函数的连续性及极限的应用PPT教学课件
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高数函数极限与连续
表示方法
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
高等数学-函数的连续性课件.ppt
(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
《函数的极限与连续》课件
示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零 点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区 间上从正变负或从负变正，则可以利 用函数的连续性找到函数的零点。这 是因为函数在这一点上从增加变为减 少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点 连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他 数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和 完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与 极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的 重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
专升本-高数一-PPT课件
例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
n t, x o t cy （1 ） ． y a x
）
1 x , 1 y ( ) 1 - x （2） ．y2 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
故函数的定义域为：{( x , y ) | x 0 且 x y 0} （2）要使函数有意义必须满足
故
x2 x 2 0 x 1 或 x 2 ，即 ， x 2 x20 D ( 2, 1) (2, ) ．
二、 极限
1．概念回顾
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． x2 9
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． 解： lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x 知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
数。
: D g ( D ) D f: D f( D ) g 1 1 1
f g : D f [ g ( D ) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1 ； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
则 lim
am x x b x n n
m
m a bn a1 x a0 0 b1 x b0
mn mn mn
大学文科数学2 第二章 第三节 极限应用的一个例子——连续函数.ppt
连续函数是微积分研究的主要对象.
增量的定义 设函数 y = f (x)的定义域是X,当
自变量从定点 x0 变化到新的点x 时,它们的差 称为自变量的增量(或叫做改变量).记做
x x x0 ,自然x x0 x.
对应的函数值由f ( x0 ) y 变化到f ( x0 x)，其差
y f ( x0 x) f ( x0 ) 称作函数的增量，
例3 1) f ( x) 1 在x 0处没有定义, x
所以x 0是间断点.
y
f (x) 1 x
x
O
2) y
f (x)
x, 1, 2
x 1, x 1,
y 1
1
从图形中可以看出 x = 1是分段 2
点,
o
x 1
lim f ( x) 1 f (1)
x 1
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
y
o
x
函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
上述三个条件中只要有一个不满足, 则称函
数 f ( x)在点 x0处不连续 (或间断), 并称点 x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
证 设x0为定义域（-，-2）（-2，+）
内任意一点，显然f ( x0 )
1, x0 2
又 lim 1 1 1 .
xx0 x 2
lim ( x 2)x 源自0x0 211
lim
x x0
x2
f ( x0 )
增量的定义 设函数 y = f (x)的定义域是X,当
自变量从定点 x0 变化到新的点x 时,它们的差 称为自变量的增量(或叫做改变量).记做
x x x0 ,自然x x0 x.
对应的函数值由f ( x0 ) y 变化到f ( x0 x)，其差
y f ( x0 x) f ( x0 ) 称作函数的增量，
例3 1) f ( x) 1 在x 0处没有定义, x
所以x 0是间断点.
y
f (x) 1 x
x
O
2) y
f (x)
x, 1, 2
x 1, x 1,
y 1
1
从图形中可以看出 x = 1是分段 2
点,
o
x 1
lim f ( x) 1 f (1)
x 1
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
y
o
x
函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
上述三个条件中只要有一个不满足, 则称函
数 f ( x)在点 x0处不连续 (或间断), 并称点 x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
证 设x0为定义域（-，-2）（-2，+）
内任意一点，显然f ( x0 )
1, x0 2
又 lim 1 1 1 .
xx0 x 2
lim ( x 2)x 源自0x0 211
lim
x x0
x2
f ( x0 )
多元函数的概念二元函数的极限和连续性课件
1 2 2
1 1 12
8
多元函数的概念、定义域
类似地，可以定义三元函数 u f ( x,y,z) 以及n元函 数 u f ( x1,x2 , , xn )
多于一个自变量的函数统称为多元函数
同一元函数一样，定义域和对应规律是二元函数定义 的两要素。对于以算式表示的二元函数 z f ( x, y) 其定义域就是使式子有意义的自变量的变化范围 一组概念： 1.区域：全部xy坐标平面或由曲线所围成的部分平面 常用字母D表示 2.边界：围成区域的曲线称为该区域的边界 3.开区域：不包括边界的区域 4.闭区域：连同边界在内的区域
13
二元函数的几何意义
思考： 一元函数一般表示平面上的一条曲线；对于二元 函数，在空间直角坐标系中一般表示曲面
二元函数的 几何意义？
14
二元函数的几何意义
如图，定义域D就是曲面 在xy面上的投影区域
15
二元函数的几何意义
例如，x2 y2 z2 a2表示 的曲面为球心在原点，半径 为a的球面（见右图）
而z a2 x2 y2 表示 的为上半球面
z
o
y
x
z a2 x2 y2 表示 的是下半球面
16
二元函数的极限
二元函数的极限定义 设函数z f ( x, y)在点p0( x0 , y0 )的某一领域内有定义 （点p0可以除外）如果当点p( x, y)无限地接近p0( x0, y0 )
时，恒有 f ( p) A (是指任意地小的正数)，则称
A为函数z f ( x, y)当( x, y) ( x0, y0 )时的极限，记为
lim f (P)=A,
P P0
1 1 12
8
多元函数的概念、定义域
类似地，可以定义三元函数 u f ( x,y,z) 以及n元函 数 u f ( x1,x2 , , xn )
多于一个自变量的函数统称为多元函数
同一元函数一样，定义域和对应规律是二元函数定义 的两要素。对于以算式表示的二元函数 z f ( x, y) 其定义域就是使式子有意义的自变量的变化范围 一组概念： 1.区域：全部xy坐标平面或由曲线所围成的部分平面 常用字母D表示 2.边界：围成区域的曲线称为该区域的边界 3.开区域：不包括边界的区域 4.闭区域：连同边界在内的区域
13
二元函数的几何意义
思考： 一元函数一般表示平面上的一条曲线；对于二元 函数，在空间直角坐标系中一般表示曲面
二元函数的 几何意义？
14
二元函数的几何意义
如图，定义域D就是曲面 在xy面上的投影区域
15
二元函数的几何意义
例如，x2 y2 z2 a2表示 的曲面为球心在原点，半径 为a的球面（见右图）
而z a2 x2 y2 表示 的为上半球面
z
o
y
x
z a2 x2 y2 表示 的是下半球面
16
二元函数的极限
二元函数的极限定义 设函数z f ( x, y)在点p0( x0 , y0 )的某一领域内有定义 （点p0可以除外）如果当点p( x, y)无限地接近p0( x0, y0 )
时，恒有 f ( p) A (是指任意地小的正数)，则称
A为函数z f ( x, y)当( x, y) ( x0, y0 )时的极限，记为
lim f (P)=A,
P P0
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性
而2 ∈ [− 5, 5]，所以 5 − 2 = 5 − 22 = 1。
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
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一、矛盾是事物发展的源泉和动力
(一)、矛盾的同一性和斗争性 （1）什么是矛盾
①含义：
反映事物内部对立和统一的哲学范畴，
简言之，矛盾就是对立统一。
剪之— 你死我亡——一绳系两命 — 统一— 两者的命运统一于一条绳 — 对立— 两者之间随时都可能相斗 —
不剪— 冤家路窄——利益有冲突 —
矛盾：事物自身包含的既对 立又统一的关系
（４）矛盾同一性与斗争性的关系：
区别：
矛盾的同一性是相对的，斗争性是绝对的
联系：
①同一性离不开斗争性，同一以差别和对立为前提。
②斗争性寓于同一性之中，并为同一性所制约。 ③矛盾双方既对立又统一，由此推动事物的运动、变 化和发展。
试一试：
材料一：酿酒窖泥奇臭，酿出的名酒特香，香鲸的 粪便恶臭，燃烧后却香味浓郁。
第四节 函数的连续性 及极限的应用
高三备课组
知识点
1.函数在一点连续的定义:
如果函数f(x)在点x=x0处有定义，xlimx0 f(x)存在，且
lim
x x0
f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.
2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三 个条件.
((21))函数xlimfx(0xf)(在x)存点在x=；x0处有定义；
7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x) 在x=x0处有极限的联系与区别。 “连续必有极限，有极限未必连续。”
点击双基
1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有 定义的_________条件.
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分又不必要
２.下列图象表示的函数在x=x0处连
B．始终在统一中着重把握斗争
C．在对立中把握统一，在统一中把握斗争
D．把矛盾放在一边，只寻求双方合作的共同点
矛盾是客观的，是事物本身所固有的， 并非任何事物之间都能构成矛盾
构成
引起
推动
联系
运动
变化 发展
内部 之间
矛盾
唯物辨证法的核心
点x0处连续。
g(x)
②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0) 处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续
4.函数f(x)在(a，b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续， 就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开 区间(a，b)内的连续函数. f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点 都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］， 若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于 f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于 f(a)， f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处 右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于
议一议
天下事有难易乎，为之，则难者 亦易矣，不为，则易者亦难矣；天下 为学有难易乎，学之，则难者亦易矣， 不学，则易者亦难矣。
①天下事、人之为学有没有难易的分别? ②难和易转化的条件是什么?
返回
（３）矛盾的斗争性：
是指矛盾双方相互排斥、相互对立的属性，体 现对立双方相互分离的倾向和趋势
思考：哲学上讲的斗争与我们现实生活中所讲的斗争及政治 斗争是一回事吗？
猫和老鼠是一对“老冤家”， 它们能在竞争中共同生存下来， 是因为在同对方的斗争中不断 完善自己；老鼠会“装死”， 猫会“假眠”，老鼠昼伏夜出， 猫的眼可以随光线的阴暗而改 变瞳孔的大小，夜间仍可看见 东西；老鼠的听觉极为灵敏， 稍有动静就藏得无影无踪，猫 则在脚下生成了肉垫，走起路 来无声无息。
比较：
找小分队?
(2)若其中的r 为变量,且0<r<1 ,
则行动的最终目的地在怎样 O
x
备用
例题：利用连续函数的图象特征，判断方程：
2x3 5x 1 0 是否存在实数根。
小结
1．函数f(x)在x=x0处连续必须具备 三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及 其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0 处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的 极限值等于这一点处的函数值f(x0)。 2．如果函数f(x)在闭区间[a,b]上是 连续函数，那么函数f(x)在闭区间 [a,b]上有最大值和最小值。
课后作业
• 有个卖盾和矛的楚国人，夸他的盾说： “我的盾坚固得没有一个东西刺得破啊。” 又夸他的矛说：“我的矛锋利得没有一个 东西刺不破啊。”有人说：“用您的矛来 刺您的盾，会怎么样？”那个人可就回答 不出来啦。刺不破的盾和什么东西都刺得 破的矛不可能同时存在。
下列诗句，包含了哪些哲学道理？
材料二：红海中有一种红鲷鱼，二十条聚在一起， 一雄多雌，雄鱼死后，就有一个雌鱼变为雄性。
材料三：a+b＝a-(-b);
三则材料共同体现了什么哲理？请试分析一例。
近年来，中美关系“一波三折”，时而出现
发展的良好势头，时而又麻烦不断。从哲学的
角度看，正确处理中美关系应做到 ( C
)
A．始终在对立中着重把握统一
——老子.《道德经》
①矛盾双方相互依存，一方的存在以另一方 的存在为前提，双方共处于一个统一体中。
矛盾双方相互依存，一方的存在以另一方的 存在为前提，双方共处于一个统一体中。
探究: 美国有一个自然保护区，原来有许多鹿群和狼群。
人们为了保护鹿群，把狼全打死了。鹿群在尽享太 平的十年里，由4千头猛增到4.2万头。但舒服的生 活使它们运动量减少，体质下降，尔后大量死亡， 剩下不足4千头。最后只得请回“狼医生”，狼又 捕食鹿了，鹿群又恢复了生机。
f(b).
5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有
f
lim
xa
ｆ(x)=f(a)，在右端点x=b处有lim xb
f(x)=f(b),
就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭 区间［a，b］上的连续函数.
6. 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那 么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值
蝉噪林逾静，鸟鸣山更幽
朱门酒肉臭，路有冻死骨
镇守祖国南疆的战士写过一幅对联： 兴中华，甜中有苦苦中有甜，一人辛
苦万人甜； 保南疆，圆中有缺缺中有圆，一家不
圆万家圆。
矛盾就是对立统一
赫拉克利特：“宇宙中各个部分都可以分为相
互对立的两半：地分为高山和平原，水分为淡
水 和 咸 水 …… 气 候 分 为 冬 和 夏 、 春 和 秋 ” ，
哲学所讲的“斗争性”
生活中所说的“斗争”
包括一切差异和 对立（共性）
仅仅是矛盾斗争性的一 种具体形式（个性）
凡是矛盾，必有斗争，否则，就不成其为对立面， 就不成其为矛盾了(斗争是绝对的,无条件的）
请根据矛盾的“对立性”含义填空：
喜—— 悲 攻—— 守 强—— 弱 深—— 浅
吸引—— 排斥 遗传—— 变异 民主—— 法制 战争—— 和平
②矛盾双方相互贯通，即相互渗透，相 互包含，在一定的条件下可以相互转化
• 吃一堑长一智，失败是成功之母
居安思危、乐极生悲、过犹不及。
“虚心使人进步，骄傲使人落后”
世界上的事情永远不是绝对的，结果完全 因人而异。苦难对于天才是一块垫脚石，对 于弱者是一个万丈深渊。
——巴尔扎克
塞 翁 失 马 焉 知 非 福
“没有那些非正义的事情，人们也就不知道正
义的名字”。
他还认为：“排斥的东西结合在一起，不同的 音调造成最美的和谐”；“冷变热，热变冷， 湿变干，干变湿”；“战争使一些人成为神， 使一些人成为奴隶，使一些人成为自由人”。
赫拉克利特（约公元前540-前480年），古 希腊著名唯物主义哲学家，列宁对他丰富的辩 证法思想给以很高的评价，称他是“辩证法的 奠基人之一”。
议一议：我们身边还存在着哪些对立斗争 着的矛盾双方？
• 足球比赛中的攻与守 • 学习过程中的苦与乐 • 自身存在的缺点与优点
• 社会生活中的美与丑、真与假、善与 恶、福与祸、正风与歪风、自由和纪 律、先进与落后、物质文明和精神文 明、暴力与和平
• 自然界中的排斥与吸引、遗传与变异、 阴电与阳电、作用力与反作用力
一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原
点出发,在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位
后,向左转900,前进ar (0<r<1)个单位,再向
左转900,以前进ar2 个单位,…….,如此连续
下去
(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本
营失去联系,且可以断定此小分y 队的行动与
原定方案相同,则大本营在何处寻
塞翁失马
住在边塞的一个老头，是养马高手，和马 有深厚的感情。一天他养的马丢了，别人来 安慰他，他说：这怎么就不算是好事呢？几 个月以后，这匹马果然带了一匹好马回来了。 别人又来祝贺他，他说：这怎么知道就不是 坏事呢？不久，他的儿子骑好马把腿摔坏了。 别人来安慰他，他说：这怎么知道就不是好 事呢？果然，不久发生了战争，他的儿子因 为腿坏不能上战场，一家人得以享受天伦之 乐。
（的３极）限值等xlim于x0 这f(x一)=点f(x的0)，函即数函值数. f(x)在点x0处
如果上述三个条件中有一个条件不满足，就 说函数f(x)在点x0处
3.函数连续性的运算:
①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则 f(x)±g(x)，f(x)•g(x)， f (x) (g(x)≠0)也在
1 (1)讨论函数f(x)= 0
-1
(x>0) (x=0) ,在点x 0处的连续性
(x<0)
(2)讨论函数f(x)=
x x-3
在区间0,
3
上的连续性