刘肖——高中数学必修二直线与圆
高中数学必修二直线与圆方面的知识点
高中数学必修二直线与圆方面的知识点Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】高中数学必修2知识点——直线与圆整理 徐福扬一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tan k α=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+=其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的方程的应用》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学一、解决与圆相关的实际问题运用圆的相关知识可以解决实际生活中的有关问题，解决此类问题的基本步骤：(1)阅读理解，认真审题;(2)引进数学符号或圆的方程，建立数学模型;(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果;(4)转译成具体问题作出解答.方法点拨 应用直线与圆的方程解决实际问题时，要注意建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决，一般情况下需要建立适当的直角坐标系，应用方程的思想来处理.二、坐标法用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何意义，得出几何问题的结论.这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点提示 应用几何法，即坐标法解决平面几何问题时，先建系，把相应的几何元素用坐标或方程来表示，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算解决，最终得到几何问题的结论，要注意这一方法的三个步骤.问题·探究问题 1 怎样判断直线与圆的位置关系较好？在直线与圆相离的情况下，如何求圆上的点到直线距离的最大值或最小值？探究:在判断直线与圆的位置关系时，虽代数法可用，但不如用几何法简单、直观，即研究圆心到直线距离与半径大小关系.在直线与圆相离的情况下，圆心距ｄ＞ｒ，根据图形分析可知：圆上点到直线距离的最小值是d-r ，最大值是d+r.问题2 有人说，研究两圆位置关系就是将两圆方程联立，整理成关于x 的方程，来判断其方程解的个数，若方程有一解，则两圆相切，这种说法正确吗？试举例说明.探究:这种说法不正确.如圆C 1:x 2+y 2=4，圆C 2:(x-2)2+y 2=4.将两圆方程联立，消去y ，整理成关于x 的方程为x=1，此方程只有一解x=1，但由图分析：两圆相交，有两个公共点，所以说，在判断两圆位置关系时，最好不要用方程求解，而是利用圆心距与两圆关系来判断. 典题·热题例1 已知直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，求交点A 、B 的坐标及｜AB ｜长.思路解析：由题意，可以先利用题中的对称关系，求出k 值，然后再求交点坐标，代入两点间距离公式求出弦长｜AB ｜.解：因为直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，即点(x 1,y 1)与点(y 1,x 1)均在直线和圆上，所以k=-1符合圆的条件.解方程组⎩⎨⎧=++=0,4-y -x -y x 1,-x y 22得曲线的两个交点A(2，-1)，B(-1,2). 所以|AB|=23)21()12(22=--++.辨析比较 本题若不求k 值，由方程组联合求解交点A 、B ，在A 、B 的坐标表示中含有k ，再反过来由对称关系确定k 值，也可以求出，但计算较繁,不如上法简捷.例2 如图4-2-3，一座圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？图4-2-3 图4-2-4思路解析：本题考查应用坐标法研究平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当坐标系，利用圆的方程来解决.解：以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立直角坐标系，设所在圆的圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，则A(6，-2).设圆的方程为x 2+(y+r)2=r 2，将A(6，-2)代入方程得r=10，∴圆的方程为x 2+(y+10)2=100，当水面下降1米后，可设点A′(x 0，-3)(x 0>0).如图4-2-4，将A′(x 0，-3)代入圆方程，求得x 0=51.∴水面下降1米，水面宽为2x 0=512≈14.28(米).方法归纳 此为一道数学的实际应用问题，一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，尽可能地减少未知数的个数.把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解.例3 已知直线l ：y=k(22+x )与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△ABO 的面积为S.(1)试将S 表示成k 的函数S(k)，并求其定义域；(2)求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.思路解析：(1)求△ABO 的面积可用S=21×底×高，底为｜AB ｜，高为圆心到直线距离；(2)可利用△ABO 的几何性质解决.解：(1)由y=k(22+x )得kx-y+k 22=0，圆心到l 距离d=21||22k k +， |AB|=22222114184242k k k k d +-⨯=+-=-， ∴S △ABO =21|AB|·d=11||2422+-∙k k k ，又d ＜2，即21||222<+kk 且k≠0，得k ∈(-1,0)∪(0,1)，∴S(k)=2221)1(24k k k +-,k ∈(-1,0)∪(0,1). (2)S=21|OA|·|OB|·sin ∠AOB=2sin ∠AOB, 所以当∠AOB=90°时,S max =2.此时圆心到直线的距离d=2，21||222=+k k ，解之,可得k=±33. 误区警示 本题要注意在做第(2)问时，如果直接应用第(1)问的结果，求此函数的最大值，则运算会非常复杂.。
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高中数学必修2知识点——直线与圆整理徐福扬一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即。
斜率反映直tan k α=线与轴的倾斜程度。
当时，； 当时，； 当时，[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=α不存在。
k ②过两点的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不21x x =存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。
②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b b kx y +=③两点式：（）直线两点，112121y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1x y ab+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴l x (,0)a y (0,)b l x y 的截距分别为。
,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）0=++C By Ax注意：各式的适用范围 特殊的方程如：○1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：b y =（a 为常数）；a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）0000=++C y B x A 00,B A 的直线系：（C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点()00x x k y y -=-；()00,y x （ⅱ）过两条直线，的0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λλ2l 系中。
高中数学人教必修二第四章第二节《直线和圆的位置关系》微课课件共10张PPT
d
A B
2
2
几何法
d<r d=r d>r
直线与圆相交 直线与圆相切
直线与圆相离
例1 已知直线 l : 3x y 6 0和圆心为C的圆 x 2 y 2
2 y 4 0 ,判断直线l与圆的位置关系;如果相交,求
它们交点的坐标.
y
l
C. O
B A
分析:
x
1、依据它们的方程所组成的 方程组实数解的个数,判断直线与圆的位置关系; 2、依据圆心到直线的距离与半径长的关系, 判断直线与圆的位置关系.
△>0
△=0
n=2 n=1
直线与圆相交 直线与圆相切
△<0
n=0
直线与圆相离
直线与圆的位置关系
l l l d r
C
C
.
.
d r
C
.
d r
直线与圆相交
直线与圆相切
直线与圆相离
d<r
d=r
d＞r
直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
直线与圆的位置关系的判定方法： 直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (2)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关 系判断： aA bB C
把 x1 2 代入方程①,得 y1 0 ; 把 x2 1 代入方程①,得 y2 3 ; 所以,直线l与圆有两个交点,它们的坐标分别是
A(2,0), B(1,3).
解法一: 由直线与圆的方程,得 ① 3x y 6 0,
x 2 y 2 2 y 4 0. ②
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)
A． 3或－ 3
B
．－ 3或 3 3
C．－ 3 3或 3
D
．－ 3 3或 3 3
3. 直线 x＋ 2y－ 5＋ 5＝ 0 被圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝ 0 截得的弦长为 (
)
A． 1
B
．2
C． 4
D
．4 6
4．圆心坐标为 (2 ，－ 1) 的圆在直线 x－ y－ 1＝0 上截得的弦长为 2 2，那么这个圆的方程为 (
x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＋ λ( Ax＋ By＋C) ＝ 0( λ∈ R) ． (4) 过圆 C1：x2＋ y2＋ D1x＋E1y＋ F1＝ 0 与圆 C2： x2＋ y2＋ D2x＋ E2y＋ F2＝ 0 交点的圆系方程为
x2＋ y2＋ D1x＋ E1y＋ F1＋ λ( x2＋ y2＋ D2x＋ E2y＋ F2 ) ＝ 0( λ≠－ 1， λ∈R) ，此圆系中不含圆 C2. 当 λ＝－ 1 时，得到 (D1－ D2)x＋(E1－ E2)y＋ F1－ F2＝ 0，此为两圆公共弦所在的直线方程． 因此，如果两圆相交，两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在的直线方程．
y1 ＋
【方法技巧】
1、过一点求圆的切线方程，应先判断这一点与已知圆的位置关系，然后再选择适当的方法求解．一般情况下，
常利用几何法求解．
2、已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况．
3、 (1) 过圆外一点 ( x0， y0) 与圆相切的切线方程的求法．
①先假设切线斜率存在，有下列两种求切线斜率
（3）当直线与圆相切时圆心到直线的距离与圆的半径是什么关系？
2、两圆外切时常用圆心距等于半径之和求解．圆与直线相切时，该圆心到这条直线的距离等于圆的半径，
高中数学必修二(4.2.1直线与圆的位置关系)示范教案新人教A版必修2
5 , 圆心 C
到直线 l 的距离 d= | 3 0 6 1 | = 5 ＜ 5 . 所以直线 l 与圆相交 , 有两个公共点 .
2
2
31
10
由 x2-3x+2=0, 得 x1=2,x 2=1. 把 x 1=2 代入方程① , 得 y 1=0; 把 x2=1 代入方程① , 得 y2=3. 所以直
线 l 与圆相交有两个公共点 , 它们的坐标分别是 (2,0) 和 (1,3).
2°利用消元法 , 得到关于另一个元的一元二次方程 . 3°求出其判别式 Δ 的值 . 4°比较 Δ 与 0 的大小关系 , 若 Δ＞ 0, 则直线与圆相离；若 Δ =0, 则直线与圆相切 ; 若 Δ ＜ 0, 则直线与圆相交 . 反之也成立 . 应用示例
思路 1 例 1 已知直线 l ： 3x+y-6=0 和圆心为 C的圆 x 2+y2-2y-4=0, 判断直线 l 与圆的位置关系 . 如 果相交 , 求出它们的交点坐标 . 活动 : 学生思考或交流 , 回顾判断的方法与步骤 , 教师引导学生考虑问题的思路 , 必要时提示 , 对学生的思维作出评价 ; 方法一 , 判断直线 l 与圆的位置关系 , 就是看由它们的方程组成的方 程组有无实数解；方法二 , 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置 关系 . 解法一 : 由直线 l 与圆的方程 , 得
消去 y, 得 2x2+2bx+b2-2=0, 所以 Δ =(2b) 2- 4×2(b 2-2)=16-4b 2. 所以 , 当 Δ =16-4b 2＞ 0, 即-2 ＜ b＜2 时, 圆与直线有两个公共点；
当 Δ =16-4b 2=0, 即 b=±２时 ,
圆与直线只有一个公共点；当 Δ =16-4b 2＜ 0, 即 b＞2 或 b＜ -2 时 , 圆与直线没有公共点 . 解法二： 圆 x2+y2=2 的圆心 C 的坐标为 (0,0), 半径长为 2, 圆心 C 到直线 l:y=x+b 的距离
【精品教案】高中数学必修2第四章《直线与圆的方程的应用》教案
4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：
重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学设想。
人教版高中数学必修2第四章《4.2直线、圆的位置关系：4.2.3 直线与圆的方程的应用》教学PPT
(0,d)D
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表 示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
直线与圆的综合问题举例
(12 分)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2 ＋(y－3)2＝1 相交于 M、N 两点．
4.2.3 直线与圆的方程的应用
例1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆 拱跨度AB=20ｍ，拱高OP=4ｍ，在建造时每隔4 ｍ需要用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度 （精确到0.01m）.
例1、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该 圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每 隔（精4m确需到用0一.01个）支柱支N(x2，y2)，则由①得
，10 分
∴O→M·O→N ＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
4k1＋k
＝
＋8＝12
1＋k2
∴k＝1(代入①检验符合题意).12 分,
4－ 7 4＋ 7 得 3 <k< 3 .4 分 (2)证明 设过 A 点的圆的切线为 AT，T 为切点，则|AT|2＝|AM|·|AN|， |AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，
∴|AM→|·|A→N |＝7.6 分
根据向量的运算：
A→M·A→N＝|A→M|·|A→N |·cos 0°＝7 为定值.8 分
2 , yO yN
, 2
xE
a 2 , yE
d 2
| O'E | ( a c a )2 (b d d )2 222 222
y
B (0,b)
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直线与圆【知识回顾】 一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tan k α=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+=其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：ax =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数） （二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()0,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
（6）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。
方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合（8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()AB x x y y =-+-（9）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA CBy Ax d +++=（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆与方程圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式1、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=【典型例题】例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，OyxMM'RPQ O yzxMP 1P 2NM 1N 2N 1M 2H与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。
分析：直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。
通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。
设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴m64x 6x 4400-=-- 解之得：1x x 5m 00-=∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1x x 10mx 2x 4|OM |21S 02000OMQ-===∆ 令x 0-1=t ，则t>0)2t1t (10t )1t (10S 2++=+=≥40当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。
要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。
分析： （1）∵ k BC =5∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51- ∴ AD 所在直线方程y+1=51-(x-2) 即x+5y+3=0（2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。
∵ k AC =-1，k AB =2 ∴k21k2k 11k +-=-+ ∴ k 2+6k-1=0∴ k=-3-10（舍），k=-3+10∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。
一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。
也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y)为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC 距离相等，得2|1y x |5|5y x 2|-+=--，化简即可。
还可注意到，AB 与AC 关于AE 对称。
例3、（1）求经过点A （5，2），B （3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程； （2）设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆方程。
分析：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。
总之，要数形结合，拓宽解题思路。
（1）法一：从数的角度若选用标准式：设圆心P （x ，y ），则由|PA|=|PB|得：(x 0-5)2+(y 0-2)2=(x 0-3)2+(y 0-2)2又2x 0-y 0-3=0两方程联立得：⎩⎨⎧==5y 4x 00，|PA|=10∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10若选用一般式：设圆方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则圆心（2E,2D --） ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----⨯=++++=++++03)2E()2D (20F E 2D 3230F E 2D 5252222解之得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=31F 10E 8D法二：从形的角度AB 为圆的弦，由平几知识知，圆心P 应在AB 中垂线x=4上，则由⎩⎨⎧==--4x 03y x 2得圆心P （4，5）∴ 半径r=|PA|=10显然，充分利用平几知识明显降低了计算量 （2）设A 关于直线x+2y=0的对称点为A ’ 由已知AA ’为圆的弦 ∴ AA ’对称轴x+2y=0过圆心 设圆心P （-2a ，a ），半径为R 则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2又弦长22d R 222-=，2|1a a 2|d +--=∴ 2)1a 3(2R 22-+=∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+2)1a 3(2-∴ a=-7或a=-3当a=-7时，R=52；当a=-3时，R=244∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244例4、已知方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0表示一个圆，（1）求实数m 取值范围；（2）求圆半径r 取值范围；（3）求圆心轨迹方程。