指数函数对数函数增长快慢
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
2
1
0
0
200
400
600
800
1000
1200
对于模型由y=1.002x函数图像并利用计算 器满,足可1以.0知02道x0=在5,由区于间它(80在5,区80间6)[内10有,1一00个0]上点递x0 增,因此当x>x0时,y>5,因此该模型也不符合 要求;
5
4 3y=㏒7x2100
500
1000
当x比较大时，y=2x比y=x2增长得更快。
5、在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足 够大时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来 越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
因此,总会存在一个x0， 使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax.
练习
2、作图像，试比较函数y=4x,y=x4, y=log4x 的增长情况. y=x4 y y=4x
y=log4x
x
小结 比较了指数函数、幂函数、对数函数的增长
在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大 时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
O (1,0)
x
幂函数
3.当x＞0，n＞0时，幂函数y=xn是增函数， 并且对于x＞1，当n越大时，其函数值的 增长就越快。
y=x2 y y=x4
6 5 4 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
y 3x
y 2x
y
O (1,0)
y=log2x y=log3x y=log5x
x
y=x2 y y=x4
指数函数与对数函数的增减性
指数函数与对数函数的增减性指数函数和对数函数是高等数学中常见的两类函数，它们在数学和应用领域中具有重要的作用。
本文将探讨指数函数和对数函数的增减性质，并对其进行详细论述。
一、指数函数的增减性指数函数是以底数为常数的自变量的指数幂，即$f(x) = a^x$，其中$a$为底数，$x$为自变量。
下面讨论指数函数的增减性。
1. 当$a>1$时，指数函数是增函数。
由于指数函数的幂次都是正数，且底数大于1，所以指数函数随着自变量的增加而增加，即函数图像是单调递增的。
2. 当$0<a<1$时，指数函数是减函数。
在这种情况下，指数函数的幂次为正数，但底数小于1，所以随着自变量的增加，指数函数逐渐减小，即函数图像是单调递减的。
综上所述，当指数函数的底数$a$大于1时，函数图像增加；当底数$a$在0和1之间时，函数图像减小。
二、对数函数的增减性对数函数是指以常数为底数的对数运算，即$f(x) = \log_a x$，其中$a$为底数，$x$为自变量。
下面讨论对数函数的增减性。
1. 当$a>1$时，对数函数是增函数。
由于对数函数的底数大于1，所以函数图像是单调递增的，自变量的增加导致函数值的增加。
2. 当$0<a<1$时，对数函数是减函数。
在这种情况下，对数函数的底数小于1，所以函数图像是单调递减的，自变量的增加导致函数值的减小。
综上所述，当对数函数的底数$a$大于1时，函数图像增加；当底数$a$在0和1之间时，函数图像减小。
总结：指数函数和对数函数的增减性质可以用以下结论来概括：1. 指数函数以底数为基础，底数大于1时是增函数，底数在0和1之间时是减函数。
2. 对数函数以底数为基础，底数大于1时是增函数，底数在0和1之间时是减函数。
这些性质在数学和应用中都有广泛的应用，例如在复利计算、物质衰减、生物增长等领域中起着重要的作用。
总之，指数函数和对数函数在数学中具有重要的作用，其增减性质可以根据底数的大小判断。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
10.2 1 ，c＝23，则( a＝log1 3 ， b ＝ 2 3
)
A．a＜b＜c C．c＜a＜b
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)在什么条件下是增函数？y＝2x 与 y＝3x 哪个增 长的速度更快？指数函数增长速度的快慢由什么决定呢？ 2．幂函数 y＝xn，当 x>0，n>1 时是增函数吗？当 x>1 时，其增长的快慢与 n 有什么关系？
3．对数函数y＝logax，当a>1时是增函数，那么随着a的增大，函数值的增
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
y4 2 4.322 5.322
关于 x 呈指数型函数变化的变量是________．
[思路探究] 利用表格中数据增长速度的快慢来判断，指数型函数增长速度是越来越快．
3．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．
4．比较y＝4x，y＝x4与y＝log4x增长情况．
三种函数图像的比较 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表： x 1 y1 2 y2 2 y3 2 5 26 32 10 10 101 15 226 20 401 25 626 30 901
[自主练习] 1．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( A．y＝100 x C．y＝x100 B．y＝100ln x D．y＝100· 2x )
2．我国工农业总产值从 1990 年到 2010 年的 20 年间翻两番，设平均每年的 增长率为 x，则有( A．(1＋x)19＝4 C．(1＋x)20＝2 ) B．(1＋x)20＝3 D．(1＋x)20＝4
不同函数的增长速度
借助图象，比较增长情况
2
y x , y log2 x
探究
一般性 图象
一般地，对于对数函数 y log a x n （a >1)和幂函数 y x (n >0)，可以发 现，在区间（0，+ ）上，在x的一定 n log x 范围内， a 可能会大于 x ，但由于log a x n 的增长慢于 x 的增长，因此总存在一 n 个 x0，当X> x0 时，就会有log a x < x 。
从图可以看出：虽然它们都是增函数，但 是它们的增长速度是不同的。
在更大范围内观察
y2 ,yx
x
2
的增长情况。
列表：
x 0 1 2 1 2 4 4 3 … …
y 2x 1
64 128 256 36 49 64
y x 0
2
点击观察图象
观看三个函数的图象
由图象可以看到，函数（1）以爆炸式的速度 增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定； 函数（3）以稳定的速率增加。
并比较它们的增长情况：
1 讨论函数： (以a , n 2为例.) 2 y a x (0 a 1), y loga x(0 a 1), y xn (n 0)
复习：
指数函数、对数函数、幂函数 的增长差异：
一次函数：直线上升。 指数函数：指数爆炸增长。 对数函数：比较平缓的增长。
以下面三个函数为例探究三类函数的增长 差异：
y 2 , y x , y log2 x
x 2
1、由表格数据观察三者的增长速度。 2、由图象观察三者的增长速度。
观察表格 观察图像
结论：
x
在区间
最新湘教版高中数学《几种函数增长快慢的比较》教学课件
一 几种函数增长快慢的比较
当底数a>1时，指数函数y=ax和对数函数y=logax都是增函数；我们早已熟 悉的一次函数y=kx+b，当k>0时也是增函数；幂函数y=xα，当α>0时是［0，+∞) 上的增函数. 这些函数的函数值y都随着自变量x的增长而增长．
增函数的共同特点是，函数值y随着自变量x的增长而增长．同为增长， 但增长的快慢可能不同．这好比赛跑，有冠军亚军，也有排不上名次的．
一 几种函数增长快慢的比较
可见，当幂指数大于1时，不论一次函数的一次项系数和常数项多么大， 只要自变量足够大，幂函数的增长就比一次函数快得多.
类似地，C组的函数总比D组增长得快． 总之，指数增长最快，对数增长最慢．
在区间(0，＋∞)上，a>1， a>0，总会存在一个x0，当x> x0时，就有logax<xa<ax.
一 几种函数增长快慢的比较
同一组的比赛容易分出高低，看图便知分晓． 从图4.5-2(1)看出，A组内，a越大跑得越快；E组内，a越小跑得越快． 从图4.5-2(2)看出，B组和D组一起比赛，都是α越大跑得越快．
图4.5-2
一 几种函数增长快慢的比较
现在来看C组，一次函数y＝kx＋b (k>0). 如果两个一次函数的一次项系数相等，只有常数项不同，则两个函数的差是常 数．起跑时在前面的永远在前面，领先距离永远不变．从图象上看，是两条平行直 线． 如果两个一次函数的一次项系数不相等，系数大的跑得就快．不管起跑时落后 有多少，系数大的总能后来居上，而且将遥遥领先．在方格纸上画几个一次函数的 图象便能看出这个规律. 小组选拔赛的情形一目了然．组与组之间的比赛呢？ 上面已经对B，D两组做了比较．
指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本
1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。
指数函数对数函数增长快慢
快，形成指数爆炸现象。
04 对数函数增长特性分析
对数函数增长速度描述
初期增长缓慢
当x值较小时，对数函数的增长速度相对较慢，函数图像呈现较为 平缓的上升趋势。
增长速度逐渐加快
随着x值的增大，对数函数的增长速度逐渐加快，但相对于指数函 数而言，其增长速度仍然较慢。
增长趋于稳定
当x值趋于无穷大时，对数函数的增长速度趋于稳定，即函数图像 上升趋势逐渐平缓。
实际应用举例
指数函数和对数函数在经济学、金融学、生物学等领域有广泛应用。例如，复利计算、人 口增长模型、放射性衰变等都涉及到这两种函数的增长快慢问题。
研究成果总结
指数函数与对数函数增长快慢的定量描述
通过引入增长率、加速度等概念，可以对指数函数和对数函数的增长快慢进行定量描述和比较。研究结果表明，指数 函数的增长速度远远超过对数函数。
爆炸现象。
02
例子2
病毒传播。在病毒传播过程中，每个感染者都会以一定概率传染给量的增加，传播速
度迅速加快，形成指数爆炸现象。
03
例子3
人口增长。在人口增长模型中，人口数量通常以指数形式增长。在初期，
人口增长较慢，但随着时间的推移和人口基数的增加，增长速度逐渐加
05 指数函数与对数函数增长 快慢比较
相同底数情况下比较
指数函数增长快于对数函数
当底数大于1时，指数函数的增长速度逐渐加快，而对数函数的增长速度逐渐减 慢。因此，在相同底数情况下，指数函数的增长速度快于对数函数。
初期对数函数增长较快
尽管指数函数最终会超过对数函数，但在初期阶段，对数函数的增长可能会快于 指数函数，这是因为对数函数在自变量较小时具有较快的增长速度。
实例分析：对数增长现象
不同函数的增长速度
在更大范围内观察 y 2x , y x2 的增长情况。
列表：
x 01 2 3 4 5 6 7 8…
y 2 x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y x 2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 …
点击观察图象
观察数据表
y 1.13E+15
y 2x
1.10E+12
由图象可以看到，函数（1）以爆炸式的速度 增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定； 函数（3）以稳定的速率增加。
讨论函数： (以a 1 , n 2为例.)
2 y a x (0 a 1), y log a x(0 a 1), y xn (n 0)
在区间（0，+∞）上的衰减情况。
a x 因此总存在一个
loga x < n
x0，当X>
< x.
x0时，就会有
练习：在同一个直角坐标系内作出下列函数的图象，
并比较它们的增长情况：
⑴y 0.1ex 100, x [1,10]; ⑵y 20 lnx 100, x [1,10]; ⑶y 20x, x [1,10].
观看三个函数的图象
y x2
o
50
100
X
一般地，对于指数函数 y ax（a >1)
和幂函数 y xn (n >0)，可以发现，在
区间（0，+ ）上，无论n比a大多少，
尽管在x的一定范围内， 会a小x 于 ， 但由xn于 的增长a快x 于 的增长xn，因此
总存在一个 ，当X>x0 时，就会x0有
> 。a x、对数函数的增长差异性
2、数学思想与方法： ①注意信息技术的使用 ②培养类比联想能力
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A
y=log2 x
1 o 1234
x
x 一般地，对于指数函数 y=a30(a>1)和幂函数 y=xn50 (n>0),在区间 20 40 x 0 10 （0，+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围 y=2x 1 1024 1.05×106 1.07×109 1.10×1012 1.13×1015 400 900 1600 2500 y=x2 x 100 内，a0会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在
一个x0,当x>x0时，必有ax>xn. 60 70 80
1.15×1018 1.18×1021 1.21×1024 3600 4900 6400
… … …
y
1.13×1015
y=2x
对于对数函数 y=log2 x（a>1)和幂函数 y=xn (n>0),在区间（0，+∞）上,随着x 的增大，logax增长的越来越慢，图像
1.149 0.04 1.516 0.36 2 1 0 2.639 1.96 0.485
5 4 3 2 1 y=log2 x
y=log2 x -2.322 -0.737
1.8 2.2 2.6 3.0 8
9
3.4
…
3.482 4.959 6.063
3.24 4.84 6.67
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10.556 …
11.56 1.766 … …
N 0 10; N 1 2 10 20; N 2 2 20 40; N 3 2 40 80;.
由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示： Nt+1=R0· t , 其中R0为时代净繁殖率. N 如果种群的R0速率年复一年地增长，则 2 3 t N 1 R0 N 0 , N 2 R0 N 1 R0 N 0 , N 3 R0 N 2 R0 N 0 N t R0 N 0 . 当R0>1时，种群上升；R0=1，种群稳定； 0<1，种群下降； 0<R 当R0=0，雌体没有繁殖，种群在这一代中死亡.
甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.
二、应用示例
例1.试用计算器来计算2500的近似值.
解： 第一步，利用科学计算器算出 第二步，再计算2100， 因为 2100=(210)10=（1.024×103)10=1.02410×1030, 所以，我们只需用科学计算器算出1.02410≈1.2677， 则2100 ≈1.2677×1030； 第三步，再计算2500， 210=1 024=1.024×103；
250 200 150 100 50
o
100
200
300
t
o
50 100 150 200 250 300 t
三、小
结
本节学习了:
（1）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.
（2）幂函数、指数函数、对数函数的应用.
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 一、提出问题 1.在区间（0，+∞）上判断 y=log2 x, y=2x, y=x2 的单调性.
在区间（0，+∞）上函数 y=log2 x, y=2x, y=x2均为单调增函数
2.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像. y=x2 y=2x 0.2 0.6 1.0 1.4 y x y=2x y=x2
就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x
的一定变化范围内， logax可能会大于 xn，但由于log
a
1.10×1012
y=x2
50 100
x的增长慢于xn的增长，
o
x
因此总存在一个x0,当x>x0时，必有logax<xn.
抽象概括
尽管对数函数 logax(a>1),指数函数 y=ax(a>1)与幂函数
0.848 1.138 1.379 1.585
o
1
2
x
3.结合函数的图像找出其交点坐标.
x 从图像看出 y=log2 6 7 0 1 2 3 4 5 x的图像 8 … 与另外两函数的图像没有交点， y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 … 且总在另外两函数图像的下方， y=x2 2的图像与 y=2x 25 36 49 64 … y=x 0 1 4 9 16 的图像有两个 交点(2，4)和（4，16）. 4.根据图像,分别写出使不等式
三、练 习 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一 日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1） 的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图 （2）的抛物线段表示. （1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t); 写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t); （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西 红柿纯收益最大？ P Q 300 300 200 100
因为 2500=(2100)5=（1.2677×1030)5=1.26775×10150,
所以，我们只需用科学计算器算出1.26775≈3.2740， 从而算出 2500 ≈3.27×10150.
例2.在自然界中，有些种群的世代是隔离的，即每一代的生活 周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡， 第二年种子萌发产生下一代.假设一个理想种群，其每个个体产 生2个后代，又假定种群开始有10个个体，到第二代时，种群 个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40，80， 160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情 况种群上升，种群稳定，种群灭亡. 解：设Nt 表示t 世代种群的大小，Nt+1表示t+1世代种群的大小，
log2 x<2x<x2和 log2 x<x2<2x成立的自
y 23 19
y=2x
y=x2
16
B
变量x的取值范围. 使不等式 log2 x<2x<x2 的x取值范围 是(2，4);
使不等式 log2 x < x2< 2x的x取值范围 是(0，2)∪(4,+∞); 5.由以上问题你能得出怎样的结论？
4
课题引入
国际象棋大师起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋 的发明者，问他要什么，发明者说：
“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里 放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每个 格子里的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.” 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 假定千颗麦粒的质量为40g，据查，目前世界年度小麦 产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.
y=xn(n>0)在区间（0， +∞）上都是增函数，但它们的增长速度 不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax（a>1） 的 增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn（n>0）的增长速 度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此总会存在一 个x0，当x>x0 时，必有logax<xn<ax.虽然幂函数 y=xn(n>0)增长快 于对数函数 y=logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差