集合知识点+基础习题(有答案)
集合考试题及答案

集合考试题及答案集合是数学中的一个基本概念,它在各个领域都有着广泛的应用。
以下是一些集合考试题及其答案,供参考:题目一:定义集合A={x | x是自然数,且1≤x≤10},集合B={y |y是偶数}。
求A∩B。
答案:集合A包含自然数1到10,即A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}。
集合B包含所有的偶数。
A与B的交集是同时属于A和B的元素,即A∩B={2, 4, 6, 8, 10}。
题目二:集合C={x | x是整数,且-5≤x≤5},集合D={y | y是正整数}。
求C∪D。
答案:集合C包含从-5到5的所有整数,即C={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}。
集合D包含所有的正整数,即D={1, 2, 3, ...}。
C与D的并集是包含C和D所有元素的集合,但去除重复元素。
因此,C∪D包含了从-5到无穷大的所有整数,由于题目限制,我们只列出到5,即C∪D={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}。
题目三:集合E={x | x是奇数},集合F={y | y是3的倍数}。
求E∩F。
答案:集合E包含所有的奇数,集合F包含所有3的倍数。
E与F的交集是同时满足奇数和3的倍数的元素。
这些元素是3的奇数倍,即E∩F={3, 9, 15, ...},但题目中没有指定范围,我们只列出前三个元素。
题目四:集合G={x | x²=1},求G。
答案:集合G包含满足x²=1的所有x值。
解这个方程,我们得到x=1或x=-1。
因此,G={1, -1}。
题目五:集合H={x | x²-4=0},求H。
答案:集合H包含满足x²-4=0的所有x值。
解这个方程,我们得到x²=4,所以x=2或x=-2。
因此,H={2, -2}。
总结:集合论是数学的基础之一,它涉及到元素与集合之间的关系,包括交集、并集、补集等概念。
集合的概念与运算例题及答案

1 集合的概念与运算(一)目标: 1.理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质,3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法.重点: 1.集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法,集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用.基本知识点:知识点1、集合的概念(1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集)(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合记作N ,{}Λ,2,1,0=N(2)正整数集:非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N (3)整数集:全体整数的集合记作Z , {}Λ,,,210±±=Z(4)有理数集:全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q(5)实数集:全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0(2)非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z *知识点3、元素与集合关系(隶属)(1)属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A(2)不属于:如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ∉注意:“∈”的开口方向,不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性(1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可(2)互异性:集合中的元素没有重复(3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)知识点5、集合与元素的表示:集合通常用大写的拉丁字母表示,如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示,如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1:1、下列各组对象能确定一个集合吗?(1)所有很大的实数 (不确定)(2)好心的人 (不确定)(3)1,2,2,3,4,5.(有重复)2、设a,b 是非零实数,那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__3、由实数x,-x,|x |,332,x x -所组成的集合,最多含( A )(A )2个元素 (B )3个元素 (C )4个元素 (D )5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a +b 2(a ∈Z, b ∈Z )的数,求证:(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ,y ∈G ,则x +y ∈G ,而x1不一定属于集合G 证明(1):在a +b 2(a ∈Z, b ∈Z )中,令a=x ∈N,b=0,则x= x +0*2= a +b 2∈G,即x ∈G证明(2):∵x ∈G ,y ∈G ,∴x= a +b 2(a ∈Z, b ∈Z ),y= c +d 2(c ∈Z, d ∈Z )∴x+y=( a +b 2)+( c +d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ,又∵211b a x +==2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数, ∴211b a x +==2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法:(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合例如,由方程012=-x 的所有解组成的集合,可以表示为{-1,1}注:(1)有些集合亦可如下表示:从51到100的所有整数组成的集合:{51,52,53, (100)所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,…}(2)a 与{a}不同:a 表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素(2)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式:{x ∈A| P (x )}含义:在集合A 中满足条件P (x )的x 的集合例如,不等式23>-x 的解集可以表示为:}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为:}|{是直角三角形x x注:(1)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分如:{直角三角形};{大于104的实数}(2)错误表示法:{实数集};{全体实数}(3)、文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考:何时用列举法?何时用描述法?⑴有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法如:集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出来,常用描述法 如:集合}1|),{(2+=x y y x ;集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗?答:不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合,集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2:1、用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2,-4,-6,-8,-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1,3,5,15}②{(x ,y )|x ∈{1,2},y ∈{1,2}}{(1,1),(1,2),(2,1)(2,2)}注:防止把{(1,2)}写成{1,2}或{x=1,y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1,1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {(0,8)(2,5),(4,2)}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)}3、关于x 的方程ax +b=0,当a,b 满足条件____时,解集是有限集;当a,b 满足条件_____时,解集是无限集4、用描述法表示下列集合:(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升:1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+,其中a R ∈, ⑴若3A -∈,求实数a 的值;⑵当a 为何值时,集合A 的表示不正确。
集合(含答案)

1.集合的基本概念 (1)我们把研究对象统称为________,把一些元素组成的总体 叫做________. (2)集合中元素的三个特性:________,________, _____. (3)集合常用的表示方法:________和________. 2.常用数集的符号 数集 符号 3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系:如果 a 是集合 A 中的元素, 就说 a ________集合 A,记作________;如果 a 不是集合 A 中的元 素,就说 a________集合 A,记作________. (2)集合与集合之间的关系: 表示 关系 相等 子集 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A 中任意一个元素均为 B 中的元素 符号语言 __________ ⇔A=B ________或 ________ 正整数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集
真子集
A 中任意一个元素均为 B 中的元素,且 B 中至少有一个元素不是 A 中的元素
________或 ________ ⊆A, B (B≠ )
空集
空集是任何集合的子集,是任何______的 真子集
结论:集合{a1,a2,„,an}的子集有______个,非空子集有 ________个,非空真子集有________个.
类型二
集合间的关系
例 2. 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}. (1)若 B={x|m+1≤x≤2m-1},B⊆A,求实数 m 的取值范围; (2)若 B={x|m-6≤x≤2m-1},A=B,求实数 m 的取值范围; (3)若 B={x|m-6≤x≤2m-1},A⊆B,求实数 m 的取值范围. 解:由 A={x|x2-3x-10≤0},得 A={x|-2≤x≤5}, (1)若 B⊆A,则 ①当 B=∅,有 m+1>2m-1,即 m<2,此时满足 B⊆A; m+1≤2m-1, ②当 B≠∅,有m+1≥-2,
高中数学集合习题及详解

高中数学集合习题及详解一、单选题1.设S 是整数集Z 的非空子集,如果任意的,a b S ∈,有ab S ∈,则称S 关于数的乘法是封闭的.若T 、V 是Z 的两个没有公共元素的非空子集,T V ⋃=Z .若任意的,,a b c T ∈,有abc T ∈,同时,任意的,,x y z V ∈,有xyz V ∈,则下列结论恒成立的是( ) A .T 、V 中至少有一个关于乘法是封闭的B .T 、V 中至多有一个关于乘法是封闭的C .T 、V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D .T 、V 中每一个关于乘法都是封闭的2.设R U =,1{|2}2x A x =<,{1}B x =,则()U B A ⋂=( ) A .{|0}x x <B .{}|1x x >C .{}|01x x <<D .{}|01x x <≤3.已知全集{}{}1,2,3,,2,3U A U B =⊆=,若A B ⋂≠∅,且A B ⊆/则集合A 有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.已知集合{}{}1,(2)0A x x B x x x =<=-<,则A B ⋃=( )A .(0,1)B .(1,2)C .(,2)-∞D .(0,)+∞5.已知集合{}lg 0A x x =≤,{}22320B x x x =+-≤,则A B ⋃=( ) A .122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B .{}21x x -≤≤C .102x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D .102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ 6.已知集合{|10}M x x =->,集合{|(4)0}N x x x =-<,则集合M N =( )A .{|0}x x >B .{|14}x x <<C .{|0x x <或1}x >D .{|0x x <或4}x > 7.设集合1|05x A x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭,{}|13B x x =-≤≤,则()A B =R ( ) A .{}|35x x ≤<B .{}|15x x ≤<C .{}|15x x -≤<D .{}|13x x ≤≤8.设集合{}A x x a =>,{}2320B x x x =-+>,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是( ).A .(),1-∞B .(],1-∞C .()2,+∞D .[)2,+∞9.设集合(){}ln 2A x y x ==-,{}13B x x =≤≤,则A B ⋃=( )A .(]2,3B .[)1,+∞C .()2,+∞D .(],3-∞ 10.已知集合()(){}{}1460,7524||A x x x B x x =+--≤=-≤-≤,则A B ⋃=( )A .1|12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤B .{}|26x x -≤≤C .1|52x x ⎧≤≤⎫⎨⎬⎩⎭D .{}|14x x ≤≤ 11.已知集合50{|}A x x =<<-,{}41B x x =-≤≤,则A B ⋃=( )A .AB .BC .(5,1]-D .[4,0)- 12.设集合{}220A x x x =-≤,{}1,2,3B =,{}2,3,4C =,则()A B C =( )A .{}2B .{}2,3C .{}1,2,3,4D .{}0,1,2,3,413.已知集合{}2230A x x x =--≤,{}22B x x =-≤<,则A B ⋃=( ) A .{}12x x -≤< B .{}12x x -≤≤ C .{}22x x -<< D .{}23x x -≤≤14.设集合{}{21,2,3|50}A B x x bx =---=++=,.若{}1A B ⋂=-,则B =( ) A .(-1,-3} B .{-1,3} C .{}1,5-- D .{}1,5-15.已知集合{}2|20,A x x x x R =--≤∈,{}|14,B x x x Z =-<<∈,则A B =( ) A .(1,2]-B .(1,2)-C .{}0,2D .{}0,1,2二、填空题16.如图,设集合,A B 为全集U 的两个子集,则A B =____________.17.已知集合{}2,1,2A =-,{}1,B a a =,且B A ⊆,则实数a 的值是___________. 18.若全集S ={2, 3, 4},集合A ={4, 3},则S A =____;若全集S ={三角形},集合B ={锐角三角形},则S B =______;若全集S ={1, 2, 4, 8}, A =∅,则S A =_______;若全集U ={1, 3, a 2+2a +1},集合A ={1, 3},U A ={4},则a =_______;已知U 是全集,集合A ={0, 2, 4},U A ={-1, 1},U B ={-1, 0, 2},则B =_____.19.已知[]x 表示不超过x 的最大整数.例如[2.1]2=,[ 1.3]2-=-,[0]0=,若{[]}A y y x x ==-∣,{0}∣=≤≤B y y m ,y A 是y B ∈的充分不必要条件,则m 的取值范围是______.20.已知集合{}22A x x =-≤≤,若集合{}B x x a =≤满足A B ⊆,则实数a 的取值范围____________.21.满足{}{},,a M a b c ⊆⊆的所有集合M 共有__________ 个.22.已知集合{}0,1,2A =,则集合{}3,B b b a a A ==∈=______.(用列举法表示)23.设集合21|,|32A x m x m B x n x n ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,且,A B 都是集合{}|01x x ≤≤的子集,如果把b a -叫作集合{}|≤≤x a x b 的“长度”,那么集合A B 的“长度”的最小值是___________.24.已知集合{}{}2560,A x x x B x x x =--<==-,则A B =__________. 25.若a 、b 、R x ∈且a 、0b ≠,集合b a B x x a b ⎧⎫⎪⎪==+⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则用列举法可表示为______. 三、解答题26.已知集合______,集合{}22,B x m x m m R =<<∈.从下列三个条件中任选一个,补充在上面横线中.①301x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭;②{}12A x x =-<;③{}2230A x x x =--<. (1)当1m =-时,求()R A B ⋂;(2)若A B A ⋃=,求实数m 的取值范围.27.在①{}{}21,22,1,0a a a a ⊆-+-;②关于x 的不等式13ax b <+≤的解集是{}34x x <≤这两个条件中任选一个,补充在下面的问题(1)中并解答,若同时选择两个条件作答,以第一个作答计分.(1)已知______,求关于x 的不等式230ax x a -->的解集A ;(2)在(1)的条件下,若非空集合{}22B x k x k =<≤+,A B A ⋃=,求实数k 的取值范围.28.(1)已知U =R ,且{}|44A x x =-<<,{|1B x x =≤或}3x ≥,求A B ; (2)设{}Z|66A x x =∈-≤≤,{}1,2,3B =,{}3,4,5,6C =,求()()A A B C .29.用描述法写出下面这些区间的含义:[]2,7-;[),a b ;()123,+∞;(],9-∞-.30.把区间[)1,+∞看成全集,写出它的下列子集的补集:()1,A =+∞;{}1B =;{}15C x x =≤<;[)3,D =+∞.【参考答案】一、单选题1.A【解析】【分析】本题从正面解比较困难,可运用排除法进行作答.考虑把整数集Z 拆分成两个互不相交的非空子集T 、V 的并集,如T 为奇数集,V 为偶数集,或T 为负整数集,V 为非负整数集进行分析排除即可.【详解】若T 为奇数集,V 为偶数集,满足题意,此时T 与V 关于乘法都是封闭的,排除B 、C ; 若T 为负整数集,V 为非负整数集,也满足题意,此时只有V 关于乘法是封闭的,排除D ;从而可得T 、V 中至少有一个关于乘法是封闭的,A 正确.故选:A .2.B【解析】【分析】解不等式求得集合A 、B ,由此求得()U B A ⋂.【详解】11222x -<=,由于2x y =在R 上递增,所以1x <-, 即{}|1A x x =<-,{}|1U A x x =≥-,11x >⇒>,所以{}|1B x x =>,所以(){}|1U BA x x =>. 故选:B3.C 【解析】【分析】根据题意,列举出符合题意的集合.【详解】因为全集{}{}1,2,3,,2,3U A U B =⊆=,若A B ⋂≠∅,且A B ⊆/,所以{}1,2,3A =或{}1,2A =或{}1,3A =.故选:C4.C【解析】【分析】求出集合B ,由并集的定义即可求出答案.【详解】 因为{}{}(2)002B x x x x x =-<=<<,则}{2A B x x ⋃=<.故选:C.5.B【解析】【分析】解对数不等式以及一元二次不等式,求出集合A,B ,根据集合的并集运算求得答案.【详解】解22320x x +-≤ 可得122x -≤≤ , 故{}{}lg 001A x x x x =≤=<≤,122B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭, 所以{}21A B x x ⋃=-≤≤,故选:B .6.B【解析】【分析】根据题意分别求出集合M 和N 的解集,求交集运算即可.【详解】根据题意得,{|1}M x x =>,{|04}N x x =<<,所以{|14}MN x x =<<.故选:B.7.D【解析】【分析】求解分式不等式的解集,再由补集的定义求解出A R ,再由交集的定义去求解得答案.【详解】 1015x x x ->⇒<-或5x >,所以{}15A x x =≤≤R , 所以得(){}13A B x x ⋂=≤≤R .故选:D8.D【解析】【分析】先求出集合B ,再由A B ⊆求出实数a 的范围.【详解】{}{23202B x x x x x =-+>=>或}1x <. 因为集合{}A x x a =>,A B ⊆,所以2a ≥.故选:D9.B【解析】【分析】根据对数型函数的性质,结合集合并集的定义进行求解即可. 【详解】因为(2,)A =+∞,{}13B x x =≤≤,所以A B ⋃=[)1,+∞,故选:B10.B【解析】【分析】 化简集合A 和B ,根据集合并集定义,即可求得答案.【详解】()(){}140|6A x x x =+--≤{}{}2=|310=|(5)(02)0x x x x x x ---+≤≤∴{}|25A x x =-≤≤{}{}|=75241221|B x x x x =-≤-≤-≤-≤-∴1|62x x B ⎧⎫=≤⎨⎩≤⎬⎭∴{}{}1|25|6=|262A B x x x x x x ⎧⎫-≤⎨⎬⋃=≤≤⋃≤-≤⎩≤⎭故选:B.11.C【解析】【分析】根据集合并集的概念及运算,正确运算,即可求解.【详解】由题意,集合50{|}A x x =<<-,{}41B x x =-≤≤,根据集合并集的概念及运算,可得{|51}(5,1]A B x x =-<≤=-.故选:C.12.C【解析】【分析】先求出集合A ,再按照交集并集的运算计算()A B C 即可.【详解】{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤,{}(){}1,2,1,2,3,4A B A B C ==. 故选:C.13.D【解析】【分析】先解一元二次不等式求出集合A ,再按集合的并集运算即可.【详解】 由题意得{}13A x x =-≤≤,因为{}22B x x =-≤<,所以{}23A B x x ⋃=-≤≤. 故选:D.14.C【解析】【分析】根据交集结果得到1B -∈,所以150b -+=,解出6b =,从而解方程,求出B ={}1,5--.【详解】因为{1}A B ⋂=-,所以150b -+=,解得6b =,则2650x x ++=的解为1x =-或5x =-,故B ={}1,5--故选:C15.D【解析】【分析】解不等式后求解【详解】220x x --≤,解得[1,2]A =-,{0,1,2}A B ⋂=故选:D二、填空题16.{}1,2,3,4,5【解析】【分析】由题知{}{}1,2,3,4,3,4,5A B ==,进而求并集即可.【详解】解:由题知{}{}1,2,3,4,3,4,5A B ==,所以{}1,2,3,4,5A B =.故答案为:{}1,2,3,4,517.1【解析】【分析】由子集定义分类讨论即可.【详解】因为B A ⊆,所以a A ∈1A ∈,当2a =-1无意义,不满足题意;当1a =12=,满足题意;当2a =11=,不满足题意.综上,实数a 的值1.故答案为:118. {2} {直角三角形或钝角三角形} {1, 2, 4, 8} 1或-3##-3或1 {1, 4}##{}4,1【解析】【分析】利用补集的定义,依次分析即得解【详解】若全集S ={2, 3, 4},集合A ={4, 3},由补集的定义可得S A ={2};若全集S ={三角形},集合B ={锐角三角形},由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形,故S B ={直角三角形或钝角三角形};若全集S ={1, 2, 4, 8}, A =∅,由补集的定义S A ={1, 2, 4, 8};若全集U ={1, 3, a 2+2a +1},集合A ={1, 3},U A ={4},故{1,3,4}U U A A =⋃=即2214a a ++=,即223(1)(30a a a a +-=-+=),解得=a 1或-3; 已知U 是全集,集合A ={0, 2, 4},U A ={-1, 1},故{1,0,1,2,4}U U A A =⋃=-,U B ={-1, 0, 2},故B ={1, 4} 故答案为:{2},{直角三角形或钝角三角形},{1, 2, 4, 8},1或-3,{1, 4}19.[)1,+∞【解析】【分析】由题可得{[]}[0,1)A yy x x ==-=∣,然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求.【详解】∵[]x 表示不超过x 的最大整数,∴[]x x ≤,[]01x x ≤-<,即{[]}[0,1)A yy x x ==-=∣, 又y A 是y B ∈的充分不必要条件,{0}∣=≤≤B y y m ,∴A B ,故m 1≥,即m 的取值范围是[)1,+∞.故答案为:[)1,+∞.20.[2,+∞)【解析】【分析】根据A B ⊆结合数轴即可求解.【详解】 ∵{}22A x x =-≤≤≠∅,A B ⊆,∴A 与B 的关系如图:∴a ≥2.故答案为:[2,+∞).21.4【解析】【分析】由题意列举出集合M ,可得集合的个数.【详解】由题意可得,{}M a =或{},M a b =或{},M a c =或{},,M a b c =,即集合M 共有4个 故答案为:422.{0,3,6}【解析】【分析】根据给定条件直接计算作答.【详解】因{}0,1,2A =,而{}3,B b b a a A ==∈,所以{0,3,6}B =.故答案为:{0,3,6}23.16【解析】【分析】根据“长度”定义确定集合,A B 的“长度”,由A B “长度”最小时,两集合位于集合[]0,1左右两端即可确定结果.【详解】由题可知,A 的长度为23 ,B 的长度为12, ,A B 都是集合{|01}x x ≤≤的子集, 当A B 的长度的最小值时,m 与n 应分别在区间[]0,1的左右两端,即0,1m n ==,则|0,213|12A x x B x x ⎧⎫⎧⎫=≤≤=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, 故此时1223A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭的长度的最小值是:211326-=. 故答案为:16 24.{}|10x x -<≤【解析】【分析】求出集合A ,B ,依据交集的定义求出A B .【详解】 集合{}2560{|16}A x x x x x =--<=-<<,{}{}|0B x x x x x ==-=≤,{}|10A B x x ∴=-<≤.故答案为:{}|10x x -<≤.25.2,0,2【解析】【分析】分别讨论,a b 正负即可求出.【详解】当0,0a b <<时,112b a x a b =+=--=-, 当0,0a b <>时,110b a x a b =+=-+=, 当0,0a b ><时,110b a x a b =+=-=, 当0,0a b >>时,112b a x a b=+=+=, 所以用列举法可表示为2,0,2.故答案为:2,0,2.三、解答题26.(1)(){}1,1R A B x x x ⋂=≤-≥ (2)122m -≤≤ 【解析】【分析】(1)首先分别求两个集合,再求集合的运算;(2)由条件可知B A ⊆,分B =∅和B ≠∅两种情况,求实数m 的取值范围.(1)若选①301x x -<+,则13x ,所以{}13A x x =-<<, 若选②12212x x -<⇔-<-<,得13x ,若选③()()2230130x x x x --<⇔+-<,得13x ,1m =-时,{}21B x x =-<<,{}11A B x x ⋂=-<<(){}1,1R A B x x x ⋂=≤-≥; (2)B A ⊆当B =∅,22m m ≥,得02m ≤≤当B ≠∅,22221,3m m m m ⎧<⎪≥-⎨⎪≤⎩得102m -≤< ∴122m -≤≤. 27.(1)条件选择见解析,12A x x ⎧=<-⎨⎩或}2x > (2)[)5,1,22∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)若选①,分2122a a =-+和11a =-,求得a ,再利用一元二次不等式的解法求解; 若选②,根据不等式13ax b <+≤的解集为{}34x x <≤,求得a ,b ,再利用一元二次不等式的解法求解;(2)由A B A ⋃=,得到B A ⊆求解;(1)解:若选①,若2122a a =-+,解得1a =,不符合条件.若11a =-,解得2a =,则2222a a -+=符合条件.将2a =代入不等式230ax x a -->并整理得()()2210x x -+>,解得2x >或12x <-,故12A x x ⎧=<-⎨⎩或}2x >. 若选②,因为不等式13ax b <+≤的解集为{}34x x <≤,所以3143a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得25a b =⎧⎨=-⎩. 将2a =代入不等式整理得()()2210x x -+>,解得2x >或12x <-. 故12A x x ⎧=<-⎨⎩或}2x >. (2)∵A B A ⋃=,∴B A ⊆,又∵B ≠∅, ∴22122k k k +>⎧⎪⎨+<-⎪⎩或2222k k k +>⎧⎨≥⎩, ∴52k <-或12k ≤<, ∴[)5,1,22k ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 28.(1){|41A B x x ⋂=-<≤或}34x ≤<;(2)()(){}6,5,4,3,2,1,0A A B C =------.【解析】【分析】(1)利用集合的交运算即可求解A B ;(2)根据已知集合的描述,应用集合的交并补混合运算求()()A AB C . 【详解】(1){}{|44|1A B x x x x ⋂=-<<⋂≤或}3{|41x x x ≥=-<≤或}34x ≤<.(2)由题意,}{6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------,且{}1,2,3B =,{}3,4,5,6C =, 所以{}1,2,3,4,5,6B C ⋃=,则(){}6,5,4,3,2,1,0A B C =------. 所以()(){}6,5,4,3,2,1,0A A B C =------.29.{}27x x -≤≤;{}x a x b ≤<;{}123x x >;{}9x x ≤-.【解析】【分析】将区间转化为集合,用描述法写出答案.【详解】[]2,7-用描述法表示为:{}27x x -≤≤;[),a b 用描述法表示为:{}x a x b ≤<;()123,+∞用描述法表示为:{}123x x >;(],9-∞-用描述法表示为:{}9x x ≤-. 30.{}U 1A =,()U 1,B =+∞,[)U 5,C =+∞,[)U 1,3D =【解析】【分析】根据补集的定义计算可得;【详解】解:因为[)1,U =+∞,所以{}U 1A =,()U 1,B =+∞,[)U 5,C =+∞,[)U 1,3D =。
集合综合练习题及答案

集合综合练习题及答案一、选择题1、下列哪个选项不是集合?A. {1,2,3,4,5}B. {x|x是正方形}C. {x|0<x<10}D. {x|x是中国的城市}答案:D. {x|x是中国的城市}。
因为D中的元素是不确定的,而集合中的元素必须是确定的。
2、下列哪个选项是集合?A. {1,2,3,4,5}的元素都是整数。
B. {x|x是正方形}的元素都是四边形。
C. {x|0<x<10}的元素都是正数。
D. {x|x是中国的城市}的元素都是城市。
答案:A. {1,2,3,4,5}的元素都是整数。
因为选项A中的元素都是确定的,符合集合的定义。
3、下列哪个选项不是集合?A. {1,2,3,4,5}的元素个数为5。
B. {x|x是正方形}中的元素为四边形。
C. {x|0<x<10}中的元素为正数。
D. {x|x是中国的城市}中的元素为城市。
答案:B. {x|x是正方形}中的元素为四边形。
因为B中的元素不是确定的,不符合集合的定义。
二、填空题1、写出集合{1,2,3,4,5}的所有子集:______。
2、写出集合{x|x是正方形}的所有子集:______。
3、写出集合{x|0<x<10}的所有子集:______。
4、写出集合{x|x是中国的城市}的所有子集:______。
答案:1、{∅,{1},{2},{3},{4},{5},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}}。
2、{∅,{正方形}}。
3、{∅,{正数}}。
4、{∅,{城市}}。
2 集合综合练习题合作经营可行性分析报告一、引言随着全球化的深入发展,企业间的合作已经成为一种趋势。
通过合作经营,企业可以共享资源、降低风险、提高效率,进而实现更大的商业价值。
本报告旨在分析合作经营的可行性,为企业决策提供参考。
二、合作经营的定义与优势合作经营是指两个或多个企业在一定领域内共同出资、共同经营、共担风险、共享收益的一种经营模式。
高考(高中)数学 集合的概念 100道练习题 有答案

高中(高考)数学知识点集合的概念练习卷试卷排列:按知识点知识点:集合的概念难度:中等以上版本:适合各地版本题型:填空题40多道,选择题20多道,解答题20多道,共100道有无答案:均有答案或解析价格:6元,算下来每题6分钱。
页数:46页1.已知A B ⊆,A C ⊆,{}1,2,3,5B =,{}0,2,4,8C =,则A 可以是( ) A .{}1,2 B .{}2,4 C .{}2 D .{}4 【答案】C【解析】解:因为{2}}8,4,2,0{},5,3,2,1{,可以是A C B B A C A ∴==⊆⊆2.若A 、B 、C 为三个集合,且C B B A =,则一定有( ) A 、C A ⊆ B 、A C ⊆ C 、C A ≠ D 、φ=A 【答案】A3.: 集合2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤,则PM =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3} 【答案】:B . 【解析】:{}0,1,2P =,[]3,3M =-,因此P M ={}0,1,24.设a ,b ∈R ,集合a b b aba b a -=+则},,,0{},,1{=(A )1 (B )-1 (C )2 (D )-2 【答案】C5.已知集合{(,),}U x y x R y R =∈∈,{(,)}M x y x y a =+<,{(,)()}P x y y f x ==,现给出下列函数:①x y a =②log a y x =③sin()y x a =+④cos y ax =,若01a <<时,恒有U P C M P ⋂=,则()f x 所有可取的函数的编号是 ( )A . ①②③④B .①②④C .①②D .④ 【答案】B 【解析】考点:补集及其运算;交集及其运算. 专题:计算题;数形结合.分析:利用补集的定义求出∁uM ,由P∩∁uM=P ,得到P ⊆∁uM ,故P 中的函数f (x )必须满足||x|+|y|≥a,检验各个选项是否满足此条件.解答:解:∵∁uM={(x ,y )||x|+|y|≥a},0<a <1时,P∩∁uM=P ,∴P={(x ,y )y=f (x )}⊆∁uM ,如图所示:结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线|x|+|y|=a (-a≤x≤a )的上方.①中,x ∈R ,y >0,满足|x|+|y|≥a,故①可取.②中,x >0,y=log a x ∈R ,满足||x|+|y|≥a,故②可取. ③中的函数不满足条件,如 x=0,a=π4时,y= 22,不满足|x|+|y|≥a.④中x ∈R ,-1≤y≤1,满足||x|+|y|≥a,故④可取.故选B .点评:本题考查补集的定义和运算,交集的定义和运算,求出∁uM={(x ,y )||x|+|y|≥a},是解题的关键.6.对于集合M、N,定义{},M N x x M x N -=∈∉且,()()M N M N N M ⊕=--.设{}23A t t x x ==-,(){}lg B x y x ==-,则A B ⊕为( )A .904x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭-<≤B.904x x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭<-≥或C .904x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭-<≤D .904x x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭->≤或【答案】B7.设集合{|0},{|03},1xA xB x x x =<=<<-那么“x A ∈”是“x B ∈”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A8.设集合A p a a x a x A ∈><<--=1:},0,2|{命题,命题.2:A q ∈若q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,则a 的取值范围是 ( )A .210><<a a 或B .210≥<<a a 或C .21≤<aD .21≤≤a【答案】C 【解析】由题q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,可知p 、q 中有且仅有一个为真命题, i)若p 为真,q 为假,则0,12><<--a a a 且A ∉2,解得21≤<a ; ii) 若q 为真,则0,22><<--a a a ,解得2>a ,可知A ∈1,则p 为真,不符题意.9.含有三个实数的集合可表示为{a, ab,1},也可表示为{a 2,a+b ,0},则a 2007 +b 2007的值为( )A .0B .1C .—1D .1± 【答案】C【解析】100-=⇒=⇒=a b ab得a 2007 +b 12007-=10.设集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ,映射N M f →:使得对任意的M x ∈,都有)()(x xf x f x ++是奇数,则这样的映射f 的个数是 ( )(A )45 (B )27 (C )15 (D )11 【答案】A 【解析】当2-=x 时,)2(2)()(---=++f x xf x f x 为奇数,则)2(-f 可取1、3、5,有3种取法;当0=x 时,)0()()(f x xf x f x =++为奇数,则)0(f 可取1、3、5,有3种取法;当1=x 时,)1(21)()(f x xf x f x +=++为奇数,则)1(f 可取1、2、3、4、5,有5种取法。
集合测试题及答案

集合测试题及答案一、选择题1. 集合A和集合B的并集表示为:A. A∪BB. A∩BC. A-BD. A∪B答案:A2. 集合A中所有元素都属于集合B,则称集合A是集合B的:A. 子集B. 并集C. 交集D. 补集答案:A3. 若集合A={1, 2, 3},集合B={2, 3, 4},则A∩B的元素个数为:A. 1B. 2C. 3D. 4答案:B二、填空题1. 集合{1, 2, 3}的补集(相对于全集U={1, 2, 3, 4, 5})是________。
答案:{4, 5}2. 若A={x | x是偶数},B={x | x是3的倍数},则A∩B的元素包括所有________。
答案:6的倍数三、简答题1. 描述什么是集合的幂集,并给出一个具体的例子。
答案:集合的幂集是指一个集合的所有子集构成的集合,包括空集和该集合本身。
例如,集合A={1, 2}的幂集是{∅, {1}, {2}, {1, 2}}。
2. 解释什么是集合的差集,并给出一个例子。
答案:集合的差集是指属于集合A但不属于集合B的所有元素组成的集合。
例如,如果A={1, 2, 3},B={2, 3, 4},则A-B={1}。
四、计算题1. 给定集合A={1, 2, 3, 4}和集合B={3, 4, 5, 6},求A∪B,A∩B,A-B。
答案:A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A∩B = {3, 4}A-B = {1, 2}2. 如果集合C={x | x是小于10的正整数},求C的幂集。
答案:C的幂集包含从空集到C本身的所有子集,即{∅, {1},{2}, ..., {1, 2, ..., 9}}。
五、论述题1. 讨论集合论在数学中的重要性,并给出至少两个应用领域的例子。
答案:集合论是现代数学的基础,它提供了一种形式化的方法来描述数学对象和它们之间的关系。
例如,在逻辑学中,集合论用于定义命题的真值;在计算机科学中,集合论的概念被用来设计数据结构和算法。
集合经典练习题含答案

集合学习过程一、复习预习考纲要求:1理解集合的概念。
2.能在具体的数学环境中,应用集合知识。
3 •特别是集合间的运算。
4•灵活应用集合知识与其它知识间的联系,集合是一种方法。
二、知识讲解1.集合的相关概念基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法集合元素的特征:确定性、互异性、无序性常见的数集:自然数集、整数集、有理数集、实数集2集合间的关系任何一个集合是它本身的子集,记为 A A ;空集是任何集合的子集,记为 A ;空集是任何非空集合的真子集;n元集的子集个数共有2个;真子集有2 -1个;非空子集有2 -1个;非空的真子集有2 - 2个.3.集合间的运算交:A P1B {x|x A,且x B}并:AU B = {x|x A或x B}补:QjA= {x U ,且x - A}4主要性质和运算律包含关系.A A" AA U,C U A U,口 、• A 匸 B,B§C= AQC; A,A["]B§ B; AUB :A,AUBmB.等价关系:A Bu A D B 二 Au AUB 二 Bu GAU B 二U集合的运算律:交换律:A B=B A; A B=B A. 新课标第一网结合律:(A B) C=A (B C);(A B) C=A (B C)A (B C) =(A B) (A C); A (B C) =(A B) (A C)三、例题精析考点一子集、真子集【例题1】:集合{-1,0,1}共有 ____________ 个子集【答案】:8【解析】:n 元集的子集个数共有2n 个,所以是8个。
k 1 k 1【例题 2】:设集合 M ={x|x =—+ —,k ^ z}, N ={x|x=—+ —,k ^ Z},则2 4 4 2(A )M 二 N ( B )M 二 N ( C )M -: N ( D ) M N =: 一【答案】:B【解析】:由集合之间的关系可知, M N ,或者可以取几个特殊的数,可以得到B考点二集合的简单运算【例题3】:已知集合M ={1,2,3}, N ={2,3,4},贝UA. M ±NB. N ±MC. M 一 N ={2,3}D. M L )N ={1,4}【答案】:C【解析】:根据集合的运算,正确的只有 Co【例题 4】:设集合 U ={1,2,3,4,5 }, A = {1,2,3 },B ={2,3,4},则 C U (A “B)=()(1) (2) (3) 分配律:.【答案】:C u(A B) ={1,4,5}【解析】:因为A B .{2,3},所以C u(A B) ={1,4,5}。
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集合练习题
知识点
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).
1.集合中元素具的有几个特征
⑴确定性-因集合是由一些元素组成的总体,当然,我们所说的“一些元素”是确定的.
⑵互异性-即集合中的元素是互不相同的,如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个,即集合中的元素是不重复出现的.
⑶无序性-即集合中的元素没有次序之分.
2.常用的数集及其记法
我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.
常用数集及其记法
非负整数集(或自然数集),记作N
正整数集,记作N*或N+;
整数集,记作Z
有理数集,记作Q
实数集,记作R
3.元素与集合之间的关系
4.反馈演练
1.填空题
2.选择题
⑴以下说法正确的( )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}
(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定
⑵已知2是集合M={ }中的元素,则实数为( )
1
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
二、集合的几种表示方法
1、列举法-将所给集合中的元素一一列举出来,写在大括号里,元素与元素之间用逗号分开.
*有限集与无限集*
⑴有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集
例如: A={1~20以内所有质数}
⑵无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集
例如: B={不大于3的所有实数}
2、描述法-用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
3、图示法 -- 画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示
如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:
三、集合间的基本关系
观察下面几组集合,集合A与集合B具有什么关系?
(1) A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}.
(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.
(3) A={正方形},B={四边形}.
(4) A=∅,B={0}.
1.子集
定义:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A⊆B(或B⊇A),即若任意x∈A,有x∈B,则A⊆B(或A⊂B)。
这时我们也说集合A是集合B的子集(subset)。
2
3 如果集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A,就记作A ⊈B (或B ⊉A ),即:若存在x ∈A,有x ∉B ,则A ⊈B(或B ⊉A)
说明:A ⊆B 与B ⊇A 是同义的,而A ⊆B 与B ⊆A 是互逆的。
规定:空集∅是任何集合的子集,即对于任意一个集合A 都有∅⊆A 。
例1.判断下列集合的关系.
(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;
(5) A={x| (x-1)2=0}, B={y|y 2-3y+2=0};
(6) A={1,3}, B={x|x 2-3x+2=0};
(7) A={-1,1}, B={x|x 2-1=0};
(8)A={x|x 是两条边相等的三角形} B={x|x 是等腰三角形}。
问题:观察(7)和(8),集合A 与集合B 的元素,有何关系?
⇒集合A 与集合B 的元素完全相同,从而有:
2.集合相等
定义:对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素(即A ⊆B ),同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素(即B ⊆A ),则称集合A 等于集合B ,记作A=B 。
如:A={x|x=2m+1,m ∈Z},B={x|x=2n-1,n ∈Z},此时有A=B 。
问题:(1)集合A 是否是其本身的子集?(由定义可知,是)
(2)除去∅与A 本身外,集合A 的其它子集与集合A 的关系如何?(包含于A ,但不等于
A )
3.真子集:
由“包含”与“相等”的关系,可有如下结论:
(1)A ⊆A (任何集合都是其自身的子集);
(2)若A ⊆B ,而且A ≠B (即B 中至少有一个元素不在A 中),则称集合A 是集合B 的真子集(proper s
u b s e t ),记作 B 。
(空集是任何非空集合的真子集) (
3)对于
集合
A ,
B ,
C ,
若
A
⊆
B ,B
⊆
C
4.证明集合相等的方法:
(1) 证明集合A ,B 中的元素完全相同;(具体数据)
(2) 分别证明A ⊆B 和B ⊆A 即可。
(抽象情况) 对于集合A ,B ,若A ⊆B 而且B ⊆A ,则A=B 。
例1.判断下列两组集合是否相等?
(1)A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}
例2.解不等式x-3>2,并把结果用集合表示。
结论:一般地,一个集合元素若为n 个,则其子集数为2n 个,其真子集数为2n -1个,特别地,空集的子集个数为1,真子集个数为0。
1、已知集合,,且,则等于
(A )(B )(C )(D )
2、设全集,集合,,则
A .
B .
C .
D .
3、若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是
A.(-1,1) B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)4、若集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∩N等于
A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
5、若全集,则集合等于()
A. B. C. D.
6、若,则
A .
B .
C .
D .
7、已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则=
A.{6,8}
B. {5,7}
C. {4,6,7}
D. {1,3,5,6,8}
8、若全集M=,N=,=()
(A ) (B) (C) (D)
9、设全集则()
A .
B .C.D.
10、已知集合P={x︱x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是
A.(-∞, -1] B.[1, +∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞)
4
11、若全集,集合,则。
12、已知集合A={x },B={x}},则A B=
A.{x} B .{x } C.{x} D.{x}
13、集合,,,则等于
(A ) (B) (C) (D)
14、已知集合A={x|x<3}.B={1,2,3,4},则(C R A)∩B=
(A){4} (B){3,4} (C){2,3,4} (D){1,2,3,4}
15、已知集合M={1,2,3,4},M N={2,3},则集合N可以为().
A.{1,2,3}
B.{1,3,4}
C.{1,2,4}
D.{2,3,5}
16、已知全集,,,则
A . B.C. D.
17、已知集合,若,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
18、已知集合,,则()
A .
B . C. D.
19、设全集,集合,则集合=
A. B. C. D.
5
20、若集合,,则等于
(A )(B )(C )(D ){,}
21、已知集合,,则图中阴影部分表示的集合为
A. B. C. D.
22、设集合()
A .
B .
C .
D .
23、设全集则(CuA)∩B=( )
A .
B .
C .
D .
24、设全集,集合,,则
A .
B .
C .
D .
25、已知为实数集,,则=( )
A .
B .
C .
D .
26、若全集U=R ,集合= ()
A.(-2,2) B . C . D .
27、设全集则(CuA)∩B= ( )
A. B. C. D.
6
28、已知集合,集合,则
A .
B .
C .
D .
29、设集合,,则
A .
B .C.D .
30、设U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则C U(M N)=
A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4} D.{4}
31、已知全集,集合,则等于
A .
B .
C .
D .
32、设集合,=
A.[0,2] B . C . D.(0,2)
33、设全集,则等于
34、设全集U={1,3,5,7}则集合M 满足={5,7},则集合M为
A .
B .或 C.{1,3,5,7} D .或或
35、已知集合则
36、若全集,集合,则。
7
37、已知全集,,,那么_______.
38、设U={1,2,3,4,5}, A={1,2,3}, B={2,4}, 则A∪=
39、集合,,若,则实数的值为.
40、设全集,集合 C U M={5,7},则的值为__________. 8。