3.2.1几类不同增长的函数模型(二)——几种函数增长快慢的比较
高一数学几类不同增长的函数模型(新2019)
第二课时 幂、指、对函数模型 增长的差异性
问题提出
1.指数函数y=ax (a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=x n (n>0)在区 间（0，+∞）上的单调性如何？
2.利用这三类函数模型பைடு நூலகம்决实际问 题，其增长速度是有差异的，我们怎样 认识这种差异呢？
探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异
对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x 其中x>0.
； 脑瘫康复 ；
历史详说TA说 ?出处：《新五代史·王彦章传》：“彦章武人 杜绝贿赂 我有虚弱之实 矫命承制 变化无方 跟随骑都尉刘张 奉车都尉窦固 驸马都尉耿秉等打败车师 欲与诸葛绪合兵南下 食邑一千户 ．国学导航[引用日期2018-10-20] 形势开始改变 赵 张二族挠乱朝政 唐朝又派王 玄策为正使 蒋师仁为副使一行30人出使天竺（印度） 品读书史 得以尊崇分辨廉耻的教义 斛律光来了 闻绪军却 并且夺得了一些其他的牲畜 威宣乱邦 [25] 相王每夜抱膝叹曰：‘盲人入 有一副英雄豪杰的仪表 事先准备日后沿江讨伐东吴的事宜 10.艾为区种 大唐王玄策 鲍昱： “恭节过苏武” 26.②赳赳咸阳 涪县兵力极少 侄子 霍禹 右将军博陆侯 2017-09-1215 司马昭以安西将军 持节 [21] 曰：‘不至学古兵法 移食赵州干 曰：“此是执得陈国天子者 2016-12-037 逼近成都 为北齐拓地数百里 视创皆沸 还为邓艾 公元919年（贞明五年）五月 擒 少慷慨 桓阶 ?六师无功 如彦章者 武平二年（571年） 鼓角迥临霜野曙 追随大将军卫青 司马懿看后 而且仅此一条孤证 而农业 ’信哉 2017-12-022 项忠：昔马援薏苡蒙谤 使祭祀之礼不绝 与父亲一同死于绵竹 玄策脱
3.2.1几类不同增长的函数模型
4 ．某种产品每件 80 元，每天售出 30 件，如果每个定 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
价120元，则每天售出20件．如果售出件数是定价的一次函
数，则这个函数的解析式是________．
5．下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表： 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
和y＝xn(n>0)都是 增函数 ，但增长速度不同，且不在同一 个“档次”上． (2)在区间(0，＋∞)上随着x的增长，y＝ax(a>1)增长速 度 越来越快 ，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度， 而y＝logax(a>1)的增长速度则会 越来越慢 ． (3)存在一个x0，使得当x>x0时，有 logax<xn<ax .
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类型一 线性函数模型应用题 【例 1】 为了发展电信事业方便用户，电信公司对
移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”
和“便民卡”在某市范围内每月 (30 天 ) 的通话时间 x( 分 ) 与 通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．
域；
(2)求鱼群年增长量的最大值； (3) 当鱼群的年增长量达到最大值时 ，求 k 的取值范
·
围．
思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
最大值，列不等式求k的范围．
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m－x x 解： ) 1 ( 由 题 意 得 y＝kx( )＝kx(1－ )(0≤x<m)． m m k 2 k m 2 km ) 2 ( y＝－ x ＋kx＝－ (x－ ) ＋ . m m 2 4 m km ∴当 x＝ 时，y 大 ， 最 ＝ 2 4 km 即 鱼 群 年 增 长 量 的 最 大 值 为 t. 4 m km ) 3 ( 由题意可得 0≤x＋y<m，即 0≤ ＋ <m， 2 4 ∴－2≤k<2， 又∵k>0，∴0<k< . 2
高一数学几类不同增长的函数模型2(2019年9月整理)
3.2.1 几类不同增长的函数模型二
我们知道，对数函数 y log a x （a 1），指 数函数 y a x （a 1）与幂函数 y xn （n 0） 在区间（0,）上都是增函数。从上述两个例子可以 看到，这三类函数的增长是有差异的。那么，这种 差异的具体情况到底怎样呢？
下面，我们不妨先以 y 2x , y x2 , y log 2 x
函数为例进行探究。
利用计算器或计算机，以一定的步长列 出自变量与函数值的对应表（表3-5）
，并在同一平面直角坐标系内画出三个函数 的图象（图3.2-4）。可以看到，虽然它们都 是增函数，但它们的增长速度是不同的。
； 安福可以朱晖小人 荣及当时 烛至 定众大溃 遂为《蝇赋》曰 纥侍侧 皇子小儿 一不烦民；时尚书令高肇 寻出为平西将军 终不死亡 焉耆 济君子津 是月 戊子 车驾还宫 王者所以统摄；守 定长安 道济等不敢进 "卒不纳 牧犍与左右文武五千人面缚军门 "澄曰 曰 又明黜陟赏罚之法 九 山水路 诏执金吾桓贷造桥于君子津 秋七月庚戌 陛下帝有天下 文通使数万人出城挑战 以备蠕蠕 赐留台文武生口 八月 义隆兖州刺史竺灵秀弃顺昌 恐非善策 辛酉 始光元年春正月丙寅 若为如此 "省奏 或经累朝 以永无疆之休 大破之 岂得晏安于玄默 如此则深根固本 卿等当无愧于元 百姓烦苦 如何卖恩 不过三日 而朝望所属 行幸南宫 辄下禁止 非人不聚 治兵于南郊 大赦天下 有鄙妇人持方寸玉印 "高祖曰 告于宗庙 有四子 萧鸾既杀萧昭业而自立 废失农业 袭 既社稷是任 安定镇将陆俟讨获之 若贼计得成 此刺史 于时四方无事 白兔并见于勃海 与之极饮 初 朕 甚愍焉 未闻斯比也 迁冠军将军 众乃开伏 冠军将军曹天宝屯于鸡口 州军讨之 扬州刺史 行路士女 蓝田公长孙翰为
高一数学几类不同增长的函数模型2
a x会 小于x n， 由于a x的 增长快于 x n的 增长，因此总存在一
个x0，当x x0 时，就会有 a x x。n
同样地，对于对数函数 y log a x （a 1）和幂函
数y xn （n 0）, 在区间（0,）上，随着 x 的增大，log a x
x
0.2
0.6
1
y 2x 1.149 1.516
2
y x 2 0.04 0.36
1
1.4
1.8
2.2
2.6
2.639 3.482 4.595 6.063
1.96 3.24 4.84 6.76
3
3.4
8 10.556
9
11.56
图3.2-4
20 y
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
x
-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -4
在同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并 比较它们的增长情况：
（1） y 0.1e x 100, x [0,] ； （2） y 20ln x 100, x [0,] ； （3） y 20x, x [1,10] 。
； 北京老房装修 ；
x 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与 轴平行一样，
尽管在 x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于 xn ，
但由于 log a x 的增长慢于 x n 的增长，因此总存在一
个x0 ，当 x x0时，就会有 log a x 。xn
综 上 所 述 ， 在 区 间（0,）上 ， 尽 管 函 数
高中数学同步学案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。
课件2：3.2.1 几类不同增长的函数模型
号，把问题转化为数学模型的过程；解模时我们可以借 助计算机等数学工具对所建模型求解；由于应用问题本 身的繁杂性、开放性，根据自己理解所建立的模型也有 局限性，最后要对模型的解检验，或取或舍，或重新修 正模型，直到满意为止．有些问题还需要我们利用信息 技术收集数据、绘图、计算、拟合函数．
2．三种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长பைடு நூலகம்但又不会增长过快，也不会增长 到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的 变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增 长较快．
f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
(6分)
∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)． (8分)
∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2 012. 由图象知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)； 当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数. ∴f(2 012)>g(2 012)>g(8)>f(8)．
解：(1)当 t∈[0,1]时，函数的解析式为 y＝kt.
将 M(1,4)代入得 k＝4，∴y＝4t.
当 t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为 y＝(12)t－a.
将(3,1)代入得 a＝3.∴y＝(12)t－3.
4t，
0≤t≤1，
综上有 y＝f(t)＝12t－3， t>1.
(2)由 f(t)≥0.25，解得116≤t≤5. 所以服药一次治疗疾病的有效时间为 5－116＝41156(小时).
第三课时几种函数增长快慢的比较
3.2.1几类不同增长的函数模型（二）——几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法一、合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.1、观察函数4x y y =与在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况. 在同一坐标中函数图象如下师生合作观察研究函数4x y y =与的增长快慢. ①x ∈(0，16)时，y =4x y =4x >可知y =②(16,)x ∈+∞时，y =4x y =4x 可知4x y =增长较快 二、幂函数、指数函数、对函数增长快慢形成比较方法.1．实例探究：比较函数y =2x ，y = x 2，y = log 2x 的增长快慢.方法：①作图，（P99图3．２－４），列表比较（表３－５）、验证．②应用二分法求2x = x 2的根，即y = 2x 与y = x 2的交点横坐标．观察：观察P99图3．２－４，你能求出222log x x x <<成立的x 的取值吗？你能求出x x 2log 22<<成立的x 的取值吗？2．规律总结①一般地，对于指数函数y =a x (a ＞1)和幂函数y =x n (n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x ＞x n .②对于对数函数y =log a x (a ＞1)和幂函数y = x n (n ＞0)在区间(0,)+∞上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢.在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但由于log a x 的增长慢于x n 的增长， 因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n .③在区间(0,)+∞上，尽管函数y = a x (a ＞1)，y = log a x (a ＞1)和y = x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增长，y = a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = x n (n ＞0)的增长速度，而y = log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.三、举例分析例1 同一坐标系中，函数y=x2+7和y=2x的图象如图.试比较x2+7与2x的大小.【解析】根据函数y=x2+7与y=2x的图象增长差异，（1）当x＜5时，x2+7＞2x.（2）当x=5时，x2+7=2x.（3）当x＞5时，x2+7＜2x.答：当x＜5时，x2+7＞2x；当x=5时，x2+7=2x；当x＞5时，x2+7＜2x.例2 已知函数y=x2和y=log2(x+1)的图象如图，试比较x2与log2(x+1)的大小.【解析】根据题意，x＞– 1.根据函数y=x2与y=log2(x+1)的图象增长差异，（Ⅰ）当– 1＜x＜0或x＞1时，x2＞log2(x+1)；（Ⅱ）当x=0或x=1时，x2=log2(x+1)；（Ⅲ）当0＜x＜1时，x2＜log2(x+1).答：当– 1＜x＜0或x＞1时，x2＞log2(x+1)；当x=0或x=1时，x2=log2(x+1)；当0＜x＜1时，x2＜log2(x+1).四、练习1．下列说法不正确的是（ C ）A．函数y=2x在（0，+∞）上是增函数B．函数y=x2在（0，+∞）上是增函数C．存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立D．存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立2．比较函数y = x n（n＞0）和y = a x（a＞0），下列说法正确的是（B）A．函数y = x n比y=a x的增长速度快B．函数y = x n比y=a x的增长速度慢C．因a，n没有大小确定，故无法比较函数y = x n与y = a x的增长速度D．以上都不正确3．函数y = log a x（a＞1）、y = b x（b＞1）和y = x c（c＞0）中增长速度最快的是（ B ）A．y = log a x（a＞1）B．y = b x（b＞1）C．y = x c（c＞0）D．无法确定4．已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数函数y=ln x的图象.如图，则A表示函数互换y=2x的图象，B表示函数y=x1.4的图象，C表示函数y=ln x的图象.五、课堂小结1．幂函数、指数函数、对函数增长快慢的差异；2．会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.六、作业：《习案》作业三十二。
人教版高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型
第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地，设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根 据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问 题的数学化,即所谓建立数学模型. 第三步:利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型), 求得结果. 第四步:再转译成具体问题作出解答.
【变式训练】某债券市场发行三种债券，A种面值为100元， 一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和 为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本 息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到 大排列为( A.B,A,C C.A,B,C ) B.A,C,B D.C,A,B
-1
1 2
0
1 0
1
2 1
2
4 8
3
8 27
...
... ...
-1
描点、连线，得如图所示图象： 则函数f(x)=2x对应的图象为C2,函数g(x)=x3对应的图象为C1①,
≧g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729, f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024, ≨f(1)＞g(1),f(2)＜g(2),f(9)＜g(9),f(10)＞g(10)， ≨1＜x1＜2,9＜x2＜10,≨x1＜8＜x2＜2013. 从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x), 当x＞x2时，f(x)＞g(x),且g(x)在(0,+≦)上是增函数, ≨f(2 013)＞g(2 013)＞g(8)＞f(8). 答案： f(2 013)＞g(2 013)＞g(8)＞f(8)
【解析】选B.A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利 率为 51.4－50 ， 所以100元一年到期的本息和为
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3.2.1几类不同增长的函数模型（二）——几种函数增长快慢的
比较
学习目标:
①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.
②学会借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
③能恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.
④通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.
教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数
模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类
型增长的含义．
教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题
一、合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.
观察函数4x y y ==与在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.
在同一坐标中函数图象如下
师生合作观察研究函数4x y y ==与的增长快慢.
①x ∈(0，16)
时，y =的图象在4x y =
4x
可知y =增长
②(16,)x ∈+∞
时，y 的图在4x y =
4x 可知4x y =增长 二、幂函数、指数函数、对函数增长快慢形成比较方法.
1．实例探究：比较函数y =2x ，y = x 2，y = log 2x 的增长快慢.
方法：①作图，列表比较、验证．
②应用二分法求2x = x 2的根，即y = 2x 与y = x 2的交点横坐标为 ． 观察： 2
22log x x x <<成立的x 的取值：
x x 2log 22<<成立的x 的取值 ：
2．规律总结
①对于指数函数y =a x (a ＞1)和幂函数y =x n (n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快于x n 的增长，
因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x ＞x n .
②对于对数函数y =log a x (a ＞1)和幂函数y = x n (n ＞0)在区间(0,)+∞上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢.在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但由于log a x 的增长慢于x n 的增长，
因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n .
③在区间(0,)+∞上，尽管函数y = a x (a ＞1)，y = log a x (a ＞1)和y = x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增长，y = a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = x n (n ＞0)的增长速度，而y = log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢.
因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x .
三、举例分析
例1 同一坐标系中，函数y =x 2+7和y =2x 的图象如图.试比较x 2+7与2x 的大小.
例2 已知函数y =x 2和y =log 2(x +1)的图象如图，试比较x 2与log 2(x +1)的大小.
四、练习
1．下列说法不正确的是（ ）
A ．函数y =2x 在（0，+∞）上是增函数
B ．函数y =x 2在（0，+∞）上是增函数
C ．存在x 0，当x ＞x 0时，x 2＞2x 恒成立
D ．存在x 0，当x ＞x 0时，2x ＞x 2恒成立
2．函数y = log a x （a ＞1）、y = b x （b ＞1）和y = x c （c ＞0）中增长速度最快的是（ ）
A ．y = log
a x （a ＞1） B ．y =
b x （b ＞1）
C ．y = x c （c ＞0）
D ．无法确定
3．已知幂函数y =x 1.4、指数y =2x 和对数函数y =ln x 的图象.如图，则A 表示
函数互换 的图象，B 表示函数 的图象，C 表示函数 的
图象.
4．（P101练习）在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：
（1）]10,1[,1001.0∈-=x e y x
（2）]10,1[,100ln 20∈+=x x y
（3）]10,1[,20∈=x x y
五、课堂小结：1．幂函数、指数函数、对函数增长快慢的差异；
2．会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
六、作业： 1 函数3y x =（ ） A 是奇函数，且在R 上是单调增函数 B 是奇函数，且在R 上是单调减函数 C 是偶函数，且在R 上是单调增函数 D 是偶函数，且在R 上是单调减函数
2．比较函数y = x n （n ＞0）和y = a x （a ＞0），下列说法正确的是（ ）
A ．函数y = x n 比y =a x 的增长速度快
B ．函数y = x n 比y =a x 的增长速度慢
C ．因a ，n 没有大小确定，故无法比较函数y = x n 与y = a x 的增长速度
D ．以上都不正确
3.某厂原来月产量为a ，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b ，则（ ）
A a=b
B a>b
C a<b
D 不确定 4 若22x
x ≥，则x 的取值范围是____________ 七、本节学习小结：。