电磁场有限元分析(数学基础)
计算电磁学中的有限元方法
计算电磁学中的有限元方法随着计算机技术的不断发展和应用，计算电磁学研究的范围和深度不断提高，其应用领域也越来越广泛。
有限元方法是计算电磁学研究中重要的数值分析方法之一，其可模拟复杂电磁场问题，有着广泛的应用。
本文将简要介绍计算电磁学中的有限元方法的一些基本原理和应用。
一、有限元法基本理论有限元方法是数值分析中一种重要的数学工具，其基本思想是将整个计算区域分割成若干个简单的单元，然后在每个单元内选取一个适当的基函数，通过求解基函数系数来表示数值解。
这种思想很容易扩展到计算电磁场问题上，因为电磁场分布可以被视为由一些小电磁场单元组成。
有限元方法的基本过程包括建立有限元模型、离散化、求解以及后处理。
其中建模是有限元方法中最重要的一个环节。
在建模过程中，首先需要选取合适的计算区域，并将其离散化为若干个小单元（如三角形、四边形等）。
然后，我们需要选取适当的基函数，并确定它们所对应的系数的初始值。
一旦有限元模型被建立，我们就可以进行求解了。
具体来说，有限元法的求解过程需要求解一个大规模的稀疏矩阵方程，其中系数矩阵和右侧向量都与电磁场有关。
这个过程需要借助计算机的优势，通过矩阵解法算法完成求解。
最后，我们通过后处理来获得我们需要的电磁场信息或工程参数，例如电势、磁场强度、感应电动势等。
二、有限元法应用领域有限元法在计算电磁学中广泛应用。
其应用范围涉及电机、变压器、电力电子、雷达、电磁兼容等多个领域。
有限元法可用于仿真复杂的电磁场分布问题，例如在电机设计中，有限元法可用于电机磁场分析、电机振动分析以及谐波分析等。
在电力电子领域中，有限元法可用于设计电感元件和变压器等。
另外，有限元法在雷达技术中也有着广泛的应用，可用于雷达天线设计和仿真。
三、有限元法的优缺点有限元法作为一种数值分析方法，具有一定优缺点。
有限元法的主要优点在于它具有很强的适应性和通用性，可用于模拟各种复杂的材料和几何形状。
此外，有限元法允许我们针对不同的模型选择不同的元素类型和元素尺寸，因此可以根据实际需求自由选择不同的模型。
Ansoft Maxwell 2D 工程电磁场有限元分析
1.3.1Maxwell 2D 的边界条件
静磁场有以下几种边界条件： 矢量磁位边界条件 对称边界条件 气球边界条件 主边界条件 从边界条件 • 1.3.1.1 Default Boundary Conditions 自然边界条件，也称纽曼边界条件，可以用来描 述两个相接触的物体，在接触面上，磁场强度H 的切向分量和磁感应强度B 的法向分 量保持连续。
Maxwell 2D 基础
1.3 Maxwell 2D 的边界条件和激励源
边界条件和激励源方式按照不同的求解器来设定。 按照计算模型所需的求解器不同，主要可以分为以下 6 大类： 求解器 可计算的执行参数 静磁场 矩阵（电容）、力、转矩 涡流场 矩阵（电感）、力、转矩、磁通量 瞬态磁场 矩阵（阻抗）、力、转矩、磁通量 静电场 导纳、电流 交变电场 电导、电流 直流传导电场 注： 瞬态磁场是指被求解问题随时间做一定有规则的运动， 以及所加载激励是时间、位置、或者速度的函数关系，
软件默认的参数变量为_t，在X、Y、Z 三个方向上都可以设置为_t的函数，而在 Start_t 和End_t 中设置参数_t 的起始和终止范围，通过Points 项可以设置由多少个点 组成该参数曲线，若设置为0 则表示由软件默认的点数组成，此时的曲线较为光滑 ，若该项设置过少则曲线将有多段直线组成。
Maxwell 2D 基础
1.2 Maxwell 2D 的材料管理
1.2.2 常用硅钢片50W600的添加
以硅钢片50W600材料为例，先要了解该材料的特性，找到相应的相对磁化曲线 表，它的磁化曲线是非线性的；电导率在2e+6 S/m 左右。 添加步骤： 1、材料命名：50W600 2、选定坐标系：Cartesian 3、设置相关参数 Relative Permeability --相对磁导率设为 非线性曲线，点击右侧“Bh Curve”，进入 磁化曲线表， 输入相应的数据，点击OK 。 Bulk Conductivity --电导率设为2000000。 后两项默认即可。
电磁场分析 有限元法
第3章新型混合磁极永磁电动机的计算分析方法3.1 前言新型混合磁极永磁电机的计算分析方法是进行本课题研究需要首先解决的问题。
由于新型混合磁极永磁电机是一种全新的电机，没有现成的解析计算公式，且解析计算也难以把握电机的各种非线性的复杂因素，无法准确的计算、分析和研究这种电机。
因此，采用电磁场数值计算方法是必要的选择。
本章阐述了基于有限元法的电磁场计算分析方法、齿磁通计算分析方法和交、直轴电抗的计算分析方法。
3.2 电磁场计算分析方法电机计算方法通常有磁路法和电磁场法。
磁路法的计算精度不高，处理基波时对电机设计具有一定的指导意义。
电磁场法能够处理饱和、谐波、涡流以及齿槽的影响，尤其在计算机普遍应用的今天，磁场法以其精度高等优势得到了广泛的应用。
有限元法是将所考察的连续场分割为有限个单元，然后用函数来表示每个单元的解，在求得代数方程之后再引进边界条件，因为边界条件不进入单个有限单元的方程，所以能够采用同样的函数。
采用电磁场有限元软件对新型混合磁极永磁电机的电磁场进行有限元分析，我们可以得到矢量磁位AZ、磁场强度、磁感应强度等结果和磁力线、等磁位线等曲线，从而了解该电机内部的磁场分布情况。
根据电磁场分析结果，通过绕组与磁场的感应关系即可求得基波绕组和三次谐波绕组的电势波形和大小。
课题组提出了齿磁通法对电机磁场进行计算。
采用齿磁通法计算电机磁场时，需要至少旋转一个齿距下的的磁场情况，因此计算量较大，但能够得到绕组电压值和波形，其精度也较高。
有限元计算分为以下几步：第一、建立有限元模型，确定求解区域。
第二、分配电机材料，铁磁材料与气隙的分配与普通电机分配相似，在分配永磁材料时，需注意永磁材料的矫顽力方向，同时在永磁材料分配应确定永磁材料是径向磁通；文中选定是径向磁通。
第三、网格剖分，选定网格类型，再对六极混合磁极永磁电机有限元模型进行网格剖分。
第四、对电机模型进行施加电流密度，求解得出AZ值。
创建模型：创建一个模型的顺序是由点到线、由线到面，这一部分的工作在Preprocessor的Modeling完成。
电磁场有限元分析
有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权
余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础，
以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实 施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。
第4章 电磁场有限元法（FEM）
1. 有限元基本原理与实施步骤：1D FEM 2. 有限元基本原理与实施步骤：2D FEM 3. 有限元方程组的求解 4. 二维有限元工程应用 5. 三维有限元原理与工程应用 6. 矢量有限元
基函数 Ni 只是一阶可导 的，不能严格满足微分方 程，称为“弱解”。
Ki , j Ni L(N j ) d
（3）方程离散
bi Ni f d
由于基函数 Ni 局域支撑，显见只有 Ki ,i 1 , Ki ,i , Ki ,i 1 不为0。
使用分步积分：
dx d2 N j xj Ni dx 2 xi dx
Ni
d2 N j
2
d
( j i 1)
Ni
dN j dx
xj
xi
xj
xi
dN i dN j dx dx dx
第一项在 xj 处为0，在 xi 处的值 被来自 (i-1) 单元的贡献抵消，故只剩下第二项。
Ki , j Ni L(N j ) d
（3）方程离散
故 Ki , j Ni
强加边界条件：u1 = 0, u6 = 0
1 K 21
0 K 22 K32
K 23 K33 K 43
K34 K 44 K54
K 45 K55 0
《电磁场有限元分析》课件
计算量大
对于大规模问题，有限元分析需要处理大量的 数据和计算，计算成本较高。
对初值和参数敏感
有限元方法对初值和参数的选择比较敏感，可 能会影响求解的稳定性和精度。
数值误差
有限元方法存在一定的数值误差，可能会导致结果的精度损失。
未来发展方向和挑战
高效算法
研究更高效的算法和技术，提高有限 元分析的计算效率和精度。
网格划分的方法
根据实际问题选择合适的网格类型，如四面体网 格、六面体网格等，并确定网格的大小和密度。
数据准备的内容
准备边界条件、初始条件、材料属性等数据，为 后续计算提供必要的数据支持。
有限元方程的求解和后处理
求解方法的选择
根据实际问题选择合适的求解方法，如直接求解法、 迭代求解法等。
求解步骤
将有限元方程组转化为线性方程组，选择合适的求解 器进行求解，得到各节点的数值解。
电磁场有限元分析简介
概述有限元分析的基本原理和方 法，包括离散化、近似函数、变
分原理等。
介绍电磁场有限元分析的基本步 骤，包括前处理、求解和后处理
等。
简要介绍电磁场有限元分析的常 用软件和工具，如ANSYS、 COMSOL Multiphysics等。
02
电磁场理论基础
麦克斯韦方程组
总结词
描述电磁场变化规律的方程组
详细描述
边界条件和初始条件是描述电磁场在边界和初始时刻的状态，对于求解电磁场问 题至关重要。
03
有限元方法基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将连续的物理域离散化 为有限数量的单元，利用数学近似方法求解复杂的问题。
02
该方法广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、电磁
电磁场分析的有限元法
第7章 光波导分析的有限元法
7.1 微分方程边值问题
7.1.3 伽辽金（Galerkin）方法
Galerkin 法选取基函数i为加权函数，效果最好
Ri
S
i
(
2 t
K
2 t
)
dS
0
N
c j j j1
N
Ri
cj
S
i
(
2 t
K
2 t
)
j
dS
0
j1
Kij Sit2jdS S i jdS
7.1 微分方程边值问题 7.2 有限元分析
7.3 光波导模式问题的应用举例
2
第7章 光波导分析的有限元法
分析或设计波导器件时，知道波导模的特性及其场分布 非常重要。光波导精确求解的条件有限，近似分析时精度受 到限制，要高精度求得传播常数和电磁场分布，还要依赖于 数值分析法。
电磁场分析的数值法有很多，如有限元法（FEM)、有限 差分法、模匹配法、横向共振法等，而FEM因其较高的精度 和通用性，是目前使用最广泛、比较公认的精确数值技术方 法之一，并作为各种近似计算的基准。FEM特别适用于复杂 的几何结构和介电特性分布，可以解决几乎任意截面和折射 率分布的介质光波导的模式及场分布问题。
L f
L f 0 为方程的严格解（真解） 设 为方程的近似解，定义余数
r L f 表示近似解接近真解的程度
的最佳近似，应能使余数r在域内所有点有最小值。
余数加权积分
R wrd
其中w为加权函数
满足R=0的解称为微分方程的弱解或近似解。
w的选取方法：点重合, 子域重合, 最小二乘法, 迦辽金法等。
FEM是已发展成熟的数值计算方法。数学理论包括泛函 分析理论和抽象空间理论，应用范围包括土木工程如桥梁、 建筑，机械制造如船舶、飞机设计，计算场分布如应力场、 流体场、电磁场等等。有大量的商品化软件，使用方便。
电磁场的数学建模与解答技巧
电磁场的数学建模与解答技巧电磁场是电荷和电流所产生的相互作用效应，它在工程学、物理学以及计算机模拟中都扮演着重要角色。
为了更好地理解和分析电磁场，数学建模和解答技巧是必不可少的。
本文将从电磁场的数学建模入手，介绍几种常用的数学建模方法，并给出解答技巧的实例。
一、电磁场的数学建模方法之一：微分方程微分方程是描述电磁场的一种常用数学工具。
通常，通过麦克斯韦方程组可以得到电磁场满足的偏微分方程。
对于静电场，可以使用拉普拉斯方程描述，表示为：∇²ϕ = -ρ/ε₀其中ϕ是电势，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
对于静磁场，则可以使用斯托克斯方程描述，表示为：∇×B = μ₀J其中B是磁感应强度，J是电流密度，μ₀是真空磁导率。
通过求解这些微分方程，可以得到电磁场的分布情况。
二、电磁场的数学建模方法之二：有限元法有限元法是一种常用的数值解法，可用于求解任意形状的电磁场问题。
该方法将电磁场区域划分为有限个小单元，并在每个小单元内以多项式函数逼近电磁场的分布。
通过建立离散的代数方程组，并求解该方程组，可以得到电磁场的近似解。
三、电磁场的数学建模方法之三：有限差分法有限差分法是一种离散方法，通过将连续的电磁场问题转化为离散的代数问题进行求解。
该方法将连续的电磁场区域划分为网格，并在每个网格节点上进行逼近。
通过近似微分算子，将偏微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程得到电磁场的解。
四、电磁场解答技巧实例为了更好地展示电磁场解答技巧，以下给出一个实例。
考虑一个带有一根无限长直导线的无限大平面问题。
已知导线的电流密度为I，求解该情况下的磁场分布。
根据安培环路定理，可以得到这个问题的微分方程为：∇×B = μ₀Iδ(x)δ(y)ez其中δ表示狄拉克δ函数，ez表示z轴方向上的单位向量。
通过对微分方程进行求解，可以得到在导线周围的磁场强度为：B = μ₀I/2πr其中r表示距导线的径向距离。
电磁场问题的有限元分析
ANSYS电磁场分析首先求解出电磁场的磁势和电势， 然后经后处理得到其他电磁场物理量，如磁力线分布、磁 通量密度、电场分布、涡流电场、电感、电容以及系统能 量损失等
● 电力发电机 ● 变压器 ● 电动机 ● 天线辐射 ● 等离子体装置
9.1 电磁场基本理论
（4）ANSYS电磁场分析简介 2. ANSYS电磁场分析方法 (2)建立分析模型。 在建立几何模型后，对求解区域用选定的单元进行划分， 并对划分的单元赋予特性和进行编号。 单元划分的疏密程度要根据具体情况来定，即在电磁 场变化大的区域划分较密，而变化不大的区域可划分得稀 疏些。 (3)施加边界条件和载荷。 (4)求解和后处理。
过滤图形用户界面进入电磁场 分析环境。在ANSYS软件的 Multiphysics模块中，执行：Main Menu>Preferences，在弹出的对话 框中选择多选框“Magnetic-Nodal” 后，单击[OK]。
9.2 二维静态磁场分析
（2）二维静态磁场分析实例 (2) 建立模型 ①生成大圆面：Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Area >Circle>By Dimensions弹出如对话框，在对 话框中输入大圆的半径“6”．然后单击 [OK]。 ②生成小圆： MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Ci rcle>Solid Circle，弹出一个对话框，在“WP X”后面 输入“1”，在“Radius”后面输入“2”，单击[OK]， 则生成第第二个圆。 ③布尔操作： MainMenu>Preprocessor>Modeling>Cr eate>Booleans>Overlap>Area，在弹出 对话框后，单击[Pick All]。
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它表示电场的势能。因此泛函极值问题表达了电场的分布 要符合这样的一种原则：整个电场的势能达到最小。这称 为静电场的Thomson原理，与光学中的Ferma原理、粒子动 力学的Hamilton原理齐名。
作业：
利用Galerkin法求解常微分方程边值问题
d 2u L(u ) 2 u x dx u (0) u (1) 0
(wi , R) wi [ L(u ) f ] d 0 (i 1, 2, , n)
设L为线性算子，代入 u ii ，得
i 1
n
或 记
wi [ L( j j ) f ] d wi [ j L( j ) f ] d 0
j 1 j 1
求解方程可以确定系数 ai 。
逼近曲线严格通过采样点。
方程个数与未知数个数相等；
基函数线性无关，保证方程有 唯一的解。
插值
已知函数若干采样点的 逼近(2) — 拟合
i 若选用多项式基底{ x } ，构
造逼近函数：
p( x) a0 a1 x
令 p(x) 满足：
p( x j ) f j ( j 1, 2, , 7)
n 1 n n F (u ) i j i L( j ) d i i f d 2 i 1 j 1 i 1
n
i 1
欲使 F 取极小值，需 F / i 0 整理得
j 1
n
j
i L( j ) d i f d
ds 1 y2 dx 时间微元： dt v 2 gy
总时间：
T
x1
0
1 y 2 dx 2 gy
求使 T 最小的函 数 y=y(x)，即变 分问题：
d T ( y, y) 0
5. 变分法简介
变分原理：设 L 为对称正定算子，算子方程 L(u ) f 存
在解 u u0 ，其充分必要条件为泛函 1 F (u) u L(u) d u f d 2 在 u u0 处取极小值。 设 u0 ii ，代入泛函得
工程电磁场数值分析
（数值法的数学基础）
华中科技大学电机与控制工程系
陈德智
2010.12
第3章 数值法的数学基础—加权余量法
1. 函数空间 2. 基函数 3. 权函数 4. 加权余量法
5. 变分法简介
1. 函数空间
关于函数空间的几个概念粗浅的解释
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，
Mathemathica程序：
Integrate w1 L u2 , x, 0, 1 b1 Integrate w1 f x , x, 0, 1
自己构造基函数的应用实例 ——回旋加速器主磁铁修正
3. 权函数（weight function）
权的概念 s wi ui
i
加权求积 s w( x) u( x)dx 内积 正交
( f , g ) f ( x) g ( x)dx
( f , g) 0
带权正交
常用的分域基
采样函数d(x)
线性插值 样条函数基 小波函数基
极端的分域基—d函数
pd ( x) fid i
i 0
n
p0 ( x) fii
i 0
n
线性逼近和样条逼近
p1 ( x) fii
i 0
n
p2 ( x) aii
i 0
n
分段线性插值使用的基函数
如果上式对所有的 i 都成立，并且 {wi } 和 { i } 都是线性无 关的和完备的，那么就保证余量 R 为 0，从而 u 就是原算 子方程的解。 如果 {wi } 和 { i } 不是完备的，那么余量 R 只能近似为 0， 从而得到原算子方程的近似解。 剩下的问题就是确定系数 { i }。可以看到 {wi } 和 { i } 的线 性无关性对于唯一地确定系数是必要的。
“好”基函数的标准：简单，
易计算，易解释，个数少。 基函数的选择对于逼近的精度
对采样误差有更好的鲁棒性。
和效率至关重要！
整域基与分域基
整域基：在整个区域上都有定义的基函数，如三角函 数和幂函数。 分域基：只在部分区域上有定义（不为0）的基函数， 例如分段逼近使用的基函数。也称局域基。
2. 基函数
若函数空间D中存在一组函数 {i , i 1, 2, 3, , n}，使 得D中任意一个函数都能表示成 { i }的线性组合，则称{ i }
为函数空间D中的一组基（或基底）； i 称基函数。
空间。n 称为函数空间的维数。 基函数的性质： 完备性：——足够的
若n为有限值，称D为有限维函数空间；否则称无限维函数
5. 变分法简介
1 F (u) u L(u) d u f d 2
泛函的物理含义：以静电场Laplace方程 2 0 为例，
由格林定理， ( 2 )dV dS
V S
泛函
1 2 F ( ) d 2 1 1 1 2 ( ) d dS 2 2 S
线性无关性：——没有多余的
正交性：——彼此不但独立，而且毫无交叠
基函数的例子
幂函数（多项式）：有限区域内，任一无限可导的函 数可以借助于Taylor公式展开为幂级数形式
f ( x) ci ( x x0 )i
i
f ( i ) ( x0 ) cFourier级 数形式
求解方程可以确定系数 ai 。
逼近曲线不通过采样点， 而使整体误差最小。
方程个数多于未知数个
数，求得最小二乘解； 基函数线性无关。
拟合
已知若干采样点的两种 逼近: —插值与拟合
基函数有多种选择，如三角函
数、指数函数。
线性无关保证方程有唯一解； 完备性保证了逼近的相似程度。 无法简单的说哪种更好。插值 可保证采样点的精确；而拟合
加权余数法
K
j 1
n
i, j
j bi
(i 1, 2, , n)
或者写为
K α b
加权余量法是通过余量与权函数的正交化过程，把一个算 子方程（微分方程或积分方程）转化为一个可以利用计算机 求解的线性代数方程组。 在此过程中，对权函数与基函数的选择没有任何的限制， 未知数 i 也可以表达非常不同的含义，从而留下了任人发 挥的广阔空间，使它成为各种数值方法的公共基础。
从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有限自由度系统 过渡到无穷自由度系统，用无限维空间描述。
函数是指两个数集之间所建立的一种对应关系。泛函则建
立两个任意集合之间的某种对应关系。
函数空间：具有某种共同特性的一类函数所构成的集合。 不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量。 把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子或算符。
取权函数等于基函数
0 x 1
1 ( x) x(1 x), 2 ( x) x2 (1 x), 3 ( x) x3 (1 x)
分别以二级或三级近似（即展开式取2项或3项）求解上述
sin x 边值问题，并与准确解 u x 比较。 sin1
*
二级近似的Mathemathica实现：
在区间 (xi, xi+1) 上，使用直线段 p1(x) 插值逼近函数 f(x)， 有 或
fi 1 fi p1 ( x) fi ( x xi ) xi 1 xi xi 1 x x xi p1 ( x) fi fi 1 xi 1 xi xi 1 xi
x ( xi , xi 1 )
定义 i
xi 1 x xi 1 xi
x ( xi , xi 1 )
i 1
x xi xi 1 xi
那么 p1 ( x) fii fi 1i 1
x ( xi , xi 1 )
扩展一下定义:
x xi 1 x x i 1 i xi 1 x i xi 1 xi 0
如果余量R＝0，则 u 为精确解。加权余量法的任务是设法使 R为0或者尽量小。方法是选择另一套基底 {wi , i 1, 2, , n} 为权函数，使得
(wi , R) wi [ L(u ) f ] d 0 (i 1, 2, , n)
加权余数法
(wi , R) wi [ L(u ) f ] d 0
n
n
j 1
n
j
wi L( j ) d wi f d
(i 1, 2, , n)
Ki , j wi L( j ) d
bi wi f d
对于确定的权函数 {wi } 与基函数 { i } ，积分是确定的， 因此只有系数 j 是未知量，上式成为一个代数方程：
逼近的方法：选定一组基底
构造逼近函数 { i }
p( x) aii ( x)
i 0 n
，
设法利用已知条件确定系数 ai 。
已知函数若干采样点的 逼近(1) — 插值
i 若选用多项式基底{ x } ，构
造逼近函数：
p( x ) ai x i
i 0 n
令 p(x) 满足：
p( x j ) f j ( j 1, 2, , 7)
x ( xi 1 , xi ) x ( xi , xi 1 ) x ( xi 1 , xi 1 )
那么在整个区间上，有
p1 ( x) fii
i 0