几种常见函数的增长情况
几类不同增长的函数模型 课件
(2)如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需 要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数 关系图象，根据图象填空：
①通话2分钟，需付电话费________元．
②通话5分钟，需付电话费________元．
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间 的函数关系式为________．
几类不同增长的函数模型
常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不 变．
2．指数函数模型
能 利 用 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _指_ _数_ _函_ _数_ _(_底_ _数_ _a_>_1_)_ _ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 指 数 函
数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速 度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型 能 用 _ _ _ _ _ _ _对_ _数_函_ _数_ _(_底_数_ _a_>_1_)_ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 做 对
数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _越_ _来_越_ _慢_ _ ， 函 数 值 增 长 速 度 _____________．
函数模型的增长差异
(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝60x
B．y＝x60
C．y＝60x D．y＝log60x(x∈N*) (2)研究函数y＝0.3ex－3，y＝ln(x＋2)，y＝x2－2在[0，＋
∞)上的增长情况．
[思路探究] 1．处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？ 2．对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
学案3：4.5 增长速度的比较
4.5增长速度的比较学习目标核心素养1.了解和体会函数模型在实际生活中的广泛应用．(一般)2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较．(重点) 3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)1.通过三种不同增长的函数模型差异的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．借助函数模型的应用，提升数学建模核心素养.【自主预习】1．三种函数增长速度的比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度，会超过并远远y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度．(3)存在一个x0，当x>x0时，有.2．增长率问题日常生活中常见的问题，计算公式为y＝，若某月的产值是b，月增长率为p，则此月开始第n个月后的产值是.【基础自测】1．下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2 020x B．y＝x2 020C．y＝log2 020x D．y＝2 020x2．已知增函数f(x)的图像如图，则它的一个可能的解析式为()A．y＝2x B．y＝4－4x＋1C ．y ＝log 3(x ＋1)D ．y ＝x 13(x ≥0)3．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x ＞x 12＞lg xB ．2x ＞lg x ＞x 12C ．x 12＞2x ＞lg xD ．lg x ＞x 12＞2x4．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过________小时．【合作探究】【例1】(1)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )＞g (x )＞h (x )B ．g (x )＞f (x )＞h (x )C ．g (x )＞h (x )＞f (x )D ．f (x )＞h (x )＞g (x )(2)四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是哪一个？为什么？[思路探究] (1)根据指数函数、幂函数、对数函数的增长情况及指数函数的底数对其增长速度的影响来判断．(2)根据不同函数模型的增长特点来判断．【规律方法】三种函数模型的表达式及其增长特点(1)指数函数模型：表达式为f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0，b >0且b ≠1)，当b >1时，增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0<b <1时，函数值由快到慢地减小.(2)对数函数模型：表达式为f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m>0，a>0且a≠1)，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0<a<1时，相应函数值逐渐减小，变化得越来越慢.(3)幂函数模型：表达式为f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1，α>0)，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型.【跟踪训练】1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y2232 1 02432 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907关于x呈指数函数变化的变量是________．类型二三类函数图像的比较【例2】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．[思路探究]首先判断x1、x2的范围，再判断6和2 020在哪个区间内，从而得到f(6)与g(6)，f(2 020)与g(2 020)的大小．最后四个值进行排序．【规律方法】由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法,根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升的快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数. 【跟踪训练】2．(1)若－1＜x ＜0，则不等式中成立的是( ) A ．5－x ＜5x ＜0.5x B ．5x ＜0.5x ＜5－x C ．5x ＜5－x ＜0.5xD ．0.5x ＜5－x ＜5x(2)函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．①试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；②比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．类型三几类函数模型的应用【例3】 (1)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a ＞0且a ≠1)的图像．有以下叙述：①第4个月时，剩留量就会低于15；②每月减少的有害物质质量都相等；③若剩留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________．(2)某品牌茶壶的原售价为80元一个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下的方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个，……；如果一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个．乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．①分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；②该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？[思路探究](1)先求出解析式，再分别代入值求解．(2)根据题意先建立函数模型再求解．【规律方法】建立函数模型要遵循的原则(1)简化原则：,建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：,建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则：,建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.【跟踪训练】3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n＝P0(1＋k)n(k＞－1)，P n为预测人口数，P0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1＜k＜0，那么在这期间人口数()A．呈下降趋势B．呈上升趋势C．摆动变化D．不变【课堂小结】1．本节课的重点是掌握指数函数、对数函数、幂函数模型的增长差异及增长差异的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)常见函数模型的增长差异．(2)不同函数模型的选取标准．3．本节课的易错点是函数模型的选取．【当堂达标】1．我国工农业总产值从1999年到2019年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有()A．(1＋x)19＝4B．(1＋x)20＝3C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝42．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y13．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表所示：则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为________，________，________.4．试比较函数y＝x200，y＝e x，y＝lg x的增长差异．【参考答案】【自主预习】1．(1)增 (2)越来越快 大于越来越慢(3) a x >x n >log a x 2．N (1＋p )xb (1＋p )n【基础自测】1．A [比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.] 2．B [由于过(1,2)点，排除C ，D ；由图像与直线y ＝4无限接近，y ＜4，排除A ，所以选B.]3．A [结合y ＝2x ，y ＝x 12及y ＝lg x 的图像易知当x ∈(0,1)时，2x＞x 12＞lg x ．]4．3 [设1个细菌分裂x 次后有y 个细菌，则y ＝2x ，令2x ＝4 096＝212，则x ＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分钟)，即3小时．]【合作探究】【例1】(1)B [由函数性质可知，在区间(4，＋∞)，指数函数g (x )＝2x 增长最快，对数函数h (x )＝log 2x 增长最慢，所以g (x )>f (x )>h (x )．](2)[解] 最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x ，理由如下：显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x . 【跟踪训练】1．y 2 [从表格观察函数值y 1，y 2，y 3，y 4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．]【例2】[解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)∵f (1)＞g (1)，f (2)＜g (2)，f (9)＜g (9)，f (10)＞g (10)， ∴1＜x 1＜2,9＜x 2＜10，∴x 1＜6＜x 2,2 020＞x 2.从图像上可以看出，当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＜g (x )，∴f (6)＜g (6)． 当x ＞x 2时，f (x )＞g (x )，∴f (2 020)＞g (2 020)． 又∵g (2 020)＞g (6)，∴f (2 020)＞g (2 020)＞g (6)＞f (6)． 【跟踪训练】2．(1)B [画出y 1＝5－x ，y 2＝5x ，y 3＝0.5x 的图像如图，所以5x ＜0.5x ＜5－x .](2)[解] ①C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x . ②当x ＜x 1时，g (x )＞f (x )； 当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )； 当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )； 当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．类型三几类函数模型的应用【例3】(1)①③ [根据题意，函数的图像经过点⎝⎛⎭⎫2，49，故函数为y ＝⎝⎛⎭⎫23t，令t ＝4时，y ＝1681＜15，故①正确；令t ＝1时，y ＝23，减少13，当t ＝2时，y ＝49，减少29，每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y ＝12，14，18，解得t 1＝log 2312，t 2＝log 2314，t 3＝log 2318，t 1＋t 2＝t 3，故③正确．](2)[解] ①y 1与x 之间的函数关系式：y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋80x (0＜x ≤18，x ∈N *)，44x (x ＞18，x ∈N *)，y2与x之间的函数关系式：y2＝60x(x≥0，x∈N*)．②y＝y1－y2=当x＝10时，y＝y1－y2＝0，即y1＝y2；当1≤x＜10时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)＞0，即y1＞y2；当10＜x≤18时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)＜0，即y1＜y2；当x＞18时，y＝y1－y2＝－16x＜0，即y1＜y2.所以，当茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶的费用较少，当茶社购买数量为10个时，费用一样，当茶社购买这种茶具的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶的费用较少．【跟踪训练】3．A[若－1＜k＜0，则0＜1＋k＜1，结合P0＞0类指数函数P n＝P0(1＋k)n单调递减，即在这期间人口数呈下降趋势．]【当堂达标】1．D[本题为增长率模型函数，为指数函数形式：设1999年总产值为1，则(1＋x)20＝4.] 2．B[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图像(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图像依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]3．y3y2y1[通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，变量y3随x的变化越来越慢，为对数函数；y2随x的变化越来越快，为指数函数；y1随x 的变化速度介于指数函数与对数函数之间，为幂函数．]4．[解]根据幂函数、指数函数、对数函数的图像特征，增长最慢的是y＝lg x，由图像(图略)可知随着x的增大，它几乎平行于x轴；当x较小时，y＝x200要比y＝e x增长得快；当x较大时，y＝e x要比y＝x200增长得快．。
3.2.1几种函数增长快慢的比较
3.2.1 几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.否相同？图象上方增长较快图象下方，．实例探究：验证进行探究①列表②作图③结论log2x＜x2，且log进一步探究y = x2与y = 20 1 2 3∈(0，2)时2x＞＜x2，x∈(4,+∞三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆例1 某人现在一笔资金x 万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案： 第一种方案：存入银行，年利润Q 1 = 0.018x ；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q 2 = 0.02x + 0.2； 第三种方案：办工厂，年利润Q 3 = 0.2x 2 + 2x – 35； 问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案. (2)投资10万元，选择哪种投资方案. 【解析】 (1)投资4万元，则有： Q 1 = 0.072；Q 2 = 0.28；Q 3 = – 23.8，∴Q 2＞Q 1＞Q 3 ∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q 1 = 0.18；Q 2 = 0.4；Q 3 = 5， ∴Q 3＞Q 2＞Q 1， ∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜. 【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =.当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费一致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待如意卡便民卡定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.。
指数函数模型的生活中的例子
指数函数模型的生活中的例子指数函数模型是数学中的一种常见模型，可以用来描述某些现象或者过程的增长或衰减规律。
在我们的生活中，有许多例子都可以通过指数函数模型来解释和描述。
本文将介绍几个生活中常见的例子，并通过这些例子来理解指数函数模型的应用。
1. 人口增长模型人口增长是一个长期以来备受关注的问题。
指数函数模型可以用来描述人口增长的规律。
在指数函数模型中，人口数量随着时间的增加而指数级增长。
例如，某城市人口在初始时期为100万，年增长率为3%。
使用指数函数模型，我们可以得出人口数随时间增长的表达式为P(t) = 100万 * (1 + 0.03)^t，其中t为时间（年）。
利用这个模型，我们可以预测城市未来的人口数量，并制定合理的发展规划。
2. 财务投资模型财务投资是许多人关注的领域之一。
指数函数模型可以用来描述投资的增长规律。
例如，某投资项目的初始投资金额为1000万元，年化收益率为5%。
通过指数函数模型，我们可以计算出投资金额随时间的增长情况。
投资金额的表达式为A(t) = 1000万 * (1 + 0.05)^t，其中t为时间（年）。
利用这个模型，我们可以评估投资的回报率，并决定是否进行相应的投资。
3. 病毒传播模型疫情爆发时，病毒传播模型成为重要的研究方向。
指数函数模型可以用来描述病毒的传播速度和规模。
例如，某病毒的传染系数为1.1，即每个感染者平均会感染1.1个人。
通过指数函数模型，我们可以预测疫情的发展趋势。
疫情的增长可以用指数函数P(t) = P(0) * (1 + 1.1)^t 来描述，其中P(t)为时间t时刻的感染人数。
利用这个模型，可以对疫情的传播速度和规模进行评估，并采取相应的防控措施。
4. 化学反应速率模型化学反应速率也可以用指数函数模型来描述。
在某些反应中，反应物的浓度随着时间的推移呈指数级减少。
例如，一个化学反应的初始浓度为C0，反应速率常数为k。
反应物的浓度随时间的变化可以用指数函数模型C(t) = C0 * e^(-kt)来描述。
指数函数的定义与性质
指数函数的定义与性质指数函数是数学中一种重要的函数类型，它的定义和性质对于数学的学习和应用具有重要意义。
本文将介绍指数函数的定义以及其常见的性质。
一、指数函数的定义指数函数是以指数为自变量的函数，通常形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x 为指数。
底数为正数且不等于1时，指数函数存在且连续。
指数函数可以分为两种情况：1. 当底数a大于1时，指数函数呈现增长趋势。
随着指数x的增大，函数值f(x)也相应增大，增长速度逐渐加快。
例如，函数f(x) = 2^x，当x从负无穷逐渐增大时，f(x)的值也逐渐增大。
2. 当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现衰减趋势。
随着指数x的增大，函数值f(x)逐渐减小，衰减速度逐渐减慢。
例如，函数f(x) = (1/2)^x，当x从负无穷逐渐增大时，f(x)的值逐渐减小。
二、指数函数的性质指数函数具有以下几个常见的性质：1. 基本性质：指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0, +∞)。
当底数a大于1时，函数在整个定义域上是递增的；当底数a介于0和1之间时，函数在整个定义域上是递减的。
2. 对称性：指数函数具有对称性。
当底数a大于1时，函数f(x) = a^x关于y轴对称；当底数a介于0和1之间时，函数f(x) = a^x关于x轴对称。
3. 渐近线：指数函数在x轴的左侧有一条水平渐近线y=0。
当底数a大于1时，函数在x趋近于负无穷时，趋近于渐近线y=0；当底数a介于0和1之间时，函数在x趋近于正无穷时，趋近于渐近线y=0。
4. 运算性质：指数函数具有一些重要的运算性质。
当a和b为正数且不等于1时，有以下性质成立：(a^m) * (a^n) = a^(m+n)，即相同底数的指数函数相乘，指数相加；(a^m) / (a^n) = a^(m-n)，即相同底数的指数函数相除，指数相减；(a^m)^n = a^(m*n)，即指数函数的指数幂运算，指数相乘。
以上是指数函数的定义和常见性质的简要介绍。
常见函数的渐近线与性质
常见函数的渐近线与性质函数是数学中的一个重要的概念，它描述了变量之间的关系，并经常用于建模和分析不同的现象。
常见的函数有很多类型，比如线性函数、二次函数、指数函数等等。
不同类型的函数有不同的性质，其中一些最重要的便是函数的渐近线。
渐近线是指一个函数接近某些值时的趋势线。
对于线性函数，渐近线就是一个直线，而对于其他类型的函数，渐近线可以是其他形状。
渐近线在函数分析中非常重要，因为它们可以给出函数在不同输入下的行为，从而帮助我们更好地理解这些函数的性质。
接下来，我们将针对一些常见的函数类型，讨论它们的渐近线和一些相关的性质。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，它们的一般形式是y = mx + b，其中 m 和 b 是常数。
由于在平面直角坐标系中，线性函数的图像是一条直线，所以这种函数的渐近线也是一条直线。
如果一条直线的斜率与线性函数的斜率相同，那么这条直线就是线性函数的渐近线。
线性函数的渐近线有以下几个性质：1. 渐近线的斜率与线性函数的斜率相同。
2. 渐近线与线性函数的距离在无限远处趋近于零。
3. 当 x 趋近无限大时，线性函数与其渐近线的距离趋近于零。
这些性质表明，线性函数的渐近线可以描述该函数在进一步远离原点的过程中的行为。
二、二次函数二次函数是具有相同二次项和一次项的一类函数，一般形式是y = ax² + bx + c。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其渐近线可以是直线或者是双曲线。
二次函数的渐近线取决于该函数的二次项系数 a 的符号，以及它是否存在。
二次函数的渐近线有以下几个性质：1. 若 a > 0，则抛物线开口朝上，其渐近线是抛物线的对称轴。
2. 若 a < 0，则抛物线开口朝下，其渐近线不存在。
3. 当x 趋近无限大时，二次函数与其渐近线的距离趋近于无穷。
二次函数的渐近线可以给出该函数在进一步远离原点的过程中的行为。
三、指数函数指数函数是具有形式 y = a^x 的一类函数，其中 a 是常数，x 是变量。
几种函数增长快慢的比较
g(x)=a·
bx+c(a≠0,b>0,且 b≠1).哪个模型能更好地反映该公司生产量 y 与年份 x 的
关系?
方法指导
要选择最能反映该公司生产量 y 与年份 x 的关系式,应该分析各
函数的变化情况,通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相
增长速度
越来越快
不变
图象
本题考查了数学模型和直观想象的数学核心素养.
越来越慢
课前预学
课堂导学
某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来
的 x 倍,需经过 y 年,则函数 y=f(x)的图象大致为( D ).
解析 设该林区森林的原有蓄积量为 a,由题意可得 ax=a(1+0.104)y,故 y=log1.104x(x≥1),
B.y=2021
D.y=2021x
(2)下面对函数 f(x)=log 1 x,g(x)=
2
1
2
与 h(x)=-2x 在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( C ).
A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢
B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快
际问题.
课堂导学
课前预学
某汽车制造商在 2021 年初公告:公司计划 2021 年的生产目标定
为 43 万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
年份
2018
产量
8(万) 18(万) 30(万)
2019
2020
growth函数原理
growth函数原理Growth函数是一种用于衡量算法复杂度的数学工具，它可以帮助我们分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
Growth函数的原理是将算法的运行时间或空间占用与输入规模之间的关系表示为一个函数，这个函数通常是一个多项式函数。
通过分析这个函数的阶数，我们可以得到算法的复杂度。
Growth函数的定义如下：设f(n)是一个函数，n是一个正整数，那么f(n)的增长函数G(n)是一个非负函数，满足对于任意正整数n，都有f(n) ≤ G(n)。
也就是说，G(n)是一个比f(n)更大的函数，它可以表示f(n)的增长趋势。
Growth函数的常见形式有以下几种：1. 常数函数：G(n) = c，其中c是一个常数。
这种情况下，算法的时间复杂度和空间复杂度都是O(1)，即与输入规模无关。
2. 线性函数：G(n) = kn，其中k是一个常数。
这种情况下，算法的时间复杂度和空间复杂度都是O(n)，即与输入规模成线性关系。
3. 平方函数：G(n) = kn^2，其中k是一个常数。
这种情况下，算法的时间复杂度和空间复杂度都是O(n^2)，即与输入规模成平方关系。
4. 对数函数：G(n) = logn。
这种情况下，算法的时间复杂度和空间复杂度都是O(logn)，即与输入规模的对数成关系。
5. 指数函数：G(n) = a^n，其中a是一个常数。
这种情况下，算法的时间复杂度和空间复杂度都是O(a^n)，即与输入规模的指数成关系。
通过分析算法的增长函数，我们可以得到算法的复杂度。
例如，如果一个算法的增长函数是G(n) = n^2 + n + 1，那么它的时间复杂度和空间复杂度都是O(n^2)，因为n^2是增长函数中的最高次项。
总之，Growth函数是一种非常有用的工具，它可以帮助我们分析算法的复杂度，从而优化算法的性能。
在实际编程中，我们应该尽可能地选择时间复杂度和空间复杂度较低的算法，以提高程序的效率。
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几种常见函数的增长情况
在计算机科学中，我们经常要分析和比较不同函数的增长情况，以便
了解算法的效率和性能。
这种分析涉及到函数的增长率、渐近上界和下界，以及最坏情况运行时间等概念。
以下是几种常见的函数增长情况：
1.常数增长（O(1)）：
当一个算法的运行时间与输入规模无关时，我们称之为常数增长。
无
论输入是多少，算法的运行时间都保持不变。
例如，访问数组中一个固定
位置的元素，向集合中插入一个新元素，删除一个元素等，这些操作通常
都是常数时间。
2. 对数增长（O(log n)）：
对数增长是指当输入规模逐渐增加时，算法的运行时间也逐渐增加，
但是增长速率缓慢。
这种增长通常出现在二分算法、树和图的遍历等情况下。
对数增长的算法具有较好的时间复杂度。
3.线性增长（O(N)）：
线性增长的算法时间复杂度与输入规模成线性关系，即当输入规模翻
倍时，运行时间也翻倍。
例如，在一个包含N个元素的列表中进行线性，
需要遍历全部元素来找到目标元素。
4. 线性对数增长（O(N log N)）：
线性对数增长是指当输入规模逐渐增加时，算法的运行时间增长速度
介于线性增长和对数增长之间。
这种增长模式常常出现在排序算法中，比
如快速排序和归并排序。
5.平方增长（O(N^2)）：
平方增长意味着算法的运行时间与输入规模的平方成正比。
这通常发
生在使用两层嵌套循环的算法中，比如冒泡排序和选择排序。
随着输入规
模的增加，平方增长的算法运行时间迅速增加，所以应该尽量避免使用这
种算法。
6.指数增长（O(2^N)）：
指数增长是指算法运行时间随着输入规模的增加呈指数级增长。
这种
增长模式常常出现在在解决组合问题的算法中，例如穷举。
以上只是常见的几种函数增长情况，实际上还有其他复杂度如立方增
长（O(N^3)）、指数对数增长（O(2^N log N)）等。
了解算法的增长情况
能够帮助我们选择最合适的算法，并预测算法在不同输入规模下的运行时间。
在设计算法时，我们应该尽量选择时间复杂度较低的算法来提高效率。