回归模型的函数形式优秀课件
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第5章 回归模型的函数形式
起Y变动的百分比。
E
Y的变动百分数 X的变动百分数
=
Y X
Y 100 = Y X 100 X
X Y
=slope
X Y
因此，如果Y代表了商品的需求量，X代表了单 位价格，E就是需求的价格弹性。
图 5-1
双对数模型的假设检验
双对数模型的假设检验与线性模型的检验 方法没有什么不同。
• 5.2线性模型与双对数回归模型的比较 （1）根据弹性定义公式，我们可以得出这 样的结论：对于线性模型，弹性系数是一 个变量；对于对数模型，其弹性系数为一 常量。
• 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的， 直接表现为线性关系的情况并不多见。
• 如著名的Cobb- Dauglas生产函数表现为幂函数 曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。
• 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的 数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可 以运用线性回归模型的理论方法。
• 例5-2：柯布－道格拉斯生产函数
– 反应了产出与劳动力和资本投入之间的关系函 数。
– 劳动投入弹性+资本投入弹性＝规模报酬参数
（1）规模报酬递增—规模报酬参数>1 （2）规模报酬递减—规模报酬参数<1 （3）规模报酬不变—规模报酬参数=1
• 例5-3：对能源的需求(P107)
二、半对数模型(semilog model)
对数－线性模型——测量增长率
例5-4：以时间t作为解释变量模型—增长模型
我们来研究一下在货币、银行及金融等课程中
介绍过的复利计算公式：
等式两端取对数：
Yt Y0 (1 r)t
ln Yt ln Y0 t ln(1 r)
E
Y的变动百分数 X的变动百分数
=
Y X
Y 100 = Y X 100 X
X Y
=slope
X Y
因此，如果Y代表了商品的需求量，X代表了单 位价格，E就是需求的价格弹性。
图 5-1
双对数模型的假设检验
双对数模型的假设检验与线性模型的检验 方法没有什么不同。
• 5.2线性模型与双对数回归模型的比较 （1）根据弹性定义公式，我们可以得出这 样的结论：对于线性模型，弹性系数是一 个变量；对于对数模型，其弹性系数为一 常量。
• 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的， 直接表现为线性关系的情况并不多见。
• 如著名的Cobb- Dauglas生产函数表现为幂函数 曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。
• 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的 数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可 以运用线性回归模型的理论方法。
• 例5-2：柯布－道格拉斯生产函数
– 反应了产出与劳动力和资本投入之间的关系函 数。
– 劳动投入弹性+资本投入弹性＝规模报酬参数
（1）规模报酬递增—规模报酬参数>1 （2）规模报酬递减—规模报酬参数<1 （3）规模报酬不变—规模报酬参数=1
• 例5-3：对能源的需求(P107)
二、半对数模型(semilog model)
对数－线性模型——测量增长率
例5-4：以时间t作为解释变量模型—增长模型
我们来研究一下在货币、银行及金融等课程中
介绍过的复利计算公式：
等式两端取对数：
Yt Y0 (1 r)t
ln Yt ln Y0 t ln(1 r)
第5章多元线性回归模型PPT课件
F ESS / df ESS /(k 1) RSS / df RSS /(n k)
在原假设H0成立的情况下，服从自由度为(k-1 , n-k)的F分布，并根据样本数据计算F值。
给定显著性水平，得到临界值F(k-1,n-k) 比较 F F(k-1,n-k) 或 FF(k-1,n-k) 来拒绝或接受原假设H0，以判定原模型总体上的 线性关系是否显著成立。
假定2 解释变量X是非随机变量，在重复抽样 中固定在给定水平。
假定3 随机误差项的条件期望为0 即： E(ui | X 2i , X 3i ) 0
第2页/共49页
假定4 随机误差项ui具有同方差性。
Var(ui X2i , X3i ) 2 假定5 随机误差项之间无自相关性/无序列 相关。
cov(ui ,uj ) o i j
第12页/共49页
总体方差的估计
ˆ 2 uˆi2 n3
• 残差平方和的自由度＝样本容量的大小－待估计的参数的个数
第13页/共49页
§5.3 多元线性回归模型的统计检验
一、拟合优度检验 （一）复判定系数R2的计算公式
R2 ESS TSS
yˆi2 ˆ2
yi2
yi x2i ˆ3
yi2
~
F(m, n
kUR
)
案例
第33页/共49页
案例分析
• 教材P250 1960-1982年美国子鸡需求的例子
• 思考问题：
1）如何根据经济理论预测回归系数的符号？
2）如何检验
？
H0 : 4 5 0
第34页/共49页
五、模型的参数稳定性检验－邹至庄检验
当利用时间序列数据进行回归时，因变量和 解释变量之间的关系可能会出现结构变动
在原假设H0成立的情况下，服从自由度为(k-1 , n-k)的F分布，并根据样本数据计算F值。
给定显著性水平，得到临界值F(k-1,n-k) 比较 F F(k-1,n-k) 或 FF(k-1,n-k) 来拒绝或接受原假设H0，以判定原模型总体上的 线性关系是否显著成立。
假定2 解释变量X是非随机变量，在重复抽样 中固定在给定水平。
假定3 随机误差项的条件期望为0 即： E(ui | X 2i , X 3i ) 0
第2页/共49页
假定4 随机误差项ui具有同方差性。
Var(ui X2i , X3i ) 2 假定5 随机误差项之间无自相关性/无序列 相关。
cov(ui ,uj ) o i j
第12页/共49页
总体方差的估计
ˆ 2 uˆi2 n3
• 残差平方和的自由度＝样本容量的大小－待估计的参数的个数
第13页/共49页
§5.3 多元线性回归模型的统计检验
一、拟合优度检验 （一）复判定系数R2的计算公式
R2 ESS TSS
yˆi2 ˆ2
yi2
yi x2i ˆ3
yi2
~
F(m, n
kUR
)
案例
第33页/共49页
案例分析
• 教材P250 1960-1982年美国子鸡需求的例子
• 思考问题：
1）如何根据经济理论预测回归系数的符号？
2）如何检验
？
H0 : 4 5 0
第34页/共49页
五、模型的参数稳定性检验－邹至庄检验
当利用时间序列数据进行回归时，因变量和 解释变量之间的关系可能会出现结构变动
数学建模——回归分析模型.ppt.ppt
多元线性回归模型—应用实例
x1 和 例2 某厂生产的一种电器的销售量与竞争对手的价格 x2 本厂的价格 有关。下表是该商品在 10 个城市 175 125 145 180 150 x元
1
x2元 100 110
90
150 210 150 250 270 300 250 46 93 26 69 65 85
( x x )( y y )
i 1 i i 2 ( x x ) i i 1 n
n
398.5 4.8303 82.5
ˆ 67.3 4.8303 14.5 2.7394 ˆ y bx a 所以回归方程为：
ˆ 4.8303x 2.7394 y
在生活中竞赛，在竞赛中生活
ˆ ˆ a ˆ bx y
的值，我们记
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——线性假设的 显著性检验
必要性：上面我们假设 Y 关于
l xy
n
的回 归形式是否为线性函数需要检验， 判别准则 称为拟合优度检验
x
ˆR R XY
1 n ( xi x )( yi y ) n i 1
n
ˆ ˆ X ˆ X )2 ˆ ) 2 (Y Q e (Yi Y i i 0 1 1i k ki
2 i i 1
残差平 方和
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— j 估计 Q j对 令上式 的偏导数为零，得到正规方
相关系数值为：
R
lxy
lxx l yy
0.9981
相关系数接近1，说明随机 变量与x具有显著的相关性， 线性回归的拟合度较高，检 验通过
x1 和 例2 某厂生产的一种电器的销售量与竞争对手的价格 x2 本厂的价格 有关。下表是该商品在 10 个城市 175 125 145 180 150 x元
1
x2元 100 110
90
150 210 150 250 270 300 250 46 93 26 69 65 85
( x x )( y y )
i 1 i i 2 ( x x ) i i 1 n
n
398.5 4.8303 82.5
ˆ 67.3 4.8303 14.5 2.7394 ˆ y bx a 所以回归方程为：
ˆ 4.8303x 2.7394 y
在生活中竞赛，在竞赛中生活
ˆ ˆ a ˆ bx y
的值，我们记
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——线性假设的 显著性检验
必要性：上面我们假设 Y 关于
l xy
n
的回 归形式是否为线性函数需要检验， 判别准则 称为拟合优度检验
x
ˆR R XY
1 n ( xi x )( yi y ) n i 1
n
ˆ ˆ X ˆ X )2 ˆ ) 2 (Y Q e (Yi Y i i 0 1 1i k ki
2 i i 1
残差平 方和
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— j 估计 Q j对 令上式 的偏导数为零，得到正规方
相关系数值为：
R
lxy
lxx l yy
0.9981
相关系数接近1，说明随机 变量与x具有显著的相关性， 线性回归的拟合度较高，检 验通过
第2章古典线性回归模型-59页PPT文档资料
E(β XX1Xε -β )(β XX1Xε -β )
E X X 1 X ε ε X X X 1 X X 1 X E ε ε ( ) X X X 1
X X 1 X E2 I ( n ) X X X 1 2 X X 1
三、 参数估计量的性质
性质1 βˆ 是随机向量y的一个线性变换。
β ˆ (XX)-1Xy 性质2 βˆ 是β的无偏估计。
E(βˆ ) E ((X X)-1 Xy) (X X)-1XE(y) (X X)-1XE( Xβε) (X X)-1X Xββ
性质 3 D（βˆ )=σ 2(X′X)-1
Lxx
x 2
Lxx
2
L xx
性质四（高斯-马尔可夫定理）
在假设 E( y) X ，D( y) 2In 下， 的任一线性函数 的 最小方差线性无偏估计为 ˆ ，其中 是任一不为零的 p 1 维向量， ˆ 是 最小二乘估计。 证明：（1）ˆ ( X X )1 X y 是 y 的线性函数，所以是线性估计。
D(β ˆ)coβ vˆ,β (ˆ)
E(β ˆ(Eβ ˆ)β (ˆEβ ˆ))E(β ˆ(β )β (ˆβ ))
EXX1XyβXX1Xyβ
EXX1X(Xβ ε )β XX1X(Xβ ε )β
在正态假定下:
y～N(Xβ, 2In)
E(y)=Xβ
var(y)= 2In
3. 多元线性回归方程的解释
例1
y表示空调机的销售量,
x1表示空调机的价格, x2表示消费者可用于支配的收入。
y=β0+β1x1+β2x2+ε
计量经济学课件 第5章 回归模型的函数形式
• 2.选择模型的基本准则：
• 模型选择的重点不是在判定系数大小，而是要考 虑进入模型的解释变量之间的相关性（即理论基 础）、解释变量系数的预期符号、变量的统计显 著性、以及弹性系数这样的度量工具。
线性回归模型的弹性系数计算
• 平均弹性：
E
Y X
X Y
B2
X Y
多元对数线性回归模型
• 偏弹性系数的含义： 在其他变量（如，X3）保持不变的条件下，X2 每变动1%，被解释变量Y变动的百分比为B2；
• （3）菲利普斯曲线
被解释变量：英国货币工资变化率，解释变量：失业率 结论：失业率上升，工资增长率会下降。 在自然失业率UN上下，工资变动幅度快慢不同。即失业率低于自然失业率时，工 资随失业率单位变化而上升快于失业率高于自然失业率时工资随失业率单位变化而下 降。
（P113例5-6） 倒数模型： 菲利普斯曲线
依据经济理论，失业率上升，工资增长率会下降；且 当失业率处于不同水平时，工资变动率变动的程度会 不一样，即Y对X 的斜率（Y / X）不会是常数。
Y / X 20.588*(1/ X 2 )
R2 0.6594
模型选择：
1、依据经济理论
以及经验判断；
2、辅助于对拟合
R2 0.5153 Y / X 0.79
1、B1、B2、B4 0； 2、B3 0 3、B32 3B2B4
WHY? —所以经济理论的学习对于模型的建立、选择
和检验有非常关键和重要的意义。 24
四、模型（形式）选择的依据
经济理论
工作经验
1、模型的建立需要正确地理论、合适可用的数据、 对各种模型统计性质的完整理解以及经验判断。
模型选择的基本准则：进入模型中的解释变量的关系（即 理论基础）、解释变量系数的预期符号、弹性系数等经济 指标、统计显著性等
• 模型选择的重点不是在判定系数大小，而是要考 虑进入模型的解释变量之间的相关性（即理论基 础）、解释变量系数的预期符号、变量的统计显 著性、以及弹性系数这样的度量工具。
线性回归模型的弹性系数计算
• 平均弹性：
E
Y X
X Y
B2
X Y
多元对数线性回归模型
• 偏弹性系数的含义： 在其他变量（如，X3）保持不变的条件下，X2 每变动1%，被解释变量Y变动的百分比为B2；
• （3）菲利普斯曲线
被解释变量：英国货币工资变化率，解释变量：失业率 结论：失业率上升，工资增长率会下降。 在自然失业率UN上下，工资变动幅度快慢不同。即失业率低于自然失业率时，工 资随失业率单位变化而上升快于失业率高于自然失业率时工资随失业率单位变化而下 降。
（P113例5-6） 倒数模型： 菲利普斯曲线
依据经济理论，失业率上升，工资增长率会下降；且 当失业率处于不同水平时，工资变动率变动的程度会 不一样，即Y对X 的斜率（Y / X）不会是常数。
Y / X 20.588*(1/ X 2 )
R2 0.6594
模型选择：
1、依据经济理论
以及经验判断；
2、辅助于对拟合
R2 0.5153 Y / X 0.79
1、B1、B2、B4 0； 2、B3 0 3、B32 3B2B4
WHY? —所以经济理论的学习对于模型的建立、选择
和检验有非常关键和重要的意义。 24
四、模型（形式）选择的依据
经济理论
工作经验
1、模型的建立需要正确地理论、合适可用的数据、 对各种模型统计性质的完整理解以及经验判断。
模型选择的基本准则：进入模型中的解释变量的关系（即 理论基础）、解释变量系数的预期符号、弹性系数等经济 指标、统计显著性等
logistic回归分析PPT优秀课件
（2）线性回归分析：由于因变量是分类变量，不能满足 其正态性要求；有些自变量对因变量的影响并非线性。
2
logistic回归:不仅适用于病因学分析，也可用于其他方面的研究，研 究某个二分类（或无序及有序多分类）目标变量与有关因素的关 系。
logistic回归的分类： （1）二分类资料logistic回归： 因变量为两分类变量的资料，可用
非条件logistic回归和条件logistic回归进行分析。非条件logistic回 归多用于非配比病例-对照研究或队列研究资料，条件logistic回归 多用于配对或配比资料。 （2）多分类资料logistic回归： 因变量为多项分类的资料，可用多 项分类logistic回归模型或有序分类logistic回归模型进行分析。
比较
调查方向：收集回顾性资料
人数 暴露
疾病
a/(a+b) c/(c+d)
a
+
b
-
病例
c
病例对照原理示意图
6
是否暴露 暴露组 未暴露组 合计
病例 a c a+c
对照 b d b+d
合计 a+b(n1) c+d(n2) n
比数比（odds ratio、OR）：病例对照研究中表示疾病与暴露间
联系强度的指标，也称比值比。
相对危险度RR的本质是暴露组与非暴露组发病率之比或发病概率 之比。但病例对照研究不能计算发病率，只能计算比值比OR值。 OR与RR的含义是相同的，也是指暴露组的疾病危险性为非暴露组 的多少倍。当疾病发病率小于5%时，OR是RR的极好近似值。
OR>1,说明 该因素使疾病的危险性增加，为危险因素；
OR<1,说明 该因素使疾病的危险性减小，为保护因素；
2
logistic回归:不仅适用于病因学分析，也可用于其他方面的研究，研 究某个二分类（或无序及有序多分类）目标变量与有关因素的关 系。
logistic回归的分类： （1）二分类资料logistic回归： 因变量为两分类变量的资料，可用
非条件logistic回归和条件logistic回归进行分析。非条件logistic回 归多用于非配比病例-对照研究或队列研究资料，条件logistic回归 多用于配对或配比资料。 （2）多分类资料logistic回归： 因变量为多项分类的资料，可用多 项分类logistic回归模型或有序分类logistic回归模型进行分析。
比较
调查方向：收集回顾性资料
人数 暴露
疾病
a/(a+b) c/(c+d)
a
+
b
-
病例
c
病例对照原理示意图
6
是否暴露 暴露组 未暴露组 合计
病例 a c a+c
对照 b d b+d
合计 a+b(n1) c+d(n2) n
比数比（odds ratio、OR）：病例对照研究中表示疾病与暴露间
联系强度的指标，也称比值比。
相对危险度RR的本质是暴露组与非暴露组发病率之比或发病概率 之比。但病例对照研究不能计算发病率，只能计算比值比OR值。 OR与RR的含义是相同的，也是指暴露组的疾病危险性为非暴露组 的多少倍。当疾病发病率小于5%时，OR是RR的极好近似值。
OR>1,说明 该因素使疾病的危险性增加，为危险因素；
OR<1,说明 该因素使疾病的危险性减小，为保护因素；
第六章回归模型的函数形式共53页
• YALK
• 1 规模报酬递减 • 1 规模报酬递增 • 1 规模报酬不变
1-15
例一：表 9-2（精要）
Real GDP, employment, and real fixed capital, Mexico, 1955-1974.
1-16
第一节 如何度量弹性：双对数模型
计量经济学基础与应用
1-1
第六章 回归模型的函数形式
chapter six
Functional Forms of Regression Models
Yu Zhen
The Economic School of Jilin University
前言
经济变量间的非线性–（复合利率，增长率，弹性系数） 主要内容
1-9
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子双对数回归结果：
1-10
双对数模型拟合直线
LnY
LnX
博彩支出的Log-linear 模型
1-11
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子线性回归结果：
1-12
线性模型拟合直线
线性回归结果
1-13
第一节 如何度量弹性：双对数模型
如何设定模型的函数形式？
1-52
谢谢！
经济变量增长率：监控经济运行状况
考察对象： 伴随解释变量（时间）的增加，应变 量的增长率 •
1-20
第二节 如何测定增长率：半对数模型
复利计算公式
Yt Y0 (1 r )t ln Yt ln Y0 t ln(1 r ) ln Yt 1 2t ln Yt 1 2t ut
生产函数例子的双对数回归结果：
• 1 规模报酬递减 • 1 规模报酬递增 • 1 规模报酬不变
1-15
例一：表 9-2（精要）
Real GDP, employment, and real fixed capital, Mexico, 1955-1974.
1-16
第一节 如何度量弹性：双对数模型
计量经济学基础与应用
1-1
第六章 回归模型的函数形式
chapter six
Functional Forms of Regression Models
Yu Zhen
The Economic School of Jilin University
前言
经济变量间的非线性–（复合利率，增长率，弹性系数） 主要内容
1-9
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子双对数回归结果：
1-10
双对数模型拟合直线
LnY
LnX
博彩支出的Log-linear 模型
1-11
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子线性回归结果：
1-12
线性模型拟合直线
线性回归结果
1-13
第一节 如何度量弹性：双对数模型
如何设定模型的函数形式？
1-52
谢谢！
经济变量增长率：监控经济运行状况
考察对象： 伴随解释变量（时间）的增加，应变 量的增长率 •
1-20
第二节 如何测定增长率：半对数模型
复利计算公式
Yt Y0 (1 r )t ln Yt ln Y0 t ln(1 r ) ln Yt 1 2t ln Yt 1 2t ut
生产函数例子的双对数回归结果：
一元线性回归分析PPT课件
第18页/共40页
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
第8页/共40页
例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
第1页/共40页
回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
第2页/共40页
一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第15页/共40页
回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
第8页/共40页
例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
第1页/共40页
回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
第2页/共40页
一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第15页/共40页
回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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price 1 2 ln( sqft) 3 ln( bedrms) ui price 1 2 ln( sqft) 3bedrms ui
X
Y对X的边际增量递减
1X9
模型的选择
• DATA4-1:1990年圣地亚哥大学城独栋房屋的数据 • price:售价（千美元） • sqft:居住面积（平方英尺） • bedrms:卧室数 • baths:浴室数
price 1 2 ln( sqft) 3 ln( bedrms) 4 ln( baths) ui
18
线性对数关系的选择
lnYi 1 2 X ui Y Yi 1 2 ln Xi ui
dY 2
dX X • DATA4-1:1990年圣地亚哥
大学城独栋房屋的数据 Y • price:售价（千美元） • sqft:居住面积（平方英尺） • bedrms:卧室数 • baths:浴室数
dY dX
X Y
• 在双对数模型中，解释变量的系数表示弹性。 • 双对数模型的重要假定：弹性是常数
7
• 对于线性模型Yi = β1 + β2Xi+ i
•
Y对X的弹性可以表示为
dY dX
X Y
2
X Y
两种模型的区别： • 线性模型给出点弹性。 • 双对数模型给出常数弹性。
8
• 一需求函数： lnYi 3.96 0.23ln X i
对数线性（log-lin)模型
测度增长率：人口、GDP、贸易……
• 线性模型与对数线性模型的区别 1）线性模型 Yi= β1 + β2 Xi+ ui
• β2 的含义：X增加一个单位，Y的平均增量 • 表示因变量的绝对增量。
2）对数线性模型
• β2 的含义：因变量的相对增量。 • 增长率或衰减率
14
lnYi 1 2t ui
4
一、双对数模型
需求量模型： X=书的价格 Y=书的需求量 随机误差项 建立模型如下：
Yi
X
i
2
i
(1)
对（1）式取对数得到
lnYi 1 2 ln Xi ui (2)
其中 1 ln , ui ln i
5
lnYi 1 2 ln Xi ui
▪ 经过变换可变为线性的模型称为实质线性模型。 ▪ 双对数模型的参数估计
回归模型的函数形 式
多元回归模型的应用
线性模型
y
非线性模型
• 实际经济活动中 的许多问题，都 可以最终化为线 性问题。
• 线性回归模型具
x
有普遍意义。
2
“线性”回归的含义
方程中的参数是线性的
变量和参数均为线性:
Y 1 2X2 3X3 4X4 u
参数线性，变量非线性:
Y
1
2
X
2 2
3
10
例：使用1955 ～ 1974年墨西哥的数据得到 这一期间墨西哥的生产函数。
• Y：产出（GDP）
• X1：劳动投入（总就业人数）
• X2：资本投入（固定资本）
回归结果：lnY=-1.6524+0.3397lnx1+0.8640lnx2
se=(0.6062) (0.1857) (0.0934)
t= (-2.73) (1.83) (9.06)
p值=(0.014) (0.085) (0) r2=0.995
规模报酬参数：反映产出对投入的比例变动。
• 规模报酬不变
• 规模报酬递增
• 规模报酬递减
11
二、半对数模型
lnYi 1 2 X ui
对数到线性（log-lin)模型回归系数 β2 的含义：
使用最小二乘法得到 β1 、β2的估计值 使用的因变量：lnY，自变量：lnX。
6
lnYi 1 2 ln Xi ui
β2的含义 对于一般的模型 Y=f(X) 根据弹性的定义，Y对X的弹性可以表示为
E Y / Y Y X dY X X / X X Y dX Y
2
d(lnY ) d(ln X )
X3 4 log X4 u
Z2
X
2 2
,
Z3
X3,
Z4 log X4
Y 1 2Z2 3Z3 4Z4 u
参数非线性:
Y 1 2X2 3X3 23X4 u
3
常用的可线性化回归模型
通过适当变量代换可变为参数线性的模型
• 双对数模型 • 半对数模型 • 多项式模型 • 倒数模型
Se=(0.0416) (0.0250) t= (95.233) (-9.088) R2=0.911
• 弹性？
9
柯布—道格拉斯生产函数
Yi
AX
i
Ki
i
X= 劳动力投入量 K=资本投入量 Y=产出量
变换，得如下参数线性模型
lnYi 0 ln X i ln Ki ui
βi …称为偏弹性系数 含义：当其他条件不变时，劳动力或资本的产出弹性。
Yi 1 2 ln Xi ui
2
dY d(ln X
)
dY dX / X
• β2 的含义： X的一个单位相对变化，引起Y的平均绝对增量
▪ 即：X增加1%时，Y改变β2 /100
16
劳动力供给函数
劳动力供给模型： • hours=33+45.1 log(wage) • wage：每小时工资 • hours：每周工作的小时数 ➢工资每增加1%将使每周工作的小时数增加：
• 0.45小时
17
线性对数(lin-log)模型
Yi 1 2 ln Xi ui
例：使用1973 ～ 1987年美国的GNP(Y）与货币供
给M2(X）的数据。 试求当货币供给增加1%时，GNP的绝对增加值。 回归模型：Y=-16329.0+2584.8lnX t=(-23.494) (27.549) p值=(0.0000) (0.0000) R2=0.9832 回归系数的含义？
例：使用1972 ～ 1991年美国实际GDP数据。 试确定这一期间实际GDP的增长率。
回归模型：lnGDP=8.0139+0.0247t se=(0.0114)(0.00956) t=(700.54)(25.8643)
p值=(0.0000)(0.0000) R2=0.9738
增长率=？
15
线性对数（lin-log）模型
2
d (ln Y dX
)
dY / Y dX
• β2 ：X增加一单位时，Y的相对变化
12
对数工资方程
• 每小时工资与受教育年数的关系：
log(wage) 2.78 0.094 educ
• 多受一年教育将使每小时工资增加多少？ • 9.4%
13
lnYi 1 2t ui — 恒定的增长模型
X
Y对X的边际增量递减
1X9
模型的选择
• DATA4-1:1990年圣地亚哥大学城独栋房屋的数据 • price:售价（千美元） • sqft:居住面积（平方英尺） • bedrms:卧室数 • baths:浴室数
price 1 2 ln( sqft) 3 ln( bedrms) 4 ln( baths) ui
18
线性对数关系的选择
lnYi 1 2 X ui Y Yi 1 2 ln Xi ui
dY 2
dX X • DATA4-1:1990年圣地亚哥
大学城独栋房屋的数据 Y • price:售价（千美元） • sqft:居住面积（平方英尺） • bedrms:卧室数 • baths:浴室数
dY dX
X Y
• 在双对数模型中，解释变量的系数表示弹性。 • 双对数模型的重要假定：弹性是常数
7
• 对于线性模型Yi = β1 + β2Xi+ i
•
Y对X的弹性可以表示为
dY dX
X Y
2
X Y
两种模型的区别： • 线性模型给出点弹性。 • 双对数模型给出常数弹性。
8
• 一需求函数： lnYi 3.96 0.23ln X i
对数线性（log-lin)模型
测度增长率：人口、GDP、贸易……
• 线性模型与对数线性模型的区别 1）线性模型 Yi= β1 + β2 Xi+ ui
• β2 的含义：X增加一个单位，Y的平均增量 • 表示因变量的绝对增量。
2）对数线性模型
• β2 的含义：因变量的相对增量。 • 增长率或衰减率
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lnYi 1 2t ui
4
一、双对数模型
需求量模型： X=书的价格 Y=书的需求量 随机误差项 建立模型如下：
Yi
X
i
2
i
(1)
对（1）式取对数得到
lnYi 1 2 ln Xi ui (2)
其中 1 ln , ui ln i
5
lnYi 1 2 ln Xi ui
▪ 经过变换可变为线性的模型称为实质线性模型。 ▪ 双对数模型的参数估计
回归模型的函数形 式
多元回归模型的应用
线性模型
y
非线性模型
• 实际经济活动中 的许多问题，都 可以最终化为线 性问题。
• 线性回归模型具
x
有普遍意义。
2
“线性”回归的含义
方程中的参数是线性的
变量和参数均为线性:
Y 1 2X2 3X3 4X4 u
参数线性，变量非线性:
Y
1
2
X
2 2
3
10
例：使用1955 ～ 1974年墨西哥的数据得到 这一期间墨西哥的生产函数。
• Y：产出（GDP）
• X1：劳动投入（总就业人数）
• X2：资本投入（固定资本）
回归结果：lnY=-1.6524+0.3397lnx1+0.8640lnx2
se=(0.6062) (0.1857) (0.0934)
t= (-2.73) (1.83) (9.06)
p值=(0.014) (0.085) (0) r2=0.995
规模报酬参数：反映产出对投入的比例变动。
• 规模报酬不变
• 规模报酬递增
• 规模报酬递减
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二、半对数模型
lnYi 1 2 X ui
对数到线性（log-lin)模型回归系数 β2 的含义：
使用最小二乘法得到 β1 、β2的估计值 使用的因变量：lnY，自变量：lnX。
6
lnYi 1 2 ln Xi ui
β2的含义 对于一般的模型 Y=f(X) 根据弹性的定义，Y对X的弹性可以表示为
E Y / Y Y X dY X X / X X Y dX Y
2
d(lnY ) d(ln X )
X3 4 log X4 u
Z2
X
2 2
,
Z3
X3,
Z4 log X4
Y 1 2Z2 3Z3 4Z4 u
参数非线性:
Y 1 2X2 3X3 23X4 u
3
常用的可线性化回归模型
通过适当变量代换可变为参数线性的模型
• 双对数模型 • 半对数模型 • 多项式模型 • 倒数模型
Se=(0.0416) (0.0250) t= (95.233) (-9.088) R2=0.911
• 弹性？
9
柯布—道格拉斯生产函数
Yi
AX
i
Ki
i
X= 劳动力投入量 K=资本投入量 Y=产出量
变换，得如下参数线性模型
lnYi 0 ln X i ln Ki ui
βi …称为偏弹性系数 含义：当其他条件不变时，劳动力或资本的产出弹性。
Yi 1 2 ln Xi ui
2
dY d(ln X
)
dY dX / X
• β2 的含义： X的一个单位相对变化，引起Y的平均绝对增量
▪ 即：X增加1%时，Y改变β2 /100
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劳动力供给函数
劳动力供给模型： • hours=33+45.1 log(wage) • wage：每小时工资 • hours：每周工作的小时数 ➢工资每增加1%将使每周工作的小时数增加：
• 0.45小时
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线性对数(lin-log)模型
Yi 1 2 ln Xi ui
例：使用1973 ～ 1987年美国的GNP(Y）与货币供
给M2(X）的数据。 试求当货币供给增加1%时，GNP的绝对增加值。 回归模型：Y=-16329.0+2584.8lnX t=(-23.494) (27.549) p值=(0.0000) (0.0000) R2=0.9832 回归系数的含义？
例：使用1972 ～ 1991年美国实际GDP数据。 试确定这一期间实际GDP的增长率。
回归模型：lnGDP=8.0139+0.0247t se=(0.0114)(0.00956) t=(700.54)(25.8643)
p值=(0.0000)(0.0000) R2=0.9738
增长率=？
15
线性对数（lin-log）模型
2
d (ln Y dX
)
dY / Y dX
• β2 ：X增加一单位时，Y的相对变化
12
对数工资方程
• 每小时工资与受教育年数的关系：
log(wage) 2.78 0.094 educ
• 多受一年教育将使每小时工资增加多少？ • 9.4%
13
lnYi 1 2t ui — 恒定的增长模型