第八章 回归方程的函数形式
高考回归方程的知识点
高考回归方程的知识点高考是每个学生都经历的重要考试，它对于一个学生的未来起着决定性的作用。
而高考数学中的回归方程是一个比较重要的知识点，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着很多的应用价值。
下面我们就来详细了解一下高考回归方程的知识点。
1. 回归方程的概念回归方程是一种用于揭示自变量与因变量之间关系的数学模型。
在数学中，通常用直线或曲线来表示回归方程。
回归分析主要用于统计数据的分析和预测。
通过回归方程，我们可以根据已有的数据来预测未知的数据。
2. 简单线性回归方程简单线性回归方程是回归方程中最简单的一种形式。
它表示两个变量之间的线性关系。
简单线性回归方程的一般形式为：y = ax + b，其中y是因变量，x是自变量，a和b是常数。
a代表的是变量y随着变量x的变化而变化的速率，b代表的是y在x=0时的值。
3. 多元线性回归方程多元线性回归方程是回归方程中常用的一种形式。
它表示多个自变量与因变量之间的线性关系。
多元线性回归方程的一般形式为：y =a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxn + b，其中y是因变量，x₁、x₂、...、xn是自变量，a₁、a₂、...、an和b是常数。
多元线性回归方程可以用来分析多个自变量对于因变量的影响程度。
4. 回归方程的确定系数确定系数是用来衡量回归方程对于实际数据拟合程度的指标。
它的取值范围在0到1之间，越接近1表示回归方程对数据的拟合程度越好。
确定系数的计算公式为：R² = 1 - (SSE/SST)，其中SSE表示残差平方和，SST表示总平方和。
通过计算确定系数，我们可以评估回归方程的质量，并对预测结果进行准确性评估。
5. 回归方程在实际生活中的应用回归方程在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，可以使用回归方程来分析商品价格与供需关系，从而预测价格变动趋势；在医学研究中，可以使用回归方程分析药物剂量与疗效之间的关系，从而确定最佳剂量；在市场营销中，可以使用回归方程来分析消费者行为与销售量之间的关系，从而制定合理的市场营销策略。
回归函数的定义
回归函数的定义回归函数是统计学中的一个基础概念，广泛应用于各个领域，如经济学、工程学、医学等等。
本文将详细阐述回归函数的定义，特点及其应用。
回归函数是一种通过观测数据找出变量之间关系的统计工具。
在统计学中，回归分析的目标是确定一个因变量和一个或多个自变量之间的关系。
在一次典型的回归分析中，研究人员收集数据，然后用回归函数分析这些数据，以确定因变量和自变量之间的关系。
该关系可用一条线或平面等函数形式表示，使得我们可以利用该函数对未知自变量的取值进行预测和估计。
回归函数的一般形式为：y=f(x)+εy为因变量，x为自变量，f(x)为函数，ε为误差项，表示因变量与自变量之间的差异。
回归函数可以使用不同的方法来估计，例如最小二乘法等。
通常，回归函数的目标是最小化误差项ε。
1. 易于理解和应用。
回归函数是一种比较简单的统计工具，易于掌握和应用。
它可以帮助人们理解因变量和自变量之间的关系，以及预测未来的结果。
2. 适用范围广。
回归函数可以适用于许多不同的学科和领域，如经济学、医学、心理学等等。
3. 有效性高。
回归函数可以提供比其他统计方法更准确的预测结果。
4. 可解释性强。
回归函数可以帮助人们了解因变量和自变量之间的关系，以及各个变量的影响因素。
5. 假设条件要求较高。
回归函数的应用需要满足一定假设条件，如线性关系、常数方差和无自相关等要求。
因此在应用时需要谨慎选择变量和检验假设条件。
1. 预测和估计。
回归函数可以通过已知的自变量来预测因变量的值。
我们可以用回归函数来预测一个人的收入、体重、房价或者销售额等。
2. 相关性分析。
回归函数可以用来确定自变量和因变量之间的关系及其程度。
经济学家可以使用回归函数来确定利率、通货膨胀率和失业率之间的关系。
3. 研究影响因素。
回归函数可以用来分析自变量对因变量的影响因素。
医生可以使用回归函数来分析患者的健康状况，找到影响健康的因素。
4. 数据挖掘。
回归函数可以用来挖掘数据中的潜在关系，了解数据背后的含义。
第八章 相关分析与回归分析
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19
③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产 生在—列”，如下图所示，单击“下一步” 按钮。
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第8章 回归分析
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20
④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如 下图所示。
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第8章 回归分析
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21
⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图 所示。
n 8, x 36.4, x 207.54 , y 104214 y 880, . xy 4544 6
2 2
r
n xy x y n x2 x 2 n y2 y 2 8 4544 6 36.4 880 .
第8章 回归分析
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（二）回归分析的种类： 1、按自变量 x 的多少，分为一元回归和多 元回归； 2、按 y 与 x 关系的形式，分为线性回归和 非线性回归。
第8章 回归分析
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二、一元线性回归分析
x y 62 86 80 110 115 132 135 160
42
（一）一元线性回归方程：
2、非线性相关：当一个变量变动时， 另一个变量也相应发生变动，但这种变 动是不均等的。
第8章 回归分析
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㈢根据相关关系的方向 1、正相关：两个变量间的变化方向一 致，都是增长趋势或下降趋势。 2、负相关：两个变量变化趋势相反。
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10
（四）根据相关关系的程度 1、完全相关：两个变量之间呈函数关系 2、不相关：两个变量彼此互不影响，其 数量的变化各自独立
05_回归方程的函数形式
b1 ln Y0 ， b 2 ln(1 r ) ， 并 加 上 随 机 误 差 项 ，
则复利公式变成了对数到线性的半对数模型：
ln(Yt ) b1 b 2 t u t
所以复利增长率 1。 Example 9.4 The growth of the U.S. Population,1970 to 1999 pp258-259
Y / Y Y / Y X b2 （ 是 一 个 b2 （ 是 个 常 数 ） X / X Y X / X
变量）
注：当用 X 和 Y 的样本均值 代 入 时（ b2
X ） ，即 为 样 本 期 Y
的平均产弹性。
Y 对 X 的 斜率 判定系 数 R2
b2 （ 常 数 ）
X 对 Y 变动的解释比例
两边取以 e 为底的对数得：
ln Yt ln a1 a 2 ln X t u t
设
Yt* ln Yt , X* t ln X t , b1 ln a 1 , b 2 a 2 则 模 型 变 为 ： Yt* b1 b 2 X* t u t（ 变 换 后 的 模 型 为 线 性 模 型 ，该 模
厦门大学经济学院 胡朝霞
1
当 当 的。
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 有 弹 性 的 ；
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 无 （ 缺 乏 ） 弹 性
思 考 ： 如 何 检 验 价 格 弹 性 的 特 征 ？ (用 t 检 验 ) 由于双对数模型的弹性是一个常数，所以双对数模 型又称为不变弹性模型。 2． 双 对 数 模 型 与 一 般 线 性 模 型 的 比 较 ：
r eb 1, 即 等 于 回 归 系 数 的 反 对 数 减
第八章 相关与回归分析
相关系数的特点：
相关系数的取值在-1与1之间。 相关系数的取值在之间。 =0时 表明X 没有线性相关关系。 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。 表明X 当 时，表明X与Y存在一定的线性相关关 系； 表明X 为正相关; 若 表明X与Y 为正相关; 表明X 为负相关。 若 表明X与Y 为负相关。 表明X 完全线性相关； 当 时，表明X与Y完全线性相关； r=1， 完全正相关； 若r=1，称X与Y完全正相关； r=完全负相关。 若r=-1，称X与Y完全负相关
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 5 10
相关关系的类型
25
● 从变量相关关系变化的方向 方向看 方向 正相关——变量同方向变化 正相关 负相关——变量反方向变化 负相关 ● 从变量相关的程度看 完全相关 不完全相关 不相关
x
最小二乘法 ˆ ˆ (α 和 β 的计算公式)
根据最小二乘法， 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下
最小二乘估计的性质 ——高斯 马尔可夫定理 高斯—马尔可夫定理 前提： 在基本假定满足时
最小二乘估计是因变量的线性函数 线性函数 最小二乘估计是无偏估计 无偏估计，即 无偏估计 在所有的线性无偏估计中，回归系数的最小二 乘估计的方差最小 方差最小。 方差最小
结论：
回归系数的最小二乘估计是最佳线性无偏估计 最佳线性无偏估计
四、简单线性回归模型的检验
回归模型的检验包括： 回归模型的检验包括： 理论意义检验： 理论意义检验：主要涉及参数估计值的符号和取 值区间，检验它们与实质性科学的理论以及人们 的实践经验是否相符。 一级检验： 一级检验：又称统计学检验，利用统计学的抽样 理论来检验样本回归方程的可靠性，具体分为拟 合优度检验和显著性检验。 二级检验： 二级检验：又称计量经济学检验，它是对标准线 性回归模型的假设条件是否满足进行检验，包括 自相关检验、异方差检验、多重共线性检验等。
回归方程的函数形式
二、对数-对数模型用于测量弹性
1、回顾弹性的含义 需求的价格弹性含义： 商品价格每变动1%， 带来需求量变动的百 分比，即两个相对变 动的比值
dQ Q dP P dQ dP Q P
2、对对数-对数模型进行全微分
LNY LNA LNL LNK 对上式全微分得： dY dL dK Y L K 由偏回归系数含义得： 当k不变，即dk 0时 返回 dY Y ，即衡量的是弹性，当 L每变动 1%时，Y变动 %。 dL 我们可以看到此时弹性（α，β）在模型 L 中作为回归参数，是不变的，所以我们也 含义相同 称双对数模型为固定弹性模型或者不变弹
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二、半对数模型测度增长率
1、对于对数到线性模型 LNY b 0 b1 X1 dY dY 将其全微分，可得： b1 dX1 , b1 Y Y dX1 b1 含义：X1绝对量变动一个单位， 带来Y 的相对量（即增长率） 的变动， 2、对于线性到对数模型 ：Y b 0 b1 LNX1 将其全微分可得： dY b1 dX1 dY , b1 dX1 X1 X1
方程两边变量以对数形式出现（注意参数依然是 线性的）
对于Y AL K 两边取自然对数，我们可以转换为 LNY LNA LNL LNK，此类模型称为对数-对数模型， 在回归分析中有特殊作用 令Y* LNY,A* LNA,L* LNL,K* LNK Y* A* L* K* 如果新的方程满足经典假定，则可使用OLS法估计
例题2：生产函数的回归
1、理论背景
科布-道格拉斯生产函数
2、数据 3、回归结果和解释
2、数据
年份
1955 1956 1957 1958 -----
回归方程的函数形式
P
P0
D2
A
dQ P Ed dP Q
D1
Q0
Q
对于对数线性回归模型， ln Y 3.9617 0.2272ln X
其回归系数-0.2272的经济意义是价格每上升1%， 平均而言，需求量会下降0.22%。
对于线性回归模型，
Y 49.667 2.1576 X
其回归系数-2.1576的经济意义是价格每增加1元 钱，平均而言，需求量会减少大约2个单位。
形如Yi B1 B2 X i B3 X i2 B4 X i3 ui的回归模型称为 多项式回归模型,
它只有一个解释变量,不过解释变量以 不同次幂的形式出现在回归模型中
由于参数B1 , B2 , B3 , B4是以一次方的形式出现在回归方程中 因而这是一个线性回归模型
问题？由于解释变量X的不同次幂同时出现在回归模型 中，是否会导致（多重）共线性呢？
Y
LNY
X
LNX
思考：是否可以根据判定系数决定模型形式 的选择？
注意：只有当两个模型的应变量相同时，才 可能根据判定系数的高低评价两个模型的拟合优 度。在线性回归模型中，应变量是绝对形式，在 对数线性回归模型中，应变量是对数形式。
判定系数并不是评价模型优劣的唯一标准， 像回归系数的符号是否与理论预期相一致，是 否在统计上显著等也是评价模型好坏的重要标 准。
X Y B2 ( ) X
5.6
倒数模型
1 形如Yi B1 B2 ( ) ui的模型称为倒数模型 Xi
它的特点是随着X取值的无限增大,应变量Y将趋向于 其渐进值B1
Y
B1 B2
0 0
B1
0
X
Y
B1
统计学原理第八章相关与回归分析
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
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第八章回归方程的函数形式回忆参数线性模型和变量线性模型（见5.4）。
我们所关注的是参数线性模型，而并不要求变量Y与X一定是线性的。
在参数线性回归模型的限制下，回归模型的形式也有多种。
我们将特别讨论下面几种形式的回归模型：(1) 对数线性模型(不变弹性模型)(2) 半对数模型。
(3) 双曲函数模型。
(4) 多项式回归模型。
上述模型的都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。
8.1 三变量线性回归模型以糖炒栗子需求为例，现在考虑如下需求函数：Y =2BiAX( 8 - 1 )此处变量Xi是非线性的。
但可将式( 8 - 1 )做恒等变换表示成另一种形式：lnYi= lnA+B2lnXi ( 8 - 2 )其中，ln表示自然对数，即以e为底的对数；令B1= lnA ( 8 - 3 )可以将式( 8 - 2 )写为：lnYi = B1 + B2lnXi ( 8 - 4 )加入随机误差项，可将模型( 8 - 4 )写为：lnYi = B1+B2lnXi+ui ( 8 - 5 )( 8 - 5 )是一个线性模型，因为参数B1和B2是以线性形式进入模型的；形如式( 8 - 5 )的模型称为双对数模型或对数-线性( log-linear )模型。
一个非线性模型可以通过适当的变换转变为线性(参数之间)模型的：令Yi* = lnYi ,Xi* = lnXi则( 8 - 5 )可写为：Yi* = B1 + B2 Xi* + ui ( 8 - 6 )这与前面讨论的模型相似：它不仅是参数线性的，而且变形后的变量Y*与X*之间也是线性的。
如果模型( 8 - 6 )满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二乘法来估计它，得到的估计量是最优线性无偏估计量。
双对数模型(对数线性模型)的应用非常广泛，原因在于它有一个特性：斜率B2度量了Y对X的弹性。
如果Y代表了商品的需求量，X代表了单位价格， Y代表Y 的一个小的变动，∆X 代表X 的一个小的变动（∆Y /∆X 是dY/dX 的近似），E 是需求的价格弹性，定义弹性E 为： E= Y100/Y X100 / X= Y X YX=斜率×Y X ( 8 - 7 )对于变形的模型（8 - 6） B2= Y ln Y X ln X*=*Y/Y Y X/ X YX X == 可得B2是Y 对X 的弹性。
因为ln Y ln Y 1ln Y d Y dY Y Y Y≈=≈所以对数形式的改变量就是相对改变量：图8 - 1 a 描绘了函数式( 8 - 1 )，图8 - 2 b 是对式( 8 - 1 )做对数变形后的图形。
图8 - 1 b 中的直线的斜率就是价格弹性的估计值(－B2)。
由于回归线是一条直线(Y和X都采取对数形式)，所以它的斜率(－B2)为一常数；又由于斜率等于其弹性：所以弹性为一常数—它与X的取值无关。
由于这个特殊的性质，双对数模型(对数线性模型)又称为不变弹性模型。
例8.1 对炒栗子的需求回顾炒栗子一例的散点图，不难发现需求量和价格之间是近似线性关系的，因为并非所有的样本点都恰好落在直线上。
如果用对数线性模型拟合表8-1给出的数据，情况又会怎样？OLS回归结果如下：ln Yi = 3.9617 - 0.2272lnXise = (0.0416) (0.0250) ( 8 - 8 )t = (95.233) -(9.0880)r 2 = 0.9116可知价格弹性约为－0.23，表明价格提高1个百分点，平均而言需求量将下降0.23个百分点。
截距值3.96表示了lnX为零时，lnY的平均值，没有什么具体的经济含义。
r2=0.9166，表示logX解释了变量logY91%的变动。
对数线性模型的假设检验线性模型与对数线性模型的假设检验并没有什么不同。
在随机误差项服从正态分布(均值为0，方差为2δ)的假定下，每一个估计的回归系数均服从正态分布。
如果用2δ的无偏估计量2S代替，则每一个估计的回归系数服从自由度为(n－k)的t分布，其中k为包括截距在内的参数的个数。
在双变量模型中，k为2，在三变量模型中，k 为3，等等。
根据式( 8 - 8 )的回归结果，很容易检验每一个估计的参数在5%的显著水平下，都显著不为零，t值分别为9.08(b2)，95.26(b1)，均超过了t临界值2.306 (自由度为8，双边检验)。
8.3 多元对数线性回归模型双变量对数线性回归模型很容易推广到模型中解释变量不止一个的情形。
例如，可将三变量对数模型表示如下：lnYi= B1+ B2lnX2i+ B3lnX3i+ ui ( 8 - 9 )偏斜率系数B2、B3又称为偏弹性系数。
B2是Y对X2的弹性(X3保持不变)，即在X3为常量时，X2每变动1%，Y变化的百分比。
由于此时X3为常量，所以称此弹性为偏弹性。
类似地，B3是Y对X3的(偏)弹性(X2保持不变)。
简而言之，在多元对数线性模型中，每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，应变量对某一解释变量的偏弹性。
例8.2 柯布-道格拉斯生产函数模型( 8 - 9)是著名的柯布-道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas production function)(C-D函数, Y=B1X2B2X3B3)。
令Y表示产出，X2表示劳动投入，X3表示资本投入，式( 8 -9 )反映了产出与劳动力、资本投入之间的关系。
表8 - 2给出1955～1974年间墨西哥的产出Y，用国内生产总值GDP度量，劳动投入X2，以及资本投入X3的数据。
得到如下回归结果1：lnYt = -1.6524 + 0.3397 lnX2t + 0.8640 lnX3tse= (0.6062) (0.1857) (0.09343) (8-10)t = (-2.73) (1.83) (9.06)p= (0.014) (0.085) ( 0.000 )R2 = 0.994偏斜率系数0.3397表示产出对劳动投入的弹性，即在资本投入保持不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，平均产出将增加3 4%。
类似地，在劳动投入保持不变的条件下，资本投入每增加一个百分点，产出将平均增加0.85个百分点。
将两个弹性系数相加，得到一个重要的经济参数—规模报酬参数(returns to scale parameter)，它反映了产出对投入的比例变动。
如果两个弹性系数之和为1，则称规模报酬不变(例如，同时增加劳动和资本为原来的两倍，则产出也是原来的两倍)；如果弹性系数之和大于1，则称规模报酬递增(increasing returns to scale)。
如果弹性系数之和小于1，则称规模报酬递减(decreasing returns to scale)。
本例中，两个弹性系数之和为1.185 7，表明当时墨西哥经济是规模报酬递增的。
R2值为0.995，表明(对数)劳动力和资本解释了大约99.5%的(对数)产出的变动，表明了模型很好地拟合了样本数据。
8.4 半对数模型：被解释变量是对数形式用来测量被解释变量的增长率（相对变动率）例8.4 美国消费信贷的增长率表8 - 3给出了美国1973～1987年间消费者信贷的数据。
现求此期间信贷的增长率(Y)。
复利计算公式：Yt= Y0 ( 1+ r) t( 8 - 11 )其中，Y0—Y的初始值Yt—第t期的Y值r—Y的增长率(复利率)将式( 8 - 11 )两边取对数，得：lnYt= lnY0 + tln(1+r)令B1= lnY0B2=ln(1+r)可得lnYt=B1+B2t引进随机误差项，得：lnYt=B1+B2t+ut ( 8 - 12 )用普通最小二乘法来估计模型，得到如下回归结果：lnYt = 12.007 + 0.094 6tse = (0.0319) (0.0035)t = (376.40) (26.03)R 2 = 0.9824形如式( 8 - 12 )的回归模型称为半对数模型，因为仅有一个变量以对数形式出现。
斜率0.0946表示Y 的年增长率为9.46%，因为，在诸如式(8-12)的半对数模型中，斜率度量了给定解释变量的绝对变化所引起的Y 的比例变动或相对变动。
将此相对改变量乘以100，就得到增长率。
利用微分，可以证明： B2 = ln 1dY d Y dY dt dt Y dt Y ==8.5 线性对数模型：解释变量是对数形式度量解释变量每变动1%所引起的被解释变量的绝对改变量。
例8.5 美国GNP 与货币供给假定联储很关注货币供给的变动对GNP 的影响。
表8 - 4给出了GNP 和货币供给(用M2度量)的数据。
考虑下面模型：Yt=B1+B2lnX2t+ut ( 8 - 13 )其中，Y=GNP ，X=货币供给。
用微分，可以证明：21dY B dX X= 2()dY dY B X dX dX X== ( 8 - 14 ) Y =X 的绝对变化量的相对变化量因此，模型( 8 - 13 )中的斜率系数度量了Y 的绝对变化量和X 的相对变化量的比值。
若乘以100，则式( 8 - 14 )给出了X 每变动一个百分点引起的Y 的绝对变动量。
回归结果：Yt = -16329.0 + 2584.8lnXtt = (-23.494) (27.549)R 2= 0.9832发现货币供给每增加一个百分点，平均而言，GNP 将增加25.84亿美元。
形如式( 8 - 13 )的线性对数模型常用于研究解释变量每变动1%，相应应变量的绝对变化量的情形。
当然，模型可以有不止一个的对数形式的解释变量。
每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，某一给定变量X每变动1%所引起的应变量的绝对改变量。
8.6 双曲函数模型形如下式的模型称为双曲函数模型：Yi = B1 + B2（1Xi）+ ui ( 8 - 15 )该模型变量之间是非线性，因为X以倒数形式进入模型的，但模型是参数线性模型。
模型的显著特征是，随着X的无限增大，(1/Xi)将接近于零，Y将逐渐接近B1渐进值或极值。
双曲函数模型的一些可能的形状：平均固定成本若Y表示生产的平均固定成本( A F C )，也即总固定成本除以产出，X代表产出，则随着产出的不断增加，AFC将逐渐降低，最终接近其渐进线(X=B1)。
菲利普斯曲线(Philips curve)工资的变化对失业水平的反映是不对称的：失业率每变化一个单位，则在失业率低于自然失业率UN水平时的工资上升的比在当失业率在自然失业率水平以上时快。
B1表明了渐进线的位置。
菲利普斯曲线这条特殊的性质可能是由于制度的因素，比如工会交易势力、最少工资、失业保险等等。
8.8 不同函数形式模型小结*表示弹性系数是一个变量，其值依赖于X或Y或X与Y。