2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)(解析版)

2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（）2（其中i为虚数单位），则=（）A．1 B．﹣i C．﹣1 D．i2．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（0，2）}C．[一2，2]D．[一3，3]3．已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知数列{a n}为等差数列，且a2016+a2018=dx，则a2017的值为（）A．B．2πC．π2D．π6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）7．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜Z≤μ+ς）=0.6826；P（μ﹣2ς＜Z≤μ+2ς）=0.9544；P（μ﹣3ς＜Z≤μ+3ς）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75398．已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤1}B．{a|a≤﹣1}C．{a|a≤﹣1或a≥1}D．{a|a≥1} 9．若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，则下列结论一定正确的是（）A．a1⊥a4B．a1∥a4C．a1与a4既不垂直也不平行D．a1与a4的位置关系不确定10．设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．﹣112．已知函数f（x）=，若在区间（1，∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得==…成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{2，3，4}二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=b（﹣2）n﹣1﹣a，则=．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为．16．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得+++…+＜t恒成立的实数t的最小值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f （x ）=cosx （sinx ﹣cosx ）+m （m ∈R ），将y=f （x ）的图象向左平移个单位后得到g （x ）的图象，且y=g （x ）在区间[，]内的最小值为．（1）求m 的值；（2）在锐角△ABC 中，若g （）=﹣+，求sinA +cosB 的取值范围．18．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，E 是BC 中点．（1）求证：A 1B ∥平面AEC 1；（2）在棱AA 1上存在一点M ，满足B 1M ⊥C 1E ，求平面MEC 1与平面ABB 1A 1所成锐二面角的余弦值．19．某市为了了解全民健身运动开展的效果，选择甲、乙两个相似的小区作对比，一年前在甲小区利用体育彩票基金建设了健身广场，一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20人作为样本，进行身体综合素质测试，测试得分分数的茎叶图（其中十位为茎，个们为叶）如图： （1）求甲小区和乙小区的中位数；（2）身体综合素质测试成绩在60分以上（含60）的人称为“身体综合素质良好”，否则称为“身体综合素质一般”．以样本中的频率作为概率，两小区人口都按1000人计算，填写下列2×2列联表，并判断是否有97.5%把握认为“身体综合素质良好”与“小区是否建设健身广场”有关？（附：k=）20．已知椭圆C ： +=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，右焦点为F ，上顶点为A ，且△AOF 的面积为（O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 在以椭圆C 的短轴为直径的圆上，且M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q 两点．试问△PFQ 的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．21．已知函数f （x ）=asinx +ln （1﹣x ）． （1）若a=1，求f （x ）在x=0处的切线方程；（2）若f （x ）在区间[0，1）上单调递减，求a 的取值范围； （3）求证：e ＜2，（n ∈N *）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铪笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AP|•|BP|=|BA|2，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（）2（其中i为虚数单位），则=（）A．1 B．﹣i C．﹣1 D．i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=（）2==i，则=﹣i．故选：B．2．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（0，2）}C．[一2，2]D．[一3，3]【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据椭圆的定义得到集合M，根据直线方程得到集合N，再求交集即可．【解答】解：集合M={x|+=1}=[﹣3，3]，N={y|+=1}=R，则M∩N=[﹣3，3]，故选：D．3．已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．【解答】解：由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．∴ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的必要不充分条件．故选：C．4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】由程序框图知，得出打印的点坐标，判定该点是否在圆内即可．【解答】解：由程序框图知，i=6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2=25外，i=5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2=25外，i=4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2=25内，i=3时，打印第四个点（0，3），在圆x2+y2=25内，i=2时，打印第五个点（1，2），在圆x2+y2=25内，i=1时，打印第六个点（2，1），在圆x2+y2=25内，∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个．故选：C．5．已知数列{a n}为等差数列，且a2016+a2018=dx，则a2017的值为（）A．B．2πC．π2D．π【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据定积分的几何意义求出a2016+a2018=dx=π，再根据等差中项的性质即可求出．【解答】解：dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，则a2016+a2018=dx=π，∵数列{a n}为等差数列，∴a2017=（a2016+a2018）=，故选：A6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为r，大圆半径为2，设小圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆环的面积为4π﹣πh2=π（4﹣h2）；故选D．7．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜Z≤μ+ς）=0.6826；P（μ﹣2ς＜Z≤μ+2ς）=0.9544；P（μ﹣3ς＜Z≤μ+3ς）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出【分析】求出P阴影=P（结论．0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，【解答】解：由题意P阴影=P（则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．故选：B．8．已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤1}B．{a|a≤﹣1}C．{a|a≤﹣1或a≥1}D．{a|a≥1}【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进行求解．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤k BA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1]故选：A．9．若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，则下列结论一定正确的是（）A．a1⊥a4B．a1∥a4C．a1与a4既不垂直也不平行D．a1与a4的位置关系不确定【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】可得平面a1，a3平行或相交，而a3⊥a4，可得a1与a4的位置关系不确定，【解答】解：∵若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，∴平面a1，a3平行或相交，∵a3⊥a4，∴a1与a4的位置关系不确定，故选D．10．设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a1、a2、a3、a4的值，再计算．【解答】解：由（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，=•25﹣r•（﹣x）r，且二项式展开式的通项公式为T r+1∴a1=﹣•24=﹣80，a2=•23=80，a3=﹣•22=﹣40，a4=•2=10；∴==﹣．故选C．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．﹣1【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选B．12．已知函数f（x）=，若在区间（1，∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得==…成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{2，3，4}【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由题意可知n为方程f（x）=kx的解的个数，判断f（x）的单调性，作出y=f（x）与y=kx的函数图象，根据图象交点个数判断．【解答】解：设==…=k，则方程有n个根，即f（x）=kx有n个根，f（x）=，∴f（x）在（1，）上单调递增，在（，2）上单调递减．当x＞2时，f′（x）=e x﹣2（﹣x2+8x﹣12）+e x﹣2（﹣2x+8）=e x﹣2（﹣x2+6x﹣4），设g（x）=﹣x2+6x﹣4（x＞2），令g（x）=0得x=3+，∴当2时，g（x）＞0，当x＞3+时，g（x）＜0，∴f（x）在（2，3+）上单调递增，在（3+，+∞）上单调递减，作出f（x）与y=kx的大致函数图象如图所示：由图象可知f（x）=kx的交点个数可能为1，2，3，4，∵n≥2，故n的值为2，3，4．故选D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为90°．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵||=1，||=2，与的夹角为120°，∴===﹣1．∵，∴，∴=，∴﹣（﹣1）=，∴=0．∴．∴与的夹角为90°．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=b（﹣2）n﹣1﹣a，则=﹣．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用递推关系、等比数列的定义与通项公式即可得出．【解答】解：n=1时，a1=b﹣a．n≥2时，a n=S n﹣S n=b（﹣2）n﹣1﹣a﹣[b（﹣2）n﹣2﹣a]，﹣1上式对于n=1时也成立，可得：b﹣a=b+．则=﹣．故答案为：﹣．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为33π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LG：球的体积和表面积．【分析】求出外接球的半径、内切球的半径，即可求出该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和．【解答】解：将三棱柱扩充为长方体，对角线长为=，∴外接球的半径为，外接球的表面积为29π，△ABC的内切圆的半径为=1，∴该三棱柱内切球的表面积4π，∴三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为29π+4π=33π，故答案为：33π．16．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得+++…+＜t恒成立的实数t的最小值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意知﹣θn是直线OA n的倾斜角，化==tan（﹣θn）=，再求出+++…+的解析式g（n），利用g（n）＜t恒成立求出t的最小值．【解答】解：根据题意得，﹣θn是直线OA n的倾斜角，∴==tan（﹣θn）===﹣，∴+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+﹣﹣=﹣﹣；要使﹣﹣＜t恒成立，只须使实数t的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间[，]内的最小值为．（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若g（）=﹣+，求sinA+cosB的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据二倍角公式化简f（x），利用平移规律得出g（x）的解析式，根据最小值列方程求出m；（2）根据条件求出C，用A表示出B，化简sinA+cosB得出关于A函数，根据A 的范围得出正弦函数的性质得出sinA+cosB的范围．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx﹣cos2x+m=sin2x﹣cos2x+m﹣=sin（2x﹣）+m﹣，∴g（x）=sin[2（x+）﹣]+m﹣=sin（2x+）+m﹣，∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，g（x）取得最小值+m﹣=m，∴m=．（2）∵g（）=sin（C+）+﹣=﹣+，∴sin（C+）=，∵C∈（0，），∴C+∈（，），∴C+=，即C=．∴sinA+cosB=sinA+cos（﹣A）=sinA﹣cosA+sinA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）．∵△ABC是锐角三角形，∴，解得，∴A﹣∈（，），∴＜sin（A﹣）＜，∴＜sin（A﹣）＜．∴sinA+cosB的取值范围是（，）．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，推导出EO∥A1B，由此能证明A1B∥平面AEC1．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，∵ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点，又E为CB的中点，∴EO∥A1B，∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，∴A1B∥平面AEC1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E （1，1，0），设M （0，0，m ），（0≤m ≤2），则=（﹣2，0，m ﹣2），=（1，﹣1，﹣2），∵B 1M ⊥C 1E ，∴=﹣2﹣2（m ﹣2）=0，解得m=1， ∴M （0，0，1），=（1，1，﹣1），=（0，2，1）， 设平面MEC 1的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取y=﹣1，得=（3，﹣1，2），∵AC ⊥平面ABB 1A 1，∴取平面ABB 1A 1的法向量为=（0，2，0），∴cos ＜＞==﹣，∴平面MEC 1与平面ABB 1A 1所成锐二面角的余弦值为．19．某市为了了解全民健身运动开展的效果，选择甲、乙两个相似的小区作对比，一年前在甲小区利用体育彩票基金建设了健身广场，一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20人作为样本，进行身体综合素质测试，测试得分分数的茎叶图（其中十位为茎，个们为叶）如图： （1）求甲小区和乙小区的中位数；（2）身体综合素质测试成绩在60分以上（含60）的人称为“身体综合素质良好”，否则称为“身体综合素质一般”．以样本中的频率作为概率，两小区人口都按1000人计算，填写下列2×2列联表，并判断是否有97.5%把握认为“身体综合素质良好”与“小区是否建设健身广场”有关？ （附：k=）【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）利用茎叶图，可得甲小区和乙小区的中位数； （2）列出列联表，求出k ，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，甲小区的中位数为55，乙小区的中位数为42.5； （2）2×2列联表，k=≈5.698＞5.024，∴有97.5%把握认为“身体综合素质良好”与“小区是否建设健身广场”有关．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点．试问△PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点），列出方程组，求出a=，b=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），，连结OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，从而求出△PFQ的周长为定值2．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．∴，解得a=，b=1，∴椭圆C的方程为．（2）设点P在第一象限，设P（x1，y1），Q（x2，y2），，∴|PF|=====，连结OM，OP，则|PM|====，∴|PF|+|PM|=，同理，|QF|+|QM|=，∴|PF|+|QF|+|PQ|=|PF|+|QF|+|PM|+|QM|=2，∴△PFQ的周长为定值2．21．已知函数f（x）=asinx+ln（1﹣x）．（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）在区间[0，1）上单调递减，求a的取值范围；（3）求证：e＜2，（n∈N*）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）把a=1代入函数解析式，求出导函数，得到f′（0）及f（0），然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）由f（x）在区间[0，1）上单调递减，可得f′（x）=acosx﹣≤0对x∈[0，1）恒成立，然后对a分类即可求得a的取值范围为（﹣∞，1]；（3）由（2）知，当a=1时，f（x）=sinx+ln（1﹣x）在（0，1）上单调递减，可得f（x）＜f（0）=0，即sinx＜ln，由＜及=ln[]=＜ln2．即可证得＜ln2．则e＜2，（n∈N*）．【解答】（1）解：a=1时，f（x）=asinx+ln（1﹣x），f′（x）=cosx﹣，∴f′（0）=0，又f（0）=0，∴f（x）在x=0处的切线方程为y=0；（2）解：∵f（x）在区间[0，1）上单调递减，∴f′（x）=acosx﹣≤0对x∈[0，1）恒成立，若a≤0，x∈[0，1）时，acosx﹣≤0成立．若a＞0，acosx﹣≤0⇔（1﹣x）cosx．令h（x）=（1﹣x）cosx，显然h（x）在[0，1）上单调递减，∴h（x）≤h（0）=1，∴，则0＜a≤1．综上，a的取值范围为（﹣∞，1]；（3）证明：由（2）知，当a=1时，f（x）=sinx+ln（1﹣x）在（0，1）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，即sinx＜ln，而∈（0，1），∴＜，∴＜，而=ln[]=＜ln2．∴＜ln2．∴e＜2，（n∈N*）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铪笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AP|•|BP|=|BA|2，求m的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），利用互化公式可得直角坐标方程．过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l参数方程为：（t为参数）．相减消去参数化为普通方程．（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．由于|AP|•|BP|=|BA|2，可得|t1•t2|=，化为：5t1•t2=，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），可得直角坐标方程：y2=mx（m＞0）．过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l参数方程为：（t为参数）．消去参数化为普通方程：y=x﹣2．（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．则t1+t2=（m+8），t1•t2=4（m+8）．∵|AP|•|BP|=|BA|2，∴|t1•t2|=，化为：5t1•t2=，∴20（m+8）=2（m+8）2，m＞0，解得m=2．[选修4-5：不等式选讲]23．设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．【考点】R5：绝对值不等式的解法；72：不等式比较大小．【分析】（1）先求出M，再利用绝对值不等式证明即可；（2）利用作差方法，比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小．【解答】（1）证明：记f（x）=|x+2|﹣|1﹣x|=，∴由0＜2x+1＜2，解得﹣＜x＜，∴M=（﹣，）∴|a+b|≤|a|+|b|=＜；（2）解：由（1）可得a2＜，b2＜，∴（4ab﹣1）2﹣4（b﹣a）2=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，∴|4ab﹣1|＞2|b﹣a|．2017年5月23日。