电磁场的数学物理基础知识
电磁场与电磁波期末复习知识点归纳
哈密顿算子：矢量微分算子（ Hamilton、nabla、del ）
ex
x
ey
y
ez
z
★ 标量场的梯度
gradu u u xˆ u yˆ u zˆ ( xˆ yˆ zˆ)u x y z x y z
★ 矢量场的散度计算公式：
divA＝ • A Ax Ay Az x y z
1
2=∞ nˆ • D1 s
nˆ E1 0 nˆ B1 0
nˆ H1 Js
2、理想介质表面上 的边界条件
1=0
2=0
nˆ • (D1 D2) 0 nˆ (E1 E2 ) 0
nˆ B1 B2 0
nˆ H1 H2 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
静电场中: E 0
圆柱坐标和球坐标的公式了解:
Bx By Bz
圆柱坐标系中的体积微元: dV=(d)(d)(dz)= d d dz
分析的问题具有圆柱对称性时可表示为：dV=2ddz
球坐标系中的体积微元: dV=(rsind)(rd)(dr)
分析的问题具有球对称性 时可表示为:
=r2sindrdd dV=4r2dr
★ 标量场的等值面方程 u x, y, z 常数C
程的解都是唯一的。这就是边值问题的唯一性定理
◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。
● 镜像法求解电位问题的理论依据是“唯一性定理”。
点电荷对无限大接地导体平面的镜像
z
r1
P
q h
r r2 介质
x
h
介质
q
点电荷对接地导体球面的镜像。
P
r
a
r2
o θ q
d
’d
物理电磁关系公式总结归纳
物理电磁关系公式总结归纳在物理学中，电磁学是一个重要的分支，研究电荷与电磁场之间的相互作用。
电磁关系公式是描述电荷与电磁场之间相互作用的数学表达式。
在本文中，我将对一些常见的物理电磁关系公式进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
1. 库仑定律库仑定律描述了两个点电荷之间的静电相互作用力。
表达式为：F = k * |q1 * q2| / r^2其中，F为电荷之间的相互作用力，k为库仑常数，q1和q2分别为两个电荷的电荷量，r为两个电荷之间的距离。
2. 电场强度公式电场强度表示在某一点处电荷对单位正电荷的作用力大小。
对于一个点电荷，其电场强度E的计算公式为：E = k * |q| / r^2其中，E为电场强度，k为库仑常数，q为电荷量，r为点电荷到该点的距离。
3. 电势能公式电势能是指电荷在电场中由于位置改变所具有的能量。
对于一个点电荷，其电势能V的计算公式为：V = k * |q| / r其中，V为电势能，k为库仑常数，q为电荷量，r为点电荷到该点的距离。
4. 电场与电势能的关系根据电场强度公式和电势能公式，可以推导出电场与电势能之间的关系：E = -dV/dr其中，E为电场强度，V为电势能，r为观察点到电荷的距离，dV/dr为电势能关于距离的导数。
5. 安培环路定理安培环路定理是描述电流与磁场之间相互作用的定理。
它指出通过一个闭合回路的电流的总和等于这条回路所围成的面积的磁通量变化率。
数学表达式为：∮B·dl = μ0 * I其中，∮B·dl为磁场的环路积分，μ0为真空中的磁导率，I为通过回路的电流。
6. 洛伦兹力公式洛伦兹力描述了电荷在磁场中受到的力的大小和方向。
对于一个点电荷在磁场中受到的洛伦兹力F的计算公式为：F = q * (v × B)其中，F为洛伦兹力，q为电荷量，v为电荷的速度，B为磁场的磁感应强度。
7. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场和电路之间的相互作用。
电磁运动知识点总结
电磁运动知识点总结电磁运动是指物体在受到电场和磁场作用时所表现出来的运动状态。
电磁运动是电磁学与力学相结合的一种运动形式，对于理解和应用电磁场具有重要意义。
本文将从电磁场、洛伦兹力、电磁感应等方面对电磁运动进行总结。
电磁场电磁场是由电荷和电流所产生的一种物质场。
电荷和电流所产生的电磁场包括静电场和静磁场。
电荷所产生的电场是一种具有电荷分布的场，而电流所产生的磁场则是一种具有电流分布的场。
电磁场具有时间变化特性，即电磁波的传播就是电场和磁场的时间变化所产生的。
洛伦兹力当物体运动时，如果它同时受到了电场和磁场的作用，那么它将会受到洛伦兹力的影响。
洛伦兹力是指电荷在电场和磁场中所受到的合力，它的大小和方向取决于电荷的电量、电场的强度以及磁场的强度。
根据洛伦兹力的叠加原理，电荷在电场和磁场中所受到的合力等于电场力和磁场力的叠加和。
电磁感应电磁感应是指当电导体在磁场中运动或磁场的强度发生变化时，产生感应电流的现象。
根据法拉第电磁感应定律，当导体与磁场相对运动时，导体中将会产生感应电动势，从而产生感应电流。
根据楞次定律，感应电流的方向总是使得感应电流所产生的磁场方向和磁场方向相反。
电磁感应现象是电磁运动的重要表现形式，它在发电机、变压器和感应加热等领域都有着广泛的应用。
电磁波电磁波是由电场和磁场所组成的一种波动。
它的传播速度等于真空中的光速，它的频率、波长和波速都遵循电磁波的传播特性。
电磁波有着辐射的特性，它可以以波的形式在真空中传播，也可以以光的形式在介质中传播。
电磁波的频率范围非常广泛，包括射频、微波、红外线、可见光、紫外线、X射线和γ射线等。
电磁场的数学描述电磁场的数学描述是由麦克斯韦方程组来完成的。
麦克斯韦方程组包括了麦克斯韦方程和洛伦兹力的方程。
麦克斯韦方程组的形式包括了电场和磁场的分布以及它们和电荷、电流之间的关系，它描述了电磁场的发展和传播规律。
麦克斯韦方程组是电磁学的基础理论，它对整个电磁学体系具有着重要的意义。
电磁场中的基本物理量
解： （1）
I
J dS
S
2 0
10r r 1.5 2
0
sin d d
|r 1mm
40 r 0.5 |r1mm 3.97( A)
（2）在球面坐标系中
d
dt
J
1 r2
d dr
r 210r 1.5
5r 2.5 |r1mm 1.58 108 A / m3
由电流强度定义：
dq I dt S J (r ) ds dt
V
s J (r )
ds
dq dt
d dt
V
(r )dV
即
J(r)d S
d
(r )dV
S
dt V
电荷守恒定 律积分形式
在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体
积分，得
V ( J )dV V t dV
J
eR
z dEz
dE
由对称性和电场的叠加性，合电场只有z
分量，则
E z ez
l dEz
ez l 4 0
l
cos
R2
dl
R
l
r0 O
dl
ez l
4 0
l
z R3
dl
ez l 4 0
z R3
l
dl
2 rl z 4 0 R3
ez
qz
40 R3
ez
结果分析
（1）当z→0，此时P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，
J v v v 0
面电流密度
当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时， 电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量
工程电磁场 第1章 电磁场的数学基础
《工程电磁场》
第1章 电磁场的数学基础
1
第1章 电磁场的数学基础
1.1 场的概念及其分类
1.2 正交曲面坐标系
1.3 矢量代数
1.4 场的可视化描述
1.5 场的梯度、散度、旋度
1.6 场论分析常用定理
1.7 电磁场麦克斯韦方程组与场论
《工程电磁场》
1.1 场的概念及其分类
《工程电磁场》
《工程电磁场》
标量及其乘积运算
两个标量a与b相乘，标量参数之间可用
“
”号、“ • ” 号或什么符号也不加，
都代表二者之间的倍数关系，即
，
a b a b ab
《工程电磁场》
矢量及其表示方法
《工程电磁场》
一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。
=
，
= + + =
ex
ey
ez
A B Ax Ay Az
Bx B y Bz
9. A ( B C ) B (C A) C ( A B )
10. ( A B )C A( B C )
11. A ( B C ) ( A B ) C
Ԧ )
——不随空间变化的时变场 φ(t) , (t
第1章 电磁场的数学基础
1.1 场的概念及其分类
1.2 正交曲面坐标系
1.3 矢量代数1.4 源自的可视化描述1.5 场的梯度、散度、旋度
1.6 场论分析常用定理
1.7 电磁场麦克斯韦方程组与场论
工程电磁场基础[整理版]
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工程电磁场基础目录引言一、电磁学发展简史二、电磁场理论课程的特点第一章自由空间中的电磁场定律1.1基本定义1.1.1电荷密度一、体电荷密度ρ二、面电荷密度η三、线电荷密度λ四、点电荷q1.1.2电流密度一、体电流密度J二、面电流密度K三、线电流I1.1.3基本场量一、洛仑兹力公式二、电场强度E三、磁场强度H1.2自由空间中的电磁场定律1.2.1场定律中符号的意义1.2.2各电磁场定律的数学物理意义一、法拉第电磁感应定律的意义二、修正的安培环路定律的意义三、电场高斯定律的意义四、磁场高斯定律的意义五、电荷守恒定律的意义1.2.3电磁场定律整体的物理意义1.3积分形式场定律的应用习题第二章矢量分析2.1标量场的梯度2.1.1标量场的等值面2.1.2标量场的梯度一、位移的方向余弦和单位矢量二、方向导数三、标量场的梯度2.1.3梯度的性质2.1.4标量场梯度的物理意义2.1.5例题2.2矢量场的散度和高斯定理2.2.1矢量场的场流图2.2.2矢量场的散度一、散度的定义二、散度的数学计算式2.2.3矢量场散度的性质2.2.4矢量场散度的物理意义2.2.5高斯定理一、高斯定理二、高斯定理的证明2.2.6自由空间中微分形式场定律的散度关系式2.2.7拉普拉斯运算符2.2.8例题2.3矢量场的旋度和斯托克斯定理2.3.1保守场和非保守场2.3.2矢量场的旋度一、旋度的定义二、旋度的数学计算式2.3.3矢量场的旋度的性质2.3.4矢量场旋度的物理意义2.3.5斯托克斯定理一、斯托克斯定理二、定理证明三、保守场的判据2.3.6自由空间微分场定律中的旋度关系式2.3.7例题习题第三章自由空间的微分场定律3.1微分场定律3.1.1微分场定律的数学物理意义一、法拉第电磁感应定律的意义二、修正的安培定律的意义三、电场高斯定律的意义四、磁场高斯定律的意义五、电荷守恒定律的意义3.1.2微分场定律整体的意义3.1.3例题3.2边界条件3.2.1电磁场中的不连续界面3.2.2边界条件一、边界法线方向上的关系式（法向边界条件）二、边界切线方向上的关系式（切向边界条件）3.2.3边界条件的物理意义一、电场强度切向边界条件的意义二、磁场强度切向边界条件的意义三、电场法向边界条件的意义四、磁场法向边界条件的意义五、电场和磁场边界条件的物理解释六、电流边界条件的意义七、边界条件所含的方向关系3.2.4微分场定律与边界条件的形式对应关系3.3微分场定律（含边界条件）的应用3.3.1已知场分布求源分布3.3.2已知源分布求场分布习题第四章静电场的标量位4.1静电场的标量位4.1.1静电场标量位的引入一、在原点的点电荷电场的标量位二、在空间某点的点电荷电场的标量位三、点电荷系电场的标量位四、分布在有限区域的带电系统的标量位4.1.2标量位（电位）的物理意义4.1.3电偶极子的电场和电位一、直接计算电场二、使用标量位计算电场4.1.4标量位的微分方程和边界条件一、微分方程二、一般边界条件三、边界为偶极层时的条件四、导体表面的边界条件4.1.5泊松方程的解4.2标量位的性质4.2.1极值定理4.2.2平均值定理一、格林定理二、平均值定理的证明三、平均值定理的应用4.2.3唯一性定理一、定理内容二、唯一性定理的证明4.3唯一性定理的应用4.3.1静电镜象法一、在无限大接地导体平板上方放置一个点电荷的系统二、接地导体角域内放置点电荷的系统三、接地导体球外放置一个点电荷的系统四、不接地不带电的导体球外放置一个点电荷的系统五、不接地、带电量为Q的导体球外放置一个点电荷的系统六、在一个接地的无限大导电平面上方放置一个偶极子的系统4.3.2电轴法一、两根相互平行且带等量异号电荷的无限长直导线的场二、两个等截面导体圆柱系统三、两个截面不相等的导体圆柱系统4.4复变函数在静电场问题中的应用4.4.1复电位（复位函数）4.4.2保角变换（保角映射）4.4.3许瓦兹－克瑞斯托弗尔变换4.5静电场示意场图的画法4.5.1静电场示意场图的作用4.5.2绘制静电场示意场图的基本法则4.5.3静电场示意场图实例一、在球形接地导体空腔内有一个点电荷二、两个不等量的异号电荷三、接地导体上的矩形空气槽四、矩形空气域五、两个同轴圆柱面间的空气域习题第五章静电场的分离变量法求解5.1拉普拉斯方程的变量可分离解5.1.1在直角坐标系中一、平凡解（明显解）二、一般解5.1.2在柱坐标系中一、平凡解二、与z变量无关的二维一般解三、柱坐标中拉普拉斯方程解的物理意义5.1.3在球坐标系中一、平凡解二、一般解三、球坐标中拉普拉斯方程解的物理意义5.2静电场问题求解实例5.2.1边界电位值已知的静电系统例1（上下为导体板，左右为源的矩形二维空气域）例2（扇形域）例3（锥面间域）例4（导体块上的空气槽）例5（有导体角的矩形域，迭加原理）例6（立方域）5.2.2带有自然边界条件的静电系统例1（导体上的半无界缝）例2（已知电位分布的圆柱面）例3（已知电位分布的球面）5.2.3带有电位导数边界条件的静电系统例1（平板电容器）例2（长方体形电阻器）例3（矩形导体片）例4（内有面电荷的二维矩形空腔）例5（带面电荷的圆柱面）例6（带面电荷的球面）例7（两种导体构成的半圆形电阻）5.2.4带有趋势性边界条件的静电系统例1（中心放置电偶极子的导体球壳）例2（中心放置点电荷的导体球壳）例3（上下异号的线电荷）例4（均匀电流场中的导体球）例5（均匀电场中的导体圆柱）5.3柱坐标系中三维拉普拉斯方程的分离变量解习题第六章静磁场与位函数的远区多极子展开式6.1静磁场的矢量位6.1.1毕奥－沙瓦定律一、电流元产生的磁场二、闭合电流线产生的磁场三、分布电流产生的磁场6.1.2磁场的矢量位一、静磁场方程二、磁场的矢量位三、磁矢位的方程四、磁矢位方程的解五、磁矢位的物理意义六、边界条件6.1.3例题6.2静磁场的标量位6.2.1磁标位一、磁标位的定义二、一个电流环的磁标位三、磁标位的方程和方程解族四、边界条件6.2.2例题6.3位函数在远区的多极子展开式6.3.1静电标量位Φ（r）的多极子展开式一、1/RQP的级数展开式二、Φ（r）的展开式三、电位Φ（r）多极子展开式的物理意义四、多极子展开式的应用6.3.2磁矢位A（r）的远区多极子展开式习题第七章有物质存在时的宏观场定律7.1物质极化的宏观模型7.1.1极化的概念7.1.2极化强度P7.1.3极化电荷与电场高斯定律一、极化电荷二、宏观极化模型下的电场高斯定律7.1.4极化电流与修正的安培定律一、极化电流二、宏观极化模型下的修正安培定律7.2极化问题举例7.2.1永久极化物体一、永久极化板二、永久极化球7.2.2非永久极化物体一、均匀电场中的电介质球二、填充均匀∈材料的平行板电容器三、填充非均匀∈材料的电容器四、空心介质球心放置一个电偶极子7.3物质磁化的安培电流模型7.3.1物质磁化的机理7.3.2磁化强度M7.3.3磁化电流密度7.3.4安培电流模型下的场定律7.3.5永久磁化圆柱的磁场7.4物质磁化的磁荷模型7.4.1物质磁化的机理7.4.2磁荷模型下的磁化强度7.4.3物质中的磁场高斯定律7.4.4物质中的法拉第电磁感应定律7.4.5永久磁化圆柱的磁场7.4.6有均匀磁介质的磁场系统一、均匀磁场中的磁介质球二、空心磁介质球心放置一个磁偶极子7.5物质中的场量组成关系和场定律7.5.1物质中的场量组成关系一、单值关系二、多值关系三、各向同性和各向异性7.5.2物质中的电磁场定律一、B－D形式的场定律二、E－H形式的场定律三、对称形式的场定律习题第八章电磁场的能量和功率8.1静电场和静磁场的能量8.1.1静电场的能量8.1.2静电场能计算举例8.1.3静磁场能量8.1.4静磁场能计算举例8.2坡印廷定理8.2.1电磁场供给运动电磁荷的功率一、电磁场对运动电磁荷的电磁力二、电磁场供给运动电磁荷的功率8.2.2坡印廷定理一、微分形式的坡印廷定理二、积分形式的坡印廷定理8.2.3坡印廷定理的量纲单位分析8.2.4坡印廷定理的物理解释一、对微分形式坡印廷定理的物理解释二、对积分形式坡印廷定理的物理解释三、在解释坡印廷定理上的假说性8.2.5对S和w的补充规定8.2.6坡印廷定理在物质中的应用8.3静态功率流与损耗8.4物质中的极化能和磁化能8.4.1极化能和电能8.4.2磁化能和磁能8.4.3磁能计算举例8.4.4物质宏观模型与坡印廷定理的关系8.5小结习题第九章时变场的低频特性9.1平行板系统中的交变电磁场9.1.1交变电磁场的严格解9.1.2平行板系统的低频响应9.2时变场的幂级数解法9.3低频系统中的场9.3.1平行板系统一、参考点的选取二、零阶场三、一阶场四、高阶场五、场分布和等效电路9.3.2单匝电感器一、系统的参考点二、零级近似场三、一级近似场四、二级近似场五、高阶场9.3.3多匝线圈一、不考虑线圈存在时的一阶电场二、放入线圈后的一阶电场三、计算a、b两点间的端电压9.4电路理论与电磁场理论的关系习题第十章平面电磁波10.1自由空间中均匀平面波的时域解10.1.1均匀平面波的电场和磁场时域解10.1.2均匀平面波的传播特性10.2正弦律时变场10.2.1复矢量10.2.2复数形式的场定律10.2.3复矢量乘积的物理意义10.3正弦律均匀平面波10.3.1均匀平面波的频域解10.3.2复数形式的坡印廷定理10.3.3复数坡印廷定理与微波网络的关系10.4平面波在有耗媒质中的传播10.4.1有耗媒质中的均匀平面波解10.4.2半导电媒质中均匀平面波的传播10.4.3良导体的趋肤效应10.4.4相速、群速和色散10.5电磁波的极化状态10.5.1电场极化状态的概念10.5.2极化方向的工程判断法一、瞬时场极化方向的判断二、复数场极化方向的判断10.5.3波的分解与合成一、线极化波的分解二、椭圆极化波的分解三、圆极化波的分解10.6沿任意方向传播的均匀平面波10.6.1波的数学表达式一、一般形式二、在直角坐标系中的表达式三、在柱坐标系和球坐标系中的表达式10.6.2波的特性10.7无耗媒质中的非均匀平面波10.8频率极高时媒质中的波10.8.1电介质中的波10.8.2金属中的波10.8.3电离层和等离子体中的波习题第十一章平面波的反射与折射11.1在自由空间与理想导体分界面处的反射现象11.1.1正入射11.1.2斜入射一、垂直极化二、平行极化11.2在两种介质分界面处的反射和折射现象11.2.1垂直极化一、入射角θi＝0二、入射角θi＞011.2.2平行极化11.3导电媒质表面的反射和折射11.3.1导电媒质中的实数折射角一、媒质Ⅱ是良导体二、媒质Ⅱ是不良导体11.3.2良导体中的透射功率11.3.3导电表面的反射一、媒质Ⅱ是良导体二、媒质Ⅱ是不良导体11.4透波和吸波现象11.4.1透波现象一、电磁波正入射二、电磁波斜入射三、多层介质板的透波现象11.4.2吸波现象一、干涉型吸收材料二、宽带吸收材料习题第十二章电磁波的辐射12.1时变场的位函数12.1.1标量位和矢量位12.1.2赫兹电矢量Ⅱ12.2时变场位函数方程的解12.2.1克希荷夫积分12.2.2达朗贝尔公式12.3交变电偶极子的辐射12.3.1交变电偶极子的电磁场量一、矢量位二、磁场强度三、电场强度12.3.2交变电偶极子场的分析一、近区场二、远区场三、辐射场的方向性四、辐射功率五、辐射电阻12.4交变磁偶极子的辐射12.4.1通过复数矢量位求电磁场12.4.2使用电磁对偶原理求电磁场12.5缝隙元的辐射12.6半波天线12.7天线阵12.8线天线电磁场的精确计算12.9天线的输入功率和输入阻抗习题第十三章电磁场的基本定理13.1格林定理13.1.1标量格林定理13.1.2广义格林定理13.1.3矢量格林定理13.2亥姆霍尔兹定理13.3静态场的几个定理13.3.1标量位Φ的唯一性定理13.3.2平均值定理13.3.3无极值定理13.3.4汤姆生定理13.3.5恩绍定理13.3.6矢量位A的唯一性定理13.4坡印廷定理13.5电磁力的定理――麦克斯韦定理13.6时变场的唯一性定理13.7相似原理13.8二重性原理和电磁对偶原理13.9等效原理13.10感应定理13.11互易定理13.12天线远场定理13.13克希荷夫－惠更斯原理13.14费马原理附录A 矢量的代数运算附录B 坐标系的有关概念附录C 立体角的有关概念。
电磁场与电磁波知识点总结
电磁场与电磁波知识点总结电磁场知识点总结篇一电磁场知识点总结电磁场与电磁波在高考物理中属于非主干知识点，多以选择题的形式出现，题目难度较低，属于必得分题目，重点考察考生对基本概念的理解和掌握情况。
下面为大家简单总结一下高中阶段需要大家掌握的电磁场与电磁波相关知识点。
电磁场知识点总结一、电磁场麦克斯韦的电磁场理论：变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场。
理解：* 均匀变化的电场产生恒定磁场，非均匀变化的电场产生变化的磁场，振荡电场产生同频率振荡磁场* 均匀变化的磁场产生恒定电场，非均匀变化的磁场产生变化的电场，振荡磁场产生同频率振荡电场* 电与磁是一个统一的整体，统称为电磁场（麦克斯韦最杰出的贡献在于将物理学中电与磁两个相对独立的部分，有机的统一为一个整体，并成功预言了电磁波的存在）二、电磁波1、概念：电磁场由近及远的传播就形成了电磁波。
（赫兹用实验证实了电磁波的存在，并测出电磁波的波速）2、性质：* 电磁波的传播不需要介质，在真空中也可以传播* 电磁波是横波* 电磁波在真空中的传播速度为光速* 电磁波的波长=波速*周期3、电磁振荡LC振荡电路：由电感线圈与电容组成，在振荡过程中，q、I、E、B 均随时间周期性变化振荡周期：T = 2πsqrt[LC]4、电磁波的发射* 条件：足够高的振荡频率；电磁场必须分散到尽可能大的'空间* 调制：把要传送的低频信号加到高频电磁波上，使高频电磁波随信号而改变。
调制分两类：调幅与调频# 调幅：使高频电磁波的振幅随低频信号的改变而改变# 调频：使高频电磁波的频率随低频信号的改变而改变（电磁波发射时为什么需要调制？通常情况下我们需要传输的信号为低频信号，如声音，但低频信号没有足够高的频率，不利于电磁波发射，所以才将低频信号耦合到高频信号中去，便于电磁波发射，所以高频信号又称为“载波”）5、电磁波的接收* 电谐振：当接收电路的固有频率跟收到的电磁波频率相同时，接受电路中振荡电流最强（类似机械振动中的“共振”）。
数学物理中的电磁学与电磁场理论
数学物理中的电磁学与电磁场理论电磁学是物理学的重要分支，研究物质中电荷的运动以及与之相互作用的现象。
而电磁场理论则是电磁学的基础，描述了电荷和电流带来的电磁场的产生和传播规律。
本文将从数学物理的角度，探讨电磁学与电磁场理论的相关概念和数学模型。
1. 电磁学基础在电磁学中，电荷是核心概念之一。
电荷分为正电荷和负电荷，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。
库伦定律描述了电荷之间的相互作用力的大小与距离的关系。
其数学表达式为：$$F = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}}$$其中，$F$为电荷之间的相互作用力，$q_1, q_2$为电荷的电量，$r$为电荷之间的距离，$k$为比例常数。
2. 静电场与电势静电场是电磁场的一种特殊情况，不随时间变化。
静电场可以用电势来描述。
电势是描述某一点电场状态的物理量，其定义为单位正电荷在该点所受电势力所做的功。
电势可以通过静电势能来解释，即电荷在电场中由于位置变化所引起的能量变化。
电势的数学定义为：$$V = \frac{U}{q}$$其中，$V$为电势，$U$为电势能，$q$为电荷的电量。
3. 电场和电场强度电场是在空间中存在电荷时产生的物理现象，描述了电荷对其他电荷或者测试电荷产生的力的作用。
电场由电场强度来描述，电场强度是单位正电荷在某一点上受到的电场力。
电场强度的数学定义为：$$E = \frac{F}{q}$$其中，$E$为电场强度，$F$为电荷所受电场力，$q$为测试电荷的电量。
4. 感应电场与法拉第电磁感应定律当磁场的变化引起了电场的变化时，产生的电场称为感应电场。
感应电场可以通过法拉第电磁感应定律来描述，即导体回路中的感应电动势等于磁通量的变化率。
法拉第电磁感应定律的数学表达为：$$\varepsilon = -\frac{{d\Phi}}{dt}$$其中，$\varepsilon$为感应电动势，$\Phi$为磁通量，$t$为时间。
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1.1.1 矢量及其表示方法
➢ 矢量：表示既有大小也有方向的量，如 F或 F
➢ 标量：只有大小的量，如 f、 g
➢
矢量几何图示如右： F
➢ 矢量代数：矢量间的四则运算，即加减法、乘法。
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1.1.1 矢量及其表示方法
一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。
-B
B
图1-2 两矢量相减
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1.1.2 矢量相加(代数表示)
z
直角坐标系中的矢量及运算
A exA xeyA yezA z
A
Az
Ax
y
AA Ax2Ay2Az2
Ay x
，
图 1-3 直角坐标中的A及其各分矢量
若 AexA xeyA yezA z BexB xeyB yezB z
⑴A•B=B•A
Acosθ
B
⑵(A+B)•C=A•C+B•C
⑶λ(A • B) =(λA) • B= A•(λB)
Bcos
A
⑷若A ⊥B，则A•B=0
(5)A自身的点积，即 =0°，A•A=A2
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例如， 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ex·ey=ey·ez= ex·ez=0 ex·ex=ey·ey=ez·ez=1 直角坐标系中的点积运算
量。
♥ 负矢量——与原矢量大小相等，方向相反的矢量。
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1.1.2 矢量相加(几何表示 )
两矢量A和B相加定义为一个新矢量A+B
B A+B A
A+B B
A
，
( a ) 平行四边形法则
( b ) 首尾相接法则
图1-1两矢量相加
A和B相减为新矢量A B
A-B A
交换律 A+B = B+A 结合律 A±B±C=A±(B±C)=(A±B) ±C
♥ 两个矢量的矢量积（叉积）的模等 于这两个矢量的模以及这两个矢量 之间夹角的正弦三者的乘积，而方 向垂直于两矢量所构成的平面，其 指向按“右手法则”来确定。
（1.1.26）
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1.1.3矢量的乘积运算
1.矢量的标 量积 dot product/scalar
proAd•uB=cAtBcosθ
则
A B e x ( A x B x ) e y ( A y B y ) e z ( A z B z )
A B (A x B x )2 (A y B y )2 (A z B z)2
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1.1.2 矢量相加(代数表示)
♥ 矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。
密度等。
场是一个以空间位置(x,y,z)和时间(t)为自 变量的函数。 在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢
量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等。
标量场——描绘场的函数为标量函数φ= φ(x,y,z,t)
矢量场——描绘场的函数为矢量函数A=A(x,y,z,t )
稳恒场——不随时间变化的场 φ(x,y,z), A(x,y,z )
1-1 电磁场与矢量代数
1.1.1矢量及其表示方法 1.1.2矢量相加(叠加) 1.1.3矢量的乘积运算
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Байду номын сангаас
1-1 电磁场与矢量代数
场的概念: 只有大小而没有方向的量。如电压、 电荷量、电流、面积等
在指定的时刻，空间每一点可以用一个 标量唯一地描述，则该标量函数定出标 量场。例如物理系统中的温度、压力、
➢ 矢量表示法——在三维空间中，矢量可表示为一根有方向 的线段。该线段的长度 代表该矢量的模，该线段的方
z
， 向 代表该矢量的方向。
♥ 单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。 x
A
O
y
（1.1.1）
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♥ 在直角坐标系中矢量的表示
♥ 例如：
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♥ 一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。 ♥ 在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分
章
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第一章 电磁场的数学、物理基础知识
1-1 电磁场与矢量代数 1-2 正交曲面坐标系 1-3 标量场及其梯度 1-4 矢量场的通量、散度与高斯散度定理 1-5 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 1-6 亥姆赫兹定理 1-7 电磁场麦克斯韦方程组 1-8 矢量场惟一性定理
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A • B ( e x A x e y A y e z A z ) • ( e x B x e y B y e z B z ) 由单位矢量的正交性 得 A •B A xB xA yB yA zB z
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2.矢量的矢量积 cross product
C= A×B=ABsinθec
均匀场——不随空间变化的场 φ(t) , A(t )
具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量。磁场 强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。
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1.1.1 矢量及其表示方法
矢量的定义与表示： 几何表示：有向线段 代数表示：基于坐标系的参数表示 矢量的代数运算(四则运算)： 几何方法及其意义 代数方法及其运算规则(与坐标系相关)
eCeAeB
ec为垂直于A、B平面的单位矢量，A、 B、C服从右C手螺旋法则。
C＝A×B
an O aB
B
aA
B
A
A
(a)
(b)
(a) 矢量积的图示； (b) 右手螺旋
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矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不为零 的矢量的叉积等于零， 则这两个矢量必然相互平行， 或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。 矢量 的叉积不服从交换律， 但服从分配律， 即
A×B=-B×A A×(B+C)=A×B+A×C
A、B相平行（ = 0或180˚)时，A B=0，反之亦然； A自身的叉积为零，A A=0。
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直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：
ex×ey=ez ey×ez=ex, ez×ex=ey
矢量乘法
标量ƒ与矢量A的乘积用ƒA表示，它是A的ƒ倍。
ƒA
(ƒ >0)
若 AexA xeyA yezA z
则 fAexfA xeyfA yezfA z
A
ƒA (ƒ <0)
图1-4 f 与A 相乘
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1.1.3矢量的乘积运算
♥ 两个矢量的标量积（点积）定义为这 两个矢量的模以及这两个矢量 之间 夹角的余弦三者的乘积。