2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(二)(有答案解析)
有两个不同的极值点 x1，x2，且 x1＜x2．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 ρ（1+cos2θ）=8sinθ． （1）求曲线 C 的普通方程；
（2）直线 l 的参数方程为
为参数直线 l 与 y 轴交于点 F 与曲线 C
故选：A．
6.答案：C
解析：解：设正项等比数列{an}的公比为 q＞0，∵a1a8=4a5，a4 与 2a6 的等差中项为 18， ∴a12q7=4a1q4，a4+2a6=36 即 a1（q3+2q5）=36，
解得 a1= ，q=2，
则 a5=16． 故选：C． 设正项等比数列{an}的公比为 q＞0，由 a1a8=4a5，a4 与 2a6 的等差中项为 18，可得 a12q7=4a1q4，a4+2a6=36，解得 a1，q，再利用等比数列的通项公式求解即可． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．
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长方体一分为二，两个铁球最大直径为 2，否则不可能放进长方体中． 故选：B． 设长方体的长，宽，高分别为：a，b，c，则由已知可得 ab=6，ac=8，bc=12，可求 V 长 方体=abc=24，进而可得 a=2，b=3，c=4，由题意长方体一分为二，两个铁球最大直径为 2，否则不可能放进长方体中，由此得解． 本题主要考查了长方体体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
7.答案：A
解析：解：f（-x）=-xln|x|=-f（x）， ∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 C，D； 当 x＞0 时，f（x）=xlnx， ∴当 x＞1 时，f（x）＞0，当 0＜x＜1 时，f（x）＜0， 故选：A． 根据 f（x）的对称性，函数值的符号进行判断． 本题考查了函数图象判断，属于中档题．
4.答案：A
解析：解：作出变量 x，y 满足
，
所对应的可行域（如图阴影部分），
由
解得 A（3，-1）
而 z=x2+y2 表示可行域内的点到原点距离的平 方， 数形结合可得最大距离为
OA=
=，
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z=x2+y2 的最大值为：10． 故选：A． 作出可行域，z=x2+y2 表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得． 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
解析：【分析】 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题.利用交集定义直接求解. 【解答】 解：∵集合 M={x|1≤x＜3}，N={1，2}， ∴M∩N={1，2}． 故选 B．
2.答案：B
解析：【分析】 本题考查复数的模的求法，考查计算能力． 直接利用复数的模的运算法则化简求解即可． 【解答】
令
．可得
，
，z=
．代入 ，化简整理即可得
出．
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【解答】 解：令
则
，
，
．
∴
，,
则． 故选 ．
12.答案：A
解析：【分析】 本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于 4 是解决问 题的关键，属中档题. 求得圆的方程，由切线的对称性和圆的知识将问题转化为圆心 D（3，2）到直线 l 的距 离小于或等于 4 ，再由点到直线的距离公式得到关于 a 的不等式求解． 【解答】 解：过点 F（1，0）且斜率为 1 的直线方程为：y=x-1．
OF1 为半径作圆，与双曲线 E 相交，若顺次连接这些交点和 F1，F2 恰好构成一个正 六边形，则双曲线 E 的离心率为（ ）
A.
B. 2
C.
D. 3
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10. 在（1+ -x）5 的展开式中，x2 项的系数为（ ）
A. -50
B. -30
C. 30
D. 50
11. 若 x，y，z∈R+，且 3x=4y=12z， ∈（n，n+1），n∈N，则 n 的值是（ ）
解：i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）=i，
，
故选：B．
3.答案：D
解析：【分析】 通过图象可看出，2018 年 1 月至 4 月的图象变化较 2017 年同期要大，从而判断出选项 A 的结论正确；由图象看出这两年的最大仓储指数都在 4 月份，从而判断 B 的结论正确； 2018 年的图象基本在 2017 年的下边，从而得出选项 C 的结论正确，从而错误的结论只 能是 D． 考查折线统计图的概念，以及读图的能力． 【解答】 解：通过图象可看出，选项 A，B，C 的结论都正确； ∴选项 D 的结论错误． 故选：D．
（1）求角 A 的大小； （2）若 AB=3，AC 边上的中线 SD 的长为 ，求△ABC 的面积．
18. 甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司 机，其日工资方案如下：甲公司，底薪 80 元，司机毎中转一车货物另计 4 元：乙 公司无底薪，中转 40 车货物以内（含 40 车）的部分司机每车计 6 元，超出 40 车 的部分司机每车计 7 元．假设同一物流公司的司机一天中转车数相同，现从这两家 公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其 50 天的中转车数，得到如下频数表： 甲公司货物中转车数频数表
的交点为 A，B，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线 l 的直角坐标方程．
23. 已知函数 f（x）=|2x-1|+|x+m|． （l）当 m=l 时，解不等式 f（x）≥3； （2）证明：对任意 x∈R，2f（x）≥|m+1|-|m|．
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1.答案：B
-------- 答案与解析 --------
19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底而 ABCD 是菱形，且 PA=AD=2，∠PAD=∠BAD=120°，E，F 分别为 PD，BD
的中点，且
．
（1）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD； （2）求锐二面角 E-AC-D 的余弦值．
20. 已知焦距为 的椭圆 E：
（a＞b＞0）的右顶点 A，点 P（0， ），直
5.答案：A
解析：【分析】 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的诱导公式，属于基础 题． 由题意利用诱导公式，函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】
解：将函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象向左平移 个单位，
得到 g（x）的解析式为 g（x）=sin（2x+ + ）=sin（2x+ ）=cos2x，
2a 的值，代入离心率表达式 e= 即可得到答案．
本题考查的知识点是双曲线的简单性质，其中根据已知条件，计算出 a 值，是解答本题 的关键．
10.答案：B
解析：解：（1+ -x）5 表示 5 个因式（1+ -x）的乘积，在这 5 个因式中， 有 2 个因式都选-x，其余的 3 个因式都选 1，相乘可得含 x2 的项； 或者有 3 个因式选-x，有 1 个因式选 ，1 个因式选 1，相乘可得含 x2 的项，
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12. 已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 A、B
两点，若在以线段 AB 为直径的圆上存在两点 M、N，在直线 l：x+y+a=0 上存在一
点 Q，使得∠MQN=90°，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. [-13，3]
4. 已知变量 x，y 满足
，则 x2+y2 的最大值为（ ）
A. 10
B. 5
C. 4
D. 2
5. 将函数
的图象向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，
则 g（x）的解析式为（ ）
A. g（x）=cos2x
B. g（x）=-cos2x
C. g（x）=sin2x
D.
6. 已知{an}是正项等比数列，且 a1a8=4a5，a4 与 2a6 的等差中项为 18，则 a5=（ ）
2020 年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（二）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，则 M∩N=（ ）
A. {1}
B. {1，2}
C. 0
2. i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）=i，则|z|=（ ）
D. [1，2]
A.
B.
C. 1
D.
3. 中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一 套指数体系 如图所示的折线图是 2017 年和 2018 年的中国仓储指数走势情况 根据 该折线图，下列结论中不正确的是
A. 2018 年 1 月至 4 月的仓储指数比 2017 年同期波动性更大 B. 这两年的最大仓储指数都出现在 4 月份 C. 2018 年全年仓储指数平均值明显低于 2017 年 D. 2018 年各仓储指数的中位数与 2017 年备月仓储指数中位数差异明显
8.答案：B
解析：解：∵长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为 6，8，12， ∴设长方体的长，宽，高分别为：a，b，c，则 ab=6，ac=8，bc=12， ∴ab×ac×bc=6×8×12=576， ∴（abc）2=242，解得：V 长方体=abc=24． ∴a=2，b=3，c=4， 则长方体如图：
线 PA 交椭圆 E 于点 B，
．
（1）求椭圆 E 的方程； （2）设过点 P 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于 M、N 两点（W 在 P、N 之间）， 若四边形 MNAB 的面积是△PMB 面积的 5 倍．求直线 l 的斜率 k．
20届绵阳三诊理数参考答案
2020届绵阳二诊参考答案1—12：CBDCBBACAD BA13—16：334225417、解：（1）由n n S a 321=+，得n n n S S S 321=-+，故n n S S 351=+则数列}{n S 是以首项为111==a S ，公比为35的等比数列1135(35(1--=⨯=∴n n n S （2）1)53(1-==n n n S b 25)53(2525]53(1[25531])53(1[1...21<⨯-=-=--=+++∴n n n n b b b 18解：（1）证明：连结BD 交AC 于O ，连结OE 因为E O ，分别是BS BD ,的中点故SDOE ||又AEC OE 面⊂，AECSD 面⊄故AEC SD 面||（2）余弦值为51519、解：（1）配送蔬菜量小于120件的概率为832005025=+记事件A 为“3天配送蔬菜量中至多有2天小于120件”512485)83(1)(3=-=A P （2）显然租赁0辆货车没有租赁1辆货车利润高；租赁5辆货车以上，没有租赁4辆货车利润高；故只需考虑租赁1,2,3,4辆货车，设其利润分别为4321,,,X X X X 则2000120001=⨯=EX 元37008740008116002=⨯+⨯=EX 元43008560004136008112003=⨯+⨯+⨯=EX 元4700818000215600413200818004=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 元故该物流公司一次性应该租赁4辆货车，利润最大20、（1）当4=a 时，0,22ln 64)(>+--=x x x x x f 22)1)(12(2264)('x x x x x x f --=+-=三令1210)1)(12(0)('==⇒=--⇒=x x x x x f 或0)('),1,21(;0)('),,1(21,0(<∈>+∞∈x f x x f x )(x f 在),1(),21,0(+∞上递增；在)1,21(上递减)(x f 的极大值为2ln 63)21(+=f ；极小值为4)1(=f （2）e x x x a ax x f <<+-+-=1,22ln )2()(2)1)(2()('x x ax x f --=020)('=-⇒=ax x f 01当0≤a 时，0)('),,1(<∈x f e x )(x f 在),1(e 上递减，且1)1(+=a f ，02)1()(<--=ee a ef （i ）当01>+a 时，即01≤<-a 时，)(x f 有1个零点（ii ）当01≤+a 时，即1-≤a 时，)(x f 有0个零点02当0>a 时，ax ax x f 2020)('=⇒=-⇒=（i ）当12≤a ，即2≥a 时，0)('),,1(>∈x f e x )(x f 在),1(e 上递增；且01)1(>+=a f 故)(x f 有0个零点（ii ）当e a <<21，即22<<a e 时，0)('),,2(;0)('),2,1(>∈<∈x f e a x x f a x )(x f 在2,1(a 上递减；在),2(e a 上递增，令20,22ln 682()(<<+--==a a a a a f a h 0)4)(2()('2<---=a a a a h 故)(a h 在)2,2(ea ∈上递减，则0)2()(=>h a h 故)(x f 有0个零点（iii ）当e a ≥2，即e a 20≤<时，0)('),,1(<∈x f e x )(x f 在),1(e 上递减，01)1(>+=a f ，e e a e f 2)1()(--=①当02)1(≥--e e a 时，即e a e e 222≤≤-时，)(x f 有0个零点②当02)1(<--e e a 时，即e e a -<<220时，)(x f 有1个零点综上：01当1-≤a 或e e a -≥22时，)(x f 有0个零点02当ee a -<<-221时，)(xf 有1个零点21、解：（1）)0,1(F ，设),(),,(2211y x N y x M ，且01>y显然直线l 的斜率不为0，设其方程为1+=my x 0444122=--⇒⎩⎨⎧=+=my y xy my x )1(164422121+=∆-=+=+m y y m y y 设MN 的中点为T ，则12122221+=+==+=m my x m y y y T T T 故MN 的垂直平分线方程为)12(22---=-m x m m y 令0=y ，则322+=m x Q 3822||2±=⇒=+=m m FQ （符合题意）则直线l 的斜率为33±（2）由M 恒在FP 为直径的圆外⇔抛物线)0(42>=y x y 的图像与FP 为直径的圆没有交点FP 为直径的圆为：0))(1(20=+--y x x x ，即0)1(0022=++-+x x x y x 即0)3(40)1(00220022=+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==++-+x x x x xy x x x y x 故04)3(020<--=∆x x ，即0910020<+-x x 910<<x 22、解（1）1C 的直角坐标方程为16)4(22=+-y x 则0822=-+x y x 0cos 82=-θρρ即θρcos 8=故半圆1C 的极坐标方程为]2,0[,cos 8πθθρ∈=2C 的直角坐标为3,0(2C 的直角坐标方程为3)3(22=-+y x 03222=-+y y x 0sin 322=-θρρ圆2C 的极坐标方程为θρsin 32=（2）43cos 8==πρM ，33sin 32==πρN 故1||||||=-=-=N M ON OM MN ρρ圆心2C 3,0(到直线03:=-y l 的距离为23=d 故4333231(21)(||21=+⨯=+=∆r d MN S PMN 23、解：（1）01当2>x 时，3512≤⇒≤-x x ，即32≤<x 02当21≤≤-x 时，R x ∈⇒≤53，即21≤≤-x 03当1-<x 时，2512-≥⇒≤+-x x ，即12-<≤-x 综上：原不等式的解集为]3,2[-（2）3|)1()2(||1||2|)(=+--≥++-=x x x x x f （当0)1)(2(<+-x x 时，取等号）3)(min =x f13343=++c b a 12)391234412312()3343)(91411(914112=⨯+⨯+⨯≥++++=++c c b b a a c b a c b a c b a 当且仅当c c b b a a 391344131==，取等号故c b a 91411++的最小值为12。
2020年四川省绵阳市南山中学高考(理科)数学三诊试卷 含解析
2020届绵阳南山中学高考（理科）数学三诊模拟试卷一、选择题（共12小题）1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．5110．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P（36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN 的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜0，或x＞2}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|x＞2}．故选：C．2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由，得z＝＝，∴，则z+＝﹣1．故选：C．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．【分析】由已知结合余弦定理即可求解．解：因为a＝3，b＝4，∠C＝120°，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝9＝37．故c＝．故选：D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【分析】根据点到直线的距离得到d＝，结合基本不等式a2+b2≥2ab（ab＞0），可得d的取值范围，即可得到与原的位置关系．解：圆心（0，0）到直线的距离d＝，因为a2+b2≥2ab（ab＞0），代入可得d≤1，故选：D．5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．【分析】由平面向量的基本定理得：＝＝﹣＝（）＝，得解解：＝＝﹣＝（）＝，故选：C．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增时，a的范围，以长度为测度，即可求出概率．解：∵函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增，∴y′＝1﹣＝≥0，在[2，+∞）恒成立，∴a≤x2在[2，+∞）恒成立，∴a≤4∵a∈[1，6]，∴a∈[1，4]，∴函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增的概率是＝，故选：C．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，据此分析选项即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣x）＝ln＝＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；对于f（x）＝，设t＝，则y＝lnt；在（0，+∞）上，t＝＝x（1﹣），易得t在（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在（0，+∞）上为增函数，则f（x）＝在（0，+∞）为增函数，排除C；故选：B．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π【分析】由四面体A﹣BCD所有棱长都为4，求出边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB 在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，由此求出球O的半径r，由此能求出球的表面积．解：∵四面体A﹣BCD所有棱长都为4，如图，∴边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，设OA＝OB＝r，则r2＝（﹣r）2+（）2，解得r＝，∴球的表面积S球＝4πr2＝24π．故选：A．9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．51【分析】类比二项展开式的通项处理即可．解：依题意，（x﹣+1）5展开式中r个因式选择x，s个因式选择﹣，则展开项为：T＝＝，要使该项为常数，则r＝1，①当r＝s＝0时，对应常数为1；②当r＝s＝1时，对应常数为＝﹣20；③当r＝s＝2时，对应常数为＝30；所以展开式的常数项为1﹣20+30＝11．故选：B．10．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2可得结合0＜A＜π 可求，，代入sin C＝sin B＝＝，从而可求C，B，进而可判断解：由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2∴∵0＜A＜π∴，∴sin C＝sin B＝＝∴tan C＝，C＝，B＝故选：B．11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设圆O的半径为1，对＝m+n，两边平方可得1＝m2+2mn cos∠AOB+n2，根据已知条件可知m，n∈（0，2），所以将m＝2﹣n带入上式并求出cos∠AOB的表达式，进而得到答案．解：由已知条件知，m，n∈（0，2），设圆O的半径为1；2＝（m+n）2；∴1＝m2+2mn cos∠AOB+n2；将m＝2﹣n带入并整理得﹣2n2+4n﹣3＝（﹣2n2+4n）cos∠AOB；∴cos∠AOB＝1+；∵n∈（0，2）时，2n2﹣4n＜0；且n＝1时，2n2﹣4n取最小值﹣2，1+取最大值﹣；此时，∠AOB＝，即为最小值．故选：A．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设出A，B的坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得P到AB的距离，得到△PAB的面积为S，作差后利用导数求最值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，．则|AB|＝．由x2＝4y，得，，设P（x0，y0），则，x0＝2k，．则点P到直线y＝kx+1的距离d＝，从而S＝．S﹣|AB|＝（d≥1）．令f（x）＝2x3﹣4x2，f′（x）＝6x2﹣8x（x≥1）．当1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故，即S﹣|AB|的最小值为．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．【分析】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）＝2sin，分析可得其周期，进而可得f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin，进而计算可得答案．解：根据题意，＝2[sin（+）﹣cos （+）]＝2sin，其周期T＝＝6，f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin＝；故答案为：．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝﹣2．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．解：由题意得：目标函数z＝2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A（1，﹣1），B（3，1），∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2＝0，∴则＝﹣2．故填：﹣2．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是（﹣∞，1]．【分析】f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减⇔f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，分①当k＜0，②当k＝0，③当k＞0时，三类讨论，利用对应的函数的性质分析解决即可．解：∵f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，∴f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，①当k＜0，f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x的图象开口向下，对称轴方程为x＝﹣＝﹣1+＜0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0恒成立，故f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，满足题意；②当k＝0时，f（x）＝﹣2x2+7的图象开口向下，在（0，2）上单调递减，满足题意；③当k＞0时，由f′（x）≤0对∀x∈（0，2）恒成立得：，解得0＜k≤1；综上所述，k∈（﹣∞，1]故答案为：（﹣∞，1]．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是a ＝0或a≥【分析】利用转化思想，将函数的零点转化为y＝2|x﹣2a，y＝22|x+a|图象的交点．解：若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，令g（x）＝2|x﹣2a|，h（x）＝4|x+a|＝22|x+a|，即g（x）与h（x）图象在（﹣2，+∞）有且只有一个交点．∵g（x），h（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，所以①2（x+a）＝x﹣2a在（﹣2，+∞）恒成立，即a≥；②2（x+a）＝﹣（x﹣2a）在（﹣2，+∞）恒成立，即a＝0．故a的取值范围是a＝0或a≥．故答案为：a＝0或a≥．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．【分析】（1）把已知等式中的n换成n﹣1，再得到一个式子，两式相减可得＝，求得a2＝1，累乘化简可得数列{a n}的通项a n．（2），由（1）可知当n≥2时，，，可证{}是递增数列，又及，可得λ≥，由此求得实数λ的最小值．解：（1）当n≥2时，由a1＝1 及①可得②．两式相减可得na n＝﹣，化简可得＝，∴a2＝1．∴••…＝＝×××…×＝＝．综上可得，．…（2），由（1）可知当n≥2时，，设，…则，∴，故当n≥2时，{}是递增数列．又及，可得λ≥，所以所求实数λ的最小值为．…18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P （36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．【分析】（1）由题意求出Ez＝65，从而μ＝65，进而P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．由此能求出p（36＜Z≤79.5）．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解：（1）由题意得Ez＝35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05＝65．∴μ＝65，∵＝14.5，∴P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．∴p（36＜Z≤50.5）≈＝0.1359，综上，p（36＜Z≤79.5）＝p（36＜Z≤50.5）+p（50.5＜Z≤79.5）≈0.1359+0.6287＝0.8186．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．P（X＝20）＝，P（X＝40）＝＝，P（X＝60）＝＝，P（X＝80）＝＝．∴X的分布列为：X20 40 60 80P∴EX＝+＝36．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【分析】（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，推导出CC1⊥OA，CC1⊥OB1，从而CC1⊥平面AOB1，由此能证明AB1⊥CC1．（II）以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用同量法能求出平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，．解：（II）由（I）及AC＝2知，，又∴AO⊥OB1，∴以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，C1（0，1，0），，，C（0，﹣1，0）∴，，，，设平面A1B1C1的法向量为＝（a1，b1，c1），平面ACB1的法向量为＝（a2，b2，c2），则，取＝（1，，﹣1）＝（﹣1，，﹣1），设平面A1B1C1与平面ACB1所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值为．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．【分析】（Ⅰ）求得y＝lnx的导数，可得切线的斜率和方程，求y＝f（x）的导数，设切点为（s，t），求得切线的斜率，可得m的方程，解方程，结合构造函数，即可得到所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，讨论m＜0，m＝0，m＝e，0＜m＜e，m＞e，判断f（x）的单调性和函数值的变化，以及最值的符号，可得所求零点个数．解：（Ⅰ）y＝lnx的导数为y′＝，可得曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线斜率为e﹣2，切线方程为y﹣2＝e﹣2（x﹣e2），f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，设与曲线y＝f（x）相切的切点为（s，t），可得切线的斜率为e s﹣m，则e s﹣m＝e﹣2，t＝e s﹣ms＝2+se﹣2﹣1，化为e s﹣se s＝1，设y＝e x﹣xe x，可得y′＝﹣xe x，当x＞0时函数y递减，x＜0时函数y递增，可得x＝0处函数y取得最大值1，解得s＝0，m＝1﹣e﹣2；（Ⅱ）f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，当m≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，当m＝0时，f（x）＝e x无零点；当m＜0时，x→﹣∞，f（x）→﹣∞，可得f（x）有一个零点；当m＞0时，由x＞lnm，f′（x）＞0，f（x）递增，由x＜lnm，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝lnm处取得极小值，且为最小值m﹣mlnm，当m﹣mlnm＞0，即0＜m＜e时，f（x）无零点；当m﹣mlnm＝0，即m＝e时，f（x）有一个零点；当m﹣mlnm＜0即m＞e时，f（x）有两个零点．综上可得，0≤m＜e时，f（x）无零点；m＜0或m＝e时，f（x）有一个零点；m＞e时，f（x）有两个零点．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则有•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c ﹣1，﹣），解可得题意可得c的值，进而由椭圆的定义可得a的值，计算可得b的值，将a、b 的值代入椭圆的方程可得答案；（Ⅱ）（ⅰ）设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，可得关于x的一元二次方程，令△＝0解可得k的值，结合题意可以设直线l2方程，联立两直线方程，整理可得x2+tx+t2﹣3＝0，由根与系数的关系分析可得PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，进而由正弦定理分析可得，即可得证明；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0），由等比数列的性质分析可得q＝﹣1，进而分析可得结论．解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，则•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c﹣1，﹣）＝1﹣c2+，所以c＝1，因为2a＝|PF1|+|PF2|＝4，所以a＝2，又由c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆C的标准方程为＝1；（Ⅱ）（ⅰ）证明：设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，消y得（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（3﹣2k）2﹣12＝0由题意知△＝0，解得k＝﹣，因为直线l2与l1的倾斜角互补，所以l2的斜率是．设直线l2方程：y＝x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得x2+tx+t2﹣3＝0，由△＞0，得t2＜4，x1+x2＝﹣t，x1•x2＝t2﹣3；直线PM、PN的斜率之和k PM+k PN＝＝＝＝0所以PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，在△PMK和△PNK中，由正弦定理得，，又因为∠MPK＝∠NPK，∠PKM+∠PKN＝180°所以故|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|成立；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0）若﹣，﹣k，k按某种排序构成等比数列，设公比为q，则q＝﹣1或q2＝﹣1或q3＝﹣1．所以q＝﹣1，则k＝，此时直线PN与l2平行或重合，与题意不符，故不存在直线l2，满足题意．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用方程组求出交点坐标，进一步求出三角形面积．解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数的C1的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2＝0．所以：C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ（2）解方程组，得到：4sinθcosθ＝．所以：，则：（k∈Z）．当（k∈Z）时，，当（k∈Z）时，ρ＝2．所以：C1和C2的交点极坐标为：A（），B（）．所以：．故△ABO的面积为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．【分析】先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2﹣2x），∴g（x）＝﹣x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2﹣|x﹣1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|可化为：c≤2x2﹣|x﹣1|．作出函数F（x）＝2x2﹣|x﹣1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．。
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(文科)(附答案详解)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={−1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=()A. {0}B. {0,1}C. {−1,1}D. {−1,0,1}2.已知复数z=a−i3+2i(a∈R,i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值等于()A. 23B. 32C. −23D. −323.已知θ∈(0,π2)，sinθ=√55，则cos2θtanθ=()A. −310B. 310C. −65D. 654.下列叙述中正确的是()A. 若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2−4ac≤0”B. 若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C. 命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D. l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α//β5.已知a=log30.5，b=log0.50.6，c=30.2，则()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b6.若向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=1，|b⃗ |=1，|c⃗|=3，则|a⃗+b⃗ +c⃗|等于()A. 2B. 5C. 2或5D. √2或√57.德国数学家莱布尼兹(1646年−1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图(1692年−1765年)为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年)开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值)，若输入n=10，则输出的结果是()A. P=4(1−13+15−17+⋯+117)B. P=4(1−13+15−17+⋯−119)C. P=4(1−13+15−17+⋯+121)D. P=4(1−13+15−17+⋯−121)8.设函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是()A. B.C. D.9.在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为()A. 89B. 79C. 49D. 1910.已知直三棱柱ABC−A1B1C1，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为()A. √35B. 25C. 45D. √15511.已知不等式3x2−y2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)到直线y=√3x和直线y=−√3x的垂线段分别为PA、PB，若三角形PAB的面积为3√316，则点P轨迹的一个焦点坐标可以是()A. (2,0)B. (3,0)C. (0,2)D. (0,3)12.函数f(x)=−x2+3x−a，g(x)=2x−x2，若f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的范围是()A. (−∞,2]B. (−∞,e]C. (−∞,ln2]D. [0,12)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/ℎ的汽车辆数为)个单位长度后，得到函数14.函数y=√3sin2x−cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π2g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为______．15.已知抛物线y2=4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为______．16.已知正三棱锥P−ABC的侧面都是直角三角形，P−ABC的顶点都在球O的球面上，正三棱锥P−ABC的体积为36，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，如图(b)所示．(Ⅰ)求证：BC⊥平面ACD；(Ⅱ)求点A到平面BCD的距离ℎ．18.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下图所示(x(吨)为该商品进货量，y(天)为销售天数x 2 3 4 5 6 8 9 11 y12334568(Ⅰ)根据上表数据在下列网格中绘制散点图；(Ⅱ)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(Ⅲ)在该商品进货量x(吨)不超过6(吨)的前提下任取两个值，求该商品进货量x(吨)恰有一个值不超过3(吨)的概率．参考公式和数据：b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i−x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．∑x i 28i=1=356,∑x i 8i=1y i =24119. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n =a n 2+2a n −3．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =1a n a n+1(n ∈N ∗)，T n 是{b n }的前n 项和，求使T n <215成立的最大正整数n ．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2√23，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(Ⅰ)若以线段AF 1为直径的动圆内切于圆x 2+y 2=9，求椭圆的长轴长； (Ⅱ)当b =1时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？如果存在，求出定点和定值；如果不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=ax 2+(1−2a)x −lnx(a ∈R)．(1)当a >0时，求函数f(x)的单调增区间；(2)当a <0时，求函数f(x)在区间[12,1]上的最小值；(3)记函数y =f(x)图象为曲线C ，设点A(x 1,x 2)，B(x 2,y 2)是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N.试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2．(Ⅰ)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的23.设函数f(x)=|x−1|，x∈R．(1)求不等式f(x)≤3−f(x−1)的解集；)⊆M，求实(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x+1)−|x−a|的解集为M，若(1,32数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={−1,0,1}，所以M∩N={0,1}．故选B．求出集合N，然后直接求解M∩N即可．本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2.【答案】A【解析】解：∵z=a−i3+2i =(a−i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=3a−213−2a+313i是纯虚数，∴{3a−2=02a+3≠0，解得a=23．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵θ∈(0,π2)，sinθ=√55，∴cosθ=√1−sin2=2√55，tanθ=sinθcosθ=12，则cos2θtanθ=cos2θ−sin2θtanθ=2025−52512=65，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】体难度不大，属于基础题．本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A.若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2−4ac=0，符合b2−4ac≤0；②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a>0且b2−4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2−4ac≤0”充分不必要条件，“b2−4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B.当ab2>cb2时，b2≠0，且a>c，∴“ab2>cb2”是“a>c”的充分条件．反之，当a>c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2>cb2不成立．∴“a>c”是“ab2>cb2”的必要不充分条件．故B错误；C.结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2<0”.故C错误；D.命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α//β.”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选D．5.【答案】A【解析】解：∵log30.5<log31=0，0=log0.51<log0.50.6<log0.50.5=1，30.2>30= 1，∴a<b<c．故选：A．容易得出log30.5<0,0<log0.50.6<1,30.2>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．6.【答案】C【解析】解：由向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则(|a⃗+b⃗ +c⃗|) 2=|a⃗|2+|b⃗ |2+|c⃗|2+2(a⃗⋅b⃗ +a⃗⋅c⃗+b⃗ ⋅c⃗ )=11+2(|a⃗|⋅|b⃗ |cosα+|a⃗|⋅|c⃗|cosα+|b⃗ |⋅|c⃗|cosα)=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C设向量所成的角为α，则先求出(|a⃗+b⃗ +c⃗|) 2的值即可求出，考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cosα的公式．7.【答案】B【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]的值，∵输入n=10，∴跳出循环的i值为11，∴输出P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]=4(1−13+15−⋯−119).故选：B．模拟程序的运行可得算法的功能是求P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]的值，根据条件确定跳出循环的i值，即可计算得解．本题考查程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，∴当x>−2时，f′(x)>0；当x=−2时，f′(x)=0；当x<−2时，f′(x)<0．∴当x>−2时，xf′(x)<0；当x=−2时，xf′(x)=0；故选：A ．由题设条件知：当x >−2时，xf′(x)<0；当x =−2时，xf′(x)=0；当x <−2时，xf′(x)>0.由此观察四个选项能够得到正确结果．本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．9.【答案】A【解析】解：在区间[0,2]中随机地取一个数，这个数小于23的概率为232=13，∴在区间[0,2]中随机地取两个数，则这两个数都小于23的概率为13×13=19， ∴这两个数中较大的数大于23的概率为P =1−19=89， 故选：A ．先根据几何概型的概率公式求出在区间[0,2]中随机地取一个数，这个数小于23的概率，从而得到这两个数都小于23的概率，最后根据对立事件的概率公式可求出所求 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型10.【答案】B【解析】解：分别以直线BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)， ∴cos <AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5×√5=25，∴AE 与CF 夹角的余弦值为25． 故选：B ．根据题意，可以点B 为原点，直线BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后可求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)，然后可求出cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=25，从而可得出AE 与CF 夹角的余弦值．本题考查了直三棱柱的定义，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题的方法，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图所示，不等式3x 2−y 2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)，可得点P 的轨迹为直线y =±√3x 之间并且包括x 轴在内的区域． |PA|=|√3x−y|2，|PB|=|√3x+y|2，∵三角形PAB 的面积为3√316，∴12|PA||PB|sin60°=3√316， 化为：x 2−y 23=1．则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是(2,0)． 故选：A ．如图所示，不等式3x 2−y 2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)，可得点P 的轨迹为直线y =±√3x 之间并且包括x 轴在内的区域．利用12|PA||PB|sin60°=3√316，即可得出． 本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性及最值，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属中档题．利用导数可得g(x)在x∈[0,1]上的取值范围为[1,g(x0)]，其中g(x0)<2，令t=g(x)换元，把f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立转化为−t2+3t−a≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，分离参数a后利用函数单调性求出函数−t2+3t的最小值得答案．【解答】解：g(x)=2x−x2，g′(x)=2x ln2−2x，∵g′(0)=ln2>0，g′(1)=2ln2−2<0，∴g′(x)在(0,1)上有零点，又[g′(x)]′=ln22⋅2x−2<0在[0,1]上成立，∴g′(x)在(0,1)上有唯一零点，设为x0，则当x∈(0,x0)时，g′(x)>0，当x∈(x0,1)时，g′(x)<0，∴g(x)在x∈[0,1]上有最大值g(x0)<2，又g(0)=g(1)=1，∴g(x)∈[1,g(x0)]，令t=g(x)∈[1,g(x0)]，要使f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立，则f(t)≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，即−t2+3t−a≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，分离a，得a≤−t2+3t，，又g(x0)<2，函数−t2+3t的对称轴为t=32∴(−t2+3t)min=2，则a≤2．则实数a的范围是(−∞,2]．故选：A．13.【答案】77【解析】解：根据频率分布直方图，得；时速超过50km/ℎ的汽车的频率为(0.039+0.028+0.010)×10=0.77；∴时速超过50km/ℎ的汽车辆数为100×0.77=77．故答案为：77．根据频率分布直方图，求出时速超过50km/ℎ的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．14.【答案】π6【解析】解：由已知得y=√3sin2x−cos2x=2(sin2x⋅√32−cos2x⋅12)=2sin(2x−π6)．所以g(x)=2sin[2(x−φ)−π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(−2φ−π6)=±2，∴−2φ−π6=π2+kπ,k∈Z，∴φ=−π3−kπ2，k∈Z，当k=−1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．先将y=√3sin2x−cos2x化为y=2sin(2x−π6)，然后再利用图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三角函数图象变换的方法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：由题意知，F(1,0)，由抛物线的定义知，|AC|+|BD|=|AF|+|BF|−2=|AB|−2，若|AC|+|BD|取得最小值，则|AB|取得最小值，而当|AB|为通径，即|AB|=2p=4时，取得最小值，所以|AC|+|BD|的最小值为2．故答案为：2．先有抛物线的定义，可得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|−2=|AB|−2，再找|AB|的最小值，而当|AB|为抛物线的通径时，|AB|最小，故而得解．本题考查抛物线的定义、通径等，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】108π【解析】【分析】本题考查多面体外接球的体积的求法，关键是“补形思想”的应用，是中档题．由已知可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且PA=PB=PC，设PA=PB=PC=a，由棱锥体积公式求得a，然后利用补形法求三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三棱锥P−ABC是正三棱锥，且侧面是直角三角形，如图，可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，即PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，且PA=PB=PC，设PA=PB=PC=a，则13×12a3=36，即a=6，把三棱锥补形为正方体，则其对角线长为√62+62+62=6√3，∴三棱锥P−ABC的外接球的半径R=3√3．∴球O的表面积为4π×(3√3)2=108π．故答案为：108π．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，∴AC=BC=2√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC =AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD ．(Ⅱ)解：由(1)知，BC 为三棱锥B −ACD 的高，BC =2√2， S △ACD =2，∴V B−ACD =13S △ACD ⋅BC =13×2×2√2=4√23，∵S △BCD =2√2，设点A 到平面BCD 的距离ℎ.由V B−ACD =V A−BCD ，得： 点A 到平面BCD 的距离ℎ=4√2313×2√2=2．【解析】(Ⅰ)推导出AC ⊥BC ，由平面ADC ⊥平面ABC ，能证明BC ⊥平面ACD ． (Ⅱ)设点A 到平面BCD 的距离ℎ.由V B−ACD =V A−BCD ，能求出点A 到平面BCD 的距离． 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解析：(Ⅰ)散点图如图所示：(Ⅱ)依题意，x −=18(2+3+4+5+6+8+9+11)=6y −=18(1+2+3+4+5+6+6+8)=4∑x i 28i=1=356,∑x i 8i=1y i =241：b̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=241−8×6×7356−8×6×6=4968∴a ̂=y −−b ̂x −=4−4968×6=−1134故得回归直线方程为y =4968x −1134．(Ⅲ) 由题意知，在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，任取两个有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)共10种，该商品进货量不超过3吨的有编号1，2号，超过3吨的是编号3，4，5号，该商品进货量恰有一次不超过3吨有(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)共6种，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率为P =610=35．【解析】(Ⅰ)根据上表数据绘制散点图；(Ⅱ)由题意求出x −，y −，∑x i 28i=1，∑x i 8i=1y i ，代入公式求值，从而得到回归直线方程；(2)在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，抽取2个，写出所有事件，即可求解恰有一个值不超过3(吨)的概率． 本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是中档题19.【答案】解：(Ⅰ)由4S n =a n 2+2a n −3，可得4S n−1=a n−12+2a n−1−3，n ≥2， 两式相减可得4a n =4S n −4S n−1=a n 2+2a n −a n−12−2a n−1，可化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0， 由a n >0，可得a n −a n−1=2，由4a 1=4S 1=a 12+2a 1−3，解得a 1=3(−1舍去)，于是{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 则a n =2n +1，n ∈N ∗； (Ⅱ)b n =1an a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，则T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)， 由n3(2n+3)<215，解得n <6， 则所求的最大正整数n 为5．【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简整理，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(Ⅱ)求得b n =1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，由数列的裂项相消求和，计算可得T n ，再解不等式可得n 的最大值．本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式的求法，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设AF 1的中点M ，连接OM ，AF 2，在三角形AF 1F 2中，O 为F 1F 2的中点，所以OM 为中位线， 所以|OM|=12|AF 2|=12(2a −|AF 1|)=a −12|AF 1|， 又因为圆M 与圆O 内切，所以圆心距|OM|为两个半径之差，即|OM|=3−12|AF 1|，所以a −12|AF 1|=3−12|AF 1|，可得a =3， 所以椭圆的长轴长为2a =6； (Ⅱ)由e =c a=2√23，b =1，a 2=b 2+c 2可得a 2=9，所以椭圆的方程为：x 29+y 2=1；可得左焦点F 1(−2√2,0)，当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为：x =my −2√2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立直线AB 与椭圆的方程{x =my −2√2x 2+9y 2−9=0，整理可得(9+m 2)y 2−4√2m −1=0，可得y 1+y 2=4√2m 9+m 2，y 1y 2=−19+m 2，假设存在T(t,0)满足条件，则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−t,y 1)(x 2−t,y 2)=(x 1−t)(x 2−t)+y 1y 2=(my 1−2√2−t)(my 2−2√2−t)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2−m(2√2+t)(y 1+y 2)+(2√2+t)2=−(1+m 2)9+m 2−4√2m 2(2√2+t)9+m 2+(2√2+t)2m 2+9(2√2+t)29+m 2=m 2[(2√2+t)2−1−4√2(2√2+t)]+9(2√2+t)2−19+m 2，要使TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，则9(2√2+t)2−19=(2√2+t)2−1−4√2(2√2+t)，解得t =−19√29，即T(−19√29,0)，这时9(2√2−19√29)2−19=−781；当直线的斜率为0时，即直线AB 为x 轴，与椭圆的交点A ，B 分别为：(−3,0)，(3,0)， 这时TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3+19√29,0)⋅(3+19√29,0)=(19√29)2−9=−781， 综上所述：在x 轴上存在定点T(−19√29,0)使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值−781．【解析】(Ⅰ)设AF 1的中点为M ，连接OM 可得OM 为三角形AF 1F 2的中位线，可得|OM|=12|AF 2|=12(2a −|AF 1|)=a −12|AF 1|，再由圆M 与圆O 内切，所以圆心距|OM|为两个半径之差可得|OM|的表达式，两个式子可得a 的值，进而求出长轴长；(Ⅱ)由离心率和b 的值及a ，b ，c 之间的关系，求出a 的值，进而求出椭圆的方程；假设存在定点T(t,0)，分直线AB 的斜率为0和不为0两种情况讨论：当直线AB 的斜率不为0时设直线AB 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，由其为定值可得分子分母对应项的系数成比例，可得t 的值，进而求出TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，当直线AB 的斜率为0时，求出A ，B 的坐标，也可得TA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值． 本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查数量积为定值的性质，即分子分母对应项的系数成比例，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=ax 2+(1−2a)x −lnx ，∴f ′(x)=2ax +(1−2a)−1x=2ax 2+(1−2a)x−1x=(2ax+1)(x−1)x，∵a >0，x >0，∴2ax +1>0，解f′(x)>0，得x >1， ∴f(x)的单调增区间为(1,+∞)；(2)当a <0时，由f′(x)=0，得x 1=−12a ，x 2=1， ①当−12a >1，即−12<a <0时，f(x)在(0,1)上是减函数， ∴f(x)在[12,1]上的最小值为f(1)=1−a ． ②当12≤−12a ≤1，即−1≤a ≤−12时，f(x)在[12,−12a ]上是减函数，在[−12a ,1]上是增函数， ∴f(x)的最小值为f(−12a )=1−14a +ln(−2a)． ③当−12a <12，即a <−1时，f(x)在[12,1]上是增函数， ∴f(x)的最小值为f(12)=12−34a +ln2． 综上，函数f(x)在区间[12,1]上的最小值为：f(x)min={12−34a +ln2 a <−11−14a +ln(−2a) −1≤a ≤−121−a −12<a <0 (3)设M(x 0,y 0)，则点N 的横坐标为x 0=x 1+x 22，直线AB 的斜率k 1=y 1−y2x 1−x 2=1x1−x 2[a(x 12−x 22)+(1−2a)(x 1−x 2)+lnx 2−lnx 1]=a(x 1+x 2)+(1−2a)+lnx 2−lnx 1x 1−x 2，曲线C 在点N 处的切线斜率k 2=f ′(x 0)=2ax 0+(1−2a)−1x 0=a(x 1+x 2)+(1−2a)−2x1+x 2，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则k 1=k 2， 即lnx 2−lnx 1x 1−x 2=−2x1+x 2，∴ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，不妨设x 1<x 2，x2x 1=t >1，则lnt =2(t−1)1+t ，令g(t)=lnt −2(t−1)1+t (t >1)，则g ′(t)=1t −4(1+t)2=(t−1)2t(1+t)2>0，∴g(t)在(1,+∞)上是增函数，又g(1)=0， ∴g(t)>0，即lnt =2(t−1)1+t不成立，∴曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB ．【解析】(1)求出函数f(x)的导函数，由a >0，定义域为(0,+∞)，再由f′(x)>0求得函数f(x)的单调增区间；(2)当a <0时，求出导函数的零点−12a ,1，分−12a >1，12≤−12a ≤1，−12a <12讨论函数f(x)在区间[12,1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a 的分段函数； (3)设出线段AB 的中点M 的坐标，得到N 的坐标，由两点式求出AB 的斜率，再由导数得到曲线C 过N 点的切线的斜率，由斜率相等得到ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，令x2x 1=t 后构造函数g(t)=lnt −2(t−1)1+t (t >1) 由导数证明ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1不成立．本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于(3)的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．22.【答案】解：(1)圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint(t 为参数)，消去参数t ，转换为直角坐标方程为(x +5)2+(y −3)2=2．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2.整理得√22ρcosθ−√22ρsinθ=−√2，根据：{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2，转换为直角坐标方程为x −y +2=0．(2)直线l 与x 轴和y 轴的交点坐标为A(−2,0)，B(0,2)． 所以|AB|=√22+(−2)2=2√2点P(−5+√2cosα,3+√2sinα)到直线l 的距离d =√2cosα−3−√2sinα+2|√2=|−6+2cos(α+π4)|√2，当cos(α+π4)=−1时，d max =√2=2√2，所以S△PAB=12×d max×|AB|=12×2√2×2√2=4．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)因为f(x)≤3−f(x−1)，所以|x−1|≤3−|x−2|，⇔|x−1|+|x−2|≤3，⇔{x<13−2x≤3或{1≤x≤21≤3或{x>22x−3≤3解得0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，所以0≤x≤3，故不等式f(x)≤3−f(x−1)的解集为[0,3]．(2)因为(1,32)⊆M，所以当x∈(1,32)时，f(x)≤f(x+1)−|x−a|恒成立，而f(x)≤f(x+1)−|x−a|⇔|x−1|−|x|+|x−a|≤0⇔|x−a|≤|x|−|x−1|，因为x∈(1,32)，所以|x−a|≤1，即x−1≤a≤x+1，由题意，知x−1≤a≤x+1对于x∈(1,32)恒成立，所以12≤a≤2，故实数a的取值范围[12,2]．【解析】(1)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)由f(x)≤f(x+1)−|x−a|⇔|x−a|≤|x|−|x−1|，得到x−1≤a≤x+1对于x∈(1,32)恒成立，求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2020-2021学年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）及答案解析
A．4 B．6 C．7 D．8 【考点】程序框图． 【分析】模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=3时，满足条件S≥3，退出循环，输出n的值为 8． 【解答】解：模拟执行程序，可得 S=0，n=1 执行循环体后，S=1，n=2 不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=3 不满足条件S≥3，执行循环体后，S=2，n=4 不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=5 不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=6 不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=7 不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log=3，n=8 此时，满足条件S≥3，退出循环，输出n的值为8． 故选：D．
则当t=0时，函数取得最大值cosθ==， 故二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为[0，]， 故选：B．
9．设M，N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且?=0，过点A（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点， 则四边形MPNQ面积的最小值为（） A．80 B．100 C．120 D．160 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设直线MN的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合?=0，可求t的值，即可求出|MN|关于m的表达 式，同理求出|PQ|关于m的表达式，于是S=|MN||PQ|，利用换元法求出S的最小值． 【解答】解：设直线MN方程为x=my+t， 联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4t=0， 设M（，y1），N（，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4t． ∵?=0，∴+y1y2=0，即y1y2=0（舍）或y1y2=﹣16． ∴|MN|==． ∵PQ⊥MN，且PQ经过点A（4，0），∴直线PQ的方程为x=﹣． 联立方程组，消元得：y2+﹣16=0． 设P（x3，y3），Q（x4，y4），则y3+y4=﹣，y3y4=﹣16． ∴|PQ|==． ∴四边形MPNQ面积S=|MN||PQ|==8
2020年四川省绵阳市高考(文科)数学三诊模拟测试试卷 含解析
2020年高考（文科）数学三诊试卷一、选择题（共12小题）.1．复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1﹣2i2．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．33．已知单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝（）A．0B．C．1D．24．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险5．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．96．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．28．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），若f（﹣1）＜1，f（2019）＝ln（a﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（﹣∞，e+1）C．（e+1，+∞）D．（1，e+1）9．某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）11．如图，教室里悬挂着日光灯管AB，AB＝90cm，灯线AC＝BD，将灯管AB绕着过AB 中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A′B′，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为（）A．30cm B．40cm C．60cm D．75cm12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．已知，则sinα＝．14．曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为．15．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．三、解答题17．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率[60，75）三等品100.1[75，90）二等品30b[90，105）一等品a0.4[105，120）特等品200.2合计n1（1）求a，b，n；（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．18．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．（1）求S n；（2）设b n＝log3S n，求使得＞0.99成立的最小自然数n．19．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，PA＝AB＝2．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F﹣PCD的体积．20．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．（1）若直线OG的斜率为，求直线l的方程；（2）设点P（x0，0），若∠FMP恒为锐角，求x0的取值范围．21．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解：＝．故选：A．2．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2．故选：C．3．已知单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝（）A．0B．C．1D．2【分析】直接把已知代入数量积求解即可．解：因为单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝﹣•＝12﹣0＝1．故选：C．4．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．解：根据A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，患者占有比例可知：A型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．5．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．9【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，∴4x＝＝＝9，故选：D．6．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】由三角形的内角和定理得到B＝π﹣（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到A＝C，利用等角对等边即可得到三角形为等腰三角形．解：∵sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝2sin A cos C，∴cos A sin C﹣sin A cos C＝sin（C﹣A）＝0，即C﹣A＝0，C＝A，∴a＝c，即△ABC为等腰三角形．故选：B．7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．2【分析】利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．解：双曲线＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得a＝1，c＝3，b＝2，所以双曲线的离心率为：e＝＝3．故选：B．8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），若f（﹣1）＜1，f（2019）＝ln（a﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（﹣∞，e+1）C．（e+1，+∞）D．（1，e+1）【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝f（﹣1），进而可得ln（a﹣1）＜1，变形可得0＜a﹣1＜e，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f （x），函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+4×505）＝f（﹣1），又由f（2019）＝ln（a﹣1）且f（﹣1）＜1，则有ln（a﹣1）＜1，变形可得0＜a﹣1＜e，解可得：1＜a＜e+1；故a的取值范围为（1，e+1）；故选：D．9．某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝32＝9，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数m＝＝6，由此能求出这两位居民参加不同服务队的概率．解：某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，基本事件总数n＝32＝9，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数m＝＝6，则这两位居民参加不同服务队的概率p＝＝．故选：A．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．解：∵函数的最小周期是π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），∵f（x）关于中心对称，∴2×（﹣）+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ+，k∈Z，∵，∴当k＝0时，φ＝，即f（x）＝sin（2x+），则函数在[﹣，]上递增，在[，]上递减，f（0）＝f（），∵＜1＜2，∴f（）＞f（1）＞f（2），即f（2）＜f（1）＜f（0），故选：D．11．如图，教室里悬挂着日光灯管AB，AB＝90cm，灯线AC＝BD，将灯管AB绕着过AB 中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A′B′，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为（）A．30cm B．40cm C．60cm D．75cm【分析】设A′B′与OO′交于点N，过点A′作A′M⊥AC于M，连接MN，由等边三角形求出A′M，由勾股定理求得AC的值．解：设A′B′与OO′交于点N，过点A′作A′M⊥AC于M，连接MN，如图所示；则CM＝AC﹣15，△A′MN中，A′N＝AB＝45，MN＝45，∠A′MN＝60°，所以A′M＝45；在Rt△A′MC中，由勾股定理得，（AC﹣15）2+452＝AC2，解得AC＝75（cm）．故选：D．12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的交点个数．由y＝﹣，得y′＝．可知当x＜1时，y′＜0，函数单调递减，当x＞1时，y′＞0，函数单调递增．作出两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象如图：由图可知，函数的零点个数为2个．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则sinα＝．【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵，∴两边平方可得：cos2+sin2﹣2cos sin＝，可得1﹣sinα＝，∴sinα＝．故答案为：．14．曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为x+y+2＝0．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x＝﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解：y'＝2﹣3x2y'|x＝﹣1＝﹣1而切点的坐标为（﹣1，﹣1）∴曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为x+y+2＝0故答案为：x+y+2＝015．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝2．【分析】根据正余弦定理可得PF1•PF2＝16且4c2＝（2a）2﹣16，解出b即可．解：△F1PF2的面积＝PF1•PF2sin120°＝PF1•PF2＝4，则PF1•PF2＝16，又根据余弦定理可得cos120°＝，即4c2＝PF12+PF22+16＝（2a）2﹣32+16，所以4b2＝16，解得b＝2，故答案为：2．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．【分析】设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．解：设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；则h2+2a2＝（2×2）2，所以a2＝8﹣h2，所以正四棱柱容器的容积为V＝a2h＝（8﹣h2）h＝﹣h3+8h，h∈（0，4）；求导数得V′＝﹣h2+8，令V′＝0，解得h＝，所以h∈（0，）时，V′＞0，V（h）单调递增；h∈（，4）时，V′＜0，V（h）单调递减；所以h＝时，V取得最大值．所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率[60，75）三等品100.1[75，90）二等品30b[90，105）一等品a0.4[105，120）特等品200.2合计n1（1）求a，b，n；（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．【分析】（1）由10÷0.1＝100，得n＝100，由此能求出a，b．（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得x＝2，y＝4，在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，由此利用列举法能求出至少有1件特等品被抽到的概率．解：（1）由10÷0.1＝100，即n＝100，∴a＝100×0.4＝40，b＝30÷100＝0.3．（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得x＝2，y＝4，∴在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况有15种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，∴至少有1件特等品被抽到的概率为：p＝．18．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．（1）求S n；（2）设b n＝log3S n，求使得＞0.99成立的最小自然数n．【分析】（1）利用数列的递推关系式，推出数列{S n}是等比数列，然后求解即可．（2）化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式推出n的范围，然后求解即可．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．所以S n+1＝3S n，所以{S n}是等比数列，首项为1，公比为3等比数列．S n＝3n﹣1．（2）b n＝log3S n＝n﹣1，＝＝＝1，＞0.99成立，即1＞0.99，解得n＞99，所以最小自然数n为100．19．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，PA＝AB＝2．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F﹣PCD的体积．【分析】（1）取PC的中点G，连接DG，FG．利用正方形的性质、三角形中位线定理可得：DE∥BC，且DE＝BC．于是四边形DEFG为平行四边形，可得EF∥DG，即可证明EF∥平面PCD．（2）根据EF∥平面PCD，可得F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，可得V F﹣PCD＝V E﹣PCD＝V A﹣PCD＝V P﹣ACD．由PA⊥平面ABCD，可得V P﹣ACD＝PA ×S△ACD，即可得出．【解答】（1）证明：取PC的中点G，连接DG，FG．∵四边形ABCD为正方形，且DE＝BC，FG∥BC，且FG＝BC．∴DE∥BC，且DE＝BC．∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG，∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，∴EF ∥平面PCD．（2）解：∵EF∥平面PCD，∴F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，∴V F﹣PCD＝V E﹣PCD＝V A﹣PCD＝V P﹣ACD．∵PA⊥平面ABCD，∴V P﹣ACD＝PA×S△ACD＝××2＝．∴V F﹣PCD＝．20．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．（1）若直线OG的斜率为，求直线l的方程；（2）设点P（x0，0），若∠FMP恒为锐角，求x0的取值范围．【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而可得中点G的坐标，求出直线OG的斜率，再由题意可得直线中参数的值，进而求出直线方程；（2）∠FMP恒为锐角，等价于＞0，设M的坐标，求出向量的代数式，使其大于0恒成立，令函数h（t），分两种情况讨论函数大于0时的x0的范围．解：（1）由题意得F（1，0），设直线l的方程为：x＝ty+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点G（x0，y0），联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣4ty﹣4＝0，可得y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以y0＝2t，x0＝ty0+1＝2t2+1，即G（2t2+1，2t），所以k OG＝，由题意可得＝，解得t＝或t＝1，所以直线l的方程为：x﹣y﹣1＝0，或2x﹣y﹣2＝0；（2）∠FMP恒为锐角，等价于＞0，设M（，y1），F（1，0），P（x0，0），＝（x0﹣，﹣y1），＝（1﹣，﹣y1），则＝（x0﹣）（1﹣）+y12＝+y12+（1﹣）x0＞0恒成立，令t＝，则t＞0，原式等价于t2+3t+（1﹣t）x0＞0，对任意的t＞0恒成立，令h（t）＝t2+（3﹣x0）t+x0，①△＝（3﹣x0）2﹣4x0＝x02﹣10x0+9＜0，解得1＜x0＜9，②，解得：0≤x0≤1，又x0≠1，故0≤x0＜1，综上所述：x0的取值范围[0，1）∪（1，9）．21．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．【分析】（1）把a＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．解：（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx﹣+2，＝，x＞0，易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，故当x＝时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4，（2）＝，当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点；当0即时，f（x）在（1，e）上单调递减，由题意可得，，解可得，0，当即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1）﹣＝，令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）ln﹣a+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，令h（a）＝，则＜0，所以h（a）在（）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，所以g（a）在（）上递增，g（a）＞g（）＝2﹣，即f（）＞0，所以f（x）在（1，e）上没有零点，综上，当0＜a＜时，f（x）在（1，e）上有唯一零点，当a≤0或a时，f（x）在（1，e）上没有零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．（2）由（1）得：|MN|＝|．显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，设PC2与直线MN垂直于点H，如图所示：在Rt△OHC2中，|，所以点P到直线MN的最大距离d＝，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值m，然后由a+4b+9c＝m，根据++＝++（a+4b+9c），利用基本不等式求出的最小值．解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝．∵f（x）≤5，∴或﹣1≤x≤2或，∴﹣2≤x≤3，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}．（2）∵f（x）＝|x﹣2|+|x+1|⩾|（x﹣2）﹣（x+1）|＝1∴f（x）的最小值为1，即m＝3，∴a+4b+9c＝3．＝＝3，当且仅当时等号成立，∴最小值为3．。
2020届 四川省 绵阳市 高三第三次诊断性测试理科数学试题(word版含答案)
1四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性测试(理科)数学试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合22{(,)|1},{(,)|,A x y x y B x y =+==x+y=1},则A∩B 中元素的个数是A.0B.1C.2D.32.已知复数z 满足(1)|3|,i z i -⋅=+则z=A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i3.已知3log 21,x ⋅=则4x =A.4B.6 3log 2.4CD.94.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示: A 、B 、O 、AB 血型与COVID-19易感性存在关联，具体调查数据统计如下:2根据以上调查数据，则下列说法错误的是A.与非O 型血相比，O 型血人群对COVID-19相对不易感，风险较低B.与非A 型血相比，A 型血人群对COVID-19相对易感，风险较高C.与A 型血相比，非A 型血人群对COVID-19都不易感，没有风险D.与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID-19的易感性要高5.在二项式2()nx x-的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 A. -360B. -160C.160D.3606.已知在△ABC 中，sinB=2sinAcosC, 则△ABC 一定是A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形7.已知两个单位向量a , b 的夹角为120°, 若向量c = =2a -b , 则a ·c =5.2A3.2B C.2 D.38.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018 年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图.若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线22221(0,y x a b a b-=>>0)上支的一部分,且上焦点到上顶点的距离为2,到渐近线距离为22,则此双曲线的离心率为A.2.2B C.3.3D39.设函数21,0,()21,0,x x x f x x -⎧+>=⎨--<⎩则下列结论错误的是A.函数f(x)的值域为RB.函数f(|x|)为偶函数C.函数f(x)为奇函数D.函数f(x)是定义域上的单调函数10.己知函数f(x)= sin(ωx + φ)( ω>0,02πϕ<<)的最小正周期为π,且关于(,0)8π-中心对称，则下列结论正确的是A. f(1)< f(0)<f(2)B. f(0)< f(2)< f(1)C. f(2)< f(0)<f(1)D. f(2)<f(1)< f(0)11.已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f(x)=x-[x], 则函数()()x xg x f x e=+的零点个数为A.1B.2C.3D.412.在△ABC 中，∠C=90°, AB=2,3,AC =D 为AC 上的一点(不含端点),将△BCD 沿直线BD 折起，使点C在平面ABD 上的射影O 在线段AB 上，则线段OB 的取值范围是1.(,1)2A13.(,22B3.2C3.(0,2D 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.413. 已知5cossin225αα-=则sinα=____ 14.若曲线f(x)=e x cosx-mx,在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为3,4π则实数m=_____. 15.已知12,F F 是椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆C.上的一点,12120,F PF ︒∠=且12F PF V 的面积为43,则b=____.16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为____.三、解答题:共70分。
2020届四川省绵阳市高三第三次诊断性测试文科数学试题(word版含答案)
2020年四川省绵阳市高三第三次诊断性测试(文科)数学试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数21i =- A.1+i B.1-iC.2-2iD.2+2i 2.设集合22{(,)|1},{(,)|,A x y x y B x y =+==x+y=1},则A∩B 中元素的个数是A.0B.1C.2D.33. 已知单位向量a, b 满足a ⊥b,则a·（a-b)=A.0 B . 12 C.1 D.24.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示: A 、B 、O 、AB 血型与COVID-19易感性存在关联，具体调查数据统计如下:根据以上调查数据，则下列说法错误的是A.与非O 型血相比，O 型血人群对COVID-19相对不易感，风险较低B.与非A 型血相比，A 型血人群对COVID-19相对易感，风险较高C. 与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID-19的易感性要高D. 与A 型血相比，非A 型血人群对COVID-19都不易感，没有风险5. 已知3log 21,x ⋅=则4x =A.4B.6 3log 2.4C D.96.已知在△ABC 中，sinB=2sinAcosC, 则△ABC 一定是A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形7.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图.若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线22221(0,y x a b a b-=>>0)上支的一部分,且上焦点到上顶点的距离为2,到渐近线距离为22,则此双曲线的离心率为A.2B.3C.22 .23D8.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),若f(-1)<1, f(2019)=ln(a-1),则实数a 的取值范围为 A. (1, 2) B. (-∞, e+1) C. (e+1, +∞)D. (1, e+1) 9.某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为2.3A 1.2B 1.3C 1.6D 10.己知函数f(x)= sin(ωx + φ)( ω>0,02πϕ<<)的最小正周期为π,且关于(,0)8π-中心对称，则下列结论正确的是A. f(1)< f(0)<f(2)B. f(0)< f(2)< f(1)C. f(2)< f(0)<f(1)D. f(2)<f(1)< f(0)11.如图，教室里悬挂着日光灯管AB, AB=90cm, 灯线AC=BD,将灯管AB 绕着过AB 中点O 的铅垂线'OO 顺时针旋转60° 至,A B ''且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm, 则AC 的长为A.30cmB.40cmC.60cmD.75cm12.已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f(x)=x-[x], 则函数()()xx g x f x e =+的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知5cos sin22αα-=则sinα=____ 14. 曲线32y x x =-在x=-1处的切线方程为____15.已知12,F F 是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆C.上的一点,12120,F PF ︒∠=且12F PF V 的面积为43,则b=____.16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为____.三、解答题:共70分。
四川省绵阳市重点中学2020级高三三诊数学模拟试题(二)及参考答案
绵阳重点中学2020级高三三诊数学模拟试题（二）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}24x A x =≤∣，{}2log 2B x x =≤∣，则A B ⋂=（ ） A ．{}2x x ≤∣ B ．{02}xx <≤∣ C ．{}4x x ≤∣D ．{04}xx <≤∣ 2．若复数z 满足()1317i z i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命貪()0:0,p x π∃∈，0sin 0x <命题:1q x ∀>，2log 0x >，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．()p q ⌝∨D ．p q ⌝∧4．世界人口变化情况的三帞统计图如图所示．下列结论中错误的是（ ）A ．从折线图能看出世界人口的总量还羞年份的增加而增加B ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C ．1957年到2050年各洲中北桊洲人口睇长速度最僈D ．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 5．函数()21sin 2f x x x x =-的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．247-B ．43-C ．724D ．2477．已知直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，现将该三角形沿斜边AB 旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ） A ．12π B ．16π C ．485πD ．243π8．某校迎新晩会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晩会节目演出顺序的编排方案共有（ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．120种9．已知函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则（ ）A ．()cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在8,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．若()f x θ+为偶函数，则()6k k πθπ=+∈Z10．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底葅与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，且相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为1O ，2O ，3O ，4O ，5O ，若双曲线C 以1O ，3O 为焦点、以直线24O O 为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A ．29011 B ．29013 C ．1311 D ．12511．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ．G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中正确的个数是（ ）①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形：②11B D ∥平面EFG ：③异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为2；④四面体11ACB D 的体积等于等33a ．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知实数0a >， 2.718e =，对任意()1,x ∞∈-+，不等式()e e 2ln x a ax a ⎡⎤≥++⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,e⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置） 13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若a b ∥，则32a b +=______．14．在ABC △中，已知120B =︒，AC =2AB =则BC =______．15．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线l 与C 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆被y 轴所截得的弦长为______．16．已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD是等腰梯形，AD BC ∥，3AB AD CD ===，3ABC π∠=，PA =M 是线段AB上一点，且AM AB λ=．过点M 作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．已知数列{}n a 是首项114a =，公比14q =的等比数列，设()*1423log N n n b a n +=∈，数列{}n c 满足n n n c a b =．（1）证明：数列{}n b 成等差数列．（2）若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的収值范围． 18．为调查A ，B 两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B 的患者的康复时间，经整理得到如下数据：假设用频率估计概率，且只服用药物A 和只服用药物B 的患者是否康复相互独立． （1）若一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率；（2）从样本中只服用药物A 和只服用药物B 的患者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中能在7天内康复的人数，求X 的分布列和数学期望：19．如图在棱锥P ABC -中，侧面PAC 是等边三角形，AB BC ⊥，PB PC =．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若24AC AB ==，则在棱PA 上是否存在动点M ，使得平面MBC 与平面ABC 的夹角为60︒？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，说明理由．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>离心率为1e ，短轴长为2，双曲线22:13y E x -=的离心率为2e ，且122e e = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线:2l x =-于点M ，交直线AB 于点N ，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程．21．已知函数()21ln 12f x x x x x =---．（1）求()f x 的单调区间； （2）若函数21()(2)(1)ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个零点，求正数a 的取值范圈． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(文科)(有答案解析)
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数A. B. C. i D.2.设集合，，则中元素的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33.已知单位向量，满足，则A. 0B.C. 1D. 24.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是A. 与非O型血相比，O型血人群对相对不易感，风险较低B. 与非A型血相比，A型血人群对相对易感，风险较高C. 与O型血相比，B型、AB型血人群对的易感性要高D. 与A型血相比，非A型血人群对都不易感，没有风险5.已知，则A. 4B. 6C.D. 96.在中，若，那么一定是A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形7.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为A. 2B. 3C.D.8.已知定义在R上的奇函数满足，若，，则实数a的取值范围为A. B. C. D.9.某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为A. B. C. D.10.已知函数的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是A. B.C. D.11.如图，教室里悬挂着日光灯管AB，，灯线，将灯管AB绕着过AB中点O的铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为A. 30cmB. 40cmC. 60cmD.75cm12.已知x为实数，表示不超过x的最大整数，若函数，则函数的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．14.曲线在的处的切线方程为______．15.已知，是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆上的一点，，且的面积为，则______．16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率三等品10二等品30b一等品a特等品20合计n1求a，b，n；从质量指标值在的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．18.若数列的前n项和为，已知，求；设，求使得成立的最小自然数n．19.如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，．证明：平面PCD；求三棱锥的体积．20.已知动直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．若直线OG的斜率为，求直线l的方程；设点，若恒为锐角，求的取值范围．21.已知函数，其中．当时，求函数的极值；试讨论函数在上的零点个数．22.如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点O．分别写出半圆，的极坐标方程；直线l：与曲线，分别交于M、N两点异于极点，P为上的动点，求面积的最大值．23.已知函数．解关于x的不等式；若函数的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：C解析：解：画出和的图象如下：可看出圆和直线有两个交点，的元素个数为2．故选：C．可画出圆和直线的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出中的元素个数．考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：因为单位向量，满足，则．故选：C．直接把已知代入数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．4.答案：D解析：解：根据A、B、O、AB血型与易感性存在关联，患者占有比例可知：A型最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．本题考查由频数直方图，看频数、频率，判断问题的关联性，属于基础题5.答案：D解析：解：，，，故选：D．利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．解析：解：，，即，，为等腰三角形．故选B．由三角形的内角和定理得到，代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到，由此可得到三角形为等腰三角形．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7.答案：B解析：解：双曲线的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得，，，所以双曲线的离心率为：．故选：B．利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是基本知识的考查，基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，函数满足，则有，函数是周期为4的周期函数，则，又由且，则有，变形可得，解可得：；故a的取值范围为；故选：D．根据题意，分析可得，即函数是周期为4的周期函数，据此可得，进而可得，变形可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9.答案：A解析：解：某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，基本事件总数，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数，则这两位居民参加不同服务队的概率．基本事件总数，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数，由此能求出这两位居民参加不同服务队的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：D解析：解：函数的最小周期是，，得，则，关于中心对称，，，即，，，当时，，即，则函数在上递增，在上递减，，，，即，故选：D．根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性进行判断是解决本题的关键．难度中等．11.答案：D解析：解：设与交于点N，过点作于M，连接MN，如图所示；则，中，，，，所以；在中，由勾股定理得，，解得．故选：D．设与交于点N，过点作于M，连接MN，由等边三角形求出，由勾股定理求得AC的值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．12.答案：B解析：解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数与的交点个数．由，得．可知当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．作出两函数与的图象如图：由图可知，函数的零点个数为2个．故选：B．函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数与的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．13.答案：解析：解：，两边平方可得：，可得，．故答案为：．将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：解析：【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．【解答】解：而切点的坐标为曲线在的处的切线方程为故答案为：15.答案：2解析：解：的面积，则，又根据余弦定理可得，即，所以，解得，故答案为：2．根据正余弦定理可得且，解出b即可．本题考查椭圆性质，考查正、余弦定理的应用，属于中档题．16.答案：解析：解：设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；则，所以，所以正四棱柱容器的容积为，；求导数得，令，解得，所以时，，单调递增；时，，单调递减；所以时，V取得最大值．所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：．设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题．17.答案：解：由，即，，．设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得，，在抽取的6件中，有特等品2件，记为，，有一等品4件，记为，，，，则所有的抽样情况有15种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：，，，，，，，，，至少有1件特等品被抽到的概率为：．解析：由，得，由此能求出a，b．设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得，，在抽取的6件中，有特等品2件，记为，，有一等品4件，记为，，，，由此利用列举法能求出至少有1件特等品被抽到的概率．本题考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：数列的前n项和为，已知，所以，所以是等比数列，首项为1，公比为3等比数列．．，，成立，即，解得，所以最小自然数n为100．解析：利用数列的递推关系式，推出数列是等比数列，然后求解即可．化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式推出n的范围，然后求解即可．本题考查数列与不等式相结合，数列求和以及数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.答案：证明：取PC的中点G，连接DG，四边形ABCD为正方形，且，，且．，且．四边形DEFG为平行四边形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．解：平面PCD，到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，．平面ABCD，．．解析：取PC的中点G，连接DG，利用正方形的性质、三角形中位线定理可得：，且于是四边形DEFG为平行四边形，可得，即可证明平面PCD．根据平面PCD，可得F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，可得由平面ABCD，可得，即可得出．本题考查了空间位置关系、三棱锥的体积、转化方法、平行四边形与正方形的性质、三角形中位线定理，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：由题意得，设直线l的方程为：，设，，线段MN的中点，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，可得，，所以，，即，所以，由题意可得，解得或，所以直线l的方程为：，或；恒为锐角，等价于，设，，，，，则恒成立，令，则，原式等价于，对任意的恒成立，令，，解得，，解得：，又，故，综上所述：的取值范围．解析：由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而可得中点G的坐标，求出直线OG的斜率，再由题意可得直线中参数的值，进而求出直线方程；恒为锐角，等价于，设M的坐标，求出向量的代数式，使其大于0恒成立，令函数，分两种情况讨论函数大于0时的的范围．本题考查直线与抛物线的综合及角为锐角与数量积的关系，考查函数大于0恒成立的条件，属于中难题．21.答案：解：当时，，，，易得在，上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，，当时，在上单调递减，，此时函数在上没有零点；当时，在上单调递增，，此时函数在上没有零点；当即时，在上单调递减，由题意可得，，解可得，，当即时，在上单调递减，在上单调递增，由于，，令，令，则，所以在上递减，，即，所以在上递增，，即，所以在上没有零点，综上，当时，在上有唯一零点，当或时，在上没有零点．解析：把代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用．22.答案：解：曲线是以为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．由得：．显然当点P到直线MN的距离最大时，的面积最大．此时点P为过且与直线MN垂直的直线与的一个交点，设与直线MN垂直于点H，如图所示：在中，，所以点P到直线MN的最大距离，所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：．，或或，，不等式的解集为．的最小值为1，即，．，当且仅当时等号成立，最小值为3．解析：将写为分段函数的形式，然后根据，利用零点分段法解不等式即可；利用绝对值三角不等式求出的最小值m，然后由，根据，利用基本不等式求出的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(二)(有答案解析)
16. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，a2=3，且 Sn+1+Sn-1=2n+2Sn（n≥2），若，λ（Sn-an） +λ+7≥（2-λ）n 对任意 n∈N*都成立，则实数 λ）的最小值为______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知△ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a、b、c，且 2acosC=2b-c．
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷二一选择题本大题共12小题共600中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系如图所示的折线图是20172018年的中国仓储指数走势情况根据该折线图下列结论中不正确的是月的仓储指数比2017年同期波动性更大2018年全年仓储指数平均值明显低于20172018年各仓储指数的中位数与2017年备月仓储指数中位数差异明显将函数的图象向左平移个单位得到函数是正项等比数列且a1a84a5a42a6的等差中项为18则a5函数的图象大致是已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6812则铁球的直径最大只能为ab0的两个焦点分别为f1f2以原点为圆心of1为半径作圆与双曲线相交若顺次连接这些交点和f1f2恰好构成一个正六边形则双曲线5011
2a 的值，代入离心率表达式 e= 即可得到答案．
本题考查的知识点是双曲线的简单性质，其中根据已知条件，计算出 a 值，是解答本题 的关键．
10.答案：B
解析：解：（1+ -x）5 表示 5 个因式（1+ -x）的乘积，在这 5 个因式中， 有 2 个因式都选-x，其余的 3 个因式都选 1，相乘可得含 x2 的项； 或者有 3 个因式选-x，有 1 个因式选 ，1 个因式选 1，相乘可得含 x2 的项，