逻辑代数的化简算法
逻辑函数代数法化简
A B AB AB A B
逻辑函数代数法化简
代数法化简方法：
• 消项法： 利用A+AB=A消去多余的项AB
• 消元法： 利用
消去多余变量A
• 并项法： 利用A(A+B)=AB AB+AB=A并项
• 配项法： 利用
和互
补律、重叠律， 先增添项，再化简：
例1： 化简逻辑函数 F AB AC ABC
F AB AC ABC
A(B C BC) …提取公因子A A(B C B C) …应用摩根定律
AB AB A
A
…消去互非变量，并项。
逻辑函数代数法化简
例2： 利用公式A+A=A配项
F ABC ABC ABC ABC (ABC ABC ) (ABC ABC ABC ABC) AB AC BC
小结
代数法化简函数，就是借助于公式、定理、 规则实现函数化简。适用于变量较多的函数。 但是没有一定的规律可循，要熟记公式，凭 借经验。
数字电子技术
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逻辑函数代数法化简
1、逻辑函数化简意义
1）所用的元器件少 2）器件间相互连线少
成本低，速度高
3）工作速度高
这是中小规模逻辑电路设计的基本要求。
逻辑函数代数法化简
2、逻辑函数化简方法
方法
代数法化简
最简标准：1）乘积项最少 2）每一项因子最少
卡诺图法化简
逻辑函数代数法化简
基本公式
A AB A A(A B) A A (AB) A B
化简逻辑表达式的两种方法
化简逻辑表达式的两种方法
一、化简逻辑表达式的两种方法
1、用逻辑代数的方法：
逻辑代数是一种研究逻辑运算的代数化方法，它注重同类的因素合并成一项，若合并后的表达式和原表达式所表达的意义相同，则称此运算为化简。
用逻辑代数的方法来化简逻辑表达式，主要有三步：（1）使用逻辑乘除法和逻辑加括号法，将指定的逻辑表达式归
结成标准形式。
（2）使用合取范式和析取范式，进行逻辑替换，把可以合并的
项合并起来，使表达式简单易懂。
（3）根据合取定义和析取定义，继续合并，直到化简完毕。
2、用布尔代数的方法：
布尔代数是一种逻辑运算的代数，它将逻辑运算定义为一种操作，操作的运算结果可以是“真”和“假”的两种可能性。
使用布尔代数的方法来化简逻辑表达式，可以按照如下步骤：
（1）将逻辑表达式中的各个子式根据布尔代数中的定义转换成
有限的真值表式，也就是如01、0011、1111等等。
（2）利用真值表的合取规则，将真值表式中的项进行合并，最
终得到简化后的真值表式。
（3）根据简化的真值表式，化简出原来逻辑表达式中所包含的
逻辑操作关系，从而得出最终的结果。
- 1 -。
逻辑代数的常用化简公式
逻辑代数的常⽤化简公式
1. 交换律： A+B=B+A;---@1 AB=BA;---@2
2. 结合律： (A+B)+C=A+(B+C);---@3 (AB)C=A(BC);---@4
3. 分配律： A(B+C)=AB+BC;---@5 A+BC=(A+B)(A+C);---@6
4. 吸收率： A+AB=A;---@7 A(A+B)=A;---@8
5. 其他常⽤：A+!AB=A+B;---@9 A(!A+B)=AB@10
以上逻辑运算基本定律中，恒等式⼤多是成对出现的，且具有对偶性。
⽤完全归纳法可以证明所列等式的正确性，⽅法是：列出等式的左边函数与右边函数的真值表，如果等式两边的真值表相同，说明等式成⽴。
但此⽅法较为笨拙，下⾯以代数⽅法证明其中⼏个较难证明的公式。
@7式证明：A+AB=A(1+B)=A;
@8式证明：A(A+B)=AA+AB=A+AB=A;由七式易得；
@6式证明：
A+BC=(A+AB)+BC;此处由@7式可得A=A+AB;
=A+AB+BC=A+B(A+C);此处由@5式可得AB+BC=B(A+C);
=A+AC+B(A+C);此处由@7式可得A=A+AC;
=A(A+C)+B(A+C);
=(A+B)(A+C); 得证。
@9式证明： A+!AB=A(1+B)+!AB;
=A+AB+!AB;
=A+B(A+!A);
=A+B;得证。
逻辑函数化简公式大全
逻辑函数化简公式大全逻辑函数化简是在布尔代数中常用的一种方法，它通过应用逻辑运算规则和布尔代数定律，将复杂的逻辑函数简化为更简洁的形式。
这种简化可以减少逻辑电路的复杂性，提高计算机系统的效率。
以下是一些常见的逻辑函数化简公式大全：1. 与运算的化简：- 与运算的恒等律：A∧1 = A，A∧0 = 0- 与运算的零律：A∧A' = 0，A∧A = A- 与运算的吸收律：A∧(A∨B) = A，A∧(A∧B) = A∧B- 与运算的分配律：A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)- 与运算的交换律：A∧B = B∧A2. 或运算的化简：- 或运算的恒等律：A∨1 = 1，A∨0 = A- 或运算的零律：A∨A' = 1，A∨A = A- 或运算的吸收律：A∨(A∧B) = A，A∨(A∨B) = A∨B- 或运算的分配律：A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)- 或运算的交换律：A∨B = B∨A3. 非运算的化简：- 非运算的双重否定律：(A) = A- 非运算的德摩根定律：(A∧B) = A∨B，(A∨B) = A∧B4. 异或运算的化简：- 异或运算的恒等律：A⊕0 = A，A⊕1 = A- 异或运算的自反律：A⊕A = 0- 异或运算的结合律：A⊕(B⊕C) = (A⊕B)⊕C- 异或运算的交换律：A⊕B = B⊕A5. 条件运算的化简：- 条件运算的恒等律：A→1 = 1，A→0 = A- 条件运算的零律：A→A' = 0，A→A = 1- 条件运算的反转律：A→B = A∨B- 条件运算的分配律：A→(B∧C) = (A→B)∧(A→C)这些公式是逻辑函数化简中常用的基本规则，通过灵活应用它们，可以将复杂的逻辑表达式简化为更简单的形式。
使用这些规则，我们可以提高逻辑电路的效率和简洁性，并降低硬件成本。
第四课时逻辑函数的代数化简法
化 使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路， 简 从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提 意 义 高系统可靠性。 不同形式的逻辑式有不同的最简式，一般先求 取最简与-或式，然后通过变换得到所需最简式。
1.6.2 逻辑函数的公式化简法
运用逻辑代数的基本定律和公式 对逻辑式进行化简。
例如
ABC 011 3 m3
m4 4 100 ABC
三变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个
A B C 最小项 简记符号 输入组合对应 的十进制数 m0 0 0 0 0 ABC m1 1 0 0 1 ABC m2 2 0 1 0 ABC m3 3 0 1 1 ABC m4 4 1 0 0 ABC
三 变 量 最 小 项 表
A B C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
最小项值
ABC ABC ABC ABC ABC 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AB ABC D ABC D ABCD ABC D
=AD AB ABC D ABC D ABCD ABC D =ACD +ACD 2 个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果 为相同变量相与。
4 个相邻项合并消去 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。
卡诺 图化 简法 步骤
画函数卡诺图
对填 1 的相邻最小项方格画包围圈
AB AB CD
A=0 配项法 通过乘 A+A=1 或加入零项 A· 进行配项，然后再化简。 [例]
第04讲-逻辑函数代数法化简
4
逻辑代数的三条规则
规则三：对偶规则 如果将函数F作如下变换得到一个新函数，则 新函数就是原来函数F的对偶函数，记为 F’ 。
•
+
+
•
0
1
变量保持不变 第四讲 代数法化简
1
0
5
逻辑代数的三条规则
例: 求函数 F=A ( B+C)的对偶函数 解: F’ =A + B C 注意: (1)保持原运算顺序不变 (2)表达式中“大非号”不变
(3) (F’)’= F
(4)变量 A’=A
(5)若F1=F2, 则F1’=F2’
第四讲 代数法化简
6
逻辑代数的三条规则
例: 已知 F=A B+A B +B C D+A B C D 求F’, F 解: F’ =A+B (A+B) (B+C+D) A+B+C+D F =A+B (A+B) (B+C+D) A+B+C+D
A+B+C，A+B+C，A+B+C 任一最小项都有n个邻项。
第四讲 代数法化简
13
逻辑函数的标准式
分解定理 F(x1,x2,…,xn) =xi · 1,x2,…,0,…,xn)+xi· 1,x2,…,1,…,xn) F(x F(x = xi · 1,x2,…,xn)|xi=0+ xi·F(x1,x2,…,xn)|xi=1 F(x F(x1,x2,…,xn)
10
第四讲 代数法化简
逻辑函数的标准式
1.1 逻辑函数的代数(公式)化简法
逻辑函数的代数（公式）化简法代数化简法的实质就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得函数式的最简与或式。
因此化简时，没有固定的步骤可循。
现将经常使用的方法归纳如下：①吸收法：根据公式A+AB=A 可将AB 项消去，A 和B 同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。
()F A A BC A BC D BC =+⋅⋅+++例：化简()()()()()()F A A BC A BC D BCA A BC A BC D BCA BC A BC A BC D A BC=+⋅⋅+++=+++++=+++++=+解:现将经常使用的方法归纳如下：②消因子法：利用公式A+AB=A +B 可将AB 中的因子A 消去。
A 、B 均可是任何复杂的逻辑式。
1F A AB BEA B BE A B E=++=++=++例：2()F AB AB ABCD ABCDAB AB AB AB CDAB AB AB ABCDAB AB CD=+++=+++=+++=++现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(1)：运用公式A B +AB=A 可以把两项合并为一项，并消去B 和B 这两个因子。
根据代入规则，A 和B 可以是任何复杂的逻辑式。
例：化简F BCD BCD BCD BCD=+++()()()()F BCD BCD BCD BCDBCD BCD BCD BCD BC D D BC D D BC BC B=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。
例：1()1F ABC ABC BCA A BC BCBC BC =++=++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。
例：2()()()()F A BC BC A BC BC ABC ABC ABC ABCAB C C AB C C AB AB A=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：例：1()()()()()(1)(1)()F AB AB BC BCAB AB C C BC A A BCAB ABC ABC BC ABC ABCAB ABC BC ABC ABC ABC AB C BC A AC B B AB BC AC=+++=+++++=+++++=+++++=+++++=++④配项法:将式中的某一项乘以A+A 或加A A ，然后拆成两项分别与其它项合并，进行化简。
逻辑函数的化简方法
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。
常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。
②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。
⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。
二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。
1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。
具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。
方法二：根据函数式直接填卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。
如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。
注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。
说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。
2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。
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逻辑代数的化简算法
观察函数
1.该函数有四个逻辑变量，可表示成
Y=f(A、B、C、D)
2.该函数有三个乘积项：第一项有四个因子——四个变量在乘积项中都出现了。
第二项有三个因子——缺少变量B（或）。
第三项缺少变量C、D（或、）。
3.第一个乘积项是A、B、C、D的一个最小项，其余二项均不是A、B、C、D的最小项。
最小项：n个逻辑变量A1、A2、…… An组成的逻辑系统中含n个因子的乘积项——每个变量（或）在乘积项中只出现一次，称这样的乘积项为最小项。
两个逻辑变量A、B有22＝4个最小项，分别是：、、、。
三个逻辑变量A、B、C有23＝8个最小项，分别是：、、、、、
、、。
四个逻辑变量A、B、C、D有24＝16个最小项。
练习：写出A、B、C、D的十六个最小项。
最小项的性质：
（1）对变量的任意一组取值，只有一个最小项为1，其余最小项全为0。
二变量A、B的最小项为：、、、。
对A、B的任意一组取值：
A=0 B=0 =1 其余三项全为0，即＝＝＝0
A=0 B=1 = 1 其余三项全为0
A=1 B=0 = 1 其余三项全为0
A=1 B=1 = 1 其余三项全为0
（2）全体最小项之和为1。
（读者自己证明）
（3）任意两个最小项的乘积为0。
最小项的编号：
三变量A、B、C的八组取值000、001、……111能分别使八个最小项的值为1，又与十进制数0，1……7的二进制数表示相同。
用0～7编号八个最小项，记为：m0、m1、m2、m3、m4、
m5、m6、m7，则m7＝m111＝，……m4＝m100＝，m0＝m000＝。
练习：读者试写出四变量A、B、C、D的十六个最小项m0、m1 (15)
逻辑函数的最小项之和形式
任何逻辑函数都可化为最小项之和的标准形式
例：将下列函数化为最小项之和的形式
反函数的最小项之和表示
例：求二变量A，B的逻辑函数的反函数。
解一：
解二：列真值表
由真值表写出的逻辑表达式
(全体最小项之和)
如三变量A,B,C的逻辑函数则必有
结论：在n个变量的逻辑系统中，如果Y为i个最小项之和，则必为余下的（n－i）个最小项之和。
异或运算与同或运算
定义：称A与B异或，为异或运算符
A与B同或，为同或运算符
显然：
异或与同或互为反函数
由此推得：
即两者相等为0，不相等为1
同或运算则与之相反，且有
同学自己证明并牢记。
例1．将下列函数化为最简与或式。
例2． A，B的波形如下图所示,试画出的波形。
最小项的相邻性
任何两个最小项如果他们只有一个因子不同，其余因子都相同，则称这两个最小项为相邻最小项。
显然，m0与m1具有相邻性，而与不相邻，因为他们有两个因子不相同。
m3与m4也不相邻，而m3与m2相邻。
相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变量。
如：
卡诺图
卡诺图是美国工程师卡诺（Karnaugh）发明的。
用小方块（格）来表示最小项。
三变量的卡诺图画八个小方块（格）来表示八个最小项，四变量的卡诺图画十六个小方块来表示十六个最小项。
……
观察三变量卡诺图发现这八个小方块（最小项）中，凡几何上相邻的两个小方块（最小项）具有相邻性――只有一个变量不同，相加后能合并成一项，并能消去一个变量。
m0m1 ，m1m3 ，m3m2 ，m4m5 ，m5m7 ，m7m6 ， m0m4 ，m1m5 ，m3m7 ，m2m6都具有相邻性，还有m0m2 ，m1m6也具有相邻性（可理解成将卡诺图卷成圆筒，他们在几何上就相邻了）。
在四变量卡诺图中，m0m8 ,m1m9 ,m3m11 ,m2m6也都具有相邻性。
思考题：为什么卡诺图按00，01，11，10的顺序，而非00，01，10，11顺序画小方块（代表最小项）？
逻辑函数的卡诺图表示及化简
在逻辑函数的最小项表示一节中，已经讲过，任何一个逻辑函数都可以化为最小项之和的标准形式。
只要将标准形式里函数所包含的每一个最小项，在卡诺图中对应的小方块里添上1，卡诺图上其余的小方块里添0（以后添0，以空格代替）――这就是逻辑函数的卡诺图。
其实将函数化为最小项之和，再画卡诺图的过程可以简化，函数化为最小项之和的过程可以省略，直接画出卡诺图。
例1．画出的卡诺图并化简
解：1、画出Y的卡诺图
Y共有四个乘积项，第一个乘积项包含第4行的四项：m8，m9，m11，m10；
第二个乘积项包含第1，2行（A＝0）与第3，4列（C＝1）相交的四项：m3，m2，m7，m6 ；第三个乘积项包含第2，3行（B＝1）与第3，4列（C ＝1）相交的四项：m7，m6，m15，m14；第四个乘积项表第2列的4项。
2、合并与化简
从Y的卡诺图上看到第2，3列8项合并，第3，4列8项合并，第4行合并得：
例2．
解：1、画出Y的卡诺图
第1项，显然第4行中的4个最小项都含因子，而第1，2列的8个最小项都含
因子，第4列与第1，2列相交的两项m8，m9即为。
第4项C则包含第3，4两列的8项。
2、合并化简。
从卡诺图可知
用卡诺图化简逻辑函数小结：
1．画出逻辑函数的卡诺图。
2．若两个最小项相邻，则可合并为一项，且消去一个因子。
3．若四个最小项相邻（排列成一个矩形组），则该四个最小项可合并成一项，且可消去两个因子。
4．若八个最小项相邻（排列成一个矩形组），则该八个最小项可合并成一项，且可消去三个因子。
5. 若十六个最小项相邻（排列成一个矩形组），则该十六个最小项可合并成一项，且可消去四个因子。
无关项在逻辑函数化简中的应用
我们来分析一个实际问题：
某水库设有三个水位检测点，装有A、B、C三个干湿传感
器，当传感器被水浸泡时输出1，否则（不浸水时）输出0。
该水库有大小两个闸门GL、GS。
A为警戒水位点，B比警戒水位A高1米，C比警戒水位高2米。
防汛部规定当水位低于警戒水位A时，关闸蓄水。
当水位超过A时，开小闸门GS放水，当水位超过B时，开启大闸门GL（关闭小闸门）泄洪；当水位超过C时，大小闸门ＧLＧS同时开启泄洪。
如果用1表示闸门关闭，闸门与水库水位之间的逻辑关系真值表如下：
说明：水位低于警戒线，关闸蓄水
水位超警戒线，只开小闸门放水
只开大闸门泄洪
大小闸门同时泄洪
从前面讲过的内容来看GL=AB，这两个逻辑函数已经不能再化简了，但从现实角度看应该有更简化的结果GL=B，因为只要水位超过B（B＝1），大闸门就要开启，与是否超过C无关（因为C＝1时，B也等于1），同样。
这就是说明前面讲过的内容还有欠缺的地方。
我们观察上面的真值表发现，A、B、C三个代表水位的逻辑变量，可能的取值只有000、10 0、110和111四种。
其余四种取值001、010、011和101永远不可能出现。
因为没有物理意义。
如果001，C＝1，A＝B＝0这是不可能的。
自己证A、B、C永远不可能取001、010、011和101。
与之对应的四个最小项就永远为0。
m 1=0，m2=2，m3=0，m5=0或。
初等函数有定义域Y＝，不允许X取（－1，3）之间的数，逻辑函数也有类似的问题。
上面讲的水位检测问题A、B、C的取值只有000、100、110、111四种情况，001、010、011和101无意义，永远不可能出现，与之对应的四个最小项将永远为0，即。
这就是下面要讲的无关项问题。
无关项
由于逻辑变量的取值受到限制（约束），使得某些最小项（及其和）永远等于0，那些恒等于0的最小项就是无关项。
在卡诺图中无关项用x表示。
如对化简逻辑函数有用，对组成更大的相邻矩形组有用，可将他们吸收进去（因为他们为0，等于在逻辑函数中添加0）反之弃之。
例：将下列函数化为最简与或函数式。
给定约束条件 AB+CD=0
约束条件
解：
,其中m11，m13，m15三个无关项在化简中没有用到。