上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
上海市闵行中学东校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市闵行中学东校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合{}1,0A =-，集合{}2,B a =，若{}0A B ⋂=，则a =.2．已知集合{}230,A x x x x Z =-≤∈，用列举法表示集合A 为.3．“1x >或1y >”的否定形式为．4．不等式111x <+的解集为.5．已知幂函数a y x =的图像经过点)2，则实数a 的值为．6．已知方程2410x x -+=的两个根为1x 和2x ，则2212x x +=.7．已知235a b ==，则11a b+=.8．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b +=.9．若0x >，0y >，且124y x+=，则y x 的最大值为.10．若对任意的R x ∈，不等式15x x a ++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是.11．已知关于x 的不等式221037kx kx x x -+≤-+的解集为空集，则实数k 的取值范围是.12．若“对于任意的实数a ，关于x 的不等式2xa m +≥在区间[]0,1上总有解”是真命题，则实数m 的取值范围是．二、单选题13．第一象限的点组成的集合可以表示为（）A ．(){,0}x y xy >∣B ．(){},0x y xy ≥∣C ．(){,0x y x >∣且0}y >D ．(){,0x y x >∣或0}y >14．函数23y x =的图象是（）．A ．B ．C ．D ．15．如果实数a ，b ，c 满足c b a <<且0ac <.那么下列选项中不一定成立的是（）A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．2cb ab<D ．()0ac a c -<16．已知m ､n 是非零常数，不等式()()130m x x +-≥的解集为A ，不等式()()130n x x +->的解集为B ，则“0mn <”是“A B ⋃=R ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件三、解答题17．设0a b >>，比较2222a b a b-+与a b a b -+的大小18．已知全集U R =，集合{}231,2534x A xB x x x ⎧⎫-=≤=-≥⎨⎬-⎩⎭.(1)求集合A 和B ；(2)求A B ⋂和A B .19．如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过点C .已知AB 长为4米，AD 长为3米.(1)要使矩形花坛AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内?(2)当AN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小，并求出此最小值.20．使不等式2448ax kx x k +>-对一切实数x 恒成立的k 的取值范围记为集合A ，不等式()()232110x mx m m -+-+<的解集为B .(1)当1m =时，求集合B ；(2)当a k =时，求集合A ；(3)当1a =时，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.21．集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．。
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．用∈或∉填空：0φ.2．实数a ，b 满足31a -≤≤，13b -≤≤，则3a b -的取值范围是．3．若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是．4．命题“1x >”是命题“11x <”的条件.5．已知0x >，则812x x --的最大值为.6．已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为．7．已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a b +=．8．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为.9．若函数()f x 满足R x ∀∈，()()11f x f x +=-，且1x ∀，[)21,x ∈+∞，()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是.10．已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--≤>，若A B ⋂中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是．11．已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b++的最小值是.12．如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，90ABO DCO ∠=∠=︒，则x 的取值个数为.二、单选题13．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．2(),()x f x x g x x==B ．()(),()()f x x x R g x x x Z =∈=∈C ．,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩D．2(),()f x x g x ==14．设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（）A ．(x 1+x 2)∈A B ．(x 1﹣x 2)∈A C ．(x 1x 2)∈A D ．12x x ∈A 15．如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（）A．B．C ．D ．16．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()i A ϕ ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③三、解答题17．已知关于x 的不等式122x a -≤的解集为集合A ，40x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭.(1)若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求a 的取值范围.(2)若A B =∅ ，求a 的取值范围.18．已知函数()211y m x mx =+-+．(1)当5m =时，求不等式0y >的解集；(2)若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．19．某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <≤且R a ∈）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨-⎪∈⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．(1)若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．20．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.(1)求函数23y x x =--的不动点；(2)若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；(3)若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间0,2上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.21．对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n n n A a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅均为非负整数，且}12n a a a n ++⋅⋅⋅+=，集合(){1212,,,,,,n n n B b b b b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅均为非负整数，且}122n b b b n ++⋅⋅⋅+=．设()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，()12,,,n n b b b B β=⋅⋅⋅∈，若对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅都有i i a b ≤，则记αβ ．(1)写出集合2A 和2B ；(2)证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ ；(3)设集合(){},,,n n n S A B αβαβαβ=∈∈ 求证：n S 中的元素个数是完全平方数．。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
上海市位育中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市位育中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合A ={1，2}，B ={2，3，4}，则A B =.2．若()34log log 1x =，则x =．3．已知集合{},A x y =，{}22,2B x x =，且A B =，则实数y 的值为.4．已知集合15N,Z 10A xx x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 可以用列举法表示为.5．设α：14x ≤≤，β：x m <，α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是.6．若2235(21)(1)x x a x x b ++=+++恒成立，则a b +的值．7．已知实数a ，b 满足21a b +=，则ab 的最大值为.8．若关于x 的不等式2(1)30a x a ++-<的解集为(1,)+∞，则实数a 的值为.9．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，若{}2,3A B = ，{}4,8B A = ，{}1,7A B = ，则集合A =.10．设R x ∈，则方程23235x x x -+-=-的解集为.11．设关于x 的不等式270mx x m-<-的解集为A ，若7A ∉，则实数m 的取值范围是.12．若对于任意的实数a ，关于x 的不等式x a m +≥在区间[]1,2上总有解，则实数m 的取值范围是.二、单选题13．设0a >，下列计算中正确的是（）A ．2332a a a ⋅=B ．2332a a a ÷=C ．440a a -⋅=D ．2332()a a=14．已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是（）A ．ab bc>B ．ac bc>C ．ab ac>D ．a b b c>15．设,R x y ∈，则“9x y +≠”是“3x ≠且6y ≠”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．设R a ∈，关于,x y 的方程组1x ay ax y a -=⎧⎨+=⎩.对于命题：①存在a ，使得该方程组有无数组解；②对任意a ，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题三、解答题17．已知集合2230{|}A x x x =--≤，集合22{|}B x m x m =-≤≤+，设全集为实数集R ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围.18．（1）已知0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，证明：当0N >时，log log log ab aNN b =；（2）设2log 3a =，3log 5b =，用a ，b 表示15log 20.19．去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销，据测算若投放广告费用x 万元，则该品牌服装的年销售量将增长80%4xx +.(1)若要使得今年净利润比去年净利润至少增长13，求投放广告费用的范围；(2)当投放广告费用为多少万元时，该品牌服装的净利润最大？20．已知关于x 和y 的方程组22341214x y y x b ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩.(1)当0b =时，求方程组的解集；(2)设11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组的两组不同的解，若1122442y x y x m -+-=，求实数m 的取值范围.21．设R 为实数集，若非空集合A 满足条件：（1）A ⊂R ；（2）对任意,x y A ∈，都有x y A +∈且xy A ∈，则称集合为封闭集.(1)判断集合{}0B =，{}1,0,1C =-是否为封闭集，并说明理由；ð不是封闭集.(2)设全集为R，已知集合A是封闭集，求证：R A。
上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)
2024-2025学年上海市闵行区高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的条件.A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件2.不等式，的解集不可能是( )A. B. R C. D.3.已知集合，，则满足的集合S共有个.A. 3B. 4C. 7D. 84.设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是( )A. 对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集B. 对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C. 对任意a，使得不是的子集，对任意b，不是的子集D. 对任意a，使得不是的子集，存在b，使得不是的子集二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知全集为R，集合，则______.6.集合，则集合______.7.若，则的最小值为______.8.若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是______.9.已知，，则的取值范围是______.10.若集合有且仅有一个元素，则实数______.11.用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设______.12.一元二次不等式的解集是，则______.13.关于x的不等式的解集M有下列结论，其中正确的是______.①M可以是；②M可以是R；③M可以是；④M可以是14.已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数______.15.若不等式的解集为，则实数a的取值范围是______.16.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设a，，，若对任意，都有，则的取值范围是______.三、解答题：本题共5小题，共78分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题14分求下列不等式解集.18.本小题14分已知集合，，全集当时，求，；若，求实数a的取值范围．19.本小题14分一家新兴的医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划应用新技术生产一种新型的医疗器械；已知生产该产品的每年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为200万元时，本年度内生产的该产品当年能全部销售完.求年利润万元关于年产量x台的函数解析式利润=销售收入-成本；当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？20.本小题18分已知二次函数若关于x的方程的两个实数根，满足，求实数t的值；若对任意都有成立，求实数t的取值范围；若关于x的方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围.21.本小题18分在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为动点P在直线上，点，若，求点P的横坐标x的取值范围；动点P在直线上，动点Q在函数图像上，求的最小值；动点Q在函数的图像上，点，的最大值记为如，当点P的坐标为时，求的最小值，并求此时点P的坐标.答案和解析1.【答案】D【解析】本题考查必要条件，充分条件及充要条件的判定，属基础题.结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：因为，，所以“”是“”的充分不必要条件.2.【答案】D【解析】解：当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是不等式，的解集不可能是故选当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是本题考查一元一次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.【答案】D【解析】解：因为集合，，所以，所以，，因为，所以S可以为，，，，，，，，共8个．故选：根据题意可得集合B，再结合子集的概念可列举出集合S的所有可能情况．本题考查子集的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．4.【答案】B【解析】解：对于集合，，可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；当时，，，可得是的子集，故A错误，B正确；当时，，且，可得不是的子集．综上可得，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，故C错误，D错误．故选：运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意a，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．5.【答案】【解析】解：全集为R，集合，故答案为：利用补集的定义直接求解．本题考查集合的运算和补集的定义，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：集合，又Z是整数集，故答案为：利用交集的概念计算即可．本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．7.【答案】4【解析】解：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为故答案为：4直接利用基本不等式，即可得解．本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：是的充分条件，，实数m的取值范围是，故答案为：利用充要条件的定义求解即可．本题考查了充要条件的应用，属于基础题．9.【答案】【解析】解：，，又，，故的取值范围为故答案为：根据已知条件，结合不等式的可加性，即可求解．本题主要考查不等式的性质，属于基础题．10.【答案】0或【解析】解：因为集合A中有且仅有一个元素，即方程有一个根或者两个相等的实数根，当时，方程仅有一个实数根，满足题意；当时．，解得，综上，或故答案为：0或由题意得方程有一个根或者两个相等的实数根，然后结合方程根的存在条件可求．本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．11.【答案】且【解析】解：用反证法证明“若，则或”时，第一步应先假设“且”．故答案为：且直接利用反证法的步骤，即可得到答案．本题考查反证法的应用，考查命题的否定，是基础题．12.【答案】0【解析】解：由题意可知的两个根分别是，且，所以，解得，，所以故答案为：利用三个二次关系计算即可．本题考查了不等式的解集与对应方程关系的应用问题，是基础题．13.【答案】②④【解析】解：对于①：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故①错误；对于②：当，时，不等式恒成立，则解集是R，故②正确；对于③：当时，不等式，则解集不可能为，故③错误；对于④：假设结论成立，则，解得，此时不等式为，解得，符合题意，故④正确．故答案为：②④．在假设结论成立时求出a，b值进行判断①④，举特例判断②③．本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．14.【答案】【解析】解：关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，，，，解得或，当时，一元二次方程无解，舍去．故故答案为：利用韦达定理得到二次方程两个根之间的关系，再由已知，可得p的值．本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意可知，不等式对任意的恒成立，由三角不等式可得，则，即，解得，因此，实数a的取值范围是故答案为：利用三角不等式得到，再解绝对值不等式即可．本题主要考查绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：类比图像法解不等式，画出和，若对任意都有，则应为增函数，所以两个函数图像应如下图所示：由图像得，解得，其中，，所以，当且仅当时等号成立，故的范围为故答案为：类比图像法，画出和的图像，根据图像列出方程即可．本题主要考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解：由，所以不等式解集为；由，则或，所以或，故不等式解集为【解析】将分式不等式化为求解集即可；由公式法求绝对值不等式的解集．本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．18.【答案】解：当时，，所以，由，知，当时，，解得；当时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为【解析】把代入，可得集合A，再由并集和交集的运算法则，得解；易知，再分和两种情况，列出关于a的不等式组，解之即可．本题考查集合的运算，熟练掌握集合的关系与运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：由题意可得：当时，，当时，，故；①若，，由二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，万元，②若，当且仅当时，即时，万元．所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．【解析】分和两种情况，两种情况，结合题意分析求解；分和两种情况，根据二次函数性质结合双勾函数单调性计算最值，比较得到答案．本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了二次函数的性质、利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．20.【答案】解：因为方程，即，且方程的两根为和，所以，解得或，又因为，所以，化简得，解得或舍去，所以由题意得对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，设，则当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以t的取值范围是当，即时，经检验满足题意；当，即或时，由，得，解得，经检验不合题意；综上知，t的取值范围是或【解析】利用一元二次方程的韦达定理及判别式计算即可；分离参数利用换元法结合基本不等式计算即可；分类讨论方程根的情况结合二次函数根的分布计算即可．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：由已知，则概率“曼哈顿”定义得，，，当时，成立，解得；当时，，解得，当时，，解得，综上所述点P的横坐标x的取值范围为设出动点，，则，，，当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，，，综合得，当，时取等号，的最小值为设，则，若存在实数a，b，使得，则对任意成立，取，得，取，则，，解得，取，，是上是偶函数，当时，若，，若，，当且仅当时，取等号，存在实数a，且，，使得最小值为，点【解析】利用“曼哈顿距离”定义，分类讨论去绝对值解不等式即可；设出动点，，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可；先取特值确定出最小值，再验证有实数a，b即可．本题考查新定义、两点间距离公式、函数的奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
2021-2022学年上海市格致中学高一下学期数学期中考试试卷含详解
上海市格致中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分48分）1.已知向量(3,1)a =-与(,2)b x = 共线，则x =_______．2.已知θ是=_______．3.已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.4.已知(1,2),(2,2)a b =-=- ，则a b - 的单位向量的坐标为_______．5.若函数2sin 4=+y x x 的最小值为1，则实数=a __________.6.若关于x 的方程12cos 2ax ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，则a 的取值范围是_____．7.在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC =__________．8.已知AB AC ⊥，1AB t = ，AC t =,若点P 是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值等于________.9.若1122l log sin si 2n og αβ+=，且()cos cos 1279βα=，求()cos 22αβ+=____________.10.将函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(ω>0)的图像向左平移3ωπ个单位，得到函数y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为________．11.设a b c 、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅= ，则a b ⋅ 的值为_______.12.已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1,2,3)n n n n A A A A n +++⋅== ，112||||21(1,2,3)n n n n A A A A n n +++⋅=-=，则15||A A 的最小值为______．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分，每题4分）13.设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅> ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.函数π3tan 34y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个对称中心是（）A.π,03⎛⎫⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫⎪⎝⎭C.π,04⎛⎫-⎪⎝⎭D.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭15.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A.πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭16.设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若(),AC AB R λλ=∈ (),AD AB R μμ=∈ 且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”,则下面说法正确的是A.M 可能是线段AB 的中点B.,M N 可能同时在线段BA 延长线上C.,M N 可能同时在线段AB 上D.,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上三、解答题（本大题共4题，满分56分）17.已知25cos()5αβ+=，1tan 7β=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求22cos 2sin sin cos ββββ-+的值；（2）求2αβ+的值．18.已知向量()cos ,1m x =-r，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r．（1）求函数()f x 的最小正周期T ，以及()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，1a =，c =(A)f 恰是()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC 的面积．19.如图，梯形ABCD ，2DA = ，π3CDA ∠=，2=DA CB ，E 为AB 中点，(0)DP DC λλ=≠ ．（1）当13λ=时，用向量,DC DA 表示的向量PE ；（2）若||(= DC t t 为大于零的常数），求||PE 的最小值，并指出相应的实数λ的值．20.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x23π-π31x 2x 10π3x ωϕ+0π2π32π2πsin()x ωϕ+0101-0()f x 032y 0（1）请利用上表中的数据，写出1x 、2y 的值，并求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若|()|2g x m -<在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若23()()()13=+⋅-F x g x g x 在(0,2019π)x ∈上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．上海市格致中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分48分）1.已知向量(3,1)a =-与(,2)b x = 共线，则x =_______．【答案】6-【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为向量(3,1)a =-与(,2)b x =共线，所以()3210x ⨯--=，故6x =-．故答案为：6-.2.已知θ=_______．【答案】cos θ【分析】根据同角的平方关系即可化简得到结果.cos θ==，且θ是第四象限角，则cos 0θ>，即cos cos θθ=cos θ=故答案为:cos θ3.已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【答案】3π【分析】先结合212S r α=求出r ，再由l r α=求解即可【详解】由2162S r r α=⇒==，则6183l r ππα==⨯=故答案为：3π【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式的使用，属于基础题4.已知(1,2),(2,2)a b =-=- ，则a b - 的单位向量的坐标为_______．【答案】34,55⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】先由向量的线性运算求得(3,4)a b -=-，再由模的坐标表示求得5a b -= ，从而求得所求.【详解】因为(1,2),(2,2)a b =-=-，所以(3,4)a b -=-，故5a b -== ，则a b - 的单位向量的坐标为34,55a b a b ⎛⎫- ⎪⎝-=⎭-．故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭.5.若函数2sin 4=+y x x 的最小值为1，则实数=a __________.【答案】5【分析】由辅助角公式得2sin x x +的最小值为，由此可求得a 值．【详解】2sin 4)4y x x x ϕ=++=++，其中tan 2ϕ=，且ϕ终边过点．所以min 41y ==，解得5a =．故答案为：5．【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，掌握辅助角公式对解题关键．设()sin cos f x a x b x =+，则())f x x ϕ=+，其中tan b aϕ=，ϕ角终边过点(,)a b ．由此易求得函数的最值，易研究函数的其他性质．6.若关于x 的方程12cos 2ax ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，则a 的取值范围是_____．【答案】(),1-∞-【分析】先由三角函数的值域得到[]2cos 2,2y x =∈-，再由方程12cos 2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解得到212a ⎛⎫ ⎪⎝>⎭或212a⎛⎫⎪⎝<-⎭，解之即可.【详解】因为[]2cos 2,2y x =∈-，所以由方程12cos 2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解可得212a ⎛⎫ ⎪⎝>⎭或212a⎛⎫⎪⎝<-⎭，因为指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且102xy ⎛⎫=> ⎪⎝⎭恒成立，所以由111222a->=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1a <-，由212a⎛⎫⎪⎝<-⎭可知a ∈∅，综上：1a <-，则(),1a ∞∈--.故答案为：(),1-∞-.7.在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．【答案】1【详解】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-=====考点：正余弦定理解三角形8.已知AB AC ⊥，1AB t =，AC t = ,若点P 是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅ 的最大值等于________.【答案】13【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化PB PC ⋅ 为1174t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ,1,0B t⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,C t,4AB AC AP AB AC=+()1,4P ∴,11,4PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--11PB PC t ⎛⎫∴⋅=-- ⎪⎝⎭ ()144174t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭1713≤-=,当且仅当14t t =，即12t =时，取等号PB PC ∴⋅的最大值为13,故答案为：13.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.9.若1122l log sin si 2n og αβ+=，且()cos cos 1279βα=，求()cos 22αβ+=____________.【答案】4972【分析】将等式化简可得1sin sin 4αβ=,2cos cos 3αβ-=,可得()11cos 12αβ+=,进而利用二倍角公式求解即可【详解】由题,()111222log log sin sin l g s 2o in sin ααββ+==,即211sin sin 24αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又()cos cos 1279βα=,则3cos cos 233αβ-=,即2cos cos 3αβ-=,则()2111cos cos cos sin sin 3412αβαβαβ+=-=--=-,所以()()()221149cos 22cos 22cos 1211272αβαβαβ⎛⎫+=+=+-=⨯--=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭故答案为4972【点睛】本题考查对数、指数的计算法则,考查和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查运算能力10.将函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(ω>0)的图像向左平移3ωπ个单位，得到函数y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为________．【答案】2【详解】试题分析：根据“左加右减”原则，向左平移3πω个单位，可知()2sin 2sin 33g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，y ＝g(x)在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，可知周期44T π≥，所以1244ππω⋅≥，即2ω≤，ω的最大值为2．考点：三角函数的性质与图像的平移．11.设a b c、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，则a b ⋅的值为_______.【答案】132-【分析】利用():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=可设a b k ⋅= ，设,a b 的夹角为θ，则,b c 的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，利用得2a c a b ⋅=⋅，建立θ方程关系求解即可.【详解】():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，设a b k ⋅= ，则,2b c k a c k ⋅=⋅= ，a b c、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设,a b 的夹角为θ，则,b c的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，cos22()2cos a c a b θθ⋅==⋅=，22cos 2cos 10θθ--=，解得13cos 2θ=，或13cos 2θ=（舍去）.所以13cos 2a b θ-⋅==.故答案为：132-．【点睛】本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题.12.已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1,2,3)n n n n A A A A n +++⋅== ，112||||21(1,2,3)n n n n A A A A n n +++⋅=-= ，则15||A A的最小值为______．【答案】263【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出15||A A，再用基本不等式求解出最值即可.【详解】由题意设12||A A x = ，则23||1A A x = ，3445||3,||35A A x A A x== ，设1(0,0)A ，如图，因为求15||A A的最小值，则2(,0)A x ，31(,)A x x ，41(2,)A x x -，52(2,)3A x x--，所以215224||9843A A x x =+≥ ，当且仅当22449x x =，即13x =时取等号，所以15||A A 的最小值为263．故答案为：263.【点睛】关键点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到212254||94x A A x=+，再利用基本不等式即可求出最值.二、选择题（本大题共有4小题，满分16分，每题4分）13.设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据共线定理定理和平面向量的数量积的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，存在正数λ，使得λ= m n ，所以m ，n同向，所以||||cos ,0m n m n m n ⋅=⋅⋅> ，即充分性是成立的，反之，当非零向量,a b 夹角为锐角时，满足0m n ⋅>，而λ= m n 不成立，即必要性不成立，所以“存在正数λ，使得λ= m n ”是“0m n ⋅>”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题主要考查了以共线向量和向量的数量积为背景的充分条件、必要条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14.函数π3tan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个对称中心是（）A.π,03⎛⎫⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫⎪⎝⎭C.π,04⎛⎫-⎪⎝⎭D.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【分析】求解出对称中心为ππ,0,Z 612k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对k 赋值则可判断.【详解】令ππ3,Z 42k x k -=∈，解得ππ,Z 612k x k =+∈，所以函数π3tan 34y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的对称中心是ππ,0,Z 612k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令2k =-,得函数π3tan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：C.15.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A.πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】依题意可得，7ππ3π2π,Z 1262k k ωω⨯+=+∈，从而可求得ω，结合平移后的函数图象可确定ω的取值范围，继而可得ω的值，最后得函数的解析式．【详解】解： 函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，为ππsin sin 66y x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴由图象得：7ππ3π2π,Z 1262k k ωω⨯+=+∈①，解得：82,Z 3k k ω=+∈，又有图可知，最小正周期2πT ω=满足12π7π21232π7π412ωω⎧⋅<⎪⎪⎨⎪⋅>⎪⎩，即121877ω<<②结合①②得：2ω=∴平移后的图象所对应的函数的解析式为：πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：C ．16.设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若(),AC AB R λλ=∈ (),AD AB R μμ=∈ 且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”,则下面说法正确的是A.M 可能是线段AB 的中点B.,M N 可能同时在线段BA 延长线上C.,M N 可能同时在线段AB 上D.,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D【详解】试题分析：解：若M 是线段AB 的中点，则12λ=,从而1120λμ=⇒=这是不可能的，所以选项A 不正确.若,M N 同时在线段BA 延长线上，则有1,1λμ<-<-，与112λμ+=矛盾，所以选项B 不正确.若,M N 同时在线段AB 上，则有01,01λμ<<<<，所以112λμ+>与112λμ+=矛盾，所以选项C 不正确.若,M N 同时在线段AB 的延长线上，则有1,1λμ>>，所以1102λμ<+<与112λμ+=矛盾，所以选项D 正确.故选：D考点：数乘向量的概念与性质.三、解答题（本大题共4题，满分56分）17.已知cos()5αβ+=，1tan 7β=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求22cos 2sin sin cos ββββ-+的值；（2）求2αβ+的值．【答案】（1）2725（2）π4【分析】（1）利用22sin cos 1ββ+=将所求式子转化为齐次分式，从而利用sin tan cos βββ=即可得解；（2）先由cos()5αβ+=及π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得5sin()5αβ+=，从而得到1tan()2αβ+=，再利用正切的和差公式求得1tan 3α=，进而得解.【小问1详解】因为1tan 7β=，所以222222cos 2sin sin cos cos 2sin sin cos sin cos ββββββββββ-+-+=+2212tan tan 27tan 125βββ-+==+．【小问2详解】因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0παβ<+<，又因为25cos()5αβ+=，所以π02αβ<+<，sin()5αβ+==，所以1tan()2αβ+=，又1tan 7β=，所以由tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-，解得1tan 3α=，所以11tan()tan 23tan(2)tan[()]111tan()tan 16αβααβαβααβα++++=++===-+-，又π02αβ<+<，π02α<<，故02παβ<+<，所以π24αβ+=．18.已知向量()cos ,1m x =-r ，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r．（1）求函数()f x 的最小正周期T ，以及()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，1a=，c =(A)f 恰是()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC 的面积．【答案】（1）()f x 的最小正周期πT =.()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减.（2）32或34.【分析】（1）先求出()πsin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出最小正周期和单调区间；（2）先求出角A ，再利用正弦定理求出角C ，即可求出B ，进而求出ABC 的面积．【小问1详解】因为向量()cos ,1m x =-r，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r，所以()()f x m n m=+⋅r r r()3cos ,cos ,12x x x ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭23cos cos2x x x =++1cos 2222x x =++πsin 226x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.令π26t x =+，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π7π,66t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.因为sin y t =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减.【小问2详解】由题意及（1）中的单调性，可得：π6A =.在ABC 中，1a =，c =sin sin a c A C =得：13πsin sin 6C =，解得：3sin 2C =.所以π3C =或2π3C =.当π3C =时，π2B =,所以ABC 的面积11sin 11222ABC S ac B ==创;当2π3C =时，π6B =,所以ABC 的面积111sin 12224ABC S ac B ==⨯= .故ABC 的面积为32或34.19.如图，梯形ABCD ，2DA = ，π3CDA ∠=，2= DA CB ，E 为AB 中点，(0)DP DC λλ=≠ ．（1）当13λ=时，用向量,DC DA 表示的向量PE ；（2）若||(= DC t t 为大于零的常数），求||PE 的最小值，并指出相应的实数λ的值．【答案】（1）3146PE DA DC=+ （2）334；1324λ=+t 【分析】（1）结合图形，先证得四边形ABCF 是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解.（2）结合（1）中的结论，得到PE关于λ的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到2PE关于λ的二次表达式，从而可求得||PE 的最小值及相应的λ值.【小问1详解】过C 作//CF AB 交AD 于F ，如图，因为2=DA CB ，所以//DA BC ，2DA BC =，则四边形ABCF 是平行四边形，故22DA BC AF ==，即F 是AD 的中点，所以111111222242===-=-BE BA CF DF DC DA DC ，当13λ=时，23=PC DC ，所以211131324246=++=++-=+PE PC CB BE DC DA DA DC DA DC ．.【小问2详解】因为DP DC λ=，所以(1)λ=- PC DC ，所以111(1)242PE PC CB BE DC DA DC λ=++=-++- 1324DC DA λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为2cos60DC DA t t ⋅=︒= ，22= DC t ，24=DA ，所以22221931132724222416PE t t t λλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以当1324t λ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1324λ=+t 时，2PE 取得最小值2716．所以PE的最小值为4，此时1324λ=+t ．20.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：（1）请利用上表中的数据，写出1x 、2y 的值，并求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若|()|2g x m -<在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若23()()()13=+⋅-F x g x g x 在(0,2019π)x∈上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．【答案】（1）14π3x =，2y =()f x 的解析式为1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）62,22⎫-+⎪⎪⎭；（3）2a =,()F x 在(0,2019π)共有3029个不同的零点.【分析】（1）利用“五点法”列方程求出1x 、2y 的值，进而求出解析式；（2）先利用图像变换求出()g x x =，列不等式组即可求出实数m 的取值范围；（3）令sin t x =,考虑方程2310t at +-=的根的情况，[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-，分类讨论：①1211t t -<<<，②[]12(1,1),1,1t t ∈-∉-和[]21(1,1),1,1t t ∈-∉-，③21t =，④11t =-,分别求解.【小问1详解】由“五点法”及表格数据分析可得：A =所以2y =由2π03ππ32ωϕωϕ⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，解得：12π3ωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由11ππ23x +=，解得：14π3x =.综上所述：14π3x =，2y =()f x 的解析式为1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）知1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，得到ππ)2332x x y =-+=，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x的图象，所以()g x x =.当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2t g x x ==∈⎣.因为|()|2g x m -<在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以||2t m -<在62t ∈⎣上恒成立，所以||2m t -<在62t ∈⎣上恒成立，所以22t m t -<<+在62t ∈⎣上恒成立，6222m -<<+.即实数m的取值范围为2,22⎫+⎪⎪⎭.【小问3详解】由（2）可知：2()3sin sin 1F x x a x =+-，()F x 周期为2πT =.当(]0,2πx ∈时,令sin t x =,考虑方程2310t at +-=的根的情况：因为2120a ∆=+>，所以方程2310t at +-=在R 上必有两个不同的实数根1212,,t t t t t t ==<.因为()F x 在(0,2019π)有奇数个零点,所以[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-.①若1211t t -<<<，则方程12sin ,sin t x t x ==在(]0,2π共有4个不同的实数根,在(0,π)有0个或2个实数根.所以()0F x =在(0,2019π)有20191440362-⨯=个根或201914240382-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去；②若[]12(1,1),1,1t t ∈-∉-，则1sin t x =在在(]0,2π共有2个不同的实数根,在(0,π)有0个或2个实数根.所以()0F x =在(0,2019π)有20191220182-⨯=个根或201912220202-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去.同理：[]21(1,1),1,1t t ∈-∉-也不符合题意，舍去.所以11t =-或21t =③若21t =,则2a =-,方程2310t at +-=的根121,13t t =-=.方程1sin ,1sin 3x x -==在(]0,2π共有3个不同的实数根,而在(0,π)上1sin 3x -=无解，1sin x =有一个不同的根,,所以()0F x =在(0,2019π)在201913130282-⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去.④若11t =-,则2a =,此时2310t at +-=的根为211,13t t ==-.方程1sin ,1sin 3x x =-=在(]0,2π共有3个不同的实数根,而在(0,π)上1sin 3x =有两个不同的根,1sin x -=无解,所以()0F x =在(0,2019π)在201913230292-⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭个根，符合题意.综上所述：2a =,()F x 在(0,2019π)共有3029个不同的零点.。
上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题
上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．M有最小值，N有最大值B．M有最大值，N有最小值C．M有最大值，N有最大值D．M有最小值，N有最小值．π2【分析】根据正弦型函数的周期【详解】因为()sinf x læ=çèπæö（3）1122111222a x a x xb x b x x l l +=ìí+=î，可得()()111222,,0x a b x a b l l -+-=．因为12,x x 都不为0，从而向量()11,a b l -与()22,a b l -平行，所以存在实数l 满足()()1221a b a b l l --=，即()21212210a b a b a b l l -++-=．要使l 存在且唯一，则1212a a b b ､､､应满足：()21221Δ40a b a b =-+=．当()f x l l =r r 时，f 有唯一的特征值，且||f l =‖‖．具体证明为：由f 的定义可知：()()1212,,f x x x x l =，所以l 为特征值．此时2112,0,0,b a a b l l ====满足：()2122140a b a b -+=，所以有唯一的特征值．在22121x x +=的条件下()()22212x x l l l +=，从而有||f l =‖‖．【点睛】关键点点睛：新定义题型，考查数乘向量的坐标运算，相等向量的坐标的关系，考查运算求解能力与转化能力，学生的阅读理解能力是解本题的关键.。
上海市浦东新区部分学校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市浦东新区部分学校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．用∈或∉填空：0φ.2．已知集合A ={1,2,3,4,5}，集合{0,2,4,6,8}B =，则A B =.3．用列举法表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为.4．把不等式|1|2x -<的解集用区间表示：.5．关于x 的不等式(3)m x x m +<+解集为空集，则实数m 的值为.6．当36a <<=.7．已知集合(1,)A =+∞，集合(,)B a =-∞，且A B B = ，则实数a 的取值范围是.8．已知等式2235(21)(1)x x a x x c ++=+++恒成立，则实数c =.9．已知12x >，则121x x +-的最小值为10．关于x 的方程222(1)40x m x m +-+=有两个互为倒数的实数根，则实数m 的值为.11．已知关于x 的不等式22101kx kx x -+≤+的解集为空集，则实数k 的取值范围是12．若规定由整数组成的集合0,1,2,,}{E n = ，10n ≥，N ∈n 的子集123}{,,,,m a a a a 为E 的第k 个子集，其中3122222m a a a a k =++++ ，则E 的第2024个子集是.二、单选题13．“1x >”是“2x >”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要14．命题“对任意的实数x ，都有210x x ++>”的否定形式是（）.A ．存在实数x ，使得210x x ++≤B ．对任意的实数x ，都有210x x ++≤C ．存在实数x ，使得210x x ++>D ．存在无数个实数x ，使得210x x ++>15．若a b c R ∈、、，则下列四个命题中，正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若,a b c d >>，则a c b d ->-C ．若a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b >16．已知||||x y ≠，||||||x y a x y -=-，||||||x y b x y +=+，则,a b 之间的大小关系是（）.A ．a b>B ．a b <C ．a b =D ．a b≤三、解答题17．化简：113232211166(8)63a b a b a b⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭.18．（1）对于实数x ，比较221x +与2x x +的大小；（2）对于实数x ，比较|2152|||x x --+与4的大小.19．若不等式ax 2＋bx －1>0的解集是{x |1<x <2}.（1）求a ，b 的值；（2）求不等式11ax bx +-≥0的解集.20．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40km/h 的小道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离S （m ）与车速x （km/h ）之间分别有如下关系：20.010.1S x x =+甲，20.0050.05S x x =+乙.问：甲、乙两车有无超速现象？21．设集合{}2320A x x x =-+=，(){}222150B x x a x a =+++-=.(1)若{}2A B = ，求实数a 的值；(2)若集合B 中有两个元素1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并用含a 的代数式表示12x x -；(3)若全集U =R ，A B =∅ ，求实数a 的取值范围.。
上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．函数y =的定义域为集合A ，集合{0,2,4}B =，则A B = .2．已知指数函数的图象经过点(2,4)，则该指数函数的解析式为.3．已知0a >，化简15771a a ⎛⎫⋅=⎪⎝⎭.4．若00x y xy +>⎧⎨>⎩，则00x y >⎧⎨>⎩，这是一个命题.（填“真”或“假”）5．已知{}290,3,a a ∈，则实数a =.6．幂函数()2()33mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m ＝.7．若关于x 的不等式(1)(5)x x m --≤对任意x ∈R 恒成立，则m 的最小值为.8．不等式23323122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭与不等式20x ax b ++<解集相同，则a b +=.9．已知实数a ，b 满足lg(23)lg lg a b a b +=+，则a b +的最小值为.10．(1,),R x y ∈+∞∈，若1|||1|41x y y x +++-≤-，则x y +的取值范围为.11．若集合{}2|2,,A x x ax b a b R =++=∈中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a b +=.12．设函数31,1()3,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，集合{}2()4()0,M x f x f x k k =++=∈R ，则下列命题正确的有.①当3k =时，集合{4,6}M =；②当4k ≥时，M =∅；③当{,,}M a b c =，则k 的取值范围是(13,5)--；④若{,,,}M a b c d =（其中a b c d <<<），则3312a b c d +++=.二、单选题13．如图是幂函数a y x =的部分图像，已知a 分别取114444--、、、这四个值，则与曲线1234C C C C 、、、相应的a 依次为（）A ．114444--、、、B ．114444--、、、C ．114444--、、、D ．114444--、、、14．已知集合{12},{1}A xx B x x a =<<=<<∣∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．(]1,2C ．(],2-∞D ．[)2,+∞15．已知R k ∈，则“对任意,a b R ∈，22a b kab +≥”是“2k ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知a 、b 、c 是三角形的三边，对于代数式+++++a b c b c a c a b，有下列说法：①有最小值32，②有最大值3，则（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题三、解答题17．已知函数()x f x a =（其中0a >，且1a ≠）.(1)若()()3f b f b +-=，求(2)(2)f b f b +-的值.(2)求关于x 的方程(2)2()10f x f x -+=的解.18．（1）已知26241x y z t ===>，求证：112z y x-=.（2）证明：2024log 2025是无理数.19．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施．某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：60,030245070,30105140x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．(1)若车流速度v 不小于20千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．20．已知函数()|2|f x x a a =-+.(1)若不等式()6f x <的解集为(0,8)，求a 的值；(2)当3a =时，若存在0x ∈R ，使得()()00f x t f x ≤--，求t 的取值范围；(3)若()f x ax ≥对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．21．若函数()y f x =对任意的R x ∈均有(1)(1)2()f x f x f x -++>，则称函数具有性质P .(1)判断函数(1)x y a a =>是否具有性质P ，并说明理由；(2)全集为R ，函数2(1),(),x x x g x x x -⎧=⎨⎩为有理数为无理数，试证明()y g x =具有性质P ；(3)()y f x =具有性质P ，且(0)()0(2,N)f f n n n ==>∈，求证：对任意11,N k n k ≤≤-∈均有()0f k ≤.。
上海市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题（第1-6题每題4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．若，，则______．2．不等式的解集是______．3．已知，则______．4．不等式“”是“”______的条件．5．已知集合，集合，若集合M 满足，则这样的集合M 共有______个．6．已知，那么等于______．7．已知，，则用m ，n 表示______．8．若关于x 的不等式恰有两个整数解，则a 的取值范围是______．9．命题“任意，为真命题，则实数a 的取值范围是______．10．碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生．碳14原子经过衰变转变为氨原子．由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life ）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为______万年．（四舍五入到0.1万年）11．已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合______．12．已知实数a ，b 满足，且，则的最小值为______．二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．14．关于x 的不等式的解集是，那么（）A ．1B ．C ．12D ．{}|31A x x =-≥{}|15B x x =<<A B = 304x x -≤+12510a b ==11a b +=23x x ≤|2|1x -<{}2,3,5,8A ={}2,3,5,8,13,21B =A M B ⊂⊆()223350x x x -+=>1133x x -+9log 5m =3log 7n =35log 9=()22120x a x a -++<x ∈R ()()222240a x a x -+--<β14235{,,,,}A a a a a a =4222221235{,,,},B a a a a a =51234a a a a a <<<<i a ∈Z 1,2,3,4,5i ={}14,B a a A = 1410a a +=22a >A B A =11a b -<<<2a b +=1311a ab ++-4|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤P Q = {}1,2,4{}0,1,3{}|03x x ≤≤{}|14x x -≤≤2x ax b ≤-{}4log a b =344315．若，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．16．定义集合运算；将称为集合A 与集合B 的对称差，命题甲：：命题乙：则下列说法正确的是（ ）A ．甲乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ，甲乙都不是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知集合，，若，，则实数a 、b 、c 的值为．18．设关于x 的方程的两个实根分别是，．（1）求实数p 的取值范围；（2）求的取值范围．19．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒x 年（x 为正整数）所用的各种费用总计为万元（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：（1）老师请你模仿例题，研究，上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立）；（2）研究，上的最小值；（3）当时，求，的最小值．21．已知有限集，如果A 中的元素满足，就称A 为“完美集”．x a m -<y a n -<2x y m -<2x y n -<x y n m-<-x y n m -<+{}|A B x x A x B -=∈∉且()()A B A B B A ∆=-- ()()()A B C A B A C ∆=∆ △()()()A B C A B A C ∆=∆ {}2|0A x x ax b =++={}2|150B x x cx =++={}3,5A B = {}3A B = 22lg lg 30x x p -+=αβlog log βαβα+2210x x +44x x -()0,x ∈+∞a b c d +++≥a b c d ===3139x x -()0,x ∈+∞0a >3x ax -()0,x ∈+∞{}()12,,2,,n A a a a n n ⋅⋅⋅=≥∈N ()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由：（2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2；（3）若为正整数，求：“完美集”A ．2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题1．【答案】【解析】由题意知，，所以．2．【答案】【解析】，解得或，所以不等式的解集为．3．【答案】【解析】若，可得，，．4．【答案】必要不充分【解析】，，由于是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．5．【答案】3【解析】因为集合，所以集合M 中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素，所以或或，所以满足条件的M 个数为3．6．【解析】由，因，故，即得，．7．【答案】【解析】由，，可得，，又由{11---+1a 2a {}12,a a 1a 2a i a ()1,4(),4A =-∞()1,4A B = ()[),43,-∞-+∞ ()()34030440x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇔⎨++≠⎪⎩4x <-3x ≥()[),43,-∞-+∞ 1-12510b a ==2log 10a =-5log 10b =-()521111lg 5lg 2lg101log 10log 10a b ⎛⎫+=-+=-+=-=- ⎪⎝⎭{}{}23|0|3x x x x x ≤=≤≤{}{}3|21|1x x x x -<=<<{}|13x x <<{}3|0x x ≤≤23x x ≤21x -<A M B ⊂⊆{}2,3,5,8,13M ={}2,3,5,8,21{}2,3,5,8,13,212112233332527x x x x --⎛⎪+=++⎫⎝⎭+ ==0x >11330x x -+>1133x x -+=22m n+9log 5m =3log 7n =31log 52m =3log 7n =8．【答案】【解析】令，解得或．当，即时，不等式，解得，则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；当，即时，不等式无解，所以不符合题意；当，即时，不等式解得，则不等式中的两个整数解为0和，有，解得．综上，a 的取值范围是9．【答案】【解析】因为“任意，”为真命题，所以不等式在上恒成立，当时，，显然成立，当时，有，解得，综上所述，实数a 的取值范围是．10．【答案】3.8【解析】设第n 个半衰期结束时，碳14含为，由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为，第二个半衰期结束时，碳14含量为；以此类推，为以首项，公比为的等比数列，所以第n 个半衰期结束时，碳14含量为，335333log 922log 9log 35log 5log 72m n===++3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或()22120x a x a -++=1x =2x a =21a >12a >()22120x a x a -++<12x a <<324a <≤322a <≤21a =12a =()22120x a x a -++<12a =21a <12a <()22120x a x a -++<21a x <<1-221a -≤<-112a -≤<-3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或(]2,2-x ∈R ()()222240a x a x -+--<()()222240a x a x -+--<R 2a =40-<2a ≠()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩22a -<<(]2,2-n a 112a =214a ={}n a 112a =12q =12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭令，解得所以这块化石距今约为年，即约为3.8万年：11．【答案】【解析】由，且，得到只可能，即或0，当时，，而，故舍去，则，又，∴，且，∴或，①若时，，不合题意；②若时，此时，，因，从而，又，则，当时，无整数解，当时，，所以，综上，12．【解析】因为，所以，，因为，所以，由，所以所以，11%2n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭2212lg102log 10 6.6410.301lg 2n ---===≈-5730 6.6438047.2⨯={}1,3,5,9,11{}14,A B a a = 12345a a aa a <<<<211a a =1a =11a =0410a ={}14,A B a a = =Z 1a =11410a a +=49a =()24923i a a i ==≤≤23a =33a =33a =22a =23a ={}531,3,,9,A a a ={}22531,9,,81,B a a =22353513981256a a a a +++++++=2255331620a a a a +++-=234a a a <<339a <<3a =4,6,7,85a 35a =511a ={}1,3,5,9,11A ={}1,3,5,9,11A =1-11a b -<<<10a +>10b ->2a b +=()()112a b ++-=2a b +=()32131133111111b a a b a b a b -+=+=+-+-+-+-()()13113311311211a b a b a b ⎡⎤⎢-+-=+++--⎡⎤⎣⎦+-+⎥⎣⎦()31111133432312112a b a b ⎛+- =+++-≥⎝⎛⎫ ⎪⎝+-=+-=- +⎭-当且仅当，即，二、单选题13．【答案】B 【解析】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4，所以，因为，所以，故选：B ．14．【答案】D【解析】即，因为解集为，则根据韦达定理知，即，则故选：D ．15．【答案】D 【解析】运用绝对值三角不等式，由于，，运用不等式性质得到故，故选：D ．16．【答案】B【解析】对于甲，，故命题甲正确；对于乙，如图所示：所以，，故命题乙不正确三、解答题17．【答案】，，()31111a b a b +-=+-2a =-+4b =-41y x =+y ∈N 1x +{}4|,0,1,31P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤{}0,1,3P Q = 2x ax b ≤-20x ax b -+≤{}42424a b =⨯⎧⎨=⎩816a b =⎧⎨=⎩32844log log 16log 23a b ===x y x a a y x a a y -=--≤-++-x a m -<y a n -<x a a y m n-+-<+x y m n -<+()()()()A B C A B B C B C A B C A B C ∆=-=- ()()()()()()A B A C A B A C A B A C =-=∆ ()()()A B C A B A C ∆≠∆ ()A B C ∆ ()()A B A C ∆ 6a =-9b =8c =-【解析】因为，所以，所以，得，所以，所以，即有且只有一个实根，所以，，解得，，综上可得，，，．18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，即，设，则关于t 的方程：的两根为和，所以，解得．（2）由韦达定理，得，所以因为且，所以或，所以或，所以的取值范围为19．【答案】（1）第3年：（2）第7年平均利润最大，为12万元【解析】（1）设利润为y ，则，由整理得，，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利．（2）首先，由（1）得平均利润万元，{}3AB = 3B ∈93150c ++=8c =-{}{}28150|3,5B x x x =-+=={}3A =20x ax b ++=3x =33a +=-33b ⨯=6a =-9b =6a =-9b =8c =-1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()[),22,-∞-+∞ 22lg lg 30x x p -+=2lg 2lg 30x x p -+=lg t x =2230t t p -+=lg αlg β()22120p ∆=-≥-13p ≤lg lg 2lg lg 3pαβαβ+=⎧⎨=⎩22lg lg lg lg log log lg lg lg lg αββαβαβααβαβ++=+=2(lg lg )2lg lg 4642lg lg 33p p pβααβαβ+--===-31p ≤30p ≠443p ≥403p<4223p -≥4223p-<-log log αββα+()[),22,-∞-+∞ ()()22*509821024098y x x x x x x =-++=-+-∈N 2240980x x -+->220490x x -+<1010x -<<x *∈N {}|317x x x *∈∈≤≤N {}|317x x x *∈∈≤≤N 4924024012y x x x ⎛⎫=-++≤-⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当，万元时等号成立，综上，第7年，平均利润最大，为12万元20．【答案】（1）：（2）；（3）【解析】（1）因为，利用，于是，，当且仅当时，取得最小值．（2）因为，利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值．（3）因为利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值21．【解析】（1）由，，则集合是“完美集”．（2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”，设，根据根和系数的关系知，和相当于的两根，由，解得或（舍去），所以，又，均为正数所以、至少有一个大于2．（3）不妨设A中，49x x=7x =3-6-0x >a b c d +++≥41114x x ++≥+444111434433x x x x x x -=+++--≥--=-1x =3-0x >a b c ++≥313339x x ++≥331133363363699x x x x x x -=++--≥--=-3x =6-0x >a b c ++≥3x ax +≥33x ax x ax -=-≥x =((112-+-+=-(112--=-{11--+1a 2a {}12,a a 12120a a a a t +=⋅=>1a 2a 20x tx t -+=240t t ∆=->4t >0t <124a a ⋅>1a 2a 1a 2a 312n a a a a <<<⋅⋅⋅<由，得，当时，即有，又为正整数，所以，于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；当时，，故只能，，求得，于是“完美集”A 只有一个，为．当时，由，即有，而，又，因此，故矛盾，所以当时不存在完美集A ，综上知，“完美集”A 为1212n n n a a a a a n a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅<⋅+121n n a a a -⋅⋅<⋅2n =12a <i a 11a =2211a a +=⨯2a 3n =123a a <11a =2a =23a =3{}1,2,34n ≥()1211231n a a a n n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n ≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()()()221242220n n n n n n ---=-+-=--+<()()()121231n n n n --≤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n <⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-4n ≥{}1,2,3。