第八章-弯曲剪应力与强度校核
材料力学第八章组合变形
A截面
C3
C1
C4
C3
C1
C2
C4
T
C1
C2
三、强度分析
1.主应力计算
1 2 2 1 2 ( ) 4 2 3 2 2 2 2
C1
2 0
2.相当应力计算 第三强度理论,计算相当力
r 3 1 3 4
拉
z0 z
y
z1
F F
350 n n 150
50
50 150
F
n
n
FN My
由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为
tmax
max c
M y z0 425 7.5F MPa ( ) Iy 5310 M y z1 425 12.5 F MPa ( ) Iy 5310
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形 示例1 F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 示例2 F2 F1 F2
Fy 产生弯曲变形
Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
三、内力分析
横截面上内力 FS Mz
O
z x
FN
1.拉(压) :轴力 FN
2.弯曲
剪力F
弯矩 Mz
s
y
因为引起的切应力较小,故一般不考虑.
2 z 2 y
My Qy T
Mz Qz
T H1 r 510 Nm
l
强度校核
按第四强度理论
r4
1 W
M 0.75T 111 MPa [ ]
2 2
弯曲梁的剪应力计算及强度计算
近似均匀分布
例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用 截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面, 试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为 140mm,宽为100mm,面积为14000mm2。
解： 1.最大弯曲剪应力。
最大弯曲剪应力发生 在中性轴上。中性轴 一侧的部分截面对中 性轴的静矩为：
Sz ycA
S z,m a (2 xm 0 1 m m 2 4 0 m m 5 )2 m 2m 0 9 m .0 2 14 m 5 03 m 2
最大弯曲剪应力：
(2).腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力
1、 弯曲正应力强度条件
弯曲正应力强度条件为：
maxW Mz max
要求梁内的最大弯曲正应力σmax不超过材料在 单向受力时的许用应力[σ]
利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算： 正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。
2、 弯曲剪应力强度条件
最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态， 相应的强度条件为：
梁的弯矩如图示，在横截面D与B上，分别 作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二 截面均为危险截面。
截面D与B的弯曲正应力分布分别如图示。 截面D的a点与截面B的d点处均受压；而截面 D的b点与截面B的c点处均受拉。
由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,| 因此 |σa|>|σd|
即梁内的最在弯曲压应力σc,max发生在截面D 的a点处。至于最大弯曲拉应力σt,max, 究竟发生 在b点处，还是c点处，则须经计算后才能确定。
6-4.2梁的剪应 力及强度计算
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
弯曲应力及强度计算
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
材料力学-第八章叠加法求变形(3-4-5)
C
刚化
P
EI=
C
θc1
fc1
pa3 3EI
fc1
c1
pa2 2EI
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
P
A
θ B B2
C
fc2 刚化
EI=
B2
PaL 3EI
fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B2
θB2
P Pa
c
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 2EI
PaL 3EI
fc fc1 fc2
fc
pa3 3EI
MPa，[]=100
MPa，E=210
GPa，
w l
1 400
。
例题 5-7
解:一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横 截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸， 再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件 进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条 件不满足，应适当增加横截面尺寸。
[例8-3]如图用叠加法求 wC、A、B
解：1.求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加
=
wC
5qL4 384EI
A
qL3 24EI
B
qL3 24EI
+
PL3 48EI
PL2
16EI PL2
16EI
+
ML2 16EI
ML 3EI
ML 6EI
例题 5-4
试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的
16EI
1 qa4 24 EI
()
例题 5-5
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB
段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，
清华出版社工程力学答案-第8章弯曲强度问题
eBook工程力学习题详细解答教师用书(第8章)2011-10-1范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室FAN Qin-Shan ,s Education & Teaching Studio习题8－1 习题8－2 习题8－3 习题8－4 习题8－5 习题8－6 习题8－7 习题8－8 习题8－9 习题8－10 习题8－9 习题8－10习题8－11 习题8－12 习题8－13 习题8－14 习题8－15 习题8－16 习题8－17 习题8－18 习题8－19 习题8－20习题8－21工程力学习题详细解答之八第8章 弯曲强度问题8－1 直径为d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为M 的力偶作用，如图所示。
若已知变形后中性层的曲率半径为ρ；材料的弹性模量为E 。
根据d 、ρ、E 可以求得梁所承受的力偶矩M 。
现在有4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) ρ64π4d E M ＝(B) 4π64d E M ρ＝(C) ρ32π3d E M ＝(D) 3π32dE M ρ＝正确答案是 A 。
8－2 矩形截面梁在截面B 处铅垂对称轴和水平对称轴方向上分别作用有F P1和F P2，且F P1=F P2，如图所示。
关于最大拉应力和最大压应力发生在危险截面A 的哪些点上，有4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) +max σ发生在a 点，−max σ发生在b 点M习题8－1图A Ba b cd P2z固定端习题8－2图(B) +max σ发生在c 点，−max σ发生在d 点 (C) +max σ发生在b 点，−max σ发生在a 点 (D) +max σ发生在d 点，−max σ发生在b 点正确答案是 D 。
8－3 关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) 细长梁、弹性范围内加载；(B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
《建筑力学》第8章计算题
计 算 题( 第八章 )8.1 一矩形截面梁，梁上作用均布荷载，已知：l=4m ，b=14cm ，h=21cm ，q=2kN/m ，弯曲时木材的容许应力[]kPa 4101.1⨯=σ，试校核梁的强度。
8.2 简支梁承受均布荷载如图所示。
若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且D1=40mm,5322=D d ,试分别计算它们的最大正应力。
并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？8.3 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F1与F2作用，且F1=2F2=5kN。
试计算梁内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K点处的弯曲正应力。
8.4 图示梁，由No-22槽钢制成，弯矩M=80N·m，并位于纵向对称面(即x-y平面)内。
试求梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
提示：有关槽钢的几何性质可从附录中查得。
8.5 图示变截面梁，自由端承受荷载F作用，梁的尺寸l，b与h均为已知。
试计算梁内的最大弯曲正应力。
8.6 图示截面梁，横截面上剪力FQ=300kN，试计算：（a）图中截面上的最大剪应力和A点的剪应力；（b）图中腹板上的最大剪应力，以及腹板与翼缘交界处的剪应力。
8.7 图示矩形截面木梁，许用应力[σ]=10Mpa。
（1）试根据强度要求确定截面尺寸b。
（2）若在截面A处钻一直径为d=60mm的圆孔(不考虑应力集中)，试问是否安全。
8.8 一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的截面如图所示。
已知：mkNqml/8,5.1==，求梁截面中的的最大拉应力和最大压应力。
8.9 欲从直径为d的圆木中截取一矩形截面梁，试从强度角度求出矩形截面最合理的高h和宽b。
8.10 图示外伸梁，承受荷载F作用。
已知荷载F=20kN，许用应力[σ]=160Mpa，许用剪应力[τ]=90Mpa。
请选择工字钢型号。
8.11一铸铁梁，其截面如图所示，已知许用压应力为许用拉应力的4倍，即[σc]=4[σt]。
第八章组合变形时的强度计算
Iy
IY
由 mz 产生的正应力
s"' MZ .y Fyp y
IZ
IZ
假设C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知, s ',s '',s ''' 均为拉应
力，由叠加原理，即得 C点处的正应力为：
σ σ' σ'' σ'''
任意横截面 n-n上的 C点的正应力为
c
σ F F zP z F yP y
与y轴的夹角θ为：
tgθ z0 Mz Iy Iy tgφ y0 My Iz Iz
公式中角度 是横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角 . 横截面上合成弯矩 M 为：
M
M
2 y
M
2 z
tgθ Iy tgφ Iz
讨论：
（1） 一般情况下，截面的 IzIy ,故中性轴与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。导致挠曲线与外 力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变பைடு நூலகம்特征。
s s ' s '' My z - Mz y
Iy
Iz
式中，Iy和Iz分别为横截面对于两对称轴y和z的惯性矩； M y和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且 其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向相一致。在具体计算中，
也可以先不考虑弯矩M y、Mz和坐标y、z的正负号，以它们的 绝对值代入，然后根据梁在P1和P2分别作用下的变形情况， 来判断上式右边两项的正负号。
FN A
Mz Wz
158 MPa
s
所以强度是安全
【例8-4】矩形截面柱如图所示。P1的作用线与杆轴线重合， P2作用在 y 轴上。已知， P1= P2=80kN，b=24cm , h=30cm。 如要使柱的m—m截面只出现压应力，求P2的偏心距e。
横力弯曲时的正应力计算公式
F
a/2
A
C
l/2 l/2
D
B
解： 分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是两梁最大弯曲 应力同时达到最大。
主梁AB的最大弯矩
M maxAB
F (l a) 4
副梁CD的最大弯矩
M maxCD
Fa 4
由 即
M max AB M max CD
F Fa (l a) 4 4
得
4.纯弯曲的特点： 靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的一侧，纤维伸长； 由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出一侧的缩短或伸长 是连续变化的，故中间一定有一层，其纤维的长度不变，这 层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； 弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
中性层
中性轴
o
对称轴
z
目录
§6-3 非对称梁的纯弯曲
前面讨论的是梁上的弯曲力偶作用于纵向对称面内的情况； 下面讨论，当梁没有这样的纵向对称面时，或着虽然有纵向对称 面，但弯曲力偶并不作用于这一平面时的情况。
图6—7
如图（a）所示： Y、Z轴——横截面的形心主惯性轴
X轴——梁的轴线
My、Mz——对y轴、z轴的力偶矩
一.公式推导：
y
（6—1）
即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比
（二） 物理关系 假设纵向纤维之间不存在相互挤压，那么当应力小于比 例极限时，可用单向拉伸时的虎克定律：
E E
y
物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正 比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线 曲率中心O 规律变化。
中性轴必然通过截面形心。 E 1 M EI z sin 0 0 （由于y 和z是形心主惯性轴，故Iyz=0）
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P
l
l
2
2
§8-6 非对称截面梁平面弯曲的条件 开口薄壁截面梁的弯曲中心
一、非对称截面梁平面弯曲的条件
前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一 个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂 直于轴线。
对于非对称截面梁。横截面上有一对形心 主惯性轴y、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组 成两个形心主惯性平面xOy、xOz
段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心。
•
试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位
置。若剪力Ｑ的方向垂直向下，试画出剪应力
流的方向。
CL8TU27，28
作业（P131-134）
• 2、3、4、5、13、14、20、21
B
maxmin Q 1(0 .95~0 .97)Q
Q bh
CL8TU17
在翼缘上，有平行于Q的剪应力分量，分 布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义， 可忽略不计。
在翼缘上，还有垂直于Q方向的剪应力分 量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是 次要的。
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘 负担了截面上的大部分弯矩。
N II
Q
S
* Z
IZ b
式中
bh3 IZ 12 ,
SZ*
b h2
2 4
y2
6Q h2
bh3
4
y2
h
max
3 Q3Q 2bh 2 A
b
z
max
二、工字形截面梁的剪应力
在腹板上：
Q
S
* Z
IZ b
翼缘
b
maxIZ QbBH 82(Bb)h82腹板
y
hH
min IZQbBH 82 Bh82
对于标准工字钢梁：
max
Q SZ* max IZ b
Q
b
IZ SZ* max
三、圆截面梁的剪应力
y
Q
S
* Z
IZ b
Q
下面求最大剪应力：
z
max
4Q 3A
y
CL8TU18
弯曲剪应力强度条件
max
Qmax
S* Z max
IZ b
[]
例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的 许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试 求最小直径dmin。
CL8TU21
P
y1 y2
y1 [ t ] y 2 [ c ]
Cz
CL8TU9
二、合理安排梁的受力情况
q
q
l
ql2 M
8
x
x
l
x0.207l M 0.0214ql2
CL8TU22
P
l
l
2
2
M Pl / 4
a Pa
22
l
l
2
2
M
a l 2
Pl / 8
CL8TU23
三、采用变截面梁 • 梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的
§8-4 弯曲剪应力和强度校核
一、矩形截面梁的剪应力
q(x)
P
h
x dx
b
q(x)
M(x)
M (x)dM (x)
z
My
Iz
CyL8TU16
假 设 ： 1 )的 方 向 都 与 Q 平 行 ;
2 )沿 宽 度 均 布 。
y
NI
N II
NI
dA
A*
A*
My Iz
dA
M y dA I z A*
M Iz
S
* z
N I I A *d A A * ( M I d z M ) y d A M I z d M A * y d A M I z d M S z *
NI
N II
N IIN Ibdx
M IzdMSz*M IzSz*bdx
S
* z
dM
Q
S
* z
Izb dx I zb
NI
பைடு நூலகம்
形心主惯性平面
y、z轴为形心主惯性轴
CL8TU24
• 对于非对称截面梁，由实验和弹性理论分析 可以得到它发生平面弯曲的条件是:
• (1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的 任一平面内时,梁产生平面弯曲。
• (2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面 的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面 弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实 体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带 来的影响可以忽略不计。
二、开口薄壁截面的弯曲中心
• 对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形 心主惯性平面内(非对称平面)，则梁除发生 弯曲变形外，还将发生扭转变形。
• 只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平 面并通过某个特定点时，梁才只发生平面弯 曲，而无扭转变形。这个特定点称为横截面 的弯曲中心，用A表示。
A
CL8TU25
q20kN/m
A
Bd
4m
CL8TU19
解：
Q m ax40kN,
Mmax
ql2 8
40kNm
由正应力强度条件：
max
Mmax Wz
[]
即
40103
d3
160106
得d137mm
32
由剪应力强度条件：
max A
43qQm Aax20[kN ] /即 m434B0d1203
100106
d
得d26.1mm
4
4m
所 以 dm in137m m
§8-5 提高梁强度的主要措施
控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即
以
max
Mmax WZ
[]
作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可 能地小，使WZ尽可能地大。
一、梁的合理截面 • 合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面
模量较大。
P h
zb b
z
h
CL8TU20
• 以槽钢为例说明截面弯曲中心的确定方法。
CL8TU26
剪应力合力的作用点就是截面弯曲中心的位置
• 薄壁截面的弯曲中心位置，符合下列规则: • (1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯
曲中心与形心重合。 • (2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定
在这个对称轴上。 • (3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线