回归模型的函数形式
回归函数的定义
回归函数的定义回归函数是统计学中的一个基础概念，广泛应用于各个领域，如经济学、工程学、医学等等。
本文将详细阐述回归函数的定义，特点及其应用。
回归函数是一种通过观测数据找出变量之间关系的统计工具。
在统计学中，回归分析的目标是确定一个因变量和一个或多个自变量之间的关系。
在一次典型的回归分析中，研究人员收集数据，然后用回归函数分析这些数据，以确定因变量和自变量之间的关系。
该关系可用一条线或平面等函数形式表示，使得我们可以利用该函数对未知自变量的取值进行预测和估计。
回归函数的一般形式为：y=f(x)+εy为因变量，x为自变量，f(x)为函数，ε为误差项，表示因变量与自变量之间的差异。
回归函数可以使用不同的方法来估计，例如最小二乘法等。
通常，回归函数的目标是最小化误差项ε。
1. 易于理解和应用。
回归函数是一种比较简单的统计工具，易于掌握和应用。
它可以帮助人们理解因变量和自变量之间的关系，以及预测未来的结果。
2. 适用范围广。
回归函数可以适用于许多不同的学科和领域，如经济学、医学、心理学等等。
3. 有效性高。
回归函数可以提供比其他统计方法更准确的预测结果。
4. 可解释性强。
回归函数可以帮助人们了解因变量和自变量之间的关系，以及各个变量的影响因素。
5. 假设条件要求较高。
回归函数的应用需要满足一定假设条件，如线性关系、常数方差和无自相关等要求。
因此在应用时需要谨慎选择变量和检验假设条件。
1. 预测和估计。
回归函数可以通过已知的自变量来预测因变量的值。
我们可以用回归函数来预测一个人的收入、体重、房价或者销售额等。
2. 相关性分析。
回归函数可以用来确定自变量和因变量之间的关系及其程度。
经济学家可以使用回归函数来确定利率、通货膨胀率和失业率之间的关系。
3. 研究影响因素。
回归函数可以用来分析自变量对因变量的影响因素。
医生可以使用回归函数来分析患者的健康状况，找到影响健康的因素。
4. 数据挖掘。
回归函数可以用来挖掘数据中的潜在关系，了解数据背后的含义。
计量经济学第五讲---模型函数形式
Prob. 0.0000 0.0000 5.468946 0.086294 -9.94267 -9.84926 81786.04 0.000000
ˆ 5.317 0.0098t ln Y t
斜率0.0098表示，平均而言， se (0.000608 )(0.0000343 ) Y的年增长率为0.98％。
每提高1个百分点，平均而言，数学S.A.T分数将增加0.13 个百分点。根据定义，如果弹性的绝对值小于1，则称缺 乏弹性。因此，在该例中，数学S.A.T分数是缺乏弹性的。 另外，r2＝0.9， 表明logX解释了变量logY的90％的变 动。
13
第5章
经济学的弹性：
以价格弹性为例： 价格弹性的准确定义是需求量变动的百分比除以价格变动的百分 比。 价格变动一个百分点，引起需求量变动超过一个百分点，则该物 品就富有价格需求弹性；需求变动量不到一个百分点，则缺乏价 格需求弹性；需求变动量等于一个百分点，则该物品拥有单位需 求价格弹性。
S.D. dependent var
Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
20.51101
2.260832 2.354245 23141.80 0.000000
S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood
2642.152 134.6207
Mean dependent var S.D. dependent var
S.E. of regression
Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
回归模型的其他函数形式
四、回归模型的其他函数形式（一）对数线性模型iu i i eX Y 2 1 b b = 对数线性模型的优点在于：斜率系数 2 b 度量了 Y 对 X 的弹性，也就是当解释变量X 变 化 1%时，Y 变化的百分比。
由于在线性回归模型中， 2 b 是一个常数，因此，对数线性模型假定 Y 与 X 之间的弹 性系数 2 b 在整个研究范围内保持不变，所以称为不变弹性模型。
（二）半对数模型１．线性到对数模型tt u t LnY + + = 2 1 b b 式中，Y t ＝要研究的经济现象，t ＝时间变量。
t 时间变量的使用，主要是研究被解释变量在时间上的变动规律。
式中，被解释变量为对数形式，解释变量为线性形式，称为线性到对数的半对数模型。
通用形式为tt t u X LnY + + = 2 1 b b 式中，斜率系数 2 b 的含义为：解释变量X 绝对量改变一个单位时，被解释变量 Y 的相对改 变量。
即XYY X Y D D ==/ 2 的绝对改变量 的相对改变量 b ２．对数到线性模型tt t u LnX Y + + = 2 1 b b 我们称上式为对数到线性模型。
模型中斜率系数 2 b 的含义为解释变量X 相对量改变 1 个单 位时，被解释变量 Y 的绝对变化量。
XX Δ YΔ X Y / 2 ==的相对变化量 的绝对变化量 bXX Y / 2 D × = D b （5.66）当 X X / D ＝0.01＝1%时， 2 01 . 0 b = D Y ，即当解释变量 X 增加 1%时，被解释变量 Y 增加 的绝对量为 0.01 2 b 。
（三）倒数模型当解释变量以倒数形式出现时的模型称为倒数模型或双曲线模型。
t tt u X Y + + = 121 b b 式中，Y 对 X 是非线性，但对参数 1 b ，2 b 而言是线性，Y 对 X1也是线性的。
此模型的特点 为当 X 值趋向于无穷大时， 2b X1趋向于 0，Y 趋向于 1 b 。
回归模型的函数形式
回归模型的函数形式回归模型是一种描述自变量和因变量之间关系的数学模型。
它可以用来预测因变量的值，基于给定的自变量值。
回归模型可以是线性的或非线性的，具体选择哪种形式取决于数据的特点和研究的目标。
以下是一些常见的回归模型的函数形式：1.线性回归模型：线性回归模型假设因变量与自变量之间存在线性关系。
最简单的线性回归模型称为简单线性回归模型，可以使用一条直线来描述自变量和因变量之间的关系：Y=β0+β1X+ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0表示Y截距，β1表示X的系数，ε表示误差项。
2.多元线性回归模型：多元线性回归模型用于描述多个自变量与因变量之间的线性关系。
它的函数形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示Xi的系数，ε表示误差项。
3.多项式回归模型：多项式回归模型用于描述自变量和因变量之间的非线性关系。
它可以通过引入自变量的幂次项来逼近非线性函数：Y=β0+β1X+β2X^2+...+βnX^n+ε4.对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量之间存在指数关系的情况。
它可以将自变量或因变量取对数，将非线性关系转化为线性关系：ln(Y) = β0 + β1X + ε5. Logistic回归模型：Logistic回归模型用于描述分类变量的概率。
它的函数形式是Sigmoid函数，将自变量的线性组合映射到0和1之间的概率值：P(Y=1，X)=1/(1+e^(-β0-β1X))以上是几种常见的回归模型的函数形式。
回归模型的选择取决于数据的特征和研究的目标，需要考虑线性或非线性关系、自变量的数量、相关性等因素。
根据实际情况，可以选择合适的模型进行建模和预测。
第九章回归模型的函数形式非线性回归模型的估计-PPT文档资料
L 52783 54334 55329 63909 64799 65554 66373 67199 67947 68850 69600 69957 71394 72085 73025 73740 74432
K 3791.7 4753.8 4410.4 4517.0 5594.5 8080.1 13072.3 17042.1 20199.3 22913.5 24941.1 28406.2 29854.7 32917.7 37213.5 43499.9 55566.6
，称这类模型为可线性化模型。
1．对数模型（或对数-对数模型） 模型形式：
lnY=b0+b1lnX+u (对数-对数模型）
lnY=b0+b1lnX+u (对数-对数模型）
对数-对数模型特点： b1表示当X每变动1个相对量时
（而X变动1个相对量，用符号表达就是ΔX/X，用数
据表达就是 1% ）， Y将变动一个相对量，这个相对
L K
2．半对数模型
在对经济变量的变动规律研究中，测定其增长率或衰减率是一个重要 方面。在回归分析中，我们可以用半对数模型来测度这些增长率。 模型形式：
lnY=b0+b1X+u (对数-线性模型） Y=b0+b1lnX+u (线性-对数模型）
lnY=b0+b1X+u (对数-线性模型）
对数-线性模型特点： b1表示当X每变动1个绝对量单 位时（而X变动1个单位，用符号表达就是 ΔX），Y 将变动一个相对量，这个相对量用 ΔY/Y表示。然后，
第九章 回归模型的函数形式 （可线性化的非线性模型的估计）
典型的可线性化的非线性模型
• • • • 1．倒数模型 2．多项式模型 3．半对数模型： 4．双（边）对数模型
回归模型的数学表达式
回归模型的数学表达式回归模型是一种常见的统计分析方法，用于研究变量之间的关系。
它通过建立数学表达式，来预测一个或多个自变量与因变量之间的关系。
回归模型的数学表达式可以写成如下形式：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε其中，y表示因变量，x1, x2,..., xn表示自变量，β0, β1, β2, ..., βn 表示回归系数，ε表示误差项。
回归模型的目标是找到最佳的回归系数，使得模型能够最好地拟合数据。
回归模型的数学表达式可以分为线性回归模型和非线性回归模型。
线性回归模型是最简单的回归模型，假设自变量与因变量之间存在线性关系。
非线性回归模型则假设自变量与因变量之间存在非线性关系。
在线性回归模型中，回归系数表示自变量对因变量的影响程度。
例如，β1表示x1每变动一个单位对y的影响，β2表示x2每变动一个单位对y的影响，以此类推。
回归系数的正负号表示自变量与因变量之间的正向或负向关系，而系数的大小表示影响的强度。
在非线性回归模型中，回归系数的解释与线性回归模型类似，但由于存在非线性关系，解释起来相对复杂。
非线性回归模型通常需要依赖于特定的函数形式，如指数函数、对数函数、幂函数等。
回归模型的数学表达式可以通过最小二乘法来求解。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与回归模型预测值之间的误差平方和，来确定最佳的回归系数。
最小二乘法可以通过求解正规方程组或使用迭代算法来实现。
对于回归模型的数学表达式，我们可以根据具体的研究问题和数据特点，选择合适的自变量和函数形式，来构建回归模型。
在建立模型后，我们可以通过拟合优度和显著性检验等指标来评估模型的拟合程度和统计显著性。
回归模型的数学表达式是一种描述自变量与因变量关系的工具，通过建立数学模型，我们可以预测因变量的变化，并了解自变量对因变量的影响。
回归模型的数学表达式可以通过最小二乘法来求解，并根据具体问题选择合适的自变量和函数形式。
4 回归模型的函数形式b
多元双对数模型： 多元双对数模型：两个实例
P185
ln Yi = B1 + B2 ln X 2i + B3 ln X 3i + ui
B2：保持X3不变，X2每变化1%，Y变化B2* 1% B3：保持X2不变，X3每变化1%，Y变化B3* 1% 偏弹性。 它们分别度量了Y对 X2和X3变化的偏弹性 偏弹性
B2度量了Y对X的弹性： 的弹性： 度量了 对 的弹性 X变化 ，Y将变化 2×1% 变化1%， 将变化 将变化B 变化
关于弹性
d ln Y dY / Y Y / Y X E＝ = = = (斜率) ( ) d ln X dX / X X / X Y
当E的绝对值大于1，Y对X有弹性 有弹性 当E的绝对值小于1，Y对X缺乏弹性 缺乏弹性 当E的绝对值等于1，Y对X有单位弹性 有单位弹性
若B2＋B3 >1，规模报酬递增 （increasing returns to scale） 若B2＋B3 <1，规模报酬递（decreasing） 若B2＋B3 =1，规模报酬不变（constant） 表9-2：墨西哥生产函数（1955－1974） ：墨西哥生产函数（ － ）
例9-3 OECD国家的能源需求 国家的能源需求
P191，9.5
关键：解释斜率系数B 关键：解释斜率系数B2的含义
ln Yi = B1 + B2 X i + ui
d ln Y Y / Y B2＝ = dX X
log-lin：X变化一单位，Y会变(100×B2)%
Yi = B1 + B2 ln X i + ui
dY Y B2＝ = d ln X X / X
虽然双对数模型改变了变量xy的函数形式但由于仍是参数线性模型模型的参数估计假设检验tfp值预测等都与第67章介绍的方法类似可直接套用
计量经济学课件 第5章 回归模型的函数形式
• 模型选择的重点不是在判定系数大小，而是要考 虑进入模型的解释变量之间的相关性（即理论基 础）、解释变量系数的预期符号、变量的统计显 著性、以及弹性系数这样的度量工具。
线性回归模型的弹性系数计算
• 平均弹性：
E
Y X
X Y
B2
X Y
多元对数线性回归模型
• 偏弹性系数的含义： 在其他变量（如，X3）保持不变的条件下，X2 每变动1%，被解释变量Y变动的百分比为B2；
• （3）菲利普斯曲线
被解释变量：英国货币工资变化率，解释变量：失业率 结论：失业率上升，工资增长率会下降。 在自然失业率UN上下，工资变动幅度快慢不同。即失业率低于自然失业率时，工 资随失业率单位变化而上升快于失业率高于自然失业率时工资随失业率单位变化而下 降。
（P113例5-6） 倒数模型： 菲利普斯曲线
依据经济理论，失业率上升，工资增长率会下降；且 当失业率处于不同水平时，工资变动率变动的程度会 不一样，即Y对X 的斜率（Y / X）不会是常数。
Y / X 20.588*(1/ X 2 )
R2 0.6594
模型选择：
1、依据经济理论
以及经验判断；
2、辅助于对拟合
R2 0.5153 Y / X 0.79
1、B1、B2、B4 0； 2、B3 0 3、B32 3B2B4
WHY? —所以经济理论的学习对于模型的建立、选择
和检验有非常关键和重要的意义。 24
四、模型（形式）选择的依据
经济理论
工作经验
1、模型的建立需要正确地理论、合适可用的数据、 对各种模型统计性质的完整理解以及经验判断。
模型选择的基本准则：进入模型中的解释变量的关系（即 理论基础）、解释变量系数的预期符号、弹性系数等经济 指标、统计显著性等
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双变量模型R^2=0.974
二次多项式模型:R^2=0.990
三次多项式模型:R^2=0.998
所以从拟合优度来看,三次多项式模型拟合优度最好,最接近1.
其次,比较散点图:三次多项式模型的散点图弯曲度比其他两个模型都好。
所以综上：三次多项式模型最好。
二、建立双变量模型：输入ls y c x得到如图：并命名为eq01
建立二次多项式模型，输入ls y c x x1,回车得到模型如图，并命名为eq02：
建立三次多项式模型，输入ls y c x x^3,并命名为EQ03
散点图：双变量模型散点图
二次多项式模型散点图：
三次多项式散点图：
对比图：
四、实验结果及分析（将本问题的回归模型写出，并作出比较哪种模型最好）
306.8
306.4
1997
352.3
370.3
1998
397.3
418.1
1999
435.5
458.3
2000
488.3
501.2
2001
552
556
2002
646
648
2003
898
760
二、实验目的
1、掌握几种典型的的非线性模型、对其进行线性化处理的原理，以及相应的EViews软件操作方法。
三、实验步骤（简要写明实验步骤）
表1给出了厦门市贷款总额Loan与GDP的数据（1990-2003），试分析Loan与GDP的关系，并建立厦门市贷款总额模型。
表1
obs
LOAN
GDP
1
78
62
1992
112.7
97.7
1993
151.8
132.3
1994
209.6
187
1995
260.8
250.6
1996
双变量模型:Y = -5.480547774 + 1.046727923*X
二次多项式模型;Y = 55.88143168 + 0.5504428913*X + 0.000661681574*X1
三次多项式模型;Y = -16.43211696 + 1.568241077*X - 0.002462988255*X1 + 2.591075621e-006*X^3
《计量经济学》实验报告回归模型的函数形式（三）
开课实验室：2016年月日
姓名
任会
成绩
年级专业
财务与管理系
学号
1423319
课程名称
计量经济学
实验名称
实验小组成员
指导教师
侯艳红
教师评语
教师签名：
年月日
一、实验内容
1、利用数学公式生成新序列，也就是利用普通的数学符号对已有序列进行变换。如生成log（Y）、X^2、1/X等序列。
1、生成log（Y）、X^2、1/X；
2、建立厦门市贷款总额模型，分别建立双变量模型、二次多项式模型、三次多项式模型。
一、生成log（Y）输入genr lny=log(Y)回车生成，如下表：
2、生成X^2输入genr x1=x^2回车生成，如下表：
3、生成1/x输入genr x2=1/x回车生成，如下表：