3.2.1几类不同增长的函数模型

类型 三
方案选择问题
【典型例题】 1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调 整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当 的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可
选用(
)
B.二次函数
A.一次函数
C.指数型函数
D.对数型函数
2.学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知
【知识点拨】 1.三类函数模型的增长差异 (1)对于幂函数y=xn,当x＞0，n＞0时，y=xn才是增函数，当n 越大时,增长速度越快. (2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关 于y=x对称，从而可知，当a越大时，y=ax增长越快；当a越小 时，y=logax(a＞1)增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0,
【解析】选B.A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利 率为 51.4－50 ， 所以100元一年到期的本息和为
50 51.4－50 2 100 (1 ＋ ) 105.68 元 ， 收益为5.68元；C种债券的利率 50 100－97 为 100－97 ，100元一年到期的本息和为100(1 ＋ ) 103.09 元 ， 97 97
【变式训练】某债券市场发行三种债券，A种面值为100元， 一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和 为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本 息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到 大排列为( A.B,A,C C.A,B,C ) B.A,C,B D.C,A,B
a＞1).
(3)指数函数与幂函数，当x＞0,n＞0,a＞1时，可能开始时有
xn＞ax，但因指数函数是“爆炸型”函数,当x大于某一个确定
值x0后,就一定有ax＞xn.
2.由增长速度确定函数模型的技巧 (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (2)增长速度最快即呈现“爆炸”式增长的函数模型应该是指 数型函数模型. (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型 . (4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型 .
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
三种函数模型的性质 y=ax(a>1) 在(0,+∞) 上的增减性 图象的变化 增函数 _______ 随x增大逐渐 y轴平行 与________ y=logax(a>1) 增函数 _______ 随x增大逐渐与 x轴平行 ________ y=xn(n>0) 增函数 _______，电话费都是3.6元. (2)由图象可知，当t=5时，y=6，需付电话费6元. (3)当t≥3时，y关于t的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和 (5,6)两点，故设函数关系式为y=kt+b，
3k b 3.6, k 1.2， 则 解得 5k b 6 ， b 0.
故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为
y=1.2t(t≥3).
答案：(1)3.6 (2)6 (3)y=1.2t(t≥3)
【互动探究】题2中的已知条件不变，若通话费用为4.5元， 则通话时间是多少？ 【解析】由题2的解析结合图象可知，当y=4.5元时，通话时 间超过3分钟，故电话费与时间满足函数关系式 y=1.2t(t≥3),≨4.5=1.2t,≨t=3.75(分钟). 故若通话费用为4.5元时，通话时间为3.75分钟.
制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名
工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)能使完成全
部任务最快？
【解题探究】1.对数型函数的增长有何特点？ 2.解答应用题的关键是什么？ 探究提示： 1.先快速增长，后来越来越慢. 2.解应用题的关键是建模，通过对已知条件的综合分析，归纳 抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的类型 .
【解题探究】1.路程和时间存在着何种关系？当路程一定 时，时间和速度有何关系？ 2.通过观察题2的图象可以确定此函数是什么函数 ?
探究提示：
1.路程和时间的关系为s=vt，当路程一定时，时间和速度的
关系为 t s ， 成反比例关系.
v
2.由题2图象可以看出对应的函数为分段函数.
【解析】1.选D.从图可以看出，甲、乙两人同时出发 (t＝0)， 跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙 的速度快，甲先到达终点．
x ＞0,
1 2
lgx＜0,所以2x＞
答案：2x＞
1 2
x ＞lgx.
1 2
x ＞lgx
类型 二
图象信息迁移题
【典型例题】
1.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图 所示，则下列说法正确的是( A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 )
2.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电 话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图 象填空： (1)通话2分钟，需付电话费______元. (2)通话5分钟，需付电话费______元. (3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时 间t(分钟)之间的函数关系式为______.
(2)当a＞1，n＞0时，在区间(0,+∞)上，对任意的x，总有 logax＜xn＜ax成立.( )
(3)能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a＞0,b＞1)表 达的函数模型,称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函 数.( )
提示：(1)错误.由图象可知.y=2x的增长速度远远快于y=x2的
-1
1 2
0
1 0
1
2 1
2
4 8
3
8 27
...
... ...
-1
描点、连线，得如图所示图象： 则函数f(x)=2x对应的图象为C2,函数g(x)=x3对应的图象为C1①,
≧g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729, f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024, ≨f(1)＞g(1),f(2)＜g(2),f(9)＜g(9),f(10)＞g(10)， ≨1＜x1＜2,9＜x2＜10,≨x1＜8＜x2＜2013. 从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x), 当x＞x2时，f(x)＞g(x),且g(x)在(0,+≦)上是增函数, ≨f(2 013)＞g(2 013)＞g(8)＞f(8). 答案： f(2 013)＞g(2 013)＞g(8)＞f(8)
(2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常
数,m≠0,x＞0,a＞1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶
段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,
常称之为“蜗牛式增长”.
(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常
数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值
确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.
【变式训练】若x∈(0,1)，试分析三个函数模型y=2x，
yx ，
1 2
y=lgx的增长差异，用“＞”把它们的取值大小关系连接起来
为______.
【解题指南】关键看在(0,1)上它们的大小关系，可借助中间
值“0”与“1”比较.
【解析】当x∈(0,1)时，2x＞1,1＞
2 0.5ex0 2 x 0 1, 当x＞x0时,
ln(x+1)<x2-1<0.5ex-2.
【拓展提升】三种函数模型的表达形式及其增长特点 (1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常 数,a＞0,b＞1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的
增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地，设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根 据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问 题的数学化,即所谓建立数学模型. 第三步:利用数学方法解答得到的常规数学问题 (即数学模型), 求得结果. 第四步:再转译成具体问题作出解答.
【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；二
次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数型函数是“爆炸
式”增长，不符合“增长越来越慢”，因此，只有对数型函
数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢.
2.设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一 个单位时间里可制7张课桌或10把椅子， ≨制作100张课桌所需时间为函数 P x ＝100 ，制作200把椅子所需 时间为函数 Q x ＝
类型 一
函数模型的增长差异
【典型例题】 1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( A.y＝50x C.y＝50x B.y＝x50 D.y＝log50x(x∈N*) )
2.研究函数y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在［0,+∞)上的增 长情况.
【解题探究】1.处理函数模型增长速度差异问题的关键是什 么？ 2.对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？ 探究提示： 1.是确定变量间的关系, 不能仅仅根据自变量较大时对应的 函数值比较,还要看函数的变化趋势. 2.对数函数模型变化规律是先快后慢,增长速度比较平缓,指
≨f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，≧f(12)>f(13)，≨x＝13时， f(x)取最小值，≨用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子 完成任务最快．
【拓展提升】解函数应用题的四个步骤 第一步:阅读、理解题意,认真审题. 读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背 景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善 于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.