x ；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q 2 = 0.02x + 0.2； 第三种方案：办工厂，年利润Q 3 = 0.2x 2 + 2x – 35； 问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案. (2)投资10万元，选择哪种投资方案. 【解析】 (1)投资4万元，则有： Q 1 = 0.072；Q 2 = 0.28；Q 3 = – 23.8，∴Q 2＞Q 1＞Q 3 ∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q 1 = 0.18；Q 2 = 0.4；Q 3 = 5， ∴Q 3＞Q 2＞Q 1， ∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜. 【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =.当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费一致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待如意卡便民卡定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.。
《几种函数增长快慢的比较》教学设计(精品)
几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.③结论x∈(04)时，2x＜x三个函数图象如下：备选例题例1 某人现在一笔资金x万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：第一种方案：存入银行，年利润Q1 = 0.018x；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q2 = 0.02x + 0.2；第三种方案：办工厂，年利润Q3 = 0.2x2 + 2x– 35；问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案.(2)投资10万元，选择哪种投资方案.【解析】 (1)投资4万元，则有：Q= 0.072；Q2 = 0.28；Q3 = – 23.8，1∴Q2＞Q1＞Q3∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q1 = 0.18；Q2 = 0.4；Q3 = 5，∴Q3＞Q2＞Q1，∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =. 当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费一致； 当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜； 当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.如意卡便民卡。
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§3.2.1几种函数增长快慢的
比较
教学目标：（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法
（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般
规律
教学重点与难点：
重点：函数增长快慢比较的常用途径； 难点：了解影响函数增长快慢的因素. 教学方法：
合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见
函数增长快慢的比较，体会比较方法。
教学过程：
一、提出问题引入课题
观察函数4
x
y y =
=与在
[0，+∞）上的图象，说
明在不同区间内，
函数增长的快慢情况.在同一坐标中函数图象如右： 结论：若0＜x ＜
164
x 若x ＞164
x <
师：增函数的共同特点是函数值y 随自变量x 的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是
否相同？
师生合作观察研究函数4
x
y y =
=与的增长快慢.
①x ∈(0，16)时，y =的图象在
4
x y =
图象上方可知y =
增长较快
②(16,)x ∈+∞时，y =的图在
4
x y =
图象下方，可知
4
x y =
增长
较快
二、问题引入课题，激发学习兴趣. 幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法. 1．实例探究：
比较函数y =2x ，y = x 2，y = log 2x 的增长快慢. 方法：①作图，列表比较、验证
②应用二分法求2x = x 2的根，即y = 2x 与y = x 2的交点横坐标.
2．规律总结
①一般地，对于指数函数y =a x (a ＞1)和幂函数y =x n (n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x ＞x n .
②对于对数函数y=log a x(a＞1)和幂函数y= x n(n＞0)在区
+∞上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢.在x的
间(0,)
一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的
增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，
就会有log a x＜x n.
+∞上，尽管函数y = a x(a＞1)，y = log a x(a＞1)
③在区间(0,)
和y= x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而
且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y= a x(a＞1)的
增长速度越来越快，会超过并远远大于y= x n(n＞0)的增
长速度，而y= log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.
师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究
①列表
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8
y=2x 1.149 1.516 2 2.639 3.482 y=x2 0.04 0.36 1 1.96 3.24 y=log2x–2.322 –0.737 0 0.485 0.848 x 2.2 2.6 3.0 3.4 …
y=2x 4.595 6.063 8 10.556 …
y=x2 4.84 6.76 9 11.56 …
y=log2x 1.138 1.379 1.585 1.766 …
②作图
③结论
x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x.
进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢.
①列表
x 0 1 2 3 4 y=2x 1 2 4 8 16 y=x20 1 4 9 16 x 5 6 7 8 …
y=2x32 64 128 256 …
y=x225 36 49 64 …
②作图
③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜
时2x＞x2
x2，x∈(4,)
由特殊到一般探究规律
巩固练习
在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，
并比较其的增长情况：
（1）y=0.1e x–100,x∈[1,10]；
（2）y=20ln x+100,x∈[1,10]；
[1,10].（3）y=20x,x∈
三个函数图象如下：
由图象可以看到，函数（1）
以“爆炸”式的速度增长；函
数（2）增长缓慢，并渐渐趋
于稳定；函数（3）以稳定的
速率增加.进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.
时间：2021.03.05 创作：欧阳理。