云南省2017届高三第二次复习统一检测文科数学试题(解析版).docx

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(优辅资源)云南省昆明市高三下学期第二次统测数学(理)试题 Word版含答案

云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数z 满足()21i 1i z+=-，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为53，则其渐近线方程为（）A ．20x y ±=B ． 20x y ±=C ．340x y ±=D ．430x y ±= 3. 执行如图所示的程序框图，正确的是（）A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为104. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．24πB ．30π C.42π D ．60π 5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n S a 成等差数列，则17S =（） A ．0 B ．2 C.2- D ．34 6. ()()34122x x +-的展开式中x 的系数是（）A ．96B ．64 C.32 D ．16 7. 在ABC ∆中，AH BC ⊥于H ，点D 满足2BD DC =，若2AH =，则A H A D =（）A B ．2 C.．4 8. 已知函数()()sin 026f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭满足条件：102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，为了得到()y f x =的图象，可将函数()cos g x x ω=的图象向右平移m 个单位(0)m >，则m 的最小值为（）A ．1B ．12 C.6π D ．2π9. 圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”. 事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯()Re uleaux 命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）: 画一个等边三角形ABC ，分别以,,A B C 为圆心，边长为半径，作圆弧,,BC CA AB ，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形. 它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.图1 图2在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（） A ．8πBD10. 已知抛物线()220y px p =>上的点到焦点的距离的最小值为2，过点()0,1的直线l 与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线l 的距离为（）A ．1或 2 B ．1或2或2D ． 211. 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()xf x e =，若存在R t ∈，对任意[]()1,1,N x m m m ∈>∈，都有()f x t ex +≤ , 则m 的最大值为（） A ． 2 B ．3 C.4 D ．5 12. 定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的周期. 若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时，()()221xf x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞ C.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)10,+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为．14. 若函数()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0x =处的切线方程为31y x =-+，则ω= ．15. 表面积为16π的球面上有四个点,,,P A B C ，且ABC ∆是边长为若平面PAB ⊥平面ABC ，则棱锥P ABC -体积的最大值为．16. 某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有种．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2.（1）求AD 的长；（2）求CBD ∆的面积.18. 根据“2015年国民经济和社会发展统计公报” 中公布的数据，从2011 年到2015 年，我国的第三产业在GDP 中的比重如下:（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立第三产业在GDP 中的比重y 关于年份代码x 的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017 年我国第三产业在GDP 中的比重. 附注: 回归直线方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =-.19. 如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥平面111,1,2BCC B AC BC BB ===， 160B BC ∠=.（1）证明:1B C AB ⊥；（2）已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45，求1BEBB 的值. 20. 在直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆221:20O x x y ++=外切，同时与圆222:2240O x y x +--=内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明:OS OT 为定值.21. 已知函数()()1ln 11x x f x e-++=. （1）求()f x 的单调区间；（2）设()()()232'g x x x f x =++(其中()'f x 为()f x 的导函数) ，证明:1x >- 时，()21g x e <+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122(2x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程；（2）若将曲线1C上各点的横坐标缩短为原来的62倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x =+.（1）解不等式()241f x x <--；（2）已知()10,0m n m n +=>>，若不等式()11x a f x m n--≤+恒成立，求实数a 的取值范围.云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:CDCAB 6-10:BBADB 11-12：CC二、填空题13. 8 14. 3 15.3 16.12三、解答题17. 解：(1)由已知11sin 25sin 222ABD S AB BD ABD ABD ∆=∠=⨯⨯∠=，所以sin ABD ∠=，又0,2ABD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos ABD ∠=ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠=，所以AD =(2)由AB BC ⊥，得2ABD CBD π∠+∠=，所以sin cos 5CBD ABD ∠=∠=，又 42,sin 2sin cos 5BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=，222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ⎛⎫∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠ ⎪⎝⎭，所以CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin51155455,sin4sin42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCDBCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠.18. 解：(1)数据对应的散点图如图所示：(2)3,47.06x y==，1122211()()151.510()()n ni i i ii in ni ii ix y nx y x x y ybx n x x x====---====--∑∑∑∑,42.56a y bx=-=，所以回归直线方程为 1.542.56y x=+.(3)代入2017 年的年份代码7x=，得1.5742.5653.06y=⨯+=，所以按照当前的变化趋势，预计到2017年，我国第三产业在GDP中的比重将达到0053.06.19. 解：(1)证明：在1BCB∆中，111,2,60BC BB B BC==∠=，则13B C==22211BC B C BB+=，故1B C BC⊥.所以AC⊥平面11BCC B，于是1AC B C⊥，又BC AC C=，故1B C⊥平面ABC，所以1B C AB⊥.(2)如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则())()()10,0,0,,0,1,0,0,0,1C B B A ，由11BB CC =，得)11,0C -，设()1BE BB λλ=0≤≤1，则),1,0Eλ-，于是()()13,1,1,3,1,1AE ACλλ=--=--，求得平面1AEC 的一个法向量为(n λ=-，取平面1EC C 的一个法向量为()0,0,1m =，又二面角1A EC C --为45，则(cos 45m n m nλ===-，解得12λ=或2λ=（舍），所以1BE BB 的值为12. 20. 解：(1)由圆221:20O x x y ++=，得()2211x y ++=，所以()11,0O -，半径为1；由圆222:2240O x y x +--=，得()22125x y -+=，所以()21,0O ，半径为5，设动圆圆心(),M x y ，半径为R ，因为M 与1O 外切，所以1R 1MO =+，又因为M 与2O 外切，所以25R MO =-，将两式相加得12126MO MO OO +=>，由椭圆定义知，圆心M 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，则229,8a b ==，所以动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y +=. (2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，则()11,B x y -，由题意知01x x ≠±.则1010AP y y k x x -=-，直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-，令0y =，得011010S x y x y x y y -=-，同理()()011001101010T x y x y x y x y x y y y y --+==--+，于是222201100110011022101010S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+-，又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上，故2222010181,8199x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 ()()22222222222222011001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()222222010110222210018989x x x y x y OS OT y y x x --===--. 21. 解：(1)函数()f x 的定义域为()()()111ln 111,,'x x x f x e---++-+∞=，由于()()1'00,1ln 11f y x x ==--++在()1,-+∞上是减函数，所以当10x -<<时，()'0f x >；当0x >时，()'0f x <.所以()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为()0,+∞.(2)由()()()()21'g x x x f x =++，①当0x ≥时，由(1) 知()'0f x ≤，所以()201g x e ≤<+.② 当10x -<<时，()()()()()()()1111ln 121ln 1121x x x x x x x x g x x x e e ----++--++⎡⎤⎣⎦+=++=()()()2121ln 1x x ex x x e++=--++⎡⎤⎣⎦，构造函数()()12x h x e x +=-+，则()1'10x h x e +=->，则当10x -<<时，()()()112210,01x x x h x e x h e +++=-+>-=∴<<，易知当10x -<<时，()()1ln 10x x x --++>，()()()()()()22121ln 11ln 1x x g x e x x x e x x x e++∴=--++<--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 要证()21g x e <+，只需证()()21ln 11x x x e --++≤+，设()()()1l n 1p x x x x =--++，得()()'2ln 1p x x =--+，由()()'2ln 10p x x =--+=，得21x e -=-，当()21,1x e -∈--时，()'0p x >，则()p x 单调递增；当()21,0x e -∈-时，()'0p x <，则()p x 单调递减，当10x -<<时，()()()()221ln 111p x x x x p e e --=--++≤-=+，所以当10x -<<时，()21g x e <+成立.综合① ②可知：当1x >-时，()21g x e <+. 22. 解：(1)直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由题意知，曲线2C 的参数方程为cos (xy θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），可设点()cos P θθ，故点P 到直线l的距离为d ==，所以min d =P 到直线l 23. 解：（1）不等式()241f x x <--等价于2214x x ++-<，即()22214x x x ≤-⎧⎪⎨-+-+<⎪⎩或()212214x x x -<<⎧⎪⎨+-+<⎪⎩或()12214x x x ≥⎧⎪⎨++-<⎪⎩. 解得7|23x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭或{}|21x x -<-或∅，所以不等式的解集为7|13x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. （2）因为()222x a f x x a x x a x a --=--+≤---=+，所以()x a f x --的最大值是2a +，又()10,0m n m n +=>>，于是()112224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，11m n ∴+的最小值为4. 要使()11x a f x m n--≤+的恒成立，则24a +≤，解此不等式得62a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]6,2-.。

【全国省级联考word】云南省2017届高三高中毕业生第二次复习统一检测理数试题

2017 年云南省第二次高中毕业生复习一致检测理科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1. 已知会合 S1,2,3 , Txx1 0 ，则S T （）x3A ． 2B． 1,2C．1,3 D．1,2，32. 已知 i 为虚数单位，若z 11 2i , z2 1 i ，则复数 z 1 在复平面内对应点位于（）z 22A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D．第四象限3. 已知等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ，若 S 37,S 663 ，则数列 na n 的前 n 项和为（）A ．3 ( n 1) 2n B ． 3 ( n 1) 2nC ． 1 (n 1) 2n D． 1 (n 1) 2n4. 已知平面向量 a 、 b 都是单位向量，若 b(2a b) ，则 a 与 b 的夹角等于（）A ．B．C.3 D．2645. 要获取函数 y1cos2x 的图象，只要将函数 y1sin 2x 的图象（）22A ．向右平移个单位 B．向右平移个单位24C. 向左平移个单位D．向左平移个单位246. 履行以下图程序框图，假如输入的k 2017 ，那么输出的 a i （）A．3B．6 C.-3D． 67. 如图是由圆柱与两个半球组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积与表面积分别为（）A．10,8 B ． 16 ,8 C. 10 ,10 D ．16,10 3 3 3 38. 在( x 2 1 x) n的二项睁开式中，若第四项的系数为7 ，则 n （）A．9 B ． 8 C. 7 D ． 69. 已知 a 2,b 2 ，直线 y b x b 与曲线( x 1) 2 ( y 1) 2 1 只有一个公共点，则 ab 的取值范围为a（）A．(4,6 4 2)B．(4,6 4 2] C.[6 4 2, )D．(6 4 2, )10.《九章算术》是我国古代数学成就的优秀代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最精练有效的应用数字，它的出现标记中国古代数学形成了完好的系统. 此中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其粗心是，弧田面积计算公式为：弧田面积= 1（弦矢矢2矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长 AB 等于 6 米，其弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为7平方米，则2cos AOB （）A． 1 B ．3C. 1 D ．725 25 5 25x 1 ln 3 ln( 2x 1),0 x 1 ,11. 若偶函数f (x)知足f ( x) (x 1)( x 2)( x 3) ln(2x 1) 2 则曲线 y f (x) 在点 ( 1,0) 处的切1,3x 5 , x 2线方程为（）A．6 x y 6 0 B ． x 3 y 1 0 C. 6x y 6 0 D ． x 3y 1 012. 已知双曲线M :x2y2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为F1、F2 ， F1F2 2c .若双曲线M的右a2 b2支上存在点 P ，使 a 3c ，则双曲线 M 的离心率的取值范围为（）sin PF1 F2 sin PF2F127A．(1,) B ．(1,27] C.(1,2) D．(1,2] 3第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）x y 2,13. 已知实数 x、 y 知足 x y 2, 则 z 2x y 6 的最小值是．0 y 3,14. 在棱长为 6 的正方体ABCD A1B1C1 D1中，P、Q是直线 DD1上的两个动点.假如PQ 2 ，那么三棱锥 P BCQ 的体积等于．15.已知椭圆 E 的中心为原点 O ，焦点在x轴上， E 上的点与 E 的两个焦点组成的三角形面积的最大值为12 ，直线 4 x 5y 12 0 交椭圆于 E 于 M , N 两点.设 P 为线段 MN 的中点，若直线 OP 的斜率等于 4 ，5 则椭圆 E 的方程为．16. 在数列a n 中， a1 2 ，若平面向量 b n (2, n 1) 与 c n ( 1 a n 1 a n , a n ) 平行，则a n的通项公式为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.已知a、b、c分别是ABC 的内角 A、 B、 C 对的边，b 3 .（ 1）若C 5，ABC 的面积为3，求c；6 2（ 2）若B，求2a c 的取值范围.318.为吸引顾客，某企业在商场举办电子游戏活动 . 关于A, B两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，并且每次游戏的结果互相独立，详细规则以下：玩一次游戏 A ，若绿灯闪亮，获取50 分，若绿灯不闪亮，则扣除 10 分（即获取10 分），绿灯闪亮的概率为1；玩一次游戏B，若出现音乐，获取60分，若没有出2现音乐，则扣除 20 分（即获取20 分），出现音乐的概率为2.玩多次游戏后累计积分达到130分能够兑换5奖品 .（ 1）记X为玩游戏 A 和 B 各一次所得的总分，求随机变量X 的散布列和数学希望；（ 2）记某人玩 5 次游戏 B ，求该人能兑换奖品的概率.19.如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1D1中，点E, F分别为 A1B, C1C 的中点.（ 1）求证：EF∥平面ABCD；（ 2）若四棱柱ABCD A1 B1C1D1是长方体，且AB AD2AA1，求平面 A1BF 与平面ABCD所成二面角的正弦值 .20.已知抛物线 E 的极点为原点O ，焦点为圆F：x2y 24x 3 0 的圆心F.经过点F的直线l交抛物线 E 于 A, D 两点，交圆 F 于 B,C 两点， A, B 在第一象限，C, D 在第四象限.（ 1）求抛物线 E 的方程；（ 2）能否存在直线 l ，使 2 BC 是 AB 与 CD 的等差中项？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明原因 .21. 已知 e 是自然对数的底数， f ( x)me x ， g(x) x 3 ， ( x)f ( x) g( x) ，h( x) f ( x) g (x 2) 2017 .（ 1）设 m 1，求 h(x) 的极值；（ 2）设 me 2 ，求证：函数 ( x) 没有零点；（ 3）若 m0, x 0 ，设 F ( x)m 4x 4 3 .f ( x)g ( x)，求证： F ( x)1请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程x 2 t ,在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为4 （ t 为参数） . 以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，yt ,成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 sin 22 cos . 直线 l 交曲线 C 于 A, B 两点 .（ 1）写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）设点 P 的直角坐标为 ( 2, 4) ，求点 P 到 A, B 两点的距离之积 .23. 选修 4-5 ：不等式选讲已知函数f ( x) 2x 1 2x 1 .（ 1）求证： f ( x) 的最小值等于 2 ；（ 2）若对随意实数 a 和 b ， 2ab a1 a b f (x) 0 ，务实数 x 的取值范围 .22017 年云南省第二次高中毕业生复习一致检测理科数学参照答案一、选择题1-5: BBDCD 6-10: AABCD11、 12： CA二、填空题13.514. 1215. x 2 y 2 16.2n 2 3n 1251a n316三、解答题17. 解：（ 1）∵ C 5， ABC 的面积为3， b3 ，62∴ 1ab sin C1 a3 13 ，∴ a 2 . 22 2 2由余弦定理得 c 2a 2b 2 2ab cosC4 3 223 (3) 13.2∴ c 13 .（ 2）由正弦定理得abcsin Asin B.sin C∴ ab sin Ab sin C 2 sin C .sin B2sin A,c sin B∴ 2a c4sin A 2sin C4 sin(2C )2sin C34(sin2cosC cos2sin C )2 sin C 23 cosC .33∵ B，∴ 0C2 1 cosC 1 ，∴3 2 3 cosC2 3 ，3 ，∴32∴ 2a c 的取值范围为 (3,2 3) .18. 解：（ 1）随机变量 X 的全部可能取值为 110,50,30, 30 ，分别对应以下四种状况：①玩游戏 A ，绿灯闪亮，且玩游戏B ，出现音乐；②玩游戏 A ，绿灯不闪亮，且玩游戏B ，出现音乐；③玩游戏 A ，绿灯闪亮，且玩游戏B ，没有出现音乐；④玩游戏 A ，绿灯不闪亮，且玩游戏 B ，没有出现音乐，因此 P( X 110)1 2 1 ， P(X 50) (1 1)2 1 ，2 5 5 25 5P( X30)1 (12 )3 ， P(X 30)(11) (1 2 )3 ，2 5 102510即 X 的散布列为X 110 50 30 30P113 3551010EX110 1 50 1 30 330 3 32 .5 5 1010（ 2）设某人玩 5 次游戏 B 的过程中，出现音乐 n 次，则没出现音乐 5 n 次，依题意得 60n 20(5 n) 130 ，解得 n233或 4或5.8 ，因此 n设“某人玩 5 次游戏 B 能兑换奖品”为事件 M ，则 P(M)C 53 ( 2)3 (3)2 C 54 (2)4 3 ( 2)5 992 .5 5 5 5 5 312519. （ 1）证明：设 AB 的中点为 M ，连结 EM 、 MC .∵ E 为A 1B 的中点，∴EM ∥ A 1A ，且 EM1A A.2 1又∵ F 为四棱柱 ABCD A 1 B 1C 1D 1 的棱 C 1C 的中点，∴EM ∥FC ，且 EMFC ，∴四边形 EMCF 是平行四边形 . ∴ EF ∥ MC .又∵ MC平面 ABCD ， EF 平面 ABCD ，∴ EF ∥ 平面 ABCD .（ 2）解：依据四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1 是长方体，成立以下图的空间直角坐标系D xyz ，设 AB2 ，由已知得 D(0,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), A 1( 2,0,1), C 1 (0,2,1), E(2,1, 1 ), F (0,2, 1) .2 2A 1B （0,2，-1）,BF ( 2,0, 1) ，设平面 A 1BF 的一个法向量为 n ( x, y, z) ，2则 n A1B, n BF .2 y z 0, x 1,z 取 z 4∴，解得2.2x 0, y2∴n (1,2,4) 是平面 A1BF 的一个法向量.由已知简单获取m(0,0,1) 是平面ABCD的一个法向量.设平面 A1BF 与平面ABCD所成二面角的大小为m n 4 21 ，则 cos .m n 21∵ 0 ，∴ sin 105.21∴平面 A1BF 与平面ABCD所成二面角的正弦值为105 .21 20.解：（ 1）依据已知设抛物线E的方程为y22px(p0) . ∵圆 F 的方程为(x 2)2 y 2 1 ，∴圆心 F 的坐标为 F (2,0) ，半径 r 1 .∴ p2 ，解得 p 4 .2∴抛物线 E 的方程为y2 8x .（ 2）∵2 BC是AB与CD的等差中项，∴AB CD 4 BC 4 2r 8 . ∴ AD AB BC CD 10 .若 l 垂直于x轴，则 l 的方程为 x 2 ，代入y2 8x ，得y 4 .此时 AD y1 y2 8 10 ，即直线x 2 不知足题意 .若 l 不垂直于x轴，设 l 的斜率为 k ，由已知得 k 0 ， l 的方程为 y k ( x 2) .设 ( ,y1 ), ( ,y2)，由y k( x 2) 得k 2 x 2(4 2 8) 4 2 0.A x1B x2 y2 8x k x k∴ x1 x2 4k 2 82 .∵抛物线 E 的准线为 x2 ，∴AD AF DF ( x 1 2) ( x 2 2) x 1 x 2 4 ，∴ 4k28 4 10 ，解得 k2 .k 2当 k2 时，22( 4 2 8) 4 20 化为2，k xk x kx6x 4 0∵ ( 6)2 4 1 4 0 ，∴ x 2 6x 4 0 有两个不相等实数根 .∴ k2 知足题意，即直线 y2( x 2) 知足题意 .∴存在知足要求的直线 l ，它的方程为 2x y4 0 或 2x y 4 0.21. （ 1）解：∵ f ( x) me x ， g(x) x 3， m1，∴ f (x) e x ， g (x 2) x 1，∴ h( x) f ( x) g (x 2) 2017 e x x 2018 .∴ h (x)e x 1，由 h (x)0 得 x 0 .∵ e 是自然对数的底数，∴ h ( x) e x 1 是增函数 .∴当 x 0 时， h ( x) 0 ，即 h( x) 是减函数；当 x0 时， h ( x) 0 ，即 h(x) 是增函数 .∴函数 h(x) 没有极大值，只有极小值，且当 x 0 时， h(x) 获得极小值 .∴ h( x) 的极小值为 h(0)2017 .（ 2）证明：∵ f (x)me x ， g( x) x 3 ，(x)f ( x) g(x)xx 3 ，∴x.∴m e( x)m e1∵ m e2，∴(x) m e x 1是减函数 .由(x) m ex1 0 解得 x ln(1) .1))时，m当 x( , ln(( x) m e x 1 0 ，此时函数 (x) 是增函数， 1 ), m 当 x (ln( ) 时， ( x) m e x 1 0 ，此时函数 ( x) 是减函数，∴当 x ln( 1) 时，函数(x) 获得最大值，最大值为[ln(1)] 2 ln( m) . m m∵ m e2，∴ 2 ln( m) 0 ，∴( x) 0 ，∴当 m e2时，函数( x) 没有零点.（ 3）证明：∵f (x) me x，g( x) x 3 ， F ( x) m 4x 4 ，f ( x)g (x) 1∴ F ( x) 1 4x 4.e x x 2∵ x 0 ，∴F ( x) 3 ( x 2)e x x 2 0 .设 u( x) ( x 2)e x x 2 ，则u ( ) (x1)ex1. x设( ) ( 1) x 1，则x .v x x e v (x) xe∵ x 0 ，∴ v (x) 0 .又∵当x 0 时， v ( x) 0 ，∴函数 v( x) 在 [ 0, ) 上是增函数. ∵ x 0 ，∴ v(x) v(0) ，即 v( x) 0 .又∵ x 0 ， v(x) 0 ，∴当 x 0 时， u ( x) 0 ；当 x 0 时， u (x) 0，∴函数 u(x) 在 [0, ) 上是增函数.∴当 x 0 时， u( x) u(0) ，即 (x 2)e x x 2 0 .∴当 x 0 时， F ( x) 3 .22. 解：（ 1）由直线l 的参数方程为x 2 t ,（ t 为参数）得l的一般方程为x y 2 0. y 4 t ,∴直线 l 的极坐标方程为cos sin 2 0 . 曲线 C 的直角坐标方程为y2 2x .（ 2）∵直线l：x y 2 0 经过点 P( 2, 4) ，x22T , ∴直线 l 的参数方程为2 （ T 为参数） .y42 T ,2x22T ,将直线 l 的参数方程为2 代入 y 22x ，化简得y42T ,2T 2 10 2T 40 0，∴ PA PBT 1T 2 40 .23. （ 1）证明：∵ 2x 1 2x 1 2x1 1 2x(2x 1) 1 2x 2 ，∴ f (x)2 .当且仅当 (2x1)(1 2x) 0 时“ =”成立，即当且仅当 1 12 .x时， f (x)22∴ f (x) 的最小值等于 2 .（ 2）解：当 a b 0即 ab 时， 2a ba1 a b f ( x) 0 可转变为2 b0 f ( x) 0 ，2即 2b 0 成立，∴ x R .当 a b 0 时，∵ 2ab a 2a ba (2a b) a ab ，当且仅当 (2a b)( a) 0时“ =”成立，即当且仅当 (2a b)a 0 时“ =”成立，2a b a1，且当 (2a b)a 0 时， 2a ba1 ， ∴a bab2a b a的最小值等于 1，∴a b∵ 2a b a1a b f (x) 02a b a1f ( x) ，a b22∴ 1f (x) 1，即 f ( x) 2 .2由（ 1）知 f (x) 2 ，∴ f (x)2 .由（ 1）知当且仅当 1 x1时， f ( x) 2 .22综上所述， x 的取值范围是 [1 , 1] .。

云南省昆明市2017届高三数学模拟试卷(文科)Word版含解析

云南省昆明市2017届高三模拟试卷（文科数学）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={x|2＜1}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}2．已知复数z满足z•（i﹣1）=1+i，则z的共轭复数的虚部是（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣13．已知向量=（1，2），=（x，﹣2），若+与﹣垂直，则实数x的值是（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．﹣44．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知m，n是两条不同的直线，α是平面，则下列命题中是真命题的是（）A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊥α，n⊥m，则n∥α6．已知等比数列{a n}为递增数列，若a1＞0，且2（a n+2﹣a n）=3a n+1，则数列{a n}的公比q=（）A．2或B．2 C．D．﹣27．若α∈（，π），则3cos2α=cos（+α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣8．图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b，i的值分别为8，10，0，则输出的a和i和值分别为（）A．2，5 B．2，4 C．0，4 D．0，59．函数f（x）=xe x﹣x﹣2的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的表面积是（）A．4πB．3πC．12π D．8π11．已知函数f（x）=若|f（x）|+a≥ax，则a的取值范围是（）A．[﹣2，0）B．[0，1] C．（0，1] D．[﹣2，0]12．已知P是椭圆+=1（a1＞b1＞0）和双曲线﹣=1（a2＞0，b2＞0）的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，∠F1PF2=，则的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若实数x，y满足不等式组目标函数z=2x+y的最大值为．14．已知指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象过点P（2，4），则在（0，10]内任取一个实数x，使得f（x）＞16的概率为．15．O为△ABC内一点，且2++=0，△ABC和△OBC的面积分别是S△ABC和S△OBC，则的比值是．16．已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a6=a2，则a2016+a3= ．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2A+1=4sin（+A）•sin（﹣A）（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若a=，且b≥a，求b﹣c的取值范围．18．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）求x的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（经频率视为频率）（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？附：K2=n=a+b+c+d19．如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ABC=60°，AA1=AC=2，A1B=A1D=2，点E在A1D上，且E为A1D的中点⊥平面ABCD；（Ⅰ）求证：AA（Ⅱ）求三棱锥D﹣ACE的体积V D﹣ACE．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点F1，F2是椭圆E的左、右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=且△F1PF2的面积为3．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）动点M在椭圆E上，动点N在直线l：y=2上，若OM⊥ON，求证：原点O到直线MN的距离是定值．21．若f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R），g（x）=（1）当a=时，求函数f（x）的最值；（2）当a＜0时，且对任意的x1，x2∈[4，5]（x1≠x2），|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求++的最小值．云南省昆明市2017届高三模拟试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={x|2＜1}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，B={x|2＜1}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：D．2．已知复数z满足z•（i﹣1）=1+i，则z的共轭复数的虚部是（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，则答案可求．【解答】解：由z•（i﹣1）=1+i，得=．则z的共轭复数=i，虚部是：1．故选：A．3．已知向量=（1，2），=（x，﹣2），若+与﹣垂直，则实数x的值是（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．﹣4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用平面向量坐标运算法则分别求出+，﹣，再由+与﹣垂直，能求出实数x的值．【解答】解：∵向量=（1，2），=（x，﹣2），∴+=（1+x，0），﹣=（1﹣x，4），∵+与﹣垂直，∴（）（）=（1+x）（1﹣x）+0=0，解得x=±1．故选：A．4．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A5．已知m，n是两条不同的直线，α是平面，则下列命题中是真命题的是（）A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊥α，n⊥m，则n∥α【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于A，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，假命题；对于B，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质，可得m∥n，真命题；对于C，若m∥α，m⊥n，则n与α位置关系不确定，假命题；对于D，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α，假命题，故选：B．6．已知等比数列{a n}为递增数列，若a1＞0，且2（a n+2﹣a n）=3a n+1，则数列{a n}的公比q=（）A．2或B．2 C．D．﹣2【考点】数列递推式．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2（a n+2﹣a n）=3a n+1，可得2（q2﹣1）=3q，解可得q的值，又由{a n}为递增数列，分析可得q＞1，即可得q的值．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2（a n+2﹣a n）=3a n+1，则有2（a n×q2﹣a n）=3a n×q，即2（q2﹣1）=3q，解可得q=2或q=，又由{a n}为递增数列且a1＞0， =q＞1，即q＞1；则q=2；故选：B．7．若α∈（，π），则3cos2α=cos（+α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式化简可得3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），由范围α∈（，π），可得：cosα﹣sinα≠0，从而可求cosα+sinα=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵3cos2α=cos（+α），∴3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），可得：cosα﹣sinα≠0，∴cosα+sinα=，∴两边平方可得：1+sin2α=，解得：sin2α=﹣．故选：D．8．图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b，i的值分别为8，10，0，则输出的a和i和值分别为（）A．2，5 B．2，4 C．0，4 D．0，5【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=8，b=10，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=10﹣8=2，i=2满足a＞b，a=8﹣2=6，i=3，满足a＞b，a=6﹣2=4，i=4，满足a＞b，a=4﹣2=2，i=5，不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为2，i的值为5．故选：A．9．函数f（x）=xe x﹣x﹣2的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数的导数，得到函数f（x）的单调区间，从而求出函数的零点个数即可．【解答】解：f′（x）=（x+1）e x﹣1，f″（x）=（x+2）e x，令f″（x）＞0，解得：x＞﹣2，令f″（x）＜0，解得：x＜﹣2，故f′（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，+∞）递增，故f′（x）min=f′（﹣2）=﹣﹣1＜0，而f′（0）=0，x→﹣∞时，f′（x）→﹣∞，故x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）的最小值是f（0）=﹣2，故函数f（x）的零点个数是2个，故选：C．10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的表面积是（）A．4πB．3πC．12π D．8π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体的外接球相当于棱长为1的正方体的外接球，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体的外接球相当于棱长为1的正方体的外接球，故2R=，故该四棱锥外接球的表面积S=4πR2=3π，故选：B．11．已知函数f（x）=若|f（x）|+a≥ax，则a的取值范围是（）A．[﹣2，0）B．[0，1] C．（0，1] D．[﹣2，0]【考点】分段函数的应用．【分析】①当x≤1时，f（x）|+a≥ax，化简为x2﹣4x+3+a≥ax，分离参数a，利用恒成立思想可求得a≥﹣2；②当x＞1时，|f（x）|+a≥ax化简为lnx≥a（x﹣1），作图，由函数图象可知a≤0，从而可得答案．【解答】解：①当x≤1时，f（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≤0，所以|f（x）|+a≥ax，化简为x2﹣4x+3+a≥ax，即a（x﹣1）≤x2﹣4x+3=（x﹣1）2﹣2（x﹣1），因为x≤1，所以a≥x﹣1﹣2恒成立，所以a≥﹣2；②当x＞1时，f（x）=lnx＞0，所以|f（x）|+a≥ax化简为lnx≥a（x﹣1）恒成立，如图：由函数图象可知a≤0，综上，当﹣2≤a≤0时，不等式|f（x）|+a≥ax恒成立故选：D12．已知P是椭圆+=1（a1＞b1＞0）和双曲线﹣=1（a2＞0，b2＞0）的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，∠F1PF2=，则的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】设P为第一象限的交点，|PF1|=m，|PF2|=n，运用椭圆和双曲线的定义，求得m=a1+a2，n=a1﹣a2，再由余弦定理和椭圆与双曲线的基本量之间的关系，化简整理即可得到所求值．【解答】解：设P为第一象限的交点，|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得，m+n=2a1，由双曲线的定义可得，m﹣n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1﹣a2，在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2==，即为m2+n2﹣mn=4c2，即有2a12+2a22﹣a12+a22=4c2，即a12+3a22=4c2，又a12﹣b12=c2，a22+b22=c2，可得b12+c2+3c2﹣3b22=4c2，则b12=3b22，可得=．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若实数x，y满足不等式组目标函数z=2x+y的最大值为16 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．【解答】解：作出约束条件不等式组的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（5，6）处取最大值为z=2×5+6=16．故答案为：16．14．已知指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象过点P（2，4），则在（0，10]内任取一个实数x，使得f（x）＞16的概率为．【考点】几何概型；指数函数的单调性与特殊点．【分析】设函数f（x）=a x，a＞0 且a≠1，把点（2，4），求得a的值，可得函数的解析式，进而结合几何概型可得到答案．【解答】解：指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象过点P（2，4），代入可得 a2=4，解得a=2，∴f（x）=2x．又∵x∈（0，10]，若f（x）＞16，则x∈（4，10]，∴f（x）＞16的概率P==，故答案为．15．O为△ABC内一点，且2++=0，△ABC和△OBC的面积分别是S△ABC和S△OBC，则的比值是．【考点】向量在几何中的应用．【分析】可取AB的中点D，AC的中点E，然后画出图形，根据便可得到，从而得出D，O，E三点共线，这样即可求出的值．【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，则：===；∴；∴D，O，E三点共线，DE为△ABC的中位线；∴；∴．故答案为：．16．已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a6=a2，则a2016+a3= ．【考点】数列递推式．【分析】根据数列递推公式求出a3，再由a6=a2，求出a2=a6=，而a2016=a503×4+6=a6，问题得以解决．【解答】解：a n＞0，a1=1，a n+2=，∴a3==，∵a6=a2，∴a6=，a4=，∴a6==a2，∵a n＞0，解得a2=a6=∴a2016=a503×4+6=a6=，∴a2016+a3=，故答案为：三、解答题（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2A+1=4sin（+A）•sin（﹣A）（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若a=，且b≥a，求b﹣c的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin2A=1，结合范围2A∈（0，2π），可求A的值．（Ⅱ）利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得b﹣c=2sin（B﹣），结合范围0≤B﹣＜，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵cos2A+1=4sin（+A）•si n（﹣A）=2sin（﹣2A），∴cos2A+1=2sin（﹣2A）=cos2A+sin2A，可得：sin2A=1，∵A∈（0，π），2A∈（0，2π），∴2A=，可得：A=．…6分（Ⅱ）∵A=，a=，∴由=2，得b=2sinB，c=2sinC，∴b﹣c=2sinB﹣2sinC=2sinB﹣2sin（﹣B）=2sin（B﹣）．∵b≥a，∴≤B＜，即0≤B﹣＜，∴b﹣c=2sin（B﹣）∈[0，2）．…12分18．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）求x的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（经频率视为频率）（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？附：K2=n=a+b+c+d【考点】独立性检验．【分析】（1）利用频率分布直方图，直接求出x，然后求解读书迷人数．（2）利用频率分布直方图，写出表格数据，利用个数求出K2，判断即可．【解答】解：（1）由已知可得：（0.01+0.02+0.03+x+0.015）*10=1，可得x=0.025，…因为（ 0.025+0.015）*10=0.4，将频率视为概率，由此可以估算出全校3000名学生中读书迷大概有1200人；…（2）完成下面的2×2列联表如下…≈8.249，…VB8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．…19．如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ABC=60°，AA1=AC=2，A1B=A1D=2，点E在A1D上，且E为A1D的中点（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求三棱锥D﹣ACE的体积V D﹣ACE．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）使用菱形的性质和勾股定理的逆定理证明AA1⊥AB，AA1⊥AD，从而得出AA1⊥平面ABCD；（II）设AD的中点为F，连接EF，利用体积公式求三棱锥D﹣ACE的体积V D﹣ACE．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=AC=2，∵AA1=2，∴AA12+AB2=A1B2，∴AA1⊥AB．同理，AA1⊥AD，又∵AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB∩AD=A，∴AA1⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：设AD的中点为F，连接EF，则EF∥AA1，∴EF⊥平面ACD，且EF=1．∴V D﹣ACE=V E﹣ACD==．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点F1，F2是椭圆E的左、右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=且△F1PF2的面积为3．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）动点M在椭圆E上，动点N在直线l：y=2上，若OM⊥ON，求证：原点O到直线MN的距离是定值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率a=2c，利用勾股定理，三角形的面积公式及椭圆的定义，即可求得a和c 的值，则b2=a2﹣c2，即可求得椭圆E的标准方程；（Ⅱ）当直线ON斜率不存在时，由d==，当直线OM斜率存在时，将直线OM的方程代入椭圆方程，求得M点坐标，则直线ON的斜率﹣，将y=2，求得N点坐标，则d2==3，原点O到直线MN的距离是定值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率e==，a=2c，①△F1PF2的面积为3，则丨PF1丨丨PF2丨=3，则丨PF1丨丨PF2丨=6，由丨PF1丨+丨PF2丨=2a，丨PF1丨2+丨PF2丨2=（2c）2．则a2﹣c2=3，②解得：a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆E的标准方程为；（Ⅱ）证明：①当直线ON斜率不存在时，即点N在y轴上时，丨ON丨=2，丨OM丨=2，丨MN丨=4，设原点O到直线MN的距离为d，由比例关系可得d==，②当直线OM斜率存在时，设直线OM方程为：y=kx，，解得：x2=，y2=，由OM⊥ON，则直线ON方程为：y=﹣x，代入y=2，可得x=﹣2k，则N（﹣2k，2），则丨MN丨2=丨ON丨2+丨OM丨2=（﹣2k）2+（2）2++=，则由比例关系可得d=，d2==3，∴d=，综上所述，原点O到直线MN的距离为定值．21．若f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R），g（x）=（1）当a=时，求函数f（x）的最值；（2）当a＜0时，且对任意的x1，x2∈[4，5]（x1≠x2），|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求出单调区间，可得极小值且为最小值，无最大值；（2）当a＜0时，f′（x）=1﹣＞0在x∈[4，5]上恒成立，可得函数f（x）在x∈[4，5]上单调递增．利用g′（x）＞0在x∈[4，5]上恒成立，可得g（x）在x∈[4，5]上为增函数．不妨设x2＞x1，则|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立|恒成立⇔f（x2）﹣f（x1）＜g（x2）﹣g（x1）恒成立，即f（x2）﹣g（x2）＜f（x1）﹣g（x1）在x∈[4，5]上恒成立．设F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx﹣1﹣．则F （x）在x∈[4，5]上为减函数．分离参数利用导数进一步研究即可得出．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=x﹣1﹣lnx（x＞0），导数为f′（x）=1﹣=，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得f（x）在x=处f（x）取得极小值，且为最小值﹣1+1=，无最大值；（2）当a＜0时，f′（x）=1﹣＞0在x∈[4，5]上恒成立，∴函数f（x）在x∈[4，5]上单调递增，g（x）=，∵g′（x）=＞0在x∈[4，5]上恒成立，∴g（x）在[4，5]上为增函数．当a＜0时，且对任意的x1，x2∈[4，5]（x1≠x2），|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，即f（x2）﹣g（x2）＜f（x1）﹣g（x1）在x∈[4，5]上恒成立．设F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx﹣1﹣．则F（x）在x∈[4，5]上为减函数．F′（x）=1﹣﹣≤0在x∈[4，5]上恒成立，化为a≥x﹣e x+恒成立．设H （x ）=x ﹣e x+，∵H′（x ）=1﹣e x+=1﹣e x（1﹣+）=1﹣e x [（﹣）2+]，x ∈[4，5]．∴e x [（﹣）2+]＞e 3＞1，x ∈[4，5]．∴H′（x ）＜0在x ∈[4，5]上恒成立，即H （x ）为减函数．∴H （x ）在x ∈[4，5]上的最大值为H （4）=4﹣e 4+e 4=4﹣e 4．∴4﹣e 4≤a ＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2sin （θ+）．倾斜角为，且经过定点P （0，1）的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点（Ⅰ）写出直线l 的参数方程的标准形式，并求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I ）由倾斜角为，且经过定点P （0，1）的直线l 的参数方程为：．曲线C 的极坐标方程ρ=2sin （θ+），展开：ρ2=2×（sin θ+cos θ），利用互化公式可得直角坐标方程．（II ）把直线l 的参数方程代入圆C 的方程为：t 2﹣t ﹣1=0，可得+=+==即可得出．【解答】解：（I ）由倾斜角为，且经过定点P （0，1）的直线l 的参数方程为：，化为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，t1+t2=1，t1t2=﹣1．∴+=+====．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求++的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求出f（x）的最小值，即可求实数a的最小值M；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|≥|a﹣2|，∵关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，∴|a﹣2|≤a，∴a≥1，∴实数a的最小值M=1；（Ⅱ）m+2n+3p=1， ++=（++）（m+2n+3p）≥（+2+）2=16+8，∴++的最小值为16+8．。

【全国市级联考】云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学(理)试题(解析版)

云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】此题考察复数的相关基础知识和基本运算，主要目的是考察学生对复数的概念，性质的理解及综合应用能力，以化简，代数运算为主，属于容易题。

请在此填写本题解析!解法1，设则有=a=-1,b=1即答案为C。

解法2 由，化简得,即,即答案为C。

2. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】本题由双曲线的标准方程，离心率出发来求解其渐近线，主要考察学生对双曲线概念，基本关系的理解与应用，属于简单题型。

请在此填写本题解析!解因为,=25,因为+,所以，+=25即化简得=,所以答案为D.3. 执行如图所示的程序框图，正确的是（）...............A. 若输入的值依次为，则输出的值为B. 若输入的值依次为，则输出的值为C. 若输入的值依次为，则输出的值为D. 若输入的值依次为，则输出的值为【答案】C【解析】此题为流程图，主要考察学生的思维能力和对循环结构及赋值语句的理解程度，属于高考数学中的常见题型，难度不大，建议采用筛选法或排除法。

请在此填写本题解析!解设输入的值依次为，由条件结合赋值语句得所以故排除A，B，同理验证可知排除D，因此选C。

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】三视图是高考的热点，焦点问题，主要是通过三视图来考察学生的空间想象能力和抽象思维能力以及审视能力，题型灵活多变，属于中档题型。

解决此题首先要观察清楚三视图的结构和内在联系，还原原几何题（直观图），再来求解面积或体积问题。

请在此填写本题解析!5. 已知数列的前项和为，且成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题以数列为背景，涉及数列前项和，等差数列的性质，隐含求解数列问题常用的思想方法，如构造，递推与划归等，属于中档题型。

云南省2017届高中毕业生第二次复习统一检测文综试题含答案精品

秘密★启用前考试时间:4月一3日9:00一11:30云南省2017届第二次高中毕业生复习统一检测文科综合能力测试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷本卷共35小题。

每小题4分，共140分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

边缘绿化客土法是将草种、肥料、保水剂、土壤、有机物、稳定剂等物质充分混合后，通过喷射机按设计厚度均匀喷到需防护的工程破面上，以达到近似于自然景观的一种绿化方法。

据此回答1-3题。

1.我国北方地区实施绿化科土法的最佳施工期是A.1-2月B. 3-6月C. 7-9月D. 11月-次年1月2.边坡绿化客土法之前，需要清理岩面的碎石、松散层等，对于光滑岩面还要通过挖掘横沟等措施进行加糙处理，这样做的主要目的是A.利于地表水下渗B.利于客土和本地土壤的融合C.提高草种的发芽率D.避免客土下滑3.该绿化方法宜选择的植物类型是①耐旱植物②耐盐碱植物③耐贫瘠植物④高大乔木A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④夜雨通常是指夜间降水斌率多于白天的降水日变化现象，是一种独特的农业气候资源。

下图是“我国南方部分地区夏季降水量峰值时间示意图”。

据此回答4-6题。

4.关于下列各地区夏季降水峰值时间的叙述，正确的是A.长江上游地区多集中在下午B.长江下游地区多集中在上午C.四川盆地主要在下半夜D.东部沿海主要在上半夜5.横断山区谷地夜雨的形成原因是A.谷地地貌降温快，近地面水汽易凝结成雨B.谷地热量不易散失，多下沉气流C.夜晚吹谷风，水汽丰富D.山风下沉，使谷地中心气流抬升6.夜雨对农业生产的有利影响是A.可提高地面温度B.能增大昼夜温差C.减轻农田病虫害D.可增加土壤肥力下图是“奥地利城市分布示意图”。

2017年云南省高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2017年云南省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x2＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{0}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．4．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0D．∃x0∈R，x02﹣x0+1＜05．（5分）已知等差数列{a n}中，a1＝11，a5＝﹣1，则{a n}的前n项和S n的最大值是（）A．15B．20C．26D．306．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的结果k＝（）A．2B．3C．4D．57．（5分）RAND（0，1）表示生成一个在（0，1）内的随机数（实数），若x＝RAND（0，1），y＝RAND（0，1），则x2+y2＜1的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知点M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是（2，2），则p的值为（）A．1B．2C．3D．49．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．8（2π+1）D．16（π+1）10．（5分）已知函数，则f（3）+f（﹣3）＝（）A．﹣1B．0C．1D．211．（5分）已知函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数为奇函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）设M{a，b，c}＝，若f（x）＝M{2x，x2，4﹣7.5x}（x＞0），则f（x）的最小值是（）A．B．C．1D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设x、y满足约束条件，则z＝﹣2x+3y的最小值是．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n，S n﹣1，S n+1（n≥2）成等差数列，且a2＝﹣2，则a4＝．15．（5分）已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线＝1（a＞0，b＞0）相交于A，B 两点，双曲线的一条渐近线方程是y＝x，点F是抛物线的焦点，且△F AB是正三角形，则双曲线的标准方程是．16．（5分）已知正四面体ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，点P为棱BC的中点，，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，D为BC边上一点，AD＝BD，AC＝4，BC＝5．（1）若∠C＝60°，求△ABC外接圆半径R的值；（2）设∠CAB﹣∠B＝θ，若，求△ABC的面积．18．（12分）某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生数有14人．（1）求总人数N和分数在120～125的人数n；（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？（3）现在从分数在115～120名学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，P A＝PB＝BC＝3，O是AB 中点，E是PB中点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC；（2）求点B到平面OEC的距离．20．（12分）已知点A，B是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N．（1）求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；（2）若直线MN过焦点F，（λ∈R），求实数λ的值．21．（12分）已知函数f（x）＝+ax+2lnx，g（x）＝+kx+（2﹣x）lnx﹣k，k∈Z．（1）当a＝﹣3时，求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，求k的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．直线l交曲线C于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（﹣2，﹣4），求点P到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求证：f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，求实数x的取值范围．2017年云南省高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x2＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{0}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝{0}．故选：B．2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：＝，则z的虚部为：．故选：D．3．（5分）已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵；∴；∴x＝2；∴；∴；∴．故选：D．4．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0D．∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，故选：C．5．（5分）已知等差数列{a n}中，a1＝11，a5＝﹣1，则{a n}的前n项和S n的最大值是（）A．15B．20C．26D．30【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝11，a5＝﹣1，∴11+4d＝﹣1，解得d＝﹣3．∴a n＝11﹣3（n﹣1）＝14﹣3n，令a n＝14﹣3n≥0，解得n≤，∴n＝4时，{a n}的前4项和取得最大值：＝26．故选：C．6．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的结果k＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，T＝0，k＝1执行循环体，S＝5，T＝3，k＝2不满足条件T＞S，执行循环体，S＝15，T＝12，k＝3不满足条件T＞S，执行循环体，S＝30，T＝39，k＝4满足条件T＞S，退出循环，输出k的值为4．故选：C．7．（5分）RAND（0，1）表示生成一个在（0，1）内的随机数（实数），若x＝RAND（0，1），y＝RAND（0，1），则x2+y2＜1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设事件A：x2+y2＜1，作出图形如图：∴满足x2+y2＜1的概率为P＝．故选：A．8．（5分）已知点M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是（2，2），则p的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：抛物线C：y2＝2px的焦点F（，0），设M（，y1），由中点坐标公式可知：+＝2×2，y1＝2×2，解得：p＝4，p的值为4，故选：D．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．8（2π+1）D．16（π+1）【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个四棱锥，下面是一个倒立的圆锥．∴该几何体的体积V＝+＝．故选：B．10．（5分）已知函数，则f（3）+f（﹣3）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵函数，∴f（3）+f（﹣3）＝lg（）+1+lg（）+1＝lg1+2＝2．故选：D．11．（5分）已知函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数为奇函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，得到y ＝sin（2x﹣2φ+）的图象，根据所得函数为奇函数，则﹣2φ+＝kπ，k∈Z，∴φ的最小值为，故选：B．12．（5分）设M{a，b，c}＝，若f（x）＝M{2x，x2，4﹣7.5x}（x＞0），则f（x）的最小值是（）A．B．C．1D．【解答】解：由题意，f（x）＝M{2x，x2，4﹣7.5x}，当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）≠0时，f（x）＝2x，x2，4﹣7.5x的中位数，当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）＝0时，f（x）＝2x，x2，4﹣7.5x众数，令（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x）（4﹣7.5x﹣2x）＝0，若2x＝x2，则x＝2或4，若x2＝4﹣7.5x，则x＝﹣8（舍去）或，若2x＝4﹣7.5x，令g（x）＝2x﹣4+7.5x，∵g（0）＝1﹣4+0＝﹣3＜0，g（）＝﹣4+3.75＞0，∴x∈（0，）；∴（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）＝0时，f（x）＝当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）≠0时，f（x）＝2x，x2，4﹣7.5x的中位数，由右侧图象可知：中位数都大于，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设x、y满足约束条件，则z＝﹣2x+3y的最小值是﹣4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0），化目标函数z＝﹣2x+3y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n，S n﹣1，S n+1（n≥2）成等差数列，且a2＝﹣2，则a4＝﹣8．【解答】解：∵S n，S n﹣1，S n+1（n≥2）成等差数列，∴2S n﹣1＝S n+1+S n（n≥2），即a n+1+2a n＝0，∴＝﹣2，∴数列{a n}是以﹣2为公比的等比数列，又a2＝﹣2，∴a4＝﹣2×22＝﹣8．故答案为：﹣8．15．（5分）已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线＝1（a＞0，b＞0）相交于A，B 两点，双曲线的一条渐近线方程是y＝x，点F是抛物线的焦点，且△F AB是正三角形，则双曲线的标准方程是．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F（，0），其准线方程为x＝﹣，∵△F AB为正三角形，∴|AB|＝4，将（﹣，2）代入双曲线＝1可得＝1，∵双曲线的一条渐近线方程是y＝x，∴＝，∴a＝1，b＝，∴双曲线C2的方程为．故答案为．16．（5分）已知正四面体ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，点P为棱BC的中点，，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为18π．【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为6，∴正方体的棱长为6．可得外接球半径R满足2R＝6．PP为棱BC的中点，过P作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r＝＝3，得到截面圆的面积最小值为S＝πr2＝18π．故答案为：18π三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，D为BC边上一点，AD＝BD，AC＝4，BC＝5．（1）若∠C＝60°，求△ABC外接圆半径R的值；（2）设∠CAB﹣∠B＝θ，若，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由余弦定理，得AB2＝BC2+AC2﹣2BC•AC•cos60°＝21，解得．由正弦定理得，．（2）设CD＝x，则BD＝5﹣x，AD＝5﹣x，∵AD＝BD，∴∠B＝∠DAB．∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝∠CAB﹣∠B＝θ．∵，∴．∴，即，解得x＝2．∴BD＝AD＝3．∵，∴．∴．18．（12分）某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生数有14人．（1）求总人数N和分数在120～125的人数n；（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？（3）现在从分数在115～120名学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．【解答】解：（1）分数在110﹣120内的学生的频率为P1＝（0.04+0.03）×5＝0.35，所以该班总人数为．分数在120﹣125内的学生的频率为：P2＝1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5＝0.10，分数在120﹣125内的人数为n＝40×0.10＝4．（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为．设中位数为a，∵0.01×5+0.04×5+0.05×5＝0.50，∴a＝110．∴众数和中位数分别是107.5，110．（3）由题意分数在115﹣120内有学生40×（0.03×5）＝6名，其中男生有2名．设女生为A1，A2，A3，A4，男生为B1，B2，从6名学生中选出2名的基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B1），（A4，B1），（A3，B1），（A4，B2），（A3，B1），（B1，B2），共15种，其中至多有1名男生的基本事件共14种，∴其中至多含有1名男生的概率为．19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，P A＝PB＝BC＝3，O是AB 中点，E是PB中点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC；（2）求点B到平面OEC的距离．【解答】证明：（1）连结PO，在△P AB中，P A＝PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，又∵AC＝BC＝2，AC⊥BC，∴．∵P A＝PB＝3，∴，PC2＝PO2+OC2，∴PO⊥OC．又AB∩OC＝O，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABC．解：（2）∵OE是△P AB的中位线，∴．∵O是AB中点，AC＝BC，∴OC⊥AB．又平面P AB⊥平面ABC，两平面的交线为AB，∴OC⊥平面P AB，∵OE⊂平面P AB，∴OC⊥OE．设点B到平面OEC的距离为d，则V B﹣OEC＝V E﹣OBC，∴，∴点B到平面OEC的距离：．20．（12分）已知点A，B是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N．（1）求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；（2）若直线MN过焦点F，（λ∈R），求实数λ的值．【解答】解：（1）证明：设P（x0，y0）（x0≠±a），由已知A（﹣a，0），B（a，0），∴．①∵点P在椭圆上，∴．②由①②得（定值）．∴直线AP与直线BP的斜率之积为定值．（2）设直线AP与BP斜率分别为k1、k2，由已知F（﹣c，0），直线AP的方程为y＝k1（x+a），直线l：x＝a，则M（a，2ak1）．∵MN⊥BP，∴k MN•k2＝﹣1．由（1）知，故，又F、N、M三点共线，得k MF＝k MN，即，得2b2＝a（a+c）．∵b2＝a2﹣c2，∴2（a2﹣c2）＝a2+ac，2c2+ac﹣a2＝0，，解得或（舍去）．∴a＝2c．由已知，得（a﹣c，0）＝λ（a+c，0），将a＝2c代入，得（c，0）＝λ（3c，0），故．21．（12分）已知函数f（x）＝+ax+2lnx，g（x）＝+kx+（2﹣x）lnx﹣k，k∈Z．（1）当a＝﹣3时，求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，求k的最大值．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．当a＝﹣3时，，．①当x∈（0，1）或x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．②当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）由g（x）＜f（x），得，整理得k（x﹣1）＜xlnx+x，∵x＞1，∴．令，则．令h（x）＝x﹣lnx﹣2，∵x＞1，∴．∴h（x）在（1，+∞）上递增，h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，∴h（x）存在唯一的零点x0∈（3，4）．∴h（x0）＝x0﹣lnx0﹣2＝0，得lnx0＝x0﹣2．当x∈（1，x0）时，h（x）＜h（x0）＝0，Q'（x）＜0，∴Q（x）在（1，x0）上递减；当x∈（x0，+∞）时，Q'（x）＞0，∴Q（x）在（x0，+∞）上递增．∴，要使对任意x＞1恒成立，只需k＜[Q（x）]min＝x0．又3＜x0＜4，且k∈Z，∴k的最大值为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．直线l交曲线C于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（﹣2，﹣4），求点P到A，B两点的距离之积．【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数），消去参数和，得l的普通方程为x﹣y﹣2＝0．∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣2＝0．∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ∴曲线C的直角坐标方程为y2＝2x．（2）∵直线l：x﹣y﹣2＝0经过点P（﹣2，﹣4），∴直线l的参数方程为（T为参数）．将直线l的参数方程为代入y2＝2x，化简得，∴|P A|•|PB|＝|T1T2|＝40．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求证：f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，求实数x的取值范围．【解答】（1）证明：∵|2x+1|+|2x﹣1|＝|2x+1|+|1﹣2x|≥|（2x+1）+1﹣2x|＝2，∴f（x）≥2．当且仅当（2x+1）（1﹣2x）≥0时“＝”成立，即当且仅当时，f（x）＝2．∴f（x）的最小值等于2．（2）解：当a+b＝0即a＝﹣b时，可转化为2|b|﹣0•f（x）≥0，即2|b|≥0成立，∴x∈R．当a+b≠0时，∵|2a+b|+|a|＝|2a+b|+|﹣a|≥|（2a+b）﹣a|＝|a+b|，当且仅当（2a+b）（﹣a）≥0时“＝”成立，即当且仅当（2a+b）a≤0时“＝”成立，∴，且当（2a+b）a≤0时，，∴的最小值等于1，∵，，∴，即f（x）≤2．由（1）知f（x）≥2，∴f（x）＝2．由（1）知当且仅当时，f（x）＝2．综上所述，x的取值范围是．。

2017年云南省昆明市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2017年云南省昆明市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x2≤9}，N＝{x|x≤1}，则M∩N＝（）A．[﹣3，1]B．[1，3]C．[﹣3，3]D．（﹣∞，1] 2．（5分）已知复数z满足，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．3x±4y＝0D．4x±3y＝0 4．（5分）中国古代数学著作《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的．已知第一天织5尺，经过一个月30天后，共织布九匹三丈．问每天多织布多少尺？（注：1匹＝4丈，1丈＝10尺）．此问题的答案为（）A．390尺B．尺C．尺D．尺5．（5分）执行如图所示的程序框图，正确的是（）A．若输入a，b，c的值依次为1，2，3，则输出的值为5B．若输入a，b，c的值依次为1，2，3，则输出的值为7C．若输入a，b，c的值依次为2，3，4，则输出的值为8D．若输入a，b，c的值依次为2，3，4，则输出的值为106．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．24πB．30πC．42πD．60π7．（5分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移m（m ＞0）个单位长度得到，则m＝（）A．1B．C．D．8．（5分）在△ABC中，AH⊥BC于H，点D满足＝2，若||＝，则•＝（）A．B．2C．2D．49．（5分）圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线．它的画法（如图1）：画一个等边三角形ABC，分别以A，B，C为圆心，边长为半径，作圆弧，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形．它的宽度等于原来等边三角形的边长．等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）．在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到焦点的距离的最小值为2，过点（0，1）的直线l与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线l的距离为（）A．1或或2B．1或2或C．2或D．2或11．（5分）已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）12．（5分）定义“函数y＝f（x）是D上的a级类周期函数”如下：函数y＝f（x），x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有af（x）＝f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的周期．若y＝f（x）是[1，+∞）上的a级类周期函数，且T＝1，当x∈[1，2）时，f（x）＝2x+1，且y＝f（x）是[1，+∞）上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．B．[2，+∞）C．D．[10，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为．14．（5分）曲线在点处的切线方程是．15．（5分）已知边长为6的等边△ABC的三个顶点都在球O的表面上，O为球心，且OA 与平面ABC所成的角为45°，则球O的表面积为．16．（5分）在平面直角坐标系上，有一点列，设点P n的坐标（n，a n），其中，过点P n，P n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为b n，设S n表示数列{b n}的前n项和，则S5＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在平面四边形ABCD中，的面积为2．（1）求AD的长；（2）求△CBD的面积．18．（12分）根据“2015年国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，从2011年到2015年，我国的第三产业在GDP中的比重如下：（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立第三产业在GDP中的比重y关于年份代码x的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017年我国第三产业在GDP中的比重．附注：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱CC1⊥底面ABC，M为BC的中点，．（1）证明：B1C⊥平面AMC1；（2）求点A1到平面AMC1的距离．20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知定圆M：（x+1）2+y2＝36，动圆N过点F（1，0）且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP，BP 分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值．21．（12分）设函数f（x）＝x2e﹣x，g（x）＝xlnx．（1）若F（x）＝f（x）﹣g（x），证明：F（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；（2）设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}，（min{a，b}表示a，b中的较小值），若h（x）≤λ，求λ的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程和曲线C1的参数方程；（2）若将曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上任意一点，求点P到直线l距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）解不等式2f（x）＜4﹣|x﹣1|；（2）已知m+n＝1（m＞0，n＞0），若不等式恒成立，求实数a的取值范围．2017年云南省昆明市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x2≤9}，N＝{x|x≤1}，则M∩N＝（）A．[﹣3，1]B．[1，3]C．[﹣3，3]D．（﹣∞，1]【解答】解：M＝{x|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，N＝{x|x≤1}，则M∩N＝{x|﹣3≤x≤1}，故选：A．2．（5分）已知复数z满足，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【解答】解：复数z满足，则z＝＝＝i﹣1．故选：B．3．（5分）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．3x±4y＝0D．4x±3y＝0【解答】解：双曲线的离心率为，可得e＝＝，即c＝a，可得b＝＝a，由双曲线的渐近线方程可得y＝±x，即为4x±3y＝0．故选：D．4．（5分）中国古代数学著作《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的．已知第一天织5尺，经过一个月30天后，共织布九匹三丈．问每天多织布多少尺？（注：1匹＝4丈，1丈＝10尺）．此问题的答案为（）A．390尺B．尺C．尺D．尺【解答】解：设每天多织布d尺，由题意得：30×5+＝390，解得d＝．∴每天多织布尺．故选：C．5．（5分）执行如图所示的程序框图，正确的是（）A．若输入a，b，c的值依次为1，2，3，则输出的值为5B．若输入a，b，c的值依次为1，2，3，则输出的值为7C．若输入a，b，c的值依次为2，3，4，则输出的值为8D．若输入a，b，c的值依次为2，3，4，则输出的值为10【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序的功能是利用选择结构找出a、b的最小值并输给变量c，再交换变量a＝b，b＝c，计算并输出ac+b的值；由此计算a＝1、b＝2、c＝3时，输出结果是1×2+1＝3，∴A、B错误；a＝2、b＝3、c＝4时，输出结果是2×3+2＝8，C正确，D错误．故选：C．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．24πB．30πC．42πD．60π【解答】解：由三视图可得，直观图为半球与半棱锥的组合体，体积为＝24π，故选：A．7．（5分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移m（m ＞0）个单位长度得到，则m＝（）A．1B．C．D．【解答】解：函数＝cos[﹣（x+）]＝cos（x﹣1）的图象可由函数的图象至少向右平移1个单位长度得到，又函数的图象可由函数的图象至少向右平移m（m＞0）个单位长度得到，∴m＝1，故选：A．8．（5分）在△ABC中，AH⊥BC于H，点D满足＝2，若||＝，则•＝（）A．B．2C．2D．4【解答】解：AH⊥BC于H，点D满足＝2，||＝，∴•＝+）•＝+＝•＝||•||•cos BAH＝•||•sin B＝||2＝2，故选：B．9．（5分）圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线．它的画法（如图1）：画一个等边三角形ABC，分别以A，B，C为圆心，边长为半径，作圆弧，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形．它的宽度等于原来等边三角形的边长．等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）．在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设等边三角形的边长为1，则正方形的面积为1，鲁列斯曲边三角形的面积为＝，∴所求概率为，故选：D．10．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到焦点的距离的最小值为2，过点（0，1）的直线l与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线l的距离为（）A．1或或2B．1或2或C．2或D．2或【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到焦点的距离的最小值为2，所以＝2，所以y2＝8x．①设直线l的斜率等于k，则当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝8x仅有一个公共点，焦点到直线l的距离为1当k≠0时，直线l是抛物线的切线，设直线l的方程为y＝kx+1，代入抛物线的方程可得：k2x2+（2k﹣8）x+1＝0，根据判别式等于0，求得k＝2，故切线方程为y＝2x+1．焦点到直线l的距离为②当斜率不存在时，直线方程为x＝0，经过检验可得此时直线也与抛物线y2＝8x相切．焦点到直线l的距离为2，故选：B．11．（5分）已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：关于x的方程有三个不同的实数解，就是函数y＝与y＝a|x|的图象有3个交点，函数y＝关于（﹣2，0）对称，x＞﹣2时，函数值大于0，而y＝a|x|是折线，显然x＞0，a＞0时，两个函数一定有一个交点，x＜0时，y′＝﹣，设切点（m，n），则：﹣，解得m＝﹣1，所以a＝1时，函数y＝与y＝﹣ax相切，函数（x＜0）有两个交点，必须a＞1，综上，a＞1时，关于x的方程有三个不同的实数解，故选：C．12．（5分）定义“函数y＝f（x）是D上的a级类周期函数”如下：函数y＝f（x），x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有af（x）＝f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的周期．若y＝f（x）是[1，+∞）上的a级类周期函数，且T＝1，当x∈[1，2）时，f（x）＝2x+1，且y＝f（x）是[1，+∞）上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．B．[2，+∞）C．D．[10，+∞）【解答】解：∵x∈[1，2）时，f（x）＝2x+1，∴当x∈[2，3）时，f（x）＝af（x﹣1）＝a•[2（x﹣1）+1]，…当x∈[n，n+1）时，f（x）＝af（x﹣1）＝a2f（x﹣2）＝…＝a n﹣1f（x﹣n+1）＝a n﹣1•[2（x ﹣n+1）+1]．即x∈[n，n+1）时，f（x）＝a n﹣1•[2（x﹣n+1）+1]，n∈N*，∴当x∈[n﹣1，n）时，f（x）＝a n﹣2•[2（x﹣n+1+1）+1]＝a n﹣2•[2（x﹣n+2）+1]，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴a n﹣2•5≤a n﹣1•3恒成立，∴a≥．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为8．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，，可得A（3，2），此时z最大，此时z的最大值为z＝2×3+2＝8，故答案为：8．14．（5分）曲线在点处的切线方程是x﹣2y+＝0．【解答】解：y＝sin（x+）的导数为y′＝cos（x+），可得曲线在点处的切线斜率为k＝cos＝，即有曲线在点处的切线方程是y﹣＝（x﹣0），即为x﹣2y+＝0．故答案为：x﹣2y+＝0．15．（5分）已知边长为6的等边△ABC的三个顶点都在球O的表面上，O为球心，且OA 与平面ABC所成的角为45°，则球O的表面积为96π．【解答】解：边长为6的正△ABC的外接圆的半径为＝2，∵OA与平面ABC所成的角为45°，∴球O的半径为＝2，∴球O的表面积为4πR2＝96π．故答案为：96π．16．（5分）在平面直角坐标系上，有一点列，设点P n的坐标（n，a n），其中，过点P n，P n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为b n，设S n表示数列{b n}的前n项和，则S5＝．【解答】解：由题意可得P n的坐标（n，），P n+1的坐标为（n+1，），则过点P n，P n+1的直线方程为y﹣＝﹣（x﹣n），令x＝0，解得y＝+，令y＝0，解得x＝2n+1，∴b n＝•（+）（2n+1）＝2++＝4+﹣∴S n＝4n+1﹣++…+﹣＝4n+1﹣＝4n+，∴S5＝20+＝，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在平面四边形ABCD中，的面积为2．（1）求AD的长；（2）求△CBD的面积．【解答】解：（1）由已知，所以，又，所以，在△ABD中，由余弦定理得：AD2＝AB2+BD2﹣2•AB•BD•cos∠ABD＝5，所以．（2）由AB⊥BC，得，所以，又，，所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD，在△CBD中，由正弦定理得：，所以．18．（12分）根据“2015年国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，从2011年到2015年，我国的第三产业在GDP中的比重如下：（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立第三产业在GDP中的比重y关于年份代码x的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017年我国第三产业在GDP中的比重．附注：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【解答】解：（1）数据对应的散点图如图所示：（2），，，所以回归直线方程为．（3）代入2017 年的年份代码x＝7，得，所以按照当前的变化趋势，预计到2017年，我国第三产业在GDP中的比重将达到53.06%．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱CC1⊥底面ABC，M为BC的中点，．（1）证明：B1C⊥平面AMC1；（2）求点A1到平面AMC1的距离．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，AC＝AB，M为BC的中点，故AM⊥BC，又侧棱CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥AM，又BC∩CC1＝C，所以AM⊥平面BCC1B1，则AM⊥B1C，在Rt△BCB1中，；在Rt△MCC1中，，所以∠B1CB＝∠MC1C，又∠B1CB+∠C1CB1＝90°，所以∠MC1C+∠C1CB1＝90°，即MC1⊥B1C，又AM⊥B1C，AM∩MC1＝M，所以B1C⊥平面AMC1．（2）设点A 1到平面AMC1的距离为h，由于，∴，即，于是，所以点A1到平面AMC1的距离为．20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知定圆M：（x+1）2+y2＝36，动圆N过点F（1，0）且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP，BP 分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值．【解答】解：（1）因为点F（1，0）在M：（x+1）2+y2＝36内，所以圆N内切于圆M，则|NM|+|NF|＝6＞|FM|，由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且2a＝6，c＝1，则a2＝9，b2＝8，所以动圆圆心N的轨迹方程为．（2）设P（x0，y0），A（x1，y1），S（x S，0），T（x T，0），则B（x1，﹣y1），由题意知x0≠±x1．则，直线AP方程为y﹣y1＝k AP（x﹣x1），令y＝0，得，同理，于是，又P（x0，y0）和A（x1，y1）在椭圆上，故，则．所以．21．（12分）设函数f（x）＝x2e﹣x，g（x）＝xlnx．（1）若F（x）＝f（x）﹣g（x），证明：F（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；（2）设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}，（min{a，b}表示a，b中的较小值），若h（x）≤λ，求λ的取值范围．【解答】（1）证明：函数F（x）的定义域为（0，+∞），因为F（x）＝x2e﹣x﹣xlnx，当0＜x≤1时，F（x）＞0，而，所以F（x）在（1，2）存在零点．因为，当x＞1时，，所以，则F（x）在（1，+∞）上单调递减，所以F（x）在（0，+∞）上存在唯一零点．（2）解：由（1）得，F（x）在（1，2）上存在唯一零点x0，x∈（0，x0）时，f（x）＞g（x）；x∈（x0，+∞）时，f（x）＜g（x），∴．当x∈（0，x0）时，由于x∈（0，1]，h（x）≤0；x∈（1，x0）时，h'（x）＝lnx+1＞0，于是h（x）在（1，x0）单调递增，则0＜h（x）＜h （x0），所以当0＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）．当x∈[x0，+∞）时，因为h'（x）＝x（2﹣x）e﹣x，x∈[x0，2]时，h'（x）≥0，则h（x）在[x0，2]单调递增；x∈（2，+∞）时，h'（x）＜0，则h（x）在（2，+∞）单调递减，于是当x≥x0时，h（x）≤h（2）＝4e﹣2，所以函数h（x）的最大值为h（2）＝4e﹣2，所以λ的取值范围为[4e﹣2，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程和曲线C1的参数方程；（2）若将曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上任意一点，求点P到直线l距离的最小值．【解答】解：（1）直线l的普通方程为，曲线C1的参数方程为为参数）．（2）由题意知，曲线C2的参数方程为为参数），可设点，故点P到直线l的距离为，所以，即点P到直线l的距离的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）解不等式2f（x）＜4﹣|x﹣1|；（2）已知m+n＝1（m＞0，n＞0），若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）不等式2f（x）＜4﹣|x﹣1|等价于2|x+2|+|x﹣1|＜4，即或或．解得或{x|﹣2＜x﹣1}或∅，所以不等式的解集为．（2）因为|x﹣a|﹣f（x）＝|x﹣a|﹣|x+2|≤|x﹣a﹣x﹣2|＝|a+2|，所以|x﹣a|﹣f（x）的最大值是|a+2|，又m+n＝1（m＞0，n＞0），于是，∴的最小值为4．要使的恒成立，则|a+2|≤4，解此不等式得﹣6≤a≤2．所以实数a的取值范围是[﹣6，2]．。

云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学(理)试题

云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数z 满足()21i 1i z+=-，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为53，则其渐近线方程为（）A ．20x y ±=B ． 20x y ±=C ．340x y ±=D ．430x y ±= 3. 执行如图所示的程序框图，正确的是（）A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为104. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．24πB ．30π C.42π D ．60π 5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n S a 成等差数列，则17S =（） A ．0 B ．2 C.2- D ．34 6. ()()34122x x +-的展开式中x 的系数是（）A ．96B ．64 C.32 D ．16 7. 在ABC ∆中，AH BC ⊥于H ，点D 满足2BD DC =，若2AH =，则A H A D =（）A B ．2 C.．4 8. 已知函数()()sin 026f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭满足条件：102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，为了得到()y f x =的图象，可将函数()cos g x x ω=的图象向右平移m 个单位(0)m >，则m 的最小值为（）A ．1B ．12 C.6π D ．2π9. 圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”. 事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯()Re uleaux 命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）: 画一个等边三角形ABC ，分别以,,A B C 为圆心，边长为半径，作圆弧,,BC CA AB ，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形. 它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.图1 图2在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（） A ．8πBD10. 已知抛物线()220y px p =>上的点到焦点的距离的最小值为2，过点()0,1的直线l 与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线l 的距离为（）A ．1或 2 B ．1或2或2D ． 211. 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()xf x e =，若存在R t ∈，对任意[]()1,1,N x m m m ∈>∈，都有()f x t ex +≤ , 则m 的最大值为（） A ． 2 B ．3 C.4 D ．5 12. 定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的周期. 若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时，()()221xf x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞ C.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)10,+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为．14. 若函数()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0x =处的切线方程为31y x =-+，则ω= ．15. 表面积为16π的球面上有四个点,,,P A B C ，且ABC ∆是边长为若平面PAB ⊥平面ABC ，则棱锥P ABC -体积的最大值为．16. 某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有种．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2.（1）求AD 的长；（2）求CBD ∆的面积.18. 根据“2015年国民经济和社会发展统计公报” 中公布的数据，从2011 年到2015 年，我国的第三产业在GDP 中的比重如下:（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立第三产业在GDP 中的比重y 关于年份代码x 的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017 年我国第三产业在GDP 中的比重. 附注: 回归直线方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =-.19. 如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥平面111,1,2BCC B AC BC BB ===， 160B BC ∠=.（1）证明:1B C AB ⊥；（2）已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45，求1BEBB 的值. 20. 在直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆221:20O x x y ++=外切，同时与圆222:2240O x y x +--=内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明:OS OT 为定值.21. 已知函数()()1ln 11x x f x e-++=. （1）求()f x 的单调区间；（2）设()()()232'g x x x f x =++(其中()'f x 为()f x 的导函数) ，证明:1x >- 时，()21g x e <+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122(2x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程；（2）若将曲线1C2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x =+.（1）解不等式()241f x x <--；（2）已知()10,0m n m n +=>>，若不等式()11x a f x m n--≤+恒成立，求实数a 的取值范围.云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:CDCAB 6-10:BBADB 11-12：CC二、填空题13. 8 14. 3 15.3 16.12三、解答题17. 解：(1)由已知11sin 25sin 222ABD S AB BD ABD ABD ∆=∠=⨯⨯∠=，所以sin ABD ∠=，又0,2ABD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos ABD ∠=ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠=，所以AD =(2)由AB BC ⊥，得2ABD CBD π∠+∠=，所以sin cos 5CBD ABD ∠=∠=，又 42,sin 2sin cos 5BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=，222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ⎛⎫∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠ ⎪⎝⎭，所以CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin51155455,sin4sin42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCDBCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠.18. 解：(1)数据对应的散点图如图所示：(2)3,47.06x y==，1122211()()151.510()()n ni i i ii in ni ii ix y nx y x x y ybx n x x x====---====--∑∑∑∑,42.56a y bx=-=，所以回归直线方程为 1.542.56y x=+.(3)代入2017 年的年份代码7x=，得1.5742.5653.06y=⨯+=，所以按照当前的变化趋势，预计到2017年，我国第三产业在GDP中的比重将达到0053.06.19. 解：(1)证明：在1BCB∆中，111,2,60BC BB B BC==∠=，则13B C==22211BC B C BB+=，故1B C BC⊥.所以AC⊥平面11BCC B，于是1AC B C⊥，又BC AC C=，故1B C⊥平面ABC，所以1B C AB⊥.(2)如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则())()()10,0,0,,0,1,0,0,0,1C B B A ，由11BB CC =，得)11,0C -，设()1BE BB λλ=0≤≤1，则),1,0Eλ-，于是()()13,1,1,3,1,1AE ACλλ=--=--，求得平面1AEC 的一个法向量为(n λ=-，取平面1EC C 的一个法向量为()0,0,1m =，又二面角1A EC C --为45，则(cos 45m n m nλ===-，解得12λ=或2λ=（舍），所以1BE BB 的值为12. 20. 解：(1)由圆221:20O x x y ++=，得()2211x y ++=，所以()11,0O -，半径为1；由圆222:2240O x y x +--=，得()22125x y -+=，所以()21,0O ，半径为5，设动圆圆心(),M x y ，半径为R ，因为M 与1O 外切，所以1R 1MO =+，又因为M 与2O 外切，所以25R MO =-，将两式相加得12126MO MO OO +=>，由椭圆定义知，圆心M 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，则229,8a b ==，所以动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y +=. (2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，则()11,B x y -，由题意知01x x ≠±.则1010AP y y k x x -=-，直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-，令0y =，得011010S x y x y x y y -=-，同理()()011001101010T x y x y x y x y x y y y y --+==--+，于是222201100110011022101010S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+-，又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上，故2222010181,8199x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 ()()22222222222222011001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()222222010110222210018989x x x y x y OS OT y y x x --===--. 21. 解：(1)函数()f x 的定义域为()()()111ln 111,,'x x x f x e---++-+∞=，由于()()1'00,1ln 11f y x x ==--++在()1,-+∞上是减函数，所以当10x -<<时，()'0f x >；当0x >时，()'0f x <.所以()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为()0,+∞.(2)由()()()()21'g x x x f x =++，①当0x ≥时，由(1) 知()'0f x ≤，所以()201g x e ≤<+.② 当10x -<<时，()()()()()()()1111ln 121ln 1121x x x x x x x x g x x x e e ----++--++⎡⎤⎣⎦+=++=()()()2121ln 1x x ex x x e++=--++⎡⎤⎣⎦，构造函数()()12x h x e x +=-+，则()1'10x h x e +=->，则当10x -<<时，()()()112210,01x x x h x e x h e +++=-+>-=∴<<，易知当10x -<<时，()()1ln 10x x x --++>，()()()()()()22121ln 11ln 1x x g x e x x x e x x x e++∴=--++<--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 要证()21g x e <+，只需证()()21ln 11x x x e --++≤+，设()()()1l n 1px x x x =--++，得()()'2ln 1p x x =--+，由()()'2ln 10p x x =--+=，得21x e -=-，当()21,1x e -∈--时，()'0p x >，则()p x 单调递增；当()21,0x e -∈-时，()'0p x <，则()p x 单调递减，当10x -<<时，()()()()221ln 111p x x x x p e e --=--++≤-=+，所以当10x -<<时，()21g x e <+成立.综合① ②可知：当1x >-时，()21g x e <+. 22. 解：(1)直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由题意知，曲线2C 的参数方程为cos (x yθθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），可设点()cos P θθ，故点P 到直线l的距离为d ==，所以min d =P 到直线l 23. 解：（1）不等式()241f x x <--等价于2214x x ++-<，即()22214x x x ≤-⎧⎪⎨-+-+<⎪⎩或()212214x x x -<<⎧⎪⎨+-+<⎪⎩或()12214x x x ≥⎧⎪⎨++-<⎪⎩. 解得7|23x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭或{}|21x x -<-或∅，所以不等式的解集为7|13x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. （2）因为()222x a f x x a x x a x a --=--+≤---=+，所以()x a f x --的最大值是2a +，又()10,0m n m n +=>>，于是()112224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，11m n ∴+的最小值为4. 要使()11x a f x m n--≤+的恒成立，则24a +≤，解此不等式得62a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]6,2-.。

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2017 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测文科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】，那么，故选 B.2.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】，虚部是，故选 D.3.已知向量，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】，即，解得，，那么，故选 D.4.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】 C【解析】全称命题的否定“”，故选 C.A. B. C. D.【答案】 C【解析】，所以通项公式，当，解得即，即前项和最大，，故选 C.6.若执行如图所示的程序框图，则输出的结果（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】进入循环，，，此时否，第二次进入循环，，，否，第三次进入循环，，是，输出，故选 C.7.表示生成一个在内的随机数（实数），若，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】此概率表示几何概型，如图，表示阴影的面积与第一象限正方形面积的比值，，故选 A.8.已知点是抛物线上一点，为的焦点，的中点坐标是，则的值为（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】，那么在抛物线上，即，即，解得，故选 D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】几何体分上下两部分，下部分是圆锥，底面半径是2，高是 4，上部分是正四棱锥，正四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，高是 2，所以体积，故选 B.10.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】，故选 D.11.已知函数，将其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】向右平移个单位后，得到函数，当时，，即，当时，，故选 B.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换和三角函数的性质，总体难度不大，三角函数图象变换分先伸缩后平移，和先平移后伸缩，若向右平移个单位，得到的函数解析式是，若的横坐标缩短到原来的倍，得到的函数解析式是，一定准确掌握两种变换规律.12.设若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】如图，画出三个函数的图象，根据条件的图象是红色表示的曲线，点是函数的最低点，联立，解得（舍）或，此时，故选 A.【点睛】本题考查学生的作图能力和综合能力，此类问题的基本解法是数形结合法，即通过画出函数的图象，观察交点情况，得出结论. 表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，其解题的关键是正确地画出分段函数的图像找到函数的最低点，就是函数的最小值..第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设满足约束条件则的最小值是__________．【答案】【解析】如图，画出可行域，，当目标函数过点时，函数取得最小值.设数列的前项和为，若成等差数列，且，则．【解析】，即，，所以数列从第二项起是公比为 -2 的等比数列，.15.已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，双曲线的一条渐近线方程是，点是抛物线的焦点，且是正三角形，则双曲线的标准方程是__________．【答案】【解析】准线方程，与双曲线相交，得到交点坐标，设，那么，焦点和准线间的距离是，又因为是等边三角形，所以，所以，即，那么，解得，，所以双曲线的标准方程是.【点睛】本题考查抛物线、双曲线的标准方程及其几何性质. 本题中由渐近线方程，确定的关系，再由等边三角形的性质，确定交点坐标，从而得到又一组的关系， .本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查抛物线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.16.已知正四面体的四个顶点都在球心为的球面上，点为棱的中点，，过点作球的截面，则截面面积的最小值为__________ ．【答案】【解析】连结,截面与垂直时，截面面积最小，因为截面圆的半径，最小，即最大，表示球心到截面的距离，而球心到截面距离的最大值就是，，，，所以，，，那么,所以，所以截面圆的面积的最小值是.【点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质：平面截球得到圆，正确理解球心距公式，得到截面的最大时的情形，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等，立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.在中，为边上一点，，，.（ 1）若，求外接圆半径的值；（ 2）设，若，求的面积.【答案】（1）; （ 2）.试题分析：（ 1）内，根据余弦定理求，再根据正弦定理，求三角形外接圆的半径；（ 2）因为，，那么根据已知条件可知，先求，再设，在内根据余弦定理求，再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式表示为.试题解析：（ 1）由余弦定理，得，解得.由正弦定理得，.（ 2）设，则，∵，∴.∴.∵，∴.∴，即，解得.∴.∵，∴.∴.18.某校届高三文（1）班在一次数学测验中，全班名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在的学生数有人.（ 1）求总人数和分数在的人数；（ 2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？（ 3）现在从比分数在名学生（男女生比例为）中任选人，求其中至多含有名男生的概率.【答案】（1） ; （2），; （ 3）.【解析】试题分析：（ 1）根据频率分布图求分数在的频率0.35，根据公式总人数频率=频数，再计算分数在的频率，再根据总人数求分数在的人数；（2）众数是最高的小矩形的底边的中点值，中位数是中位数两边的面积分别是；（3）首先计算分数在115~120的学生有 6 人，其中男生 2 人，女生 4 人，给这 6 人编号，列举所有任选 2 人的基本事件的个数，以及其中至多有 1 名男生的基本事件的个数，并求其概率.试题解析：（ 1）分数在内的学生的频率为，所以该班总人数为.分数在内的学生的频率为：，分数在内的人数为.（ 2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，设中位数为，∵，∴.∴众数和中位数分别是，.（ 3）由题意分数在内有学生名，其中男生有名.设女生为，男生为，从名学生中选出名的基本事件为：共种，其中至多有名男生的基本事件共种，∴所求的概率为.19.已知三棱锥中，，，，是中点，是中点.（ 1）证明：平面平面；（ 2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析 ; （2）.【解析】试题分析：（ 1）连结，根据勾股定理可证明，以及根据等腰三角形证明，所有证明了平面，也即证明了面面垂直；（2）根据等体积转化，求点到平面的距离 .试题解析：（ 1）证明：连结，在中，，是中点，∴，又∵，，∴.∵，∴，，∴.又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（ 2）∵ 是的中位线，∴.∵ 是中点，，∴.又平面平面，两平面的交线为，∴平面，∵平面，∴.设点到平面的距离为，则，∴，.【点睛】本题考查了立体几何中垂直的证明，以及等体积转化法求点到面的距离，垂直关系的证明是线面关系的重点也是难点，一般证明线线垂直，转化为证明线面垂直，或是转化为相交直线后，可根据三边证明满足勾股定理；若要证明线面垂直，可根据判断定理证明，即线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直；若要证明面面垂直，则根据判断定理，转化为证明线面垂直，总之，在证明垂直关系时，“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.20.已知点是椭圆的左、右顶点，为左焦点，点是椭圆上异于的任意一点，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，直线于点.（ 1）求证：直线与直线的斜率之积为定值；（ 2）若直线过焦点，，求实数的值.【答案】（1）见解析 ; （2）.【解析】试题分析：（ 1）设，利用点在椭圆上的条件，化简，得到定值；（2）设直线的斜率分别是，并且表示直线，以及求出交点的坐标，根据，表示直线的斜率，根据三点共线，表示，得到的齐次方程，求的值，并且代入求的值.试题解析：（ 1）证明：设，由已知，∴. ①∵点在椭圆上，∴. ②由①②得（定值） .∴直线与直线的斜率之积为定值.（ 2）设直线与斜率分别为，由已知，直线的方程为，直线，则.∵，∴.由（ 1）知，故，又三点共线，得，即，得.∵，∴，，解得或（舍去）.∴.由已知，得，将代入，得，故.21.已知函数，.（ 1）当时，求的单调区间；（ 2）当时，若对任意，都有成立，求的最大值 .【答案】（1）的单调递增区间为，，单调递减区间为; （2） .【解析】试题分析：（ 1）当时，代入函数，求，是函数的增区间，是函数的减区间；（2）当成立，整理为，设，利用导数求函数的最小值，求整数的最大值.试题解析：（ 1）解：由题意可知函数的定义域为.当时，，.①当或时，，单调递增 .②当时，，单调递减 .综上，的单调递增区间为，，单调递减区间为.（ 2）由，得，整理得，∵，∴.令，则.令，∵，∴.∴在上递增，，∴存在唯一的零点.∴，得.当时，，∴在上递减；当时，，∴在上递增.∴，要使对任意恒成立，只需.又，且，∴ 的最大值为.【点睛】本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，分两步，第一步，利用导数求函数的单调区间，是一道比较常规的问题，第二步参变分离后，利用导数研究函数单调性，进而求最值，利用最值求参数取值范围，这一步涉及求二次导数，根据二次导数的恒成立，确定一次导数单调的，再根据零点存在性定理，得到函数的极值点的范围，思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. 直线交曲线于两点.（ 1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（ 2）设点的直角坐标为，求点到两点的距离之积.【答案】（1）,; （ 2）.【解析】试题分析：（ 1）先写出直线的普通方程，再根据极坐标和直角坐标的转化公式转化为极坐标方程；曲线两边同时乘以，转化为直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到，而求解.试题解析：（ 1）由直线的参数方程为（为参数）得的普通方程为.∴直线的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为.（ 2）∵直线：经过点，∴直线的参数方程为（为参数）.将直线的参数方程为代入，化简得，∴.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（ 1）求证：的最小值等于；（ 2）若对任意实数和，，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析 ; （2）.【解析】试题分析：（ 1）根据含绝对值三角不等式，证明结论；（2）将不等式整理为，转化为求的最小值，利用含绝对值三角不等式求解.试题解析：（ 1）证明：∵，∴.当且仅当时“ =”成立，即当且仅当时，.∴的最小值等于 .（ 2）解：当即时，可转化为，即成立，∴.当时，∵，当且仅当时“ =”成立，即当且仅当时“ =”成立，∴，且当时，，∴的最小值等于，∵，∴，即.由（ 1）知，∴.由（ 1）知当且仅当时，.综上所述，的取值范围是.。