高二数学 双曲线讲义

高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）

学生姓名： 授课教师： 授课时间： 11.23

一、知识点讲解

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线：

①求双曲线12

2

22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b

±=。

②与双曲线122

22=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b

y a x ；

（4）等轴双曲线为2

22t y x =-，其离心率为2

（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12

222

>>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=

（2）设双曲线)0,0(1222

2

>>=-b a b

y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ

二、例题讲解。

例1、如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，

以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

（A ）3 （B ）5 （C ）

2

5

（D ）31+

例2、设P 为双曲线2

2

112

y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）

A ．63

B ．12 C.123 D ．24

X

Y

O

F 1

F 2

P 2r

例3、已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e=

3

21

的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程

(2)动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直线l,使G 平分线段MN ，证明你的结论

同步练习

1. 如果双曲线2

42

2y x -

＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)

3

64 (B)

3

6

2 (C)62 (D)32

2. 已知双曲线C ∶22

221(x y a a b

-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是

（A ）a

(B)b

(C)ab

(D)22b a +

3. 以双曲线

221916

x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A 2

2

1090x y x +-+= B ．2

2

10160x y x +-+= C ．2

2

10160x y x +++= D ．2

2

1090x y x +++= 4. 以双曲线2

2

2x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ）

Ａ．2

2

430x y x +--= Ｂ．2

2

430x y x +-+= Ｃ．2

2

450x y x ++-=Ｄ．2

2

450x y x +++=

5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32

a

的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则

双曲线离心率的取值范围是( )

A.(1,2)

B.(2,+∞)

C.(1,5)

D. (5,+∞)

6. 若双曲线122

22=-b

y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（ ）

（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5

7. 已知双曲线

)0(1222

2>=-b b

y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（ ）

A. -12

B. -2

C. 0

D. 4 填空题

8. 过双曲线

22

1916

x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为_______

9. 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P

使

1221sin sin PF F a

PF F c

=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

10. 过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,M N 两点，以

MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为______

11. 已知点P 在双曲线

22

1169

x y -=上，并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰是P 到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P 点的横坐标是_________

12. 已知12,F F 是双曲线

22

1169

x y -=的两个焦点，PQ 是过点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为α，那么22||||||PF QF PQ +-的值是__________

13. 已知(6,0),(6,0)B C -是ABC 的两个顶点，内角,,A B C 满足1

sin sin sin 2

B C A -=

，则顶点A 的轨迹方程是________________ 解答题