第5章 回归模型的函数形式
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05_回归方程的函数形式
设：
b1 ln Y0 ， b 2 ln(1 r ) ， 并 加 上 随 机 误 差 项 ，
则复利公式变成了对数到线性的半对数模型：
ln(Yt ) b1 b 2 t u t
所以复利增长率 1。 Example 9.4 The growth of the U.S. Population,1970 to 1999 pp258-259
Y / Y Y / Y X b2 （ 是 一 个 b2 （ 是 个 常 数 ） X / X Y X / X
变量）
注：当用 X 和 Y 的样本均值 代 入 时（ b2
X ） ，即 为 样 本 期 Y
的平均产弹性。
Y 对 X 的 斜率 判定系 数 R2
b2 （ 常 数 ）
X 对 Y 变动的解释比例
两边取以 e 为底的对数得：
ln Yt ln a1 a 2 ln X t u t
设
Yt* ln Yt , X* t ln X t , b1 ln a 1 , b 2 a 2 则 模 型 变 为 ： Yt* b1 b 2 X* t u t（ 变 换 后 的 模 型 为 线 性 模 型 ，该 模
厦门大学经济学院 胡朝霞
1
当 当 的。
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 有 弹 性 的 ；
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 无 （ 缺 乏 ） 弹 性
思 考 ： 如 何 检 验 价 格 弹 性 的 特 征 ？ (用 t 检 验 ) 由于双对数模型的弹性是一个常数，所以双对数模 型又称为不变弹性模型。 2． 双 对 数 模 型 与 一 般 线 性 模 型 的 比 较 ：
r eb 1, 即 等 于 回 归 系 数 的 反 对 数 减
b1 ln Y0 ， b 2 ln(1 r ) ， 并 加 上 随 机 误 差 项 ，
则复利公式变成了对数到线性的半对数模型：
ln(Yt ) b1 b 2 t u t
所以复利增长率 1。 Example 9.4 The growth of the U.S. Population,1970 to 1999 pp258-259
Y / Y Y / Y X b2 （ 是 一 个 b2 （ 是 个 常 数 ） X / X Y X / X
变量）
注：当用 X 和 Y 的样本均值 代 入 时（ b2
X ） ，即 为 样 本 期 Y
的平均产弹性。
Y 对 X 的 斜率 判定系 数 R2
b2 （ 常 数 ）
X 对 Y 变动的解释比例
两边取以 e 为底的对数得：
ln Yt ln a1 a 2 ln X t u t
设
Yt* ln Yt , X* t ln X t , b1 ln a 1 , b 2 a 2 则 模 型 变 为 ： Yt* b1 b 2 X* t u t（ 变 换 后 的 模 型 为 线 性 模 型 ，该 模
厦门大学经济学院 胡朝霞
1
当 当 的。
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 有 弹 性 的 ；
b2 1 时 ， 则 称 该 商 品 的 价 格 是 无 （ 缺 乏 ） 弹 性
思 考 ： 如 何 检 验 价 格 弹 性 的 特 征 ？ (用 t 检 验 ) 由于双对数模型的弹性是一个常数，所以双对数模 型又称为不变弹性模型。 2． 双 对 数 模 型 与 一 般 线 性 模 型 的 比 较 ：
r eb 1, 即 等 于 回 归 系 数 的 反 对 数 减
回归模型的函数形式
回归模型的函数形式回归模型是一种描述自变量和因变量之间关系的数学模型。
它可以用来预测因变量的值，基于给定的自变量值。
回归模型可以是线性的或非线性的，具体选择哪种形式取决于数据的特点和研究的目标。
以下是一些常见的回归模型的函数形式：1.线性回归模型：线性回归模型假设因变量与自变量之间存在线性关系。
最简单的线性回归模型称为简单线性回归模型，可以使用一条直线来描述自变量和因变量之间的关系：Y=β0+β1X+ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0表示Y截距，β1表示X的系数，ε表示误差项。
2.多元线性回归模型：多元线性回归模型用于描述多个自变量与因变量之间的线性关系。
它的函数形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示Xi的系数，ε表示误差项。
3.多项式回归模型：多项式回归模型用于描述自变量和因变量之间的非线性关系。
它可以通过引入自变量的幂次项来逼近非线性函数：Y=β0+β1X+β2X^2+...+βnX^n+ε4.对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量之间存在指数关系的情况。
它可以将自变量或因变量取对数，将非线性关系转化为线性关系：ln(Y) = β0 + β1X + ε5. Logistic回归模型：Logistic回归模型用于描述分类变量的概率。
它的函数形式是Sigmoid函数，将自变量的线性组合映射到0和1之间的概率值：P(Y=1，X)=1/(1+e^(-β0-β1X))以上是几种常见的回归模型的函数形式。
回归模型的选择取决于数据的特征和研究的目标，需要考虑线性或非线性关系、自变量的数量、相关性等因素。
根据实际情况，可以选择合适的模型进行建模和预测。
回归模型的函数形式
• 建立工作文件，导入数据。
• 拟合回归模型：
• 取得回归结果：
1、说明回归系数的意义，分析回归结果。
偏斜率系数0.3397度量产出对劳动投入的弹性； 偏斜率系数0.8460度量产出对资本投入的弹性； 系数的统计显著性； F值，模型整体显著性； R 2 ，表明劳动力和资本解释产出的变动。
2、检验该时期墨西哥是否经历规模报酬递增 的阶段。
ln Q = A + α ln L + β ln K
• 数据集data2_2为墨西哥1955～1974年实 际GDP、就业与实际固定资本的数据。 gdp：国内生产总值（1960年的百万比索） employment：就业人数（千人） capital：固定资本（1960年的百万比索）
• 拟合柯布-道哥拉斯生产函数，估计墨西哥 该时期的生产函数。说明回归系数的意义。 分析回归结果。 • 检验该时期墨西哥是否经历规模报酬递增 的阶段。
规模报酬参数（两个弹性系数相加），反映产 出对投入的比例变动。 规模报酬递增 规模报酬递减 规模报酬不变
作业
9.10，9.13，9.14
回归模型的函数形式
双对数模型 柯布-道格拉斯生产函数
• • • • •
双对数模型（不变弹性模型） 半对数模型（测度增长率） 倒数模型（菲利普斯曲线） 多项式回归模型 过原点的回归模型（零截距模型）
• 柯布-道格拉斯生产函数
Q = AL K
α
β
• 反映产出与劳动力和资本投入之间的函数 关系。 • 函数两边取对数，变换为
回归方程 回归模型
回归方程回归模型
回归方程是用来描述自变量和因变量之间关系的数学模型。
回
归模型是建立在统计学原理和假设之上的，用于预测和解释因变量
与一个或多个自变量之间的关系。
回归方程通常采用线性模型的形式，即因变量与自变量之间的
关系可以用直线表示。
线性回归方程的一般形式为，Y = β0 +
β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y表示因变量，X1、
X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。
回归方程的目标是通过最小化误差项来估计回归系数，使得回
归方程能够最好地拟合样本数据。
拟合程度可以通过回归模型的拟
合优度指标（如R方值）来评估。
回归模型的应用非常广泛。
它可以用于预测因变量的取值，例
如根据房屋的面积、位置等自变量来预测房屋的价格。
此外，回归
模型还可以用于解释因变量与自变量之间的关系，例如研究教育水
平对收入的影响。
需要注意的是，回归模型的建立需要满足一些假设前提，如线性关系、常态分布、误差项的独立性和同方差性等。
如果这些前提不满足，可能会导致回归模型的拟合效果不佳或结果不可靠。
总结起来，回归方程是描述自变量和因变量关系的数学模型，回归模型是基于统计学原理和假设的预测和解释工具。
它的应用广泛，但需要满足一些假设前提。
计量经济学课件 第5章 回归模型的函数形式
• 2.选择模型的基本准则：
• 模型选择的重点不是在判定系数大小，而是要考 虑进入模型的解释变量之间的相关性（即理论基 础）、解释变量系数的预期符号、变量的统计显 著性、以及弹性系数这样的度量工具。
线性回归模型的弹性系数计算
• 平均弹性：
E
Y X
X Y
B2
X Y
多元对数线性回归模型
• 偏弹性系数的含义： 在其他变量（如，X3）保持不变的条件下，X2 每变动1%，被解释变量Y变动的百分比为B2；
• （3）菲利普斯曲线
被解释变量：英国货币工资变化率，解释变量：失业率 结论：失业率上升，工资增长率会下降。 在自然失业率UN上下，工资变动幅度快慢不同。即失业率低于自然失业率时，工 资随失业率单位变化而上升快于失业率高于自然失业率时工资随失业率单位变化而下 降。
（P113例5-6） 倒数模型： 菲利普斯曲线
依据经济理论，失业率上升，工资增长率会下降；且 当失业率处于不同水平时，工资变动率变动的程度会 不一样，即Y对X 的斜率（Y / X）不会是常数。
Y / X 20.588*(1/ X 2 )
R2 0.6594
模型选择：
1、依据经济理论
以及经验判断；
2、辅助于对拟合
R2 0.5153 Y / X 0.79
1、B1、B2、B4 0； 2、B3 0 3、B32 3B2B4
WHY? —所以经济理论的学习对于模型的建立、选择
和检验有非常关键和重要的意义。 24
四、模型（形式）选择的依据
经济理论
工作经验
1、模型的建立需要正确地理论、合适可用的数据、 对各种模型统计性质的完整理解以及经验判断。
模型选择的基本准则：进入模型中的解释变量的关系（即 理论基础）、解释变量系数的预期符号、弹性系数等经济 指标、统计显著性等
• 模型选择的重点不是在判定系数大小，而是要考 虑进入模型的解释变量之间的相关性（即理论基 础）、解释变量系数的预期符号、变量的统计显 著性、以及弹性系数这样的度量工具。
线性回归模型的弹性系数计算
• 平均弹性：
E
Y X
X Y
B2
X Y
多元对数线性回归模型
• 偏弹性系数的含义： 在其他变量（如，X3）保持不变的条件下，X2 每变动1%，被解释变量Y变动的百分比为B2；
• （3）菲利普斯曲线
被解释变量：英国货币工资变化率，解释变量：失业率 结论：失业率上升，工资增长率会下降。 在自然失业率UN上下，工资变动幅度快慢不同。即失业率低于自然失业率时，工 资随失业率单位变化而上升快于失业率高于自然失业率时工资随失业率单位变化而下 降。
（P113例5-6） 倒数模型： 菲利普斯曲线
依据经济理论，失业率上升，工资增长率会下降；且 当失业率处于不同水平时，工资变动率变动的程度会 不一样，即Y对X 的斜率（Y / X）不会是常数。
Y / X 20.588*(1/ X 2 )
R2 0.6594
模型选择：
1、依据经济理论
以及经验判断；
2、辅助于对拟合
R2 0.5153 Y / X 0.79
1、B1、B2、B4 0； 2、B3 0 3、B32 3B2B4
WHY? —所以经济理论的学习对于模型的建立、选择
和检验有非常关键和重要的意义。 24
四、模型（形式）选择的依据
经济理论
工作经验
1、模型的建立需要正确地理论、合适可用的数据、 对各种模型统计性质的完整理解以及经验判断。
模型选择的基本准则：进入模型中的解释变量的关系（即 理论基础）、解释变量系数的预期符号、弹性系数等经济 指标、统计显著性等
第5章多元线性回归模型
调整的复 判定系数 可以为负！
由此式可以看出，R2 R2 ，即调整的复判定系数不大于未
经调整的复判定系数，这意味着随着解释变量的增加，R 2
将越来越小于 R2 。
（四）不同模型之间复判定系数的比较
ln Yi 1 2 X 2i 3 X 3i u1i
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i u2i
同理
var(ˆ3 ) (
2
x32i )(1 r223 )
总体方差的估计
ˆ 2
uˆ
2 i
n3
残差平方和的自由度＝样本容量的大小－待 估计的参数的个数
§5.3 多元线性回归模型的统计检验
一、拟合优度检验
（一）复判定系数R2的计算公式
R2 ESS
2
( yi ˆ2 x2i ˆ3 x3i )(x3i ) 0
x2i yi ˆ2 x22i ˆ3 x2i x3i
x3i yi ˆ2 x2i x3i ˆ3 x32i
参数估计量为：
ˆ2 (
x2i yi )( x32i ) ( x3i yi )( x2i x3i ) ( x22i )( x32i ) ( x2i x3i )2
Yt 1 2 X t u1t
Yt 1 2 X t u2t
Yt 1 2 X t ut
参数稳定性的检验步骤：
（1）将两序列合并为一个大样本后进行回 归，得到大样本下的残差平方和RSS3
自由度为 T＋m－k
（2）分别以两个连续时间序列作为样本进行 回归，得到相应的残差平方和： RSS1与 RSS2
静观后效法
（一）t检验法
计量经济学第五讲---模型函数形式
t (8739 .399)(285.9826 ) p (0.0000 ) (0.0000 ) r 2 0.999658
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第5章
33
第5章
34
第5章
35
第5章
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1970 1999 Included observations: 30 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Akaike info criterion
Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
6.816985
6.915724 8080.449 0.000000
44
第5章
45
第5章
半对数模型总结
1、对数—线性模型（增长率模型）
2、线性—对数模型
LOG(Z)
R-squared
Adjusted R-squared
0.845997
0.995080 0.994501
0.093352
9.062488
0.0000
12.22605 0.381497
-4.155221 -4.005861
Mean dependent var S.D. dependent var
每提高1个百分点，平均而言，数学S.A.T分数将增加0.13 个百分点。根据定义，如果弹性的绝对值小于1，则称缺 乏弹性。因此，在该例中，数学S.A.T分数是缺乏弹性的。 另外，r2＝0.9， 表明logX解释了变量logY的90％的变 动。
13
第5章
32
第5章
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第5章
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1970 1999 Included observations: 30 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Akaike info criterion
Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
6.816985
6.915724 8080.449 0.000000
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第5章
半对数模型总结
1、对数—线性模型（增长率模型）
2、线性—对数模型
LOG(Z)
R-squared
Adjusted R-squared
0.845997
0.995080 0.994501
0.093352
9.062488
0.0000
12.22605 0.381497
-4.155221 -4.005861
Mean dependent var S.D. dependent var
每提高1个百分点，平均而言，数学S.A.T分数将增加0.13 个百分点。根据定义，如果弹性的绝对值小于1，则称缺 乏弹性。因此，在该例中，数学S.A.T分数是缺乏弹性的。 另外，r2＝0.9， 表明logX解释了变量logY的90％的变 动。
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第5章
第五章回归模型的函数形式
1.模型 假设有如下函数
Yi
AX
B2 i
从模型可知，就我们目前的知识，无法用普通最小二乘法 估计这样的模型。但我们可以把以上模型作如下变化，得 到：
ln Yi ln A B2 ln X i
继而，如果令 B1 ln A，则有：
ln Yi B1 B2 ln X i ui
以上模型称为双对数模型，或双对数线性模型。
上图Ｃ）中可以用来表示宏观经济学中著名的菲利普斯曲线。菲利普 斯根据英国货币工资变化的百分比(Y)与失业率(X)的数据，得到了形 如图Ｃ）的曲线。从图中可以看出，工资随着失业水平的变化是不对 称的：当失业率低于UN 时，工资随失业率单位变化而上升比失业率
高于U N时工资随失业率单位变化而下降得更快，经济学家称U N 为自然失 业率。
第五章 回归模型的函数形 式
上海立信会计学院
到目前为止，我们考虑的都是参数线性，同时又是变量线 性的模型。本章将考虑参数线性，但变量不一定是线性的 模型。
1.双对数模型或不变弹性模型
2.半对数模型
3.倒数模型
所有这些模型的一个重要特征是，它们都是参数线性模型， 但变量却不一定是线性的。
一、双对数模型
３.双对数模型的假设检验
双对数模型的假设检验与线性模型没有任何不同。在随机 误差项服从正态分布的假设下，估计的回归系数服从自由 度为（n-k）的t分布，其中k为包括截距在内的参数个数。
4.比较线性和双对数回归模型（一个经验问题）
对于数学成绩支出一例来说，线性支出模型和双对数模型哪个更合适？
1.作散点图，通过散点图来判断。（这种方式只适合双变量模型） 2.比较两个模型的 值。该方法要求应变量的形式必须是相同的。 3.即使两个模型中的应变量相同，两个 值可以直接比较，我们也 建议不要根据最高 r值2 这一标准选择模型。而应该首先考虑进入模型 中的解释变量之间的相关性、解释变量系r数2 的预期符号、统计显著性 以及类似弹性系数这r 2 样的度量工具。
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起Y变动的百分比。
E
Y的变动百分数 X的变动百分数
=
Y X
Y 100 = Y X 100 X
X Y
=slope
X Y
因此，如果Y代表了商品的需求量，X代表了单 位价格，E就是需求的价格弹性。
图 5-1
双对数模型的假设检验
双对数模型的假设检验与线性模型的检验 方法没有什么不同。
• 5.2线性模型与双对数回归模型的比较 （1）根据弹性定义公式，我们可以得出这 样的结论：对于线性模型，弹性系数是一 个变量；对于对数模型，其弹性系数为一 常量。
• 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的， 直接表现为线性关系的情况并不多见。
• 如著名的Cobb- Dauglas生产函数表现为幂函数 曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。
• 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的 数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可 以运用线性回归模型的理论方法。
• 例5-2：柯布－道格拉斯生产函数
– 反应了产出与劳动力和资本投入之间的关系函 数。
– 劳动投入弹性+资本投入弹性＝规模报酬参数
（1）规模报酬递增—规模报酬参数>1 （2）规模报酬递减—规模报酬参数<1 （3）规模报酬不变—规模报酬参数=1
• 例5-3：对能源的需求(P107)
二、半对数模型(semilog model)
对数－线性模型——测量增长率
例5-4：以时间t作为解释变量模型—增长模型
我们来研究一下在货币、银行及金融等课程中
介绍过的复利计算公式：
等式两端取对数：
Yt Y0 (1 r)t
ln Yt ln Y0 t ln(1 r)
令 B1 lnY0, B2 ln(1 r)
ln Yt B1 B2t
根据前面的式子，我们可以建立下面的半对数回归模型：
第二部分 线性回归模型
Chp 5：回归模型的函数形式
主要内容
• 双对数模型或不变弹性模型 • 半对数模型
– 对数－线性模型——度量增长率 – 线性－对数模型——解释变量为对数形式
• 倒数模型 • 多项式模型 • 零截距模型（过原点的回归模型） • 小结
问题的提出
• 在很多时候，自变量的变化与应变量并不 是简单的线性关系，如考虑某一段时间内， 某个经济变量增长率，如GDP增长率、货 币供应、失业率等，这就需要引入回归模 型的其他一些函数形式。
对上面数据进行OLS回归得 ln(Uspop) 5.3593 0.0107t
t (3321.13)(129.779)
r2 0.9982
回归结果解释：斜率0.0107表示，平均而言ln（Y） （美国人口）的年增长率为0.0107，即Y以每年1.07% 的速度增长。
半对数模型中斜率度量的是解释变量的绝对变化引起Y 相对变化。把这个相对改变量0.0107乘以100，就得到 增长率，本例中的增长率为1.07%。
ln Yt B1 B2t ut
（5-18）
模型（5-18）应变量是对数形式，自变量 是线性的，参数也是线性的，该模型称为
半对数模型。
在线性模型中，B2表示X增加一个单位，Y的绝 对量的平均增量，即Y增加B2个单位。
在半对数模型中，B2表示X增加一个单位，Y的 相对量的平均增量，即Y增加100*B2 %。
（2）对于线性模型，Y对X的弹性可以表示为:
E dY dX
X Y
B2
X Y
可见线性模型给出的是点弹性，我们可以通过计
算平均弹性系数来给出线性模型的区间弹性：
E dY dX
X Y
B2
X Y
5.3多元对数线性回归模型
• 多元对数线性回归模型 lnYi=B1+B2lnX2i+B3lnX3i+ui
• 其中，B2,B3又称为偏弹性系数，它们度量 了在其他变量保持不变 条件下，应变量对 某一解释变量的偏弹性。
正因为如此，半对数模型有称为增长率模 型，可以用来度量变量的增长率，包括经 济和其他非经济变量的增长率。
半对数模型的截距解释： 本例中b1=lnY0=5.3593，取其反对数得
Y0=212.5761 即为当t=0时Y的取值，就是Y的初期值
（1975年）。
（1）瞬时增长率和复合增长率
• 复合增长率 b2=ln(1+r)r=eb2-1
一旦计算出b2，复合增长率r就可以求出了， 书上的例子中美国人口年复合增长率为
R=antilog（0.0108）-1=1.0757%， 但前面求得的增长率为1.07%，区别在哪里？ 1.07%是某时点上的瞬时增长率，1.0757%
是一段时间内的复合增长率。
（2）线性趋势模型
模型
Yt B1 B2t ut
回归结果表明：样本期内，美国人口以2.757百万的 绝对速度增长，美国人口表现出上升的趋势。截距 表示的是t=0时的美国人口（1974年），210百万。
实践中，增长率模型更实用些，因为人们更加关注 经济变量的相对变化而不是绝对变化。
5.5 线性-对数模型模型：解释变量是对 数形式
下面的半对数模型称为线性—对数模型：
（5-22）
称为线性趋势模型。该模型中t是时间变量，即Y对 时间t的回归。 t称为趋势变量。 斜率>0,称Y有向上的趋势；斜率<0,称Y有向下的趋 势。
表5-4中的数据，拟合模型（5-22）得 (Uspop) 209.6731 2.757t
t (287.4376)(73.6450)
r2 0.9943
一、双对数模型Double log model
——如何度量弹性
• 考虑数学分数的例子：
Yi
AX
B2 i
• Y：数学分数；X：家庭年收入 • 上式可转化为：
lnYi=lnA+B2lnXi •2lnXi 如果令B1=lnA，则模型可以写成
lnYi=B1+B2lnXi 为了进行估计，可以将模型写成
lnYi=B1+B2lnXi +ui 这是一个线性模型，因为参数是线性的， 另外这个模型是对数形式变量线性的，因 此称这个模型是双对数模型。
令Yi* =lnYi ,
X
* i
lnXi ,则模型可以写成
Yi*
B1
B2
X
* i
ui
• 双对数模型的特性：
– 模型参数是线性的，关于变量和； – 斜率B2度量了Y对X的弹性，即X的单位变动引
E
Y的变动百分数 X的变动百分数
=
Y X
Y 100 = Y X 100 X
X Y
=slope
X Y
因此，如果Y代表了商品的需求量，X代表了单 位价格，E就是需求的价格弹性。
图 5-1
双对数模型的假设检验
双对数模型的假设检验与线性模型的检验 方法没有什么不同。
• 5.2线性模型与双对数回归模型的比较 （1）根据弹性定义公式，我们可以得出这 样的结论：对于线性模型，弹性系数是一 个变量；对于对数模型，其弹性系数为一 常量。
• 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的， 直接表现为线性关系的情况并不多见。
• 如著名的Cobb- Dauglas生产函数表现为幂函数 曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。
• 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的 数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可 以运用线性回归模型的理论方法。
• 例5-2：柯布－道格拉斯生产函数
– 反应了产出与劳动力和资本投入之间的关系函 数。
– 劳动投入弹性+资本投入弹性＝规模报酬参数
（1）规模报酬递增—规模报酬参数>1 （2）规模报酬递减—规模报酬参数<1 （3）规模报酬不变—规模报酬参数=1
• 例5-3：对能源的需求(P107)
二、半对数模型(semilog model)
对数－线性模型——测量增长率
例5-4：以时间t作为解释变量模型—增长模型
我们来研究一下在货币、银行及金融等课程中
介绍过的复利计算公式：
等式两端取对数：
Yt Y0 (1 r)t
ln Yt ln Y0 t ln(1 r)
令 B1 lnY0, B2 ln(1 r)
ln Yt B1 B2t
根据前面的式子，我们可以建立下面的半对数回归模型：
第二部分 线性回归模型
Chp 5：回归模型的函数形式
主要内容
• 双对数模型或不变弹性模型 • 半对数模型
– 对数－线性模型——度量增长率 – 线性－对数模型——解释变量为对数形式
• 倒数模型 • 多项式模型 • 零截距模型（过原点的回归模型） • 小结
问题的提出
• 在很多时候，自变量的变化与应变量并不 是简单的线性关系，如考虑某一段时间内， 某个经济变量增长率，如GDP增长率、货 币供应、失业率等，这就需要引入回归模 型的其他一些函数形式。
对上面数据进行OLS回归得 ln(Uspop) 5.3593 0.0107t
t (3321.13)(129.779)
r2 0.9982
回归结果解释：斜率0.0107表示，平均而言ln（Y） （美国人口）的年增长率为0.0107，即Y以每年1.07% 的速度增长。
半对数模型中斜率度量的是解释变量的绝对变化引起Y 相对变化。把这个相对改变量0.0107乘以100，就得到 增长率，本例中的增长率为1.07%。
ln Yt B1 B2t ut
（5-18）
模型（5-18）应变量是对数形式，自变量 是线性的，参数也是线性的，该模型称为
半对数模型。
在线性模型中，B2表示X增加一个单位，Y的绝 对量的平均增量，即Y增加B2个单位。
在半对数模型中，B2表示X增加一个单位，Y的 相对量的平均增量，即Y增加100*B2 %。
（2）对于线性模型，Y对X的弹性可以表示为:
E dY dX
X Y
B2
X Y
可见线性模型给出的是点弹性，我们可以通过计
算平均弹性系数来给出线性模型的区间弹性：
E dY dX
X Y
B2
X Y
5.3多元对数线性回归模型
• 多元对数线性回归模型 lnYi=B1+B2lnX2i+B3lnX3i+ui
• 其中，B2,B3又称为偏弹性系数，它们度量 了在其他变量保持不变 条件下，应变量对 某一解释变量的偏弹性。
正因为如此，半对数模型有称为增长率模 型，可以用来度量变量的增长率，包括经 济和其他非经济变量的增长率。
半对数模型的截距解释： 本例中b1=lnY0=5.3593，取其反对数得
Y0=212.5761 即为当t=0时Y的取值，就是Y的初期值
（1975年）。
（1）瞬时增长率和复合增长率
• 复合增长率 b2=ln(1+r)r=eb2-1
一旦计算出b2，复合增长率r就可以求出了， 书上的例子中美国人口年复合增长率为
R=antilog（0.0108）-1=1.0757%， 但前面求得的增长率为1.07%，区别在哪里？ 1.07%是某时点上的瞬时增长率，1.0757%
是一段时间内的复合增长率。
（2）线性趋势模型
模型
Yt B1 B2t ut
回归结果表明：样本期内，美国人口以2.757百万的 绝对速度增长，美国人口表现出上升的趋势。截距 表示的是t=0时的美国人口（1974年），210百万。
实践中，增长率模型更实用些，因为人们更加关注 经济变量的相对变化而不是绝对变化。
5.5 线性-对数模型模型：解释变量是对 数形式
下面的半对数模型称为线性—对数模型：
（5-22）
称为线性趋势模型。该模型中t是时间变量，即Y对 时间t的回归。 t称为趋势变量。 斜率>0,称Y有向上的趋势；斜率<0,称Y有向下的趋 势。
表5-4中的数据，拟合模型（5-22）得 (Uspop) 209.6731 2.757t
t (287.4376)(73.6450)
r2 0.9943
一、双对数模型Double log model
——如何度量弹性
• 考虑数学分数的例子：
Yi
AX
B2 i
• Y：数学分数；X：家庭年收入 • 上式可转化为：
lnYi=lnA+B2lnXi •2lnXi 如果令B1=lnA，则模型可以写成
lnYi=B1+B2lnXi 为了进行估计，可以将模型写成
lnYi=B1+B2lnXi +ui 这是一个线性模型，因为参数是线性的， 另外这个模型是对数形式变量线性的，因 此称这个模型是双对数模型。
令Yi* =lnYi ,
X
* i
lnXi ,则模型可以写成
Yi*
B1
B2
X
* i
ui
• 双对数模型的特性：
– 模型参数是线性的，关于变量和； – 斜率B2度量了Y对X的弹性，即X的单位变动引