3.4一元一次方程与相遇问题、追及问题
人教版七年级上册数学教案：3.4实际问题与一元一次方程-行程问题
-解决含有两个未知数的问题时，如何选择合适的方程进行求解。
-在实际问题中，对时间和速度进行合理的赋值，以简化计算过程。
举例：在追及问题中，难点是让学生理解追及者与被追及者的速度差，即相对速度，对追及时间的影响。如果两个物体的速度分别为\(v_1\)和\(v_2\)，且\(v_1 > v_2\)，那么它们之间的相对速度为\(v_1 - v_2\)，这是解决追及问题的关键。
4.激发学生主动探索、积极思考的学习兴趣，培养他们面对数学问题的自信心和自主学习能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握行程问题中速度、时间和路程的关系，能够根据这些关系列出相应的一元一次方程。
-学会运用一元一次方程解决行程问题，包括相遇、追及和单一行程问题。
-能够识别行程问题中的已知量和未知量，正确构建数学模型。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调速度、时间和路程的关系以及一元一次方程的构建这两个重点。对于难点部分，如相对速度的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与行程问题相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如模拟两个物体的相遇过程，演示行程问题的基本原理。
人教版七年级上册数学教案：3.4实际问题与一元一次方程-行程问题
一、教学内容
本节课选自人教版七年级上册数学教材第三章第四节“实际问题与一元一次方程-行程问题”。教学内容主要包括以下方面：
1.理解行程问题的概念，掌握行程问题中速度、时间和路程的关系。
2.学会运用一元一次方程解决行程问题，教师应针对这些重点和难点内容，设计直观的教具演示、实际案例分析、小组讨论等多种教学活动，帮助学生透彻理解核心知识，并突破难点。
初中数学_3.4 实际问题与一元一次方程—相遇追及问题教学设计学情分析教材分析课后反思
3.4一元一次方程解决相遇、追及问题教学设计教学目标知识与技能：1、学会用线段图分析不同类型的相遇、追及问题中的相等关系；2、能够从找到的等量关系中列出一元一次方程，并准确解答。
过程与方法：1、能结合实际问题背景发现和提出数学问题；2、会从实际问题中抽象出数学问题，并会建立一元一次方程模型；3、初步意识到数形结合来辅助解决问题。
情感态度与价值观：让学生经历实际生活中会遇到的问题，经历数学是源于生活并应用于生活的思想，激发他们的学习兴趣。
培养学生勤于思考、乐于探究，敢于发表自己观点的学习习惯。
教学重难点重点：通过线段图寻找问题中的等量关系，列方程解决相遇、追及问题。
难点：寻找相遇、追及问题中的等量关系。
教学准备：多媒体教具，三角板。
教学过程：一、复习引入：1、基础题（1）甲的速度是每小时行4千米，则他x小时行（）千米.（2）乙3小时走了x千米，则他的速度（）.（3）甲每小时行4千米，乙每小时行5千米，则甲、乙一小时共行（）千米，y小时共行（）千米.（4）某一段路程 x 千米，如果火车以49千米/时的速度行驶，那么火车行完全程需要（）小时.【设计意图】采取口答的形式，对以前学过的关于行程问题的基础知识做以回顾，使学生跃跃欲试的想解决情境中的问题，引出本节课。
2、相遇问题：（1）A、B两车分别从相距S千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，两车会相遇吗？（2）如果两车相遇，则相遇时两车所走的路程与A、B两地的距离有什么关系？相等关系：A车路程＋ B车路程 =相距路程2、追及问题（1）如果两车同向而行，B车先出发a小时，在什么情况下两车能相遇？为什么？A车速度 > B车速度（2）如果A车能追上B车，你能画出线段图吗？相等关系：B车先行路程＋ B车后行路程 = A车路程【设计意图】提问有关相遇、追及问题的基本知识，使学生掌握线段图的画法，为接下来的探究新知做好铺垫。
二、分析问题，探索新知例1、 A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，A车每小时行50千米，B车每小时行30千米。
相遇问题
一、基础题
1、甲的速度是每小时行4千米，则他x小时行 （ 4X ）千米. 2、乙3小时走了x千米，则他的速度（ ）.
3、甲每小时行4千米，乙每小时行5千米，则甲、 乙 一小时共行（ 9 ）千米，y小时共行 （ 9y ）千米. 4、某一段路程 x 千米，如果火车以49千米/时的 速度行驶，那么火车行完全程需要（ ） 小时.
一、相遇问题的基本题型 1、同时出发（两段） 2、不同时出发 （三段 ） 二、相遇问题的等量关系
变式
练习
分
析
叔叔 小王
3、小王、叔叔在 （1）反向 400米长的环形跑道上练 习跑步，小王每秒跑5米， 叔叔每秒跑7.5米。
（1）若两人同时同地反 向出发，多长时间两人
首次相遇？
相等关系： 叔叔路程 + 小王路程 = 跑道周长
小时行50千米，乙车每
小时行30千米。 （2）若两车同时相向
而行，请问B车行了多
长时间后两车相距80千 米？
变式
练习
分
析
1、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的 甲、乙两地，A车每小 时行50千米，B车每小 时行30千米，A车出发 1.5小时后B车再出发。
线段图分析：
（1）若两车相向而行，
请问B车行了多长时间 后与A车相遇？
顺水逆水问题
• 一艘轮船在两码头之间航行，如果顺水航行 需10小时，逆水航行需14小时。已知水速为 每小时4千米，那么这艘轮船的速度是多少？ 两码头间的距离是多少千米？
过桥过隧道问题
• 一列货车要通过一条1800米长的大桥。已 知从货车车头上桥到车尾离开桥共用120秒， 货车完全在桥上的时间为80秒。这列货车 长多少米？
地的距离有什么关系？ 相等关系： A车路程 ＋ B车路程 =相距路程 相等关系：各分量之和 =总量
一元一次方程应用题归类汇集(含答案)
一元一次方程应用题归类聚集〔含答案〕一、一般行程问题〔相遇与追击问题〕1.行程问题中的三个根本量及其关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间2.行程问题根本类型〔1〕相遇问题：快行距＋慢行距＝原距〔2〕追及问题：快行距－慢行距＝原距二、环行跑道与时钟问题：三、行船与飞机飞行问题：航行问题：顺水〔风〕速度＝静水〔风〕速度＋水流〔风〕速度逆水〔风〕速度＝静水〔风〕速度－水流〔风〕速度水流速度=〔顺水速度-逆水速度〕÷2四、工程问题1．工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．一元一次方程应用题型1.两车站相距275km，慢车以50km/一小时的速度从甲站开往乙站，1h时后，快车以每小时75km的速度从乙站开往甲站，那么慢车开出几小时后与快车相遇？设慢车开出a小时后与快车相遇50a+75〔a-1〕=27550a+75a-75=275125a=350a=2.8小时2.一辆汽车以每小时40km的速度由甲地开往乙地，车行3h后，因遇雨，平均速度被迫每小时减少10km，结果到乙地比预计的时间晚了45min，求甲乙两地间隔。
设原定时间为a小时45分钟=3/4小时根据题意40a=40×3+〔40-10〕×〔a-3+3/4〕40a=120+30a-67.510a=52.5a=5.25=5又1/4小时=21/4小时所以甲乙间隔40×21/4=210千米3、某车间的钳工班，分两队参见植树劳动，甲队人数是乙队人数的 2倍，从甲队调16人到乙队，那么甲队剩下的人数比乙队的人数的一半少3人，求甲乙两队原来的人数？解：设乙队原来有a人，甲队有2a人那么根据题意2a-16=1/2×〔a+16〕-34a-32=a+16-63a=42a=14那么乙队原来有14人，甲队原来有14×2=28人如今乙队有14+16=30人，甲队有28-16=12人4、某商店3月份的利润为10万元,5月份的利润为13.2万元,5月份月增长率比4月份增加了10个百分点.求3月份的月增长率。
人教版七年级数学导学案3.4实际问题与一元一次方程——行程问题教案导学案含课后配套作业及答案
3.3一元一次方程的应用——行程问题【教学目标】1.能熟练地找出行程问题中的相等关系列方程解应用题；2.培养学生分析问题、解决问题的能力．【复习引入】1.Ａ、Ｂ两地相距480千米，一列慢车从Ａ地开出，每小时行驶60千米，一列快车从Ｂ地开出，每小时65千米．两车同时开出，⑴若相向而行，x小时后相遇，则可列方程为；⑵若相背而行，x小时后两车相距640千米，则可列方程为；⑶同向而行，快车在慢车后面，x小时后快车追上慢车，则可列方程为；⑷同向而行，慢车在快车后，x小时后两车相距640千米，则可列方程为．答案：解：（1）（60+65）x=480(2) （60+65）x+480=640(3)60x+480=65x(4)65x+480=60x+640【知识点梳理】行程问题中常用的关系式：路程＝速度×时间．一般行程问题包括三种情况：⑴相遇问题常用的相等关系是：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离即速度和×时间＝路程和；⑵追及问题①同地不同时出发时：前者走的路程＝后者走的路程；②同地不同时出发时：前者走的路程－后者走的路程＝两地间的距离即速度差×时间＝路程差．⑶航行问题（以后另讲）【应用举例】例1甲、乙两人在10千米的环形公路上跑步，甲每分钟跑230米，乙每分钟跑170米．⑴若甲先跑10分，乙再从同地同向出发，还要多长时间相遇？⑵若甲先跑10分，乙再从同地反向出发，还要多长时间相遇？答案：解：1. (1) 设需要的时间为x秒(230-170)x=1000060x=10000 x=166.6分钟(2) 设需要的时间为x秒230×10+(230-170)x=1000060x=7700 x=128.3分钟答：⑴若甲先跑10分，乙再从同地同向出发，还要166.6分钟相遇？⑵若甲先跑10分，乙再从同地反向出发，还要128.3分钟相遇？例2一列火车行驶途中，经过一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏固定的灯，垂直向下发光，灯光在火车上照了10s．求这列火车的长为多少？答案：解：经过一条长300m的隧道要20s：这里的20s是指隧道的长度加上火车的长度，即火车从进隧道，到完全的出隧道的长度。
一元一次方程-行程问题(追及问题)
例2 甲、乙两名同学练习百米赛跑，甲
每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙 先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？
7x米
6.5米 B
6.5x米
C
A
相
起
遇
点
2、同时不同地
1.甲、乙两站间的路程为450km，一列慢车从甲 站开出，每小时行驶65km，一列快车从乙站开 出，每小时行驶85km。
问：两车同时开出，同向而行，多少小时快车 才能追上慢车？
85x
慢快
慢
快
甲站
乙站
65x
450km
解：设x小时快车才能追上慢车。
65x+450=85x
x=22.5
变式 练习
分
析
2、 A、B两车分别
线段图分析：
停靠在相距115千米的
甲、乙两地，A车每小
时行50千米，B车每小
A
时行30千米，若两车同
时同向而行（B车在A 甲
B
乙
车前面），请问B车行
了多长时间后被A车追
上？
变式 练习
分
析
2、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的 甲、乙两地，A车每小 时行50千米，B车每小 时行30千米，A车出发 1.5小时后B车再出发。
若两车同向而行（B 车在A车前面），请问 B车行了多长时间后被
A车追相上等？关系：
线段图分析：
A 50×1.5
甲 115
50x B
乙 30x
变式 练习
分
析
3、小王、叔叔在400 米长的环形跑道上练习 跑步，小王每秒跑5米， 叔叔每秒跑7.5米。
（1）若两人同时同地反 向出发，多长时间两人 首次相遇？
§_3.4实际问题与一元一次方程(练习答案)
§ 3.4实际问题与一元一次方程（知识要点）一、销售问题在生活中，人们购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、原价（标价）、售价、打折等概念，在了解这些概念后，还必须熟悉销售问题中的两个基本关系式：① 利润＝售价－进价； ② 利润率＝进价利润×100%. 在①式中若等式左边的“利润”为正，就是盈利；若为负，就是亏损；由①和②式可以得到：利润＝售价－进价＝利润率×进价。
【例1】 某商店将某种服装按进价提高30%作为标价，又以九折优惠卖出，结果仍可获利17元，则这种服装每件进价是多少元？分析：此题要用的等量关系是：利润＝售价－进价，如果把进价设为x 元，则标价为(1＋30%)x ，打九折后售价为0.9×(1＋30%)x ，再减去进价x 元得到的就是利润17元。
解：设这种服装每件的进价为x 元，依题意列方程为：0.9×(1＋30%)x －x ＝17解得x ＝100答：这种服装的进价是100元。
练习：某商店对一种商品进行调价，按原价的八折出售，打折后利润率是20%，已知商品的原价是63元，求该商品的进价？二、行程问题1、相遇问题：主要是指两车（戓人）从两地同时相向而行。
其基本等量关系为两车（戓人）所行的路程这和恰好等于两地的距离；两车（或人）人开始行驶到相遇所用的时间相等。
2、追赶问题：主要是指甲、乙同向而行，快者追慢者称为追赶问题。
① 基本公式：速度差×追赶时间＝被追赶的路程；② 对于同向同地不同时出发的问题有相等关系:追赶者行进路程＝被追赶者行进路程； ③ 对于同时同向不同地出发的问题有等量关系：追赶者的行驶时间＝被追赶者的行驶时间。
3、航行问题：基本公式：顺水速度＝静水速度＋水速，逆水速度＝静水速度－水速 顺风速度＝无风速度＋风速，逆风速度＝无风速度－风速 符号公式：v 顺水＝v 静水＋v 水 v 顺风＝v 无风＋v 风v 逆水＝v 静水－v 水 v 逆风＝v 无风－v 风 4、行程问题一般都能通过画线段示意图来分析，通过线段示意图，等量关系就能直观地显示出来，进而用方程表示出来。
一元一次方程应用题,相遇及追击问题
追者路程＝被追者路程＋相隔距离
甲的路程＋乙的路程＝总路程
全效学习 P90、91
作业：
家
学 校
追 及 地
400米
80x米
180x米
例2、小明每天早上要在7:50之前赶到距离家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上他。 （1）爸爸追上小明用了多少时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？
精讲 例题
分 析
线段图分析：
甲
乙
A
B
80千米
第二种情况： A车路程＋B车路程-相距80千米= 相距路程
路程角度：甲的路程 ＋ 乙的路程 =AB之间的距离
问题二：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，相遇时，甲行走的路程是多少？
数学在生活、经济、科技中的应用
(1)学会借助线段图分析等量关系; (2)在探索解决实际问题时,应从多角度思考问题.
问题一：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，问他俩几小时可以相遇？ 解：设他俩 小时后相遇， 由题意得 答：他们 小时后相遇。
问题二：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，相遇时，甲行走的路程是多少？
A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。 （1）若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后与A车相遇？
Байду номын сангаас
分 析
路程角度： 乙先行路程 ＋ 乙后行路程 =甲的路程
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学以致用 用心解一解
2、一队学生从学校出发，步行去某地参加社会 公益活动, 每小时行走4千米.出发30分钟后,学校 要将一个紧急通知给队长，一名通讯员骑自行车 以12千米／时的速度按原路去追赶队伍,问通讯 员用多少时间可以追上队伍?
反向而行 若环形跑道长300米,问:第一次相遇两人 相遇问题：所走路程与环形跑道周长之间有何关系？
第一次相遇:甲路程+乙路程=1周长
小杰： 小丽： 思考：两人第二次、第三次、。。。第n次相 遇时两人之间路程有何关系？
第n次相遇:甲路程+乙路程=n个周长
探索新知
例3：小杰、小丽分别在400米的环形跑道上 练习跑步，小杰每秒跑6米，小丽每秒走4米，两 人同时由同一起点反向而行。问几秒后小杰与小 丽第一次相遇。
探索新知
例2：甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车 从甲站开出，每小时行驶65千米，一列慢车从乙 站开出，每小时行驶85千米．设两车同时开出， 同向而行，则快车几小时后追上慢车？
一、直线型行程问题中的时间、速度、路程之间
的关系 2.同向而行——追及问题
甲：
乙：
两人间距
同时同向而行，追上时， 快者所走路程—慢者所走路程=两人间距
例4：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练 习跑步，小杰每分钟跑6米，小丽每分钟跑4米， 两人同时由同一起点同向出发。问几分钟后小杰 与小丽第一次相遇？
小杰：
小丽：
解：设x分钟后第一次相遇，依题意，得 6x-4x=400
学以致用 用心解一解
3、某体育场的环形跑道长为400米，甲、乙两人 在跑道上练习跑步，甲的平均速度为250米/秒， 乙的平均速度为290米/秒。 （1）若两人同时从同时出发同向而行， 则经过多长时间两人第一次相遇 ？ （2）若两人同时从同一地点出发反向而行， 则经过多长 时间两人第一次相遇 ？
一、直线型行程问题中的时间、速度、路程之间 的关系
1.相向而行——相遇问题
甲
乙
甲的路程 乙的路程
同时相向而行，相遇时， 甲走的路程+乙走的路程=甲、乙的间距
学以致用 用心解一解
1、甲、乙两列火车从两地相向而行。甲车每小时 行75千米，乙车每小时行69千米。甲开出2小时后， 乙车才开出，再过3小时后两车相遇。两地间的铁 路长多少千米？
小杰：
小丽：
解：设x秒后第一次相遇，依题意，得 4x+6x=400
思考:同向而行时，第一次相遇时两人所走路程 与环形跑道周长之间有何关系？(若甲快乙慢) 同向而行,第一次相遇小杰：
小丽：
继续思考：他们第二次、第三次。。。第n次相 遇时两人所走路程与环形跑道周长之间有何关 系？ 第n次相遇: 甲路程-乙路程=n个周长
相向而行：第一次相遇时， 甲走的路程+乙走的路程=环形跑道的周长
同向而行：第一次相遇时， 快者的路程－慢者的路程=环形跑道周长
3.4一元一次方程与相遇问题、 追及问题
探索新知
例1：甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的 两地出发，相向而行，2小时后相遇，若甲比乙 每小时多行2.5千米，求乙的速度？
甲、乙两站间的路程为450千米， 一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米， 一列慢车从乙站开出，每小时行驶85千米 ．设两车同时开出，同向而行，则快车几 小时后追上慢车？