第一章函数,极限与连续PPT课件

).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2 n2
n
1
n(n 1)
lim 2 n
n2
1 lim (1 n 2
1) n
1. 2
例2
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解
x
时,
分子,
分母的极限都是无穷大
.(
型
)
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限 .
若f (x) f (x) 称 f ( x)为奇函数 ;
偶函数关于y轴对称, 奇函数关于原点对称
（3）函数的周期性 f ( x T ) f ( x) （4）函数的有界性
若X D, M 0, x X ,有 f ( x)
M 成立,
4、求解反函数（步骤） （1）反解：把x从方程f(x)中解出 （2）改写：在表达式x与y互换
利用洛比达法则（第四章）未定型 0 或 型极限 0
公式 lim f (x) lim f (x) xa g(x) xa g (x)
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n n2 n
1 n2 1
1 n2 n
n ,
n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
n
1
lim
n
lim n2 1 n
1,
1
1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
x
x
x
小结：求极限时需讨论左右的情况：
①分段函数(绝对值函数)在分段点的极限；
②在求含au , eu ,arctan u等项的函数在u 时 的极限时要注意分别考虑u , u .
1
例如在判断lim e x的存在性时就需要分开讨论. x0
y=f(x)在点x0处连续
y=f(x)在点x0处有定义
y = f(x) 在 点 x0 处 极 限 存 在
2、利用两个重要极限计算
lim sin x 1 x0 x
3、利用夹逼准则
lim(1 1 ) x e
x
x
4、利用等价无穷小等价替换求极限
5、利用洛比达法则（第四章）未定型 0 或 型极限
lim f (x) lim f (x)
0
xa g(x) xa g (x)
例1
求
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
（2）、判断两个函数是否相同
2、函数符号的理解和使用 直接代入法
变量代换法
对式子的直接加工法
3、函数的几何特性 （1）函数的单调性
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
（2）函数的奇偶性 设D关于原点对称 , 对于x D,
若f (x) f (x) 称 f ( x)为偶函数 ;
（3）无穷小量比较
常用等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x,
arcsin x ~ x,
tan x ~ x,
arctan x ~ x,
ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x,
1Leabharlann Baiducos x ~ 1 x2 , 2
ax
1 ~ x ln a,
(1
1
x)n
1~ 1 x.
n
(1 x)a 1 ~ ax
5、复合函数
y f (u) u ( x)
y f [( x)]
二、函数的极限
1.定义: 设x X时,f (x)无限趋于某一确定的数 A,则称 x X时,f (x)收敛于A,记 lim f (x) A,
xX
X的变化趋势有:
x x0包含两个过程 : x x0 , x x0
x 包含两个过程 : x ,x
左极限 : (1) lim x x0
f (x)
f
( x0
0)
(2) lim f (x) x-
右极限 : (1) lim x x0
f
(x)
f
( x0
0)
(2) lim f (x) x
极限存在的充要条件：左极限=右极限
lim
xx0
f
(x)
A
f
(x0
0)
f
(x0
0)
A
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
3、无穷小量和无穷大量
若 lim f (x) 0,则称f (x)是极限过程x X下的无穷小量. xX
若 lim f (x) ,则称f (x)是极限过程x X下的无穷大量 xX
（2）无穷小量和无穷大量性质
1 无穷大
无穷小；
1 无穷小
无穷大
性质1 有限个无穷小的和仍是无穷小。
性质2 有界函数与无穷小之积是无穷小。
0
y=f(x)在点 U( x0, ) 处有界
2.夹逼准则 准则Ⅰ 如果在某个变化过程中满足下列条件:
(1) g(x) f (x) h(x) (n 1,2,3) (2) lim g(x) lim h(x) A,
那末 lim f (x) A.
例题：
例2 求 lim( 1 1 1 ).
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 xm 1 b1 xn 1
a0 当n m,
am
b0 0 当n m,
bn
当n m,
注意：上述公式只适用于x 且 函数为多项式相除的情况.
高等数学辅导
（北上专升本） 课时：32
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
函数、极限与连续 导数与微分 中值定理及导数应用 不定积分 定积分及其应用 微分方程 向量代数与空间解析几何
第一章 函数、极限与连续
一、函数
1、函数的二要素：定义域和对应法则 （1）、函数的定义域求解： 定义域是使得函数表达式有意义。课本P7
推广 若x 0,
0,sin ~
ln(1 ) ~
例1
求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
原式
lim x0
(2 1
x)2 x2
8.
2
注意 不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例2 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x 0.
x0 (2 x)3
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 x3 2
1
.
2
x0 (2 x)3 16
求极限方法小结
1、初等数学技巧计算：
通分，根式有理化，变量代替，提出公因子，抓“大头”