第八章--统计回归模型
第八章 统计回归模型
回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数.
回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等.
回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归.
一、多项式回归
(1) 一元多项式回归
一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m
m x x y ...10.
如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归.
1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下：
p=polyfit(x,y,m) p 返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x ，y 为对应数据点值. [p,S]=polyfit(x,y,m) S 是一个矩阵，用来估计预测误差.
2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval 实现，其具体调用格式如下： Y=polyval(p,X) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y .
[Y ,DELTA]=polyval(p,X,S) p ，S 为polyfit 的输出，DELTA 为误差估计.在线性回归模型中，Y ±DELTA 以50%的概率包含函数在X 处的真值.
3. 模型预测的置信区间用polyconf 实现，其具体调用格式如下：
[Y ,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y±DELTA ，alpha 缺省时为0.05.
4. 交互式画图工具polytool ，其具体调用格式如下： polytool(x,y,m)； polytool(x,y,m,alpha)；
用m 次多项式拟合x ，y 的值，默认值为1，alpha 为显著性水平，默认值为0.05. 例1 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s .
解 根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下： %%%输入数据
t=1/30:1/30:14/30;
s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; %%%多项式系数拟合 [p,S]=polyfit(t,s,2); 则得回归模型为：
1329.98896.652946.489?2++=t t s
. %%%y 的拟合值及预测值y 的置信半径delta [y,dalta]=polyconf(p,t,S); 得结果如下： y=
Columns 1 through 11
11.8729 15.7002 20.6148 26.6168 33.7060 41.8826 51.1465 61.4978 72.9363 85.4622 99.0754 Columns 12 through 14 113.7759 129.5637 146.4389 dalta=
Columns 1 through 11
0.0937 0.0865 0.0829 0.0816 0.0817 0.0823 0.0827 0.0827 0.0823 0.0817 0.0816 Columns 12 through 14 0.0829 0.0865 0.0937 %%%交互式画图 polytool(t,s,2);
polytool 所得的交互式图形如图8-1所示.
图8-1
(2) 多元二项式回归
多元二项式回归模型的一般形式为εβ
βββ∑≤≤++
+++=m
k j k j jk
m m x x x x y ,1110....
多元二项式回归命令：rstool(x,y,’model’,alpha) x 表示n ?m 矩阵；y 表示n 维列向量；alpha 为显著性水平(缺省时为0.05)；model 表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入，缺省时为线性模型)：
linear(线性)：m m x x y βββ+++=Λ110；
purequadratic(纯二次)：∑=++++=n
j j jj
m m x x x y 1
2110β
βββΛ；
interaction(交叉)：∑≤≠≤+
+++=m
k j k j jk
m m x x x x y 1110β
βββΛ；
quadratic(完全二次)：∑≤≤+
+++=m
k j k j jk
m m x x x x y ,1110β
βββΛ.
例2 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量.
需求量 100 75
80
70 50 65 90 100 110 60 收入 1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300 价格 5 7
6
6
8
7
5
4
3
9
解 选择纯二次模型，即2222211122110x x x x y βββββ++++=.
%%%输入数据
x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300]; x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9]; x=[x1' x2'];
y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]'; %%%多元二项式回归 rstool(x,y,'purequadratic'); 得如下结果：
图8-2
得到一个如图所示的交互式画面，左边是x1（=1000）固定时的曲线y （x1）及其置信区间，右边是x2（=6）固定时的曲线y （x2）及其置信区间.用鼠标移动图中的十字线，或在图下方窗口内输入，
可改变x1，x2.在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6，则画面左边的“Predicted Y1”下方的数据变为88.4791，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.
在画面左下方单击”Export ”，在出现的窗体中单击”ok ”按钮，则beta 、rmse 和residuals 都传送到Matlab 工作区中.
在Matlab 工作区中输入命令：beta,rmse ，得结果： beta=110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475
rmse =4.5362
故回归模型为：2221218475.10001.05709.261464.05313.110x x x x y +--+=，
剩余标准差为4.5362，说明此回归模型的显著性较好.
二、多元线性回归
多元线性回归模型的一般形式为011...m m y x x βββε=++++.
在Matlab 统计工具箱中使用函数regress 实现多元线性回归.具体调用格式为： b=regress(Y,X)
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
其中????????????=n Y Y Y Y ...21，?
????
????
???=nm n n m m x x x x x x x x x X ...1..................1 (12)
1
222
21
11211
.对于一元线性回归，取1=m 即可.b 为输出向量；
b ，bint 表示回归系数估计值和它们的置信区间；r 表示残差；rint 表示残差的置信区间；stats 表示用于检验回归模型的统计量，有四个数值：相关系数2
R 、F 值、与F 值对应的概率P 、2
s 的值.相关系数
2R 越接近1，说明回归方程越显著；)1,(1-->-m n m F F α时拒绝0H ，F 越大，说明回归方程越显
著；与F 对应的概率α
残差及其置信区间可以用命令rcoplot(r,rint)画出.
例3 已知某湖泊八年来湖水中COD 浓度实测值(y )与影响因素，如湖区工业产值(x 1)、总人口数(x 2)、捕鱼量(x 3)、降水量(x 4)的资料，建立y 的水质分析模型.
湖水浓度与影响因素数据表
解 作出因变量y 与各自变量的样本散点图
作散点图的目的主要是观察因变量y与各自变量间是否有比较好的线性关系，以便选择恰当的数学模型形式.图8-3、图8-4、图8-5、图8-6分别为y与x1、x2、x3、x4的散点图.从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此有较好的线性关系，可以采用线性回归.
图8-3 y与x1的散点图图8-4 y与x2的散点图
图8-5 y与x3的散点图图8-6 y与x4的散点图在Matlab中实现回归的具体代码如下：
%%%输入数据
x1=[1.376 1.375 1.387 1.401 1.412 1.428 1.445 1.477];
x2=[0.450 0.475 0.485 0.500 0.535 0.545 0.550 0.575];
x3=[2.170 2.554 2.676 2.713 2.823 3.088 3.122 3.262];
x4=[0.8922 1.1610 0.5346 0.9589 1.0239 1.0499 1.1065 1.1387];
x=[ones(8,1) x1' x2' x3' x4'];
y=[5.19 5.30 5.60 5.82 6.00 6.06 6.45 6.95];
%%%多元线性回归
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x);
得如下结果：
b =
-13.9849
13.1920
2.4228
0.0754 -0.1897 bint =
-26.0019 -1.9679 1.4130 24.9711 -14.2808 19.1264 -1.4859 1.6366 -0.9638 0.5844 r =
-0.0618 0.0228 0.0123 0.0890 0.0431 -0.1473 0.0145 0.0274 rint =
-0.1130 -0.0107 -0.1641 0.2098 -0.1051 0.1297 -0.2542 0.4321 -0.0292 0.1153 -0.2860 -0.0085 -0.3478 0.3769 -0.1938 0.2486 stats =
0.9846 47.9654 0.0047 0.0123
故回归模型为：43211897.00754.04228.21920.139849.13x x x x y -+++-=， 此外，由stats 的值可知9846.02
=R ，9654.47=F ，0047.0=P 。 %%%残差分析，作残差图 rcoplot(r,rint)
图8-7
从残差图可以看出，除第一和第六个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点.第一和第六个数据可视为异常点，将其去掉后重新拟合可得新的回归模型.
三、非线性回归
非线性回归模型的一般形式为εβ+=),(x f y ，),,,(21m x x x x Λ=，),,,(21k ββββΛ=，其中
f 对回归系数β是非线性的.
非线性回归包括如下几个用于计算回归参数、预测输出、置信区间以及输出交互图像的函数. 1. 非线性最小二乘参数估计
对于非线性方程的的系数估计通常采用最小二乘估计，又叫做非线性最小二乘回归.在Matlab 中采用nlinfit 实现，其调用格式如下：
beta=nlinfit(x,y,fun,beta0)
返回非线性回归方程系数的最小二乘估计值.非线性方程由fun 给定，fun 为用户提供形如
),beta (x f y =的函数，beta 为待估系数β；beta0为回归系数β的初值.
[beta,r,J]=nlinfit(x,y,fun,beta0)
返回回归系数beta 、残差r 、Jacobi 矩阵J . 2. 最小二乘估计参数的置信区间
求非线性最小二乘估计的系数的置信区间用nlparci 计算。其输入为nlinfit 函数的输出beta ，r ，J 。函数具体调用格式如下：
ci=nlparci(beta,r,J)
返回系数beta 的95%置信区间. ci=nlparci(beta,r,J,alpha)
返回系数beta 的100(1-alpha)%置信区间. 3. 最小二乘估计模型的预测输出及其置信区间
非线性最小二乘估计模型的预测输出及其置信区间用nlpredci 计算.函数具体调用格式如下： [ypred,delta]=nlpredci(fun,inputs,beta,r,J)
返回模型在对应inputs 处的输出预测值ypred ，给出95%的置信区间[ypred-delta, ypred+delta]； [ypred,delta]=nlpredci(fun,inputs,beta,r,J,alpha)
返回模型在对应inputs 处的输出预测值ypred ，给出100(1-alpha)%的置信区间[ypred-delta, ypred+delta].
4. 非线性拟合和预测的交互图形工具
nlintool 是非线性拟合和预测的交互图形工具.函数具体调用格式如下： nlintool(x,y,fun,beta0)
返回x ，y 的非线性最小二乘法的曲线拟合图，并画出95%的置信区间；
nlintool(x,y,fun,beta0,alpha)
给出曲线拟合图及100(1-alpha)%的置信区间； nlintool(x,y,fun,beta0,alpha,’xname ’,’yname ’)
给出曲线拟合图及100(1-alpha)%的置信区间，标出x ，y 变量名称.
例4 在化工生产中获得的氯气的级分y 随生产时间x 下降，假定在8≥x 时，y 与x 之间有如下形式的非线性模型：
)8()49.0(---+=x b e a a y
现收集43组数据，如下所示.要求利用该数据求a ，b 的值以及它们95%的置信区间.并画出拟合曲线.此处设a ，b 的初值分别为0.30，0.02.
:x 8.00,8.00,10.00,10.00,10.00,10.00,12.00,12.00,12.00,14.00,14.00,14.00,16.00,16.00,16.00,18.00,18.00,
20.00,20.00,20.00,20.00,22.00,22.00,24.00,24.00,24.00,26.00,26.00,26.00,28.00,28.00,30.00,30.00,30.00, 32.00,32.00,34.00,36.00,36.00,38.00,38.00,40.00,42.00
:y 0.49,0.49,0.48,0.47,0.48,0.47,0.46,0.46,0.45,0.43,0.45,0.43,0.43,0.44,0.43,0.43,0.46,0.42,0.42,0.43,0.41,
0.41,0.40,0.42,0.40,0.40,0.41,0.40,0.41,0.41,0.40,0.40,0.40,0.38,0.41,0.40,0.40,0.41,0.38,0.40,0.40,0.39,0.39
解 首先编写函数fun ，表示出需要拟合模型的函数形式. %%%拟合模型的函数形式 function y=fun(beta0,x) a=beta0(1); b=beta0(2);
y=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8));
编写程序对数据进行最小二乘拟合和处理 %%%输入数据
x=[8.00 8.00 10.00 10.00 10.00 10.00 12.00 12.00 12.00 14.00 14.00 14.00 16.00 16.00 16.00 18.00 18.00 20.00 20.00 20.00 20.00 22.00 22.00 24.00 24.00 24.00 26.00 26.00 26.00 28.00 28.00 30.00 30.00 30.00 32.00 32.00 34.00 36.00 36.00 38.00 38.00 40.00 42.00];
y=[0.49 0.49 0.48 0.47 0.48 0.47 0.46 0.46 0.45 0.43 0.45 0.43 0.43 0.44 0.43 0.43 0.46 0.42 0.42 0.43 0.41 0.41 0.40 0.42 0.40 0.40 0.41 0.40 0.41 0.41 0.40 0.40 0.40 0.38 0.41 0.40 0.40 0.41 0.38 0.40 0.40 0.39 0.39];
beta0=[0.30 0.02]; %%%系数初值
[beta,r,J]=nlinfit(x,y,@fun,beta0); %%%系数最小二乘估计值为beta beta
ci=nlparci(beta,r,J); %%%求95%置信区间
nlintool(x,y,@fun,beta0,0.05,'生产时间x','氯气级分y'); %%%显示拟合结果和置信区间 得如下结果： beta=
0.3896 0.1011
ci=
0.3805 0.3988 0.0771 0.1251
可知a 与b 的最小二乘估计值分别为0.3896和0.1011，它们95%的置信区间分别为[0.3805,0.3988]和[0.0771,0.1251].所以用最小二乘法对该模型系数进行估计，最终的模型表达式为
)8(1011.01004.03896.0--+=x e y
最终得到的拟合图如下所示.
图8-8
在图8-8中，中间的实线为拟合曲线，两侧的虚线标出其95%置信区间.
四、逐步回归
实际问题中影响因变量的因素可能很多，希望从中挑选出影响显著的自变量来建立回归模型.这就涉及到了变量选择的问题.逐步回归就是一种从众多变量中有效地选择重要变量的方法.
逐步回归的命令是stepwise ，它提供了一个交互式画面，通过此工具可以自由地选择变量，进行统计分析，其调用格式为stepwise(x,y,inmodel,alpha).
其中x 表示自变量数据，m n ?阶矩阵；y 表示因变量数据，1?n 阶矩阵；inmodel 表示矩阵的列数指标(缺省时设定为全部自变量)；alpha 表示显著性水平(缺省时为0.5).
运行stepwise 命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot ，Stepwise Table ，Stepwise History .
在Stepwise Plot 窗口，虚线表示该变量的拟合系数与0无显著差异，实线表示有显著差异，红色线表示从模型中移去的变量，蓝色线表示存在模型中的变量，单击一条会改变其状态.
Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差(RMSE)、相关系数(R-square)、F 值、与F 对应的概率P .
例5水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、x4有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个线性模型.
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x17 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10 x226 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68 x3 6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8 x460 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12 y 78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4 解在Matlab中实现逐步回归的具体代码如下：
%%%数据输入：
x1=[7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10]';
x2=[26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68]';
x3=[6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8]';
x4=[60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12]';
x=[x1 x2 x3 x4];
y=[78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4]';
%%%逐步回归
%%%先在初始模型中取全部自变量：
stepwise(x,y)
得图8-9所示的结果.
图8-9
从图8-9中可以看出，x3、x4的P值较大，其对模型影响不显著.
若要移去x3、x4两个变量，在Matlab中输入：
stepwise(x,y,[1,2])
得图8-10所示的结果.
图8-10
移去变量x3和x4后模型具有显著性，虽然剩余标准差(RMSE)没有太大的变化，但是统计量F 的值明显增大，因此新的回归模型更好.
对变量y 和x1、x2作线性回归，在Matlab 中输入： X=[ones(13,1) x1 x2]; b=regress(y,X)
得结果：b=
52.5773 1.4683 0.6623
故最终模型为：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2.
讨论题
1. 根据经验，在人的身高相等的情况下，血压的收缩压y 与体重x1，年龄x2有关，
现在收集了13个男子的有关数据，如下表所示，试建立y 与x1、x2的回归模型.
x1 76.0 91.5 85.5 82.5 79.0 80.5 74.5 79.0 85.0 76.5 82.0 95.0 92.5 x2 50 20 20 30 30 50 60 50 40 55 40 40 20 y
120
141
124
126
117
125
123
125
132
123
132
155
147
2. 下表为1980-1991年间以1987年不变价计算的美国个人消费支出y 与美国国内生产总值x 的数据(单位：10亿美元).
1）在直角坐标系下，作x 与y 的散点图，并判断y 与x 是否存在线性相关关系？ 2）试求y 与x 的一元线性回归方程.
3）对所得的回归方程作显著性检验(05.0=α).
4）若x 0=4500，试求对应的y 0的点预测和包含概率为95%的区间预测.
3.某地人事部门研究中学教师的薪金与他们的资历、性别、教育程度、及培训情况等因素之间的关系，要建立一个数学模型，分析人事策略的合理性，特别是考察女教师是否受到不公正的待遇，以及她们的婚姻状况是否会影响收入.为此，从当地教师中随机选中3414位进行观察，然后从中保留了90个观察对象，得到关键数据如下表.
表中符号介绍如下：
Z-月薪(元)；x1-工作时间(月)；x2=1-男性，x2=0-女性；x3=1-男性或单身女性，x3=0-已婚女性；x4-学历(取值0-6，值越大表示学历越高)；x5=1-受雇于重点中学，x5=0-其它；x6=1-受过培训的毕业生，x6=0-未受过培训的毕业生或受过培训的肄业生；x7=1-已两年以上未从事教学工作，x7=0-其它。注意组合(x2,x3)=(1,1)，(0,1)，(0,0)的含义.
进行变量选择，建立变量x1-x7与Z 的回归模型(不一定包括每个自变量)，说明教师的薪金与哪些变量的关系密切，是否存在性别和婚姻状况上的差异.为了数据处理上的方便，建议对薪金取对数后作为因变量.
4. 热敏电阻器的电阻y 与温度x 之间的关系模型为
?
??
???+=321x exp y θθθ
试根据下表中的数据给出参数1θ，2θ，3θ的估计.
5. 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关.下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型.
6. 水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、x4有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个线性模型.
统计学基础-第八章-相关与回归分析知识交流
统计学基础第八章相关与回归分析 【教学目的】 1.掌握相关系数的测定和性质 2.明确相关分析与回归分析的特点 3.建立回归直线方程，掌握估计标准误差的计算 【教学重点】 1.相关关系、相关分析和回归分析的概念 2.相关系数计算 3.回归方程的建立和依此进行估计和预测 【教学难点】 1.相关分析和回归分析的区别 2.相关系数的计算 3.回归系数的计算 4.估计标准误的计算 【教学时数】 教学学时为8课时 【教学内容参考】 第一节相关关系 一、相关关系的含义 宇宙中任何现象都不是孤立地存在的，而是普遍联系和相互制约的。这种现象间的相互联系、相互制约的关系即为相关关系。 相关关系因其依存程度的不同而表现出相关程度的差别。有些现象间存在着严格的数据依存关系，比如，在价格不变的条件下销售额量之间的关系，圆的面积与半径之间的关系等等，均具有显著的一一对应关系。这些关系可由数学中的函数关系来确切的描述，因而也可以认为是一种完全相关关系。有些现象间的依存关系则没有那么严格。当一种现象的数量发生变化时，另一种现象的数量却在一定的范围内发生变化，比如身高与体重的关系就是如此。一般来说，身高越高，体重越重，但二者之间的关系并非严格意义上的对应关系，身高1.75米的人，对应的体重会有多个数值，因为影响体重的因素不只身高而已，它还会受遗传、饮食习惯等因素的制约和影响。社会经济现象中大多存在这种非确定的相关关系。 在统计学中，这些在社会经济现象之间普遍存在的数量依存关系，都成为相关关系。在本章，我们主要介绍那些能用函数关系来描述的具有经济统计意义的相关关系。 二、相关关系的特点 1.现象之间确实存在数量上的依存关系 如果一个现象发生数量上的变化，则另一个现象也会发生数量上的变化。在相互依存的两个变量中，可以根据研究目的，把其中的一个变量确定为自变量，把另一个对应变量确定为因变量。例如，把身高作为自变量，则体重就是因变量。 2.现象之间数量上的关系是不确定的 相关关系的全称是统计相关关系，它属于变量之间的一种不完全确定的关系。这意味着一个变量虽然受另一个（或一组）变量的影响，却并不由这一个（或一组）变量完全确定。例如，前面提到的身高和体重之间的关系就是这样一种关系。 三、相关关系的种类 现象之间的相互关系很复杂，它们涉及的变动因素多少不同，作用方向不同，表现出来的形态也不同。相关关系大体有以下几种分类：
统计学原理-回归分析案例0204192330
美国各航空公司业绩的统计数据公布在《华尔街日报1998年鉴》（The Wall Street Journal Almanac 1998）上，有关航班正点到达的比率和每10万名乘客投诉的次数的数据如下： 航空公司名称航班正点率（%）投诉率（次/10万名乘客）西南（Southwest）航空公司81.8 0.21 大陆(Continental) 航空公司76.6 0.58 西北（Northwest）航空公司76.6 0.85 美国（US Airways）航空公司75.7 0.68 联合（United）航空公司73.8 0.74 美洲（American）航空公司72.2 0.93 德尔塔（Delta）航空公司71.2 0.72 70.8 1.22 美国西部（America West）航空公 司 环球（TWA）航空公司68.5 1.25 a. 画出这些数据的散点图 b. 根据再（a）中作出的散点图，表明二变量之间存在什么关系？ c. 求出描述投诉率是如何依赖航班按时到达正点率的估计的回归方程 d. 对估计的回归方程的斜率作出解释 e. 如何航班按时到达的正点率是80％，估计每10万名乘客投诉的次数是多少？
1）作散点图： 2）根据散点图可知，航班正点率和投诉率成负直线相关关系。 3）作简单直线回归分析： SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R0.882607 R Square0.778996 Adjusted R Square0.747424 标准误差0.160818 观测值9 方差分析 df SS MS F Significance F 回归分析10.6381190.63811924.673610.001624残差70.1810370.025862 总计80.819156 Coefficient s标准误差t Stat P-value Lower 95%Upper 95%下限95.0%上限95.0% Intercept 6.017832 1.05226 5.7189610.000721 3.5296358.506029 3.5296358.506029 X Variable 1-0.070410.014176-4.967250.001624-0.10393-0.03689-0.10393-0.03689 4）y = -0.0704x + 6.0178
第八章 相关与回归
第八章相关与回归 一、填空题 1.现象之间的相关关系按相关的程度分为【】相关、【】相关和【】相关三种。 2.完全相关就是【】关系，其相关系数的绝对值应为【】。 3.用来反映现象之间相关关系密切程度的统计分析指标叫【】，用来说明直线 回归方程代表性大小的一种统计分析指标叫【】。 4.现象之间的相关关系按相关的方向分为【】相关和【】相关两种。 5.在相关与回归分析中，【】分析是【】分析的前提和基础，在【】分析中两个变量都是随机变量。 二、单项选择题 1.配合回归直线最合理的方法是（） Ａ、移动平均法Ｂ、随手画线法Ｃ、最小平方法Ｄ、描点作图法 2.确定现象之间相关关系密切程度最主要且最好的方法是（） A、绘制散点图 B、对现象作定性分析 C、计算相关系数 D、计算回归系数 3.相关系数的取值范围是（） A、0≤r ＜1 B、-1≤r ＜0 C、-1＜r ＜1 D、-1≤r ≤1 4.回归方程y = a + bx中的回归系数b 说明自变量每变动一个单位时，因变量（） Ａ、变动b 个单位Ｂ、变动a + b 个单位 Ｃ、平均变动b 个单位Ｄ、变动a/b个单位 5.回归系数b与相关系数r之间（） Ａ、b等于0 ，r一定等于0 Ｂ、b为正值，r一定为负值 Ｃ、b为负值，r一定为正值D、没有关系 三、多项选择题： 1.如果两个变量X与Y的相关系数在-1＜r＜-0.8,表明X与Y之间存在的相关关系 是（） Ａ、正相关Ｂ、不相关Ｃ、负相关D、高度相关Ｅ、线性相关 2.下列属于正相关关系的有（） A、商品价格与需求量之间的关系 B、商品销量与销售额之间的关系 C、职工人数与工资总额之间的关系 D、产品产量与单位成本之间的关系 3.变量之间的不完全相关可以表现为（） A、零相关 B、正相关 C、负相关 D、曲线相关 E、相关系数为1 4.下列哪些情况下，回归直线代表性较好（） A、估计标准误差为0 B、相关系数的绝对值接近于1 C、判定系数为0 D、判定系数为1 E、相关系数为0
SPSS多元线性回归分析实例操作步骤
SPSS 统计分析 多元线性回归分析方法操作与分析 实验目的： 引入1998~2008年上海市城市人口密度、城市居民人均可支配收入、五年以上平均年贷款利率和房屋空置率作为变量，来研究上海房价的变动因素。 实验变量： 以年份、商品房平均售价（元/平方米）、上海市城市人口密度(人/平方公里)、城市居民人均可支配收入(元)、五年以上平均年贷款利率(%)和房屋空置率(%)作为变量。 实验方法：多元线性回归分析法 软件： 操作过程： 第一步：导入Excel数据文件 1.open data document——open data——open；
2. Opening excel data source——OK. 第二步： 1.在最上面菜单里面选中Analyze——Regression——Linear ，Dependent（因变量）选择商品房平均售价，Independents（自变量）选择城市人口密度、城市居民人均可支配收入、五年以上平均年贷款利率、房屋空置率；Method 选择Stepwise.
进入如下界面： 2.点击右侧Statistics，勾选Regression Coefficients（回归系数）选项组中的Estimates；勾选Residuals（残差）选项组中的Durbin-Watson、Casewise diagnostics默认；接着选择Model fit、Collinearity diagnotics；点击Continue.
3.点击右侧Plots，选择*ZPRED（标准化预测值）作为纵轴变量，选择DEPENDNT（因变量）作为横轴变量；勾选选项组中的Standardized Residual Plots（标准化残差图）中的Histogram、Normal probability plot；点击Continue.
第八章 统计回归模型之令狐文艳创作
第八章 统计回归模型 令狐文艳 回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数. 回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等. 回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归. 一、多项式回归 (1) 一元多项式回归 一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m m x x y ...10. 如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归. 1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下： p=polyfit(x,y,m) p 返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x ，y 为对应数据点值.
[p,S]=polyfit(x,y,m) S是一个矩阵，用来估计预测误差. 2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval实现，其具体调用格式如下： Y=polyval(p,X) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y. [Y,DELTA]=polyval(p,X,S) p，S为polyfit的输出，DELTA为误差估计.在线性回归模型中，Y±DELTA以50%的概率包含函数在X处的真值. 3. 模型预测的置信区间用polyconf实现，其具体调用格式如下： [Y,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA，alpha缺省时为0.05. 4. 交互式画图工具polytool，其具体调用格式如下： polytool(x,y,m)； polytool(x,y,m,alpha)； 用m次多项式拟合x，y的值，默认值为1，alpha为显著性水平，默认值为0.05. 例1观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s.
2021年第八章 统计回归模型
第八章 统计回归模型 欧阳光明（2021.03.07） 回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数. 回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等. 回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归. 一、多项式回归 (1) 一元多项式回归 一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m m x x y ...10. 如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归. 1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下： p=polyfit(x,y,m) p 返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x ，y 为对应数据点值. [p,S]=polyfit(x,y,m) S 是一个矩阵，用来估计预测误差. 2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval 实现，其具体调用
格式如下： Y=polyval(p,X) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y. [Y,DELTA]=polyval(p,X,S) p，S为polyfit的输出，DELTA为误差估计.在线性回归模型中，Y±DELTA以50%的概率包含函数在X处的真值. 3. 模型预测的置信区间用polyconf实现，其具体调用格式如下： [Y,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA，alpha缺省时为0.05. 4. 交互式画图工具polytool，其具体调用格式如下： polytool(x,y,m)； polytool(x,y,m,alpha)； 用m次多项式拟合x，y的值，默认值为1，alpha为显著性水平，默认值为0.05. 例1观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s. 解根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下： %%%输入数据
第八章统计回归模型
第八章 统计回归模型 回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数. 回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等. 回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归. 一、多项式回归 (1) 一元多项式回归 一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m m x x y ...10. 如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归. 1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下： p=polyfit(x,y,m) p 返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x ，y 为对应数据点值. [p,S]=polyfit(x,y,m) S 是一个矩阵，用来估计预测误差. 2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval 实现，其具体调用格式如下： Y=polyval(p,X) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y . [Y ,DELTA]=polyval(p,X,S) p ，S 为polyfit 的输出，DELTA 为误差估计.在线性回归模型中，Y ±DELTA 以50%的概率包含函数在X 处的真值. 3. 模型预测的置信区间用polyconf 实现，其具体调用格式如下： [Y ,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y±DELTA ，alpha 缺省时为0.05. 4. 交互式画图工具polytool ，其具体调用格式如下： polytool(x,y,m)； polytool(x,y,m,alpha)； 用m 次多项式拟合x ，y 的值，默认值为1，alpha 为显著性水平，默认值为0.05. 例1 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s . 解 根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下： %%%输入数据
统计学多元回归分析实例
某农场负责人认为早稻收获量(y:单位为kg/公顷)与春季降雨(x i:单位为mm)和春季温度(X2:单位为C )有一定的联系，通过7组试验获得了相关的数据。利用Excel得到下面的回归结果(a =0.1): 方差分析表 (1)将方差分析表中的所缺数值补齐。 (2 )写出早稻收获量与春季降雨量、春季温度的多元线性回归方程，并解释各回归系数的意义。 (3 )检验回归方程的线性关系是否显著？ (4)检验各回归系数是否显著？ 2 (5)计算判定系数R，并解释它的实际意义。 (6)计算估计标准误差Se,并解释它的实际意义。 (每个空格为0.5分) 2、设总体回归模型为Y= 口+ P 1X^^ 2X2+ & ?x^ ?x2，由EXCEL输出结果可知，?= -0.39 14.92x1估计回归方程为? = ? 218.45x2，回归系数 ?的意义指在温度不变的条件下，当降雨量每增加1mm早稻收获量平均增加 14.92 kg/公顷；回归系数:?的意义指在降雨量不变的条件下， 2 当温度增加1C,早稻收获量平均增加218.45 kg/公顷。---5 分 3、由于p值=0.000075 < a =0.05，则拒绝原假设，即表明回归方程的线性关系是显著的。
4、由于各回归系数的P值均小于a ( 0.05 ),所以各回归系数是显著的。 ---2 分5、2二§臾二1387849567二0.99，表示早稻收获量的总变异中有99%的部分可以由降 R SST 14000000 雨量、温度的联合变动来解释。---4 分 6、S =」SS E =V MST = J30376.08 =174.29(k为自变量个数)，是总体回归模型 e n - k -1 中随机扰动项&的标准差的无偏估计量，用来衡量回归方程拟合程度的分析指标，S e越大，拟合程度越低；S e越小，拟合程度越高? —4 分
统计学案例——相关回归分析
《统计学》案例——相关回归分析 案例一质量控制中的简单线性回归分析 1、问题的提出 某石油炼厂的催化装置通过高温及催化剂对原料的作用进行反应，生成各种产品，其中液化气用途广泛、易于储存运输，所以，提高液化气收率，降低不凝气体产量，成为提高经济效益的关键问题。 通过因果分析图和排列图的观察，发现回流温度是影响液化气收率的主要原因，因此，只有确定二者之间的相关关系，寻找适当的回流温度，才能达到提高液化气收率的目的。经认真分析仔细研究，确定了在保持原有轻油收率的前提下，液化气收率比去年同期增长1个百分点的目标，即达到12.24%的液化气收率。 2、数据的收集
目标值确定之后，我们收集了某年某季度的回流温度与液化气收率的30组数据（如上表），进行简单直线回归分析。 3.方法的确立 设线性回归模型为εββ++=x y 10，估计回归方程为x b b y 10?+= 将数据输入计算机，输出散点图可见，液化气收率y 具有随着回流温度x 的提高而降低的趋势。因此，建立描述y 与x 之间关系的模型时，首选直线型是
合理的。 从线性回归的计算结果，可以知道回归系数的最小二乘估计值 b 0=21.263和b 1=-0.229，于是最小二乘直线为 x y 229.0263.21?-= 这就表明，回流温度每增加1℃，估计液化气收率将减少0.229%。 （3）残差分析 为了判别简单线性模型的假定是否有效，作出残差图，进行残差分析。
从图中可以看到，残差基本在-0.5—+0.5左右，说明建立回归模型所依赖的假定是恰当的。误差项的估计值s=0.388。 （4）回归模型检验 a.显著性检验 在90%的显著水平下，进行t 检验,拒绝域为︱t ︱=︱b 1/ s b1︱>t α/2=1.7011。 由输出数据可以找到b 1和s b1，t=b 1/ s b1=-0.229/0.022=-10.313，于是拒绝原假设，说明液化气收率与回流温度之间存在线性关系。 b.拟合度检验 判定系数r 2=0.792。这意味着液化气收率的样本变差大约有80%可以由它与回流温度的线性关系来解释。 2r r ==-0.89 这样，r 值为y 与x 之间存在中高度的负线性关系提供了进一步的证据。 由于n ≥30，我们近似确定y 的90%置信区间为： s z y )(?2 α±=21.263-0.229x ±1.282×0.388 = 21.263-0.229x ± 0.497
第十章_logit回归
第十章 logitic 回归 本章导读： Logitic 回归模型是离散选择模型之一，属于多重变数分析范畴，是社会学、生物统计学、临床、数量心理学、市场营销、会计与财务等实证分析的常用方法。 10.1 logit 模型和原理 Logistic 回归分析是对因变量为定性变量的回归分析。它是一种非线性模型。其基本特点是：因变量必须是二分类变量，若令因变量为y ，则常用y=1表示“yes ”，y=0表示“no ”。 [在发放股利与不发放股利的研究中，分别表示发放和不发放股利的公司]。自变量可以为虚拟变量也可以为连续变量。从模型的角度出发，不妨把事件发生的情况定义为y=1，事件未发生的情况定义为0，这样取值为0、1的因变量可以写作： ???===事情未发生 事情发生01y 我们可以采用多种方法对取值为0、1的因变量进行分析。通常以P 表示事件发生的概率（事件未发生的概率为1-P ），并把P 看作自变量x 的线性函数。由于y 是0-1型Bernoulli 分布，因此有如下分布： P=P （y=1|x ）：自变量为x 时y=1的概率，即发放现金股利公司的概率 1-P=P （y=0|x ）：自变量为x 时y=0的概率，即不发放现金股利公司的概率 事件发生和不发生的概率比成为发生比，即相对风险，表现为P P odds -= 1.因为是以 对数形式出现的，故该发生比为对数发生比（log odds ），表现为)1ln(P P odds -=。对数发生比也是事件发生概率P 的一个特定函数，通过logistic 转换，该函数可以写成logistic 回归的logit 模型： )1(log )(log P P P it e -= Logit 一方面表达出它是事件发生概率P 的转换单位；另一方面，它作为回归的因变量就可以自己与自变量之间的依存关系保持传统回归模式。 根据离散型随即变量期望值的定义，可得： E(y)=1(P)+0(1-P)=P 进而得到x P y E 10)(ββ+== 因此，从以上分析可以看出，当因变量的取值为0、1时，均值x y E 10)(ββ+=总是代表给定自变量时y=1的概率。虽然这是从简单线性回归分析而得，但也适合复杂的多元回归函数情况。 k k x x x itP y E ββββ++++== 22110log )( β0为常数项，β1，β2，…，βk 分别为k 个自变量的回归系数。 因此，logistic 模型为：
2015年《统计学》第八章 相关与回归分析习题及满分答案
2015年《统计学》第八章相关与回归分析习题及满分答案 一、单选题 1.相关分析研究的是（ A ） A、变量间相互关系的密切程度 B、变量之间因果关系 C、变量之间严格的相依关系 D、变量之间的线性关系 2．若变量X的值增加时，变量Y的值也增加，那么变量X和变量Y之间存在着（A ）。 A、正相关关系 B、负相关关系 C、直线相关关系 D、曲线相关关系 3．若变量X的值增加时，变量Y的值随之下降，那么变量X和变量Y之间存在着（B）。 A、正相关关系 B、负相关关系 C、直线相关关系 D、曲线相关关系 4．相关系数等于零表明两变量（B）。 A.是严格的函数关系 B.不存在相关关系 C.不存在线性相关关系 D.存在曲线线性相关关系 5．相关关系的主要特征是（B）。 A、某一现象的标志与另外的标志之间的关系是不确定的 B、某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的依存关系，但它们不是确定的关系 C、某一现象的标志与另外的标志之间存在着严格的依存关系 D、某一现象的标志与另外的标志之间存在着不确定的直线关系 6．时间数列自身相关是指（ C ）。
A、两变量在不同时间上的依存关系 B、两变量静态的依存关系 C、一个变量随时间不同其前后期变量值之间的依存关系 D、一个变量的数值与时间之间的依存关系 7．如果变量X和变量Y之间的相关系数为负1，说明两个变量之间（D）。 A、不存在相关关系 B、相关程度很低 C、相关程度很高 D、完全负相关 8．若物价上涨，商品的需求量愈小，则物价与商品需求量之间（C）。 A、无相关 B、存在正相关 C、存在负相关 D、无法判断是否相关 9．相关分析对资料的要求是（A）。 A.两变量均为随机的 B.两变量均不是随机的 C、自变量是随机的，因变量不是随机的 D、自变量不是随机的，因变量是随机的 10．回归分析中简单回归是指（D）。 A.时间数列自身回归 B.两个变量之间的回归 C.变量之间的线性回归 D.两个变量之间的线性回归 11.已知某工厂甲产品产量和生产成本有直线关系，在这条直线上，当产量为10 00时，其生产成本为30000元，其中不随产量变化的成本为6000元，则成本总额对产量的回归方程为（ A ） A. y=6000+24x B. y=6+0.24x C. y=24000+6x D. y=24+6000x 12.直线回归方程中，若回归系数为负，则（B） A.表明现象正相关 B.表明现象负相关
统计学多元回归分析实例
某农场负责人认为早稻收获量（y ：单位为kg/公顷）与春季降雨（x 1：单位为mm ）和春季温度(x 2：单位为℃)有一定的联系，通过7组试验获得了相关的数据。利用Excel 得到下面的回归结果（α=0.1）： 方差分析表 （2）写出早稻收获量与春季降雨量、春季温度的多元线性回归方程，并解释各回归系数的意义。 （3）检验回归方程的线性关系是否显著？ （4）检验各回归系数是否显著？ （5）计算判定系数2 R ，并解释它的实际意义。 （6）计算估计标准误差Se ，并解释它的实际意义。 （每个空格为0.5分） -----3分 2、设总体回归模型为Y ＝1 2 1 2 x x αεββ+ ++ 估计回归方程为y ?＝1 2 1 2 ???x x αββ++，由EXCEL 输出结果可知，y ?＝120.3914.92218.45-++x x ，回归系数1 ?β 的意义指在温度不变的条件下，当降雨量每增加1mm ，早稻收获量平均增加14.92kg/公顷；回归系数 2 ?β 的意义指在降雨量不变的条件下， 当温度增加1℃，早稻收获量平均增加218.45kg/公顷。 ---5分
3、由于p 值=0.000075＜α=0.05，则拒绝原假设，即表明回归方程的线性关系是显著的。 ---2分 4、由于各回归系数的P 值均小于α（0.05），所以各回归系数是显著的。 ---2分 5、 2 13878495.67 0.9914000000 = ==SSR SST R ，表示早稻收获量的总变异中有99%的部分可以由降雨量、温度的联合变动来解释。 ---4分 6、 174.29= ===e S （k 为自变量个数） ，是总体回归模型中随机扰动项ε的标准差的无偏估计量，用来衡量回归方程拟合程度的分析指标，e S 越大， 拟合程度越低；e S 越小，拟合程度越高. ---4分
多元线性回归模型计算分析题
多元线性回归模型计算分析题 1、某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育年数的一个回归方程为 R2=0.214 式中，为劳动力受教育年数，为劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，与分别为母亲与父亲受到教育的年数。问 （1）sibs是否具有预期的影响？为什么？若与保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要增加多少？ （2）请对的系数给予适当的解释。 （3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数均为12年，另一个的父母受教育的年数均为16年，则两人受教育的年数预期相差多少年 2、考虑以下方程（括号内为标准差）： （0.080） (0.072) (0.658) 其中：——年的每位雇员的工资 ——年的物价水平 ——年的失业率 要求：（1）进行变量显著性检验； （2）对本模型的正确性进行讨论，是否应从方程中删除？为什么？ 3、以企业研发支出（R&D）占销售额的比重（单位：%）为被解释变量 （Y），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个容量为32的样本企业的估计结果如下： 其中，括号中的数据为参数估计值的标准差。 （1）解释ln(X1)的参数。如果X1增长10%，估计Y会变化多少个百分点？ 这在经济上是一个很大的影响吗？ （2）检验R&D强度不随销售额的变化而变化的假设。分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。 （3）利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响？
4、假设你以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，以盒饭价 格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千 人）作为解释变量，进行回归分析。假设你看到如下的回归结果（括号内为标准差），但你不知道各解释变量分别代表什么。 （2.6） (6.3) (0.61) (5.9) 试判定各解释变量分别代表什么，说明理由。 5、下表给出一二元模型的回归结果。 方差来源平方和（SS）自由度（d.f.） 来自回归(ESS)65965— 来自残差(RSS)_—— 总离差(TSS)6604214 求：（1）样本容量是多少？RSS是多少？ESS和RSS的自由度各是多少？ （2）和？ （3）检验假设：解释变量总体上对无影响。你用什么假设检验？为什么？ （4）根据以上信息，你能确定解释变量各自对的贡献吗？ 6、在经典线性回归模型的基本假定下，对含有三个自变量的多元线性 回归模型： 你想检验的虚拟假设是：。 （1）用的方差及其协方差求出。 （2）写出检验H0：的t统计量。 （3）如果定义，写出一个涉及0、、2和3的回归方程，以便能直接得到估计值及其样本标准差。
第8章 相关分析与回归分析及答案
第八章相关与回归分析 一、本章重点 1．相关系数的概念及相关系数的种类。事物之间的依存关系，可以分为函数关系和相关关系。相关关系又有单向因果关系和互为因果关系；单相关和复相关；线性相关和非线性相关；不相关、不完全相关和完全相关；正相关和负相关等类型。 2．相关分析，着重掌握如何画相关表、相关图，如何测定相关系数、测定系数以及进行相关系数的推断。相关表和相关图是变量间相关关系的生动表示，对于未分组资料和分组资料计算相关系数的方法是不同的，一元线性回归中相关系数和测定系数有着密切的关系，得到样本相关系数后还要对总体相关系数进行科学推断。 3．回归分析，着重掌握一元回归的基本原理方法，一元回归是线性回归的基础，多元线性回归和非线性回归都是以此为基础的。用最小平方法估计回归参数，回归参数的性质和显著性检验，随机项方差的估计，回归方程的显著性检验，利用回归方程进行预测是回归分析的主要内容。 4．应用相关与回归分析应注意的问题。相关与回归分析都有它们的应用范围，必须知道在什么情况下能用，什么情况下不能用。相关分析和回归分析必须以定性分析为前提，否则可能会闹出笑话，在进行预测时选取的样本要尽量分散，以减少预测误差，在进行预测时只有在现有条件不变的情况下才能进行，如果条件发生了变化，原来的方程也就失去了效用。 二、难点释疑 本章难点在于计算公式多，不容易记忆，所以更要注重计算的练习。为了掌握基本计算的内容，起码应认真理解书上的例题，做完本指导书上的全部计算题。初学者可能会感到本章公式多且复杂，难于记忆，其实只要抓住Lxx、Lxy、Lyy 这三个记号，记住它们的展开式，几个主要的公式就不难记忆了。如果能自己把这些公式推证一下，搞清其关系，那就更容易记住了。 三、练习题 （一）填空题 1事物之间的依存关系，根据其相互依存和制约的程度不同，可以分为（函数关系）和（相关关系）两种。 2．相关关系按相关关系的情况可分为（）和（）；按自变量的多少分（单相关）和（复相关）；按相关的表现形式分（线性相关）和（非线性相关）；按相关关系的密切程度分（完全相关）、（不完全相关）和（不相关）；按相关关系的方向分（正相关）和（负相关）。 3．回归方程只能用于由（自变量）推算（因变量）。 4．一个自变量与一个因变量的线性回归，称为（一元线性回归） 5．估计变量间的关系的紧密程度用（相关系数） 6．在相关分析中，要求两个变量都是随机的，而在回归分析中要求自变量是（不是随机的），因变量是（随机的）。 7．已知剩余变差为250，具有12对变量值资料，那么这时的估计标准误差是（）。 8．将现象之间的相关关系，用表格来反映，这种表称为（相关表），将现象之间的相关关系用图表示称（相关图）。
第十章 多元线性回归与曲线拟合
第十章多元线性回归与曲线拟合―― Regression菜单详解（上） 回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。在医学领域中，此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系，人的体表面积与身高、体重有关系；等等。回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。 §10.1Linear过程 10.1.1 简单操作入门 调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。在多元线性回归分析中，用户还可根据需要，选用不同筛选自变量的方法（如：逐步法、向前法、向后法，等）。 例10.1：请分析在数据集Fat surfactant.sav中变量fat对变量spovl的大小有无影响？ 显然，在这里spovl是连续性变量，而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法--回归分析来解决它。 回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中，因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似，下面大家很快就会看到。 这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求，它必须是正态分布的变量才可以，我们可以用直方图来大致看一下，可以看到基本服从正态，因此不再检验其正态性，继续往下做。 10.1.1.1 界面详解 在菜单中选择Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下：
除了大家熟悉的内容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。 【Dependent框】 用于选入回归分析的应变量。 【Block按钮组】 由Previous和Next两个按钮组成，用于将下面Independent框中选入的自变量分组。由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，则用该按钮组将自变量分组选入即可。下面的例子会讲解其用法。 【Independent框】 用于选入回归分析的自变量。 【Method下拉列表】 用于选择对自变量的选入方法，有Enter（强行进入法）、Stepwise（逐步法）、Remove（强制剔除法）、Backward（向后法）、Forward（向前法）五种。该选项对当前Independent框中的所有变量均有效。
第八章-相关与回归分析练习题
第八章相关与回归分析 一、单选题 1.相关分析研究的是（） A、变量间相互关系的密切程度 B、变量之间因果关系 C、变量之间严格的相依关系 D、变量之间的线性关系 2．若变量X的值增加时，变量Y的值也增加，那么变量X和变量Y之间存在着（）。 A、正相关关系 B、负相关关系 C、直线相关关系 D、曲线相关关系 3．若变量X的值增加时，变量Y的值随之下降，那么变量X和变量Y之间存在着（）。 A、正相关关系 B、负相关关系 C、直线相关关系 D、曲线相关关系 4．相关系数等于零表明两变量（）。 A.是严格的函数关系 B.不存在相关关系 C.不存在线性相关关系 D.存在曲线线性相关关系 5．相关关系的主要特征是（）。 A、某一现象的标志与另外的标志之间的关系是不确定的 B、某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的依存关系，但它们不是确定的关系 C、某一现象的标志与另外的标志之间存在着严格的依存关系
D、某一现象的标志与另外的标志之间存在着不确定的直线关系 6．时间数列自身相关是指（）。 A、两变量在不同时间上的依存关系 B、两变量静态的依存关系 C、一个变量随时间不同其前后期变量值之间的依存关系 D、一个变量的数值与时间之间的依存关系 7．如果变量X和变量Y之间的相关系数为负1，说明两个变量之间（）。 A、不存在相关关系 B、相关程度很低 C、相关程度很高 D、完全负相关 8．若物价上涨，商品的需求量愈小，则物价与商品需求量之间（）。 A、无相关 B、存在正相关 C、存在负相关 D、无法判断是否相关 9．相关分析对资料的要求是（）。 A.两变量均为随机的 B.两变量均不是随机的 C、自变量是随机的，因变量不是随机的 D、自变量不是随机的，因变量是随机的 10．回归分析中简单回归是指（）。 A.时间数列自身回归 B.两个变量之间的回归 C.变量之间的线性回归 D.两个变量之间的线性回归 11.已知某工厂甲产品产量和生产成本有直线关系，在这条直线上，当产量为1000时，其生产成本为30000元，其中不随产量变化的成本为6000元，则成本总额对产量的回归方程为（）
spss多元回归分析案例
企业管理 对居民消费率影响因素的探究 ---以湖北省为例改革开放以来,我国经济始终保持着高速增长的趋势,三十多年间综合国力得到显著增强,但我国居民消费率一直偏低,甚至一直有下降的趋势。居民消费率的偏低必然会导致我国内需的不足,进而会影响我国经济的长期健康发展。 本模型以湖北省1995年-2010年数据为例，探究各因素对居民消费率的影响及多元关系。（注：计算我国居民的消费率,用居民的人均消费除以人均GDP,得到居民的消费率）。通常来说，影响居民消费率的因素是多方面的，如:居民总收入，人均GDP，人口结构状况1（儿童抚养系数，老年抚养系数），居民消费价格指数增长率等因素。 总消费(C:亿元) 总GDP（亿元）消费率(%) 1995 1095.97 2109.38 51.96 1997 1438.12 2856.47 50.35 2000 1594.08 3545.39 44.96 2001 1767.38 3880.53 45.54 2002 1951.54 4212.82 46.32 2003 2188.05 4757.45 45.99 1.人口年龄结构一种比较精准的描述是：儿童抚养系数(0-14岁人口与 15-64岁人口的比值)、老年抚养系数(65岁及以上人口与15-64岁人口的比值〉或总抚养系数(儿童和老年抚养系数之和)。0-14岁人口比例与65岁及以上人口比例可由《湖北省统计年鉴》查得。
（注：数据来自《湖北省统计年鉴》） 一、计量经济模型分析 (一)、数据搜集 根据以上分析，本模型在影响居民消费率因素中引入6个解释变量。X1:居民总收入（亿元），X2：人口增长率(‰），X3：居民消费价格指数增长率，X4：少儿抚养系数，X5：老年抚养系数，X6：居民消费占收入比重（%）。 Y ：消费率(%) X1:总收入 （亿元） X2：人口 增长率 (‰） X3：居民 消费价格指数增长率 X4：少儿抚养系数 X5：老年 抚养系数 X6：居民 消费比重（%） 1995 51.96 1590.75 9.27 17.1 45.3 9.42 68.9 1997 50.35 2033.68 8.12 2.8 41.1 9.44 70.72 2000 44.96 2247.25 3.7 0.4 39 9.57 70.93 2004 2452.62 5633.24 43.54 2005 2785.42 6590.19 42.27 2006 3124.37 7617.47 41.02 2007 3709.69 9333.4 39.75 2008 4225.38 11328.92 37.30 2009 4456.31 12961.1 34.38 2010 5136.78 15806.09 32.50
回归模型案例
案例一：城镇居民收入与支出关系 一、研究的目的 研究影响各地居民消费水平变动的原因。影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，居民的收入水平、就业状况、零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。 二、模型设定 我们研究的对象是各地区居民消费的差异。居民消费可分为城市居民消费和农村居民消费，由于各地区的城市与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城市居民每人每年的平均消费支出”来比较。所以模型的被解释变量Y 选定为“城市居民每人每年的平均消费支出”。 因为研究的目的是各地区城市居民消费的差异，并不是城市居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城市居民的消费支出来建立模型。因此建立的是某年截面数据模型。 影响各地区城市居民人均消费支出有明显差异的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是居民收入，其他因素虽然对居民消费也有影响，但有的不易取得数据，如“居民财产”和“购物环境”；有的与居民收入可能高度相关，如“就业状况”、“居民财产”；还有的因素在运用截面数据时在地区间的差异并不大，如“零售物价指数”、“利率”。因此这些其他因素可以不列入模型，即便它们对居民消费有某些影响也可归入随即扰动项中。为了与“城市居民人均消费支出”相对应，选择在统计年鉴中可以获得的“城市居民每人每年可支配收入”作为解释变量X 。 作城市居民家庭平均每人每年消费支出(Y)和城市居民人均年可支配收入(X)的散点图， 从散点图可以看出居民家庭平均每人每年消费支出(Y)和城市居民人均年可支配收入(X)大体呈现为线性关系，所以建立的计量经济模型为如下线性模型： 12i i i Y X u ββ=++ 三、估计参数 1、建立工作文件 首先，双击EViews 图标，进入EViews 主页。在菜单一次点击File\New\Workfile ，出现对话框“Workfile Range ”。在“Workfile frequency ”中选择数据频率： Annual (年度) Weekly ( 周数据 ) Quartrly (季度) Daily (5 day week ) ( 每周5天日数据 ) Semi Annual (半年) Daily (7 day week ) ( 每周7天日数据 ) Monthly (月度) Undated or irreqular (未注明日期或不规则的) 在本例中是截面数据，选择“Undated or irreqular ”。并在“Start date ”中输入开始时间
(整理)SPSS多元回归分析实例
多元回归分析 在大多数的实际问题中，影响因变量的因素不是一个而是多个，我们称这类回问题为多元回归分析。可以建立因变量y与各自变量x j(j=1,2,3,…,n)之间的多元线性回归模型： 其中：b0是回归常数；b k(k=1,2,3,…,n)是回归参数；e是随机误差。 多元回归在病虫预报中的应用实例: 某地区病虫测报站用相关系数法选取了以下4个预报因子；x1为最多连续10天诱蛾量(头)；x2为4月上、中旬百束小谷草把累计落卵量(块)；x3为4月中旬降水量(毫米)，x4为4月中旬雨日(天)；预报一代粘虫幼虫发生量y（头/m2）。分级别数值列成表2-1。 预报量y：每平方米幼虫0~10头为1级，11~20头为2级，21~40头为3级，40头以上为4级。 预报因子：x1诱蛾量0~300头为l级，301~600头为2级，601~1000头为3级，1000头以上为4级；x2卵量0~150块为1级，15l~300块为2级，301~550块为3级，550块以上为4级；x3降水量0~10.0毫米为1级，10.1~13.2毫米为2级，13.3~17.0毫米为3级，17.0毫米以上为4级；x4雨日0~2天为1级，3~4天为2级，5天为3级，6天或6天以上为4级。 表2-1 x1 x2 x3 x4 y 年蛾量级别卵量级别降水量级别雨日级别幼虫密 度 级别 1960 1022 4 112 1 4.3 1 2 1 10 1 1961 300 1 440 3 0.1 1 1 1 4 1 1962 699 3 67 1 7.5 1 1 1 9 1 1963 1876 4 675 4 17.1 4 7 4 55 4 1965 43 1 80 1 1.9 1 2 1 1 1 1966 422 2 20 1 0 1 0 1 3 1