2020年复旦附中高三数学学法指导

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上海市复旦附中2009届高三学法指导练习数学一、填空题1、已知集合A={(x, y)|y=sinx, x G(0, 2n)}, B={(x, y)|y= a , awR},则集合ADB 的子集个数最多有___ 个.2、若函数/(x) = 21o gl x的值域是[-1, 1],则函数f-\x)的值域为___________ •2j x 5 2, y < 23、(文)若4 _,则FI标函数z = x + 2y的取值范围是___________ •[x+ y>2[x = cos&(理)将曲线{ •上所冇点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小[y = sin 6^到原來的丄倍后，得到的朋线的焦点坐标为24、在等差数列{%}中，中若％<0, S“为前〃项之和，且57 = 517,则S“为最小吋的〃的值为________ .5 函数/(x) = sin 2x-4sin3xcosx的图彖上相邻二条对称轴Z间的距离是.6、设可和耳是互相垂直的单位向最，且矗=3吕+2爲/ = —3可+4乙，则万・5= ______ .7、若复数Z满足|z + l| + |z —1| = 2，则|z + i —1|的最小值是 _______ .8>在正三棱锥S-ABC屮，D为AB中点，且SQ与BC所成角为45。

，则SD与底面所成角的正弦值为____________ .9、一动圆与两圆(x+4)2+y2=25和(x-4)2+y2=4都外切，则动圆圆心M的轨迹方程是___________ .10、 /(兀)是偶函数，且/(劝在(0, +oo)上是增函数，若XG[|,1]时，不等式f(ax + 1)< /(x-2)恒成立，则实数Q的取值范围是_____________ .11、在三位数中，如果十位数字比个位和百位数字都小，则称这个三位数为凹数，如402, 745等，那么各数位无重复数字的三位凹数共有 ___ 个.12、对于正整数n和m(m<n)定义心! =(n・m)(n・2m)(ii・3m)i(n・km)其中k是满足n>km的最18 I大整数，则电=206! --------------二、选择题13、在4ABC中，里巴口是A>B成立的( )a bA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必耍条件14、甲命题：平而aw平而卩，平而卩w平而丫，则平而a//平而丫；乙命题：平而a上不共线的三点到平面卩的距离相等，则a//卩•则 ( )A.甲真乙真B.甲真乙假C.甲假乙真D.甲假乙假VA.VB.0 1 xC.(3)求三棱锥M-A.CB 的体积.15、函数y = log a (|x|+l)(a>l)的图象大致是()16、已知e b, cwR,若-•->!,且- + ->-2,则下列结论成立的是()A. a, b, c 同号C. b, c 同号，。

2020届上海市复旦大学附属中学浦东分校2017级高三下学期3月月考数学试卷及解析

2020届上海市复旦大学附属中学浦东分校2017级高三下学期3月月考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一.填空题（本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分）1.已知集合{|2}A x x =≤,5|01x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭,则A B =_________．【答案】1{|}2x x ≤﹣＜【解析】求出集合A 中绝对值不等式的解集确定出集合A ；把集合B 中的不等式转化为两个不等式组,求出不等式组的解集确定出集合B ,然后把求出的两集合的解集表示在数轴上,根据图形即可得到两集合的交集.【详解】解：由集合A 中的不等式2x ≤,解得22x ≤≤﹣, ∴集合22{|}A x x =≤≤﹣；由集合B 中的不等式501x x +≤-, 可化为：5010x x +>⎧⎨-<⎩或5010x x +≤⎧⎨->⎩,,解得：51x ≤﹣＜, ∴集合51{|}B x x =≤﹣＜, 把两集合的解集表示在数轴上,如图所示：根据图形得：{|1}2A B x x ⋂=≤﹣＜. 故答案为：1{|}2x x ≤﹣＜. 2.若函数()y f x =与2x y e +=的图像关于直线y x =对称,则()f x =______.【答案】ln 2(0)x x ->【解析】函数()y f x =与2x y e +=的图像关于直线y x =对称,则()y f x =与2x y e +=互为反函数,求2x y e +=的反函数即可. 【详解】 ()y f x =与2x y e +=互为反函数,由2x y e +=得2ln x y ,ln 2x y∴ ()=ln 2y f x x =-,(0)x >故答案为：ln 2(0)x x -> 求反函数的步骤: (1)从原函数式子中解出x 用y 表示; (2)对换,x y ;(3)标明反函数的定义域. 3.已知角α的终边上一点的坐标为22(sin,cos )33ππ,则角α的最小正值为 . 【答案】【解析】试题分析：由正切函数的定义,又由题设可知点在第四象限,所以.故应填. 4.已知复数2z i=+i 为虚数单位),则z z ⋅=________．【答案】13【解析】化简21232(2)(2)i z i i i +===++-,再计算z z ⋅即可. 【详解】复数21232(2)(2)i z i i i +===++-, ∴123i z -=, ∴1212313393i i z z +⋅=⋅==, 故答案为：13。

2019-2020学年上海市复旦附中高三(上)月考数学试卷(一)(9月份)-学生版+解析版

2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为（用数字作答）． 2．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð ．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是． 5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是．8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系;（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 40 （用数字作答）．【解答】解：设求的项为15(2)r r r T C x +=，今2r =，222235240T C x x ∴==． 2x ∴的系数是402．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð {|02}x x <… ．【解答】解：全集U R =，集合{|2}A x x =<， {|0}{|0}B x x x x =<=…，那么{|02}U AB x x =<…ð．故选：{|02}x x <…．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ( ．【解答】解：函数y ，260x ∴->，解得x <y ∴的定义域是(．故答案为：(．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 y =(0)x …．【解答】解：由1)y x =-…得，x =[0y ∈，)+∞，所以函数1)y x =-…的反函数是y =(0)x …．故答案为：y =(0)x …．5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 1{|2}3x x -<<【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，0a ∴<，且15322ba-+==-，13322ca-=-=， 0b ∴>，0c >，53b c =，23a c =-， ∴不等式20cx bx a ++<，即20b a x xc c ++<，即 252033x x +-<，即 23520x x +-<，求得它的解集为1{|2}3x x -<<，故答案为：1{|2}3x x -<<．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为12或13-或 0 ．【解答】解：2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=且N M ⊆ {3M ∴=-，2} N =∅或{3}-或{2}N =∅时，0a =， {3}N =-时，13a =-，{2}N =时，12a =，故答案为：11,,023-．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 3[2，3] ．【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又(0)4f =-，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32；最大为3．m 的取值范围是：332m 剟．故答案3[2，3]8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 [3-，1] 【解答】解：根据题意化简得：22422xa a x x x+++-…对任意(1,)x ∈+∞恒成立，令24()xf x x x x=+-， 222224()4(21)(1)(3)()1()()x x x x x x f x x x x x ---+-∴'=+=-- 令()03f x x '=⇒=或1-（舍负）令()03f x x '>⇒>；令()013f x x '<⇒<<； 3x ∴=时函数()f x 取得最小值且f （3）5=；2225a a ∴++…，化简得：2230a a +-…，即(1)(3)0a a -+…，解得31a -剟．故答案为：[3-，1]．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 {|11x x <<，或6}x > ．【解答】解：由于关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，故有0a >，且1ba-=．故关于x 的不等式2056ax bx x +>--，即10(6)(1)x x x ->-+．用穿根法求得不等式的解集为{|11x x <<，或6}x >，故答案为{|11x x <<，或6}x >．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 (-∞，3)(3-⋃，)+∞【解答】解：由224936x y -=，得22194x y -=，∴y =由00x >⎧，解得3x >；由00x <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得3x <-．∴函数()y f x =的定义域为(-∞，3)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，3)(3-⋃，)+∞．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ①②④【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：x X ∀∈，设,x a bQ =+∈，则x b =+，而b X ，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =；对于②：x X ∀∈，设,,x a ab Q =+∈，令,x m n Q ∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222am a b =-，222bn a b =--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x =+=--120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设x a b Q =+∈，则1(x a b =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =．综上，①②④正确，故答案为①②④．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 5 【解答】解：据题意知，A 的元素个数小于等于1，且A I ⊆，A ∴的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}， I ∴的所有好子集的个数为5．故答案为：5．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数a ，b ，c 满足c b a <<，若“0ac <”，则0a >，“ab ac >”成立，若“ab ac >”，则0a >，但“0ac <”不一定成立，故“0ac <”是“ab ac >”成立的充分不必要条件，故选：A ．14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，则根据题意需分两种情况：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -…，解得14x …，故舍去，若2a =-时，原不等式为10-…，无解，符合题意； ②当240a -≠时，即2a ≠±，22(4)(2)10a x a x -++-…的解集是空集，∴22240(2)4(4)(1)0a a a ⎧-<⎨=+--⨯-<⎩，解得625a -<<，综上得，实数a 的取值范围是[2-，6]5．则当11a -剟时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，故选：B ．15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【解答】解：圆M 的面积为4π，∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ，60OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，3ON ==，∴圆N ∴圆N 的面积为：7π．故选：A ．16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+【解答】解：依题意，1()f x -=([1,4])x ∈，所以函数121[()](2)y f x f x x --=+=x 满足14124x x ⎧⎨⎩剟剟，即12x 剟，又y x =[1，2]上的增函数，所以函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是[12+，故选：C ．三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解答】解：依题意，得2{|20}(A x x x =-->=-∞，1)(2-⋃，)+∞，310(0,3]B x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭…，于是可解得(2A B =，3]．设集合{|20}C x x p =+<，则(,)2px ∈-∞-．由于α是β的充分条件，所以AB C ⊆．则须满足362pp <-⇒<-．所以，实数p 的取值范围是(,6)-∞-．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．【解答】解：（1）依题意，当x R ∈时，2680mx mx m -++…恒成立．当0m =时，x R ∈；当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩…即2(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+⎩…．解之得01m <…，故实数m 的取值范围01m 剟．（2）当0m =时，y =当01m <…，ymin y ∴=因此，()1)f m m 剟，易得0888m -剟．()f m ∴的值域为[0，．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．【解答】证明：（Ⅰ）1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC1AC AA ∴⊥．90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥．又1A A ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，1A A AB A =，AC ∴⊥平面11A ABB ． 1A B ⊂平面11A ABB ， 1AC A B ∴⊥．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ---，如图所示：则1(0A ，0，1)，B ，1(0,2,)2E ，F ．∴1(3,0,1)A B =-，31(1,)2EF =--． ∴1112cos ,||||A B EF A B EF A B EF 〈〉==．直线EF 与1A B 所成的角为45︒．（Ⅲ）1(0,0,)2G ，(0,2,0)GE =，31()2GF =-．1(0AA =，0，1)．设平面GEF 的法向量为(n x =，y，)z ，则n GE n GF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y y z =⎧+-= 令z =(1,0,3)n =．1113cos ,||||n AA n AA n AA ∴<>==1A 在平面EFG 内的射影为H ，1HA A ∴∠为1AA 与平面EFG 所成的角的余角，113cos |cos ,|HA A n AA ∴∠=<>=． 16HA A π∴∠=．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．【解答】解：（1）221212()24x x k x x +=…，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ．（2）解法一（函数法）:2222121212121212121221121212111111()()22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u+----=+--=+-=-+=-+ 由204k u <…，又1k …，210k -…， 21()2k f u u u -∴=-+在2(0,]4k 上是增函数所以121211()()x x x x --22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+-+=-+=-…即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．解法二（不等式证明的作差比较法）: 21212112()()()2k x x x x k---- 21212212211424x x k x x x x x x k =+----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+- 2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--，将2212124()k x x x x -=-代入得： 21212112()()()2k x x x x k---- 2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=212()0x x -…，1k …时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<， ∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---…，即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．（3）解法一（函数法）:记21212111()()2()k x x u f u x x u---=++=，则222()()24k k f k -=，即求使2()()4k f u f …对2(0,]4k u ∈恒成立的2k 的范围．由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立，必有01k <<，因此210k ->，∴函数21()2k f u u u -=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f …，必有24k …4216160k k +-…，解得208k <…．解法二（不等式证明的作差比较法）:由（2）可知222212*********()(44)112()()()24x x k x x k k x x x x k k x x -------=，要不等式恒成立，必须2212440k x x k --…恒成立即212244k x x k -…恒成立由21204k x x <…得222444k k k-…，即4216160k k +-…，解得208k <…．因此不等式21212112()()()2k x x x x k---…恒成立的2k的范围是208k <… 21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【解答】（1）解：由：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭， ()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．可得函数()f x y x =，2()f x y x=在(0,)+∞为增函数， 2()22f x y x ax b x ==++，若1()f x ∈Ω，则02a-…，即0a …2()2f x by x a x x ==++， 22by x'=+，当0b …，0x >时，0y '>，此时2()f x ∈Ω，不符合题意，舍去；当0b <时，令0y '=，解得x ，此时函数在(0,)x ∈+∞有极值点，因此2()f x ∉Ω．综上可得：当0b <时，1()f x ∈Ω且2()f x ∉Ω．（2）证明：由1()f x ∈Ω，若取120x x <<，则12121212()()()f x f x f x x x x x x +<<+．由表格可知：f （a ）d =，f （b ）d =，f （c ）t =，()4f a b c ++=， 0a b c a b c <<<<++，∴4d d t a b c a b c<<<++， 0d ∴<，4a d a b c <++，4b d a b c <++，4at a b c<++，24d t ∴+<，（3）对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，我们先证明()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记02()0f x m x => 2()f x y x=是增函数． ∴当0x x >时，022()()0f x f x m x x >=>， 2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾．即()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．∴存在()f x T ∈，()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解．假设存在20x >，使得2()0f x =， 2()f x y x =是增函数．一定存在320x x >>，使322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾． ()0f x ∴=在(0,)+∞上无解．综上，我们得到存在()f x T ∈，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立．∴存在常数0M …，使得存在()f x T ∈，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立．又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x=-在(0,)+∞上是增函数， ()f x T ∴∈，而任取常数0k <，总可以找到一个0n x >，使得n x x >时，有()f x k >．M ∴的最小值为0．。

2019-2020学年上海市复旦附中高三(上)月考数学试卷(一)(9月份)-学生版+解析版

2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为（用数字作答）． 2．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð ．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是． 5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是．8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系;（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 40 （用数字作答）．【解答】解：设求的项为15(2)r r r T C x +=，今2r =，222235240T C x x ∴==． 2x ∴的系数是402．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð {|02}x x <… ．【解答】解：全集U R =，集合{|2}A x x =<， {|0}{|0}B x x x x =<=…，那么{|02}U AB x x =<…ð．故选：{|02}x x <…．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ( ．【解答】解：函数y ，260x ∴->，解得x <y ∴的定义域是(．故答案为：(．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 y =(0)x …．【解答】解：由1)y x =-…得，x =[0y ∈，)+∞，所以函数1)y x =-…的反函数是y =(0)x …．故答案为：y =(0)x …．5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 1{|2}3x x -<<【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，0a ∴<，且15322ba-+==-，13322ca-=-=， 0b ∴>，0c >，53b c =，23a c =-， ∴不等式20cx bx a ++<，即20b a x xc c ++<，即 252033x x +-<，即 23520x x +-<，求得它的解集为1{|2}3x x -<<，故答案为：1{|2}3x x -<<．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为12或13-或 0 ．【解答】解：2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=且N M ⊆ {3M ∴=-，2} N =∅或{3}-或{2}N =∅时，0a =， {3}N =-时，13a =-，{2}N =时，12a =，故答案为：11,,023-．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 3[2，3] ．【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又(0)4f =-，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32；最大为3．m 的取值范围是：332m 剟．故答案3[2，3]8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 [3-，1] 【解答】解：根据题意化简得：22422xa a x x x+++-…对任意(1,)x ∈+∞恒成立，令24()xf x x x x=+-， 222224()4(21)(1)(3)()1()()x x x x x x f x x x x x ---+-∴'=+=-- 令()03f x x '=⇒=或1-（舍负）令()03f x x '>⇒>；令()013f x x '<⇒<<； 3x ∴=时函数()f x 取得最小值且f （3）5=；2225a a ∴++…，化简得：2230a a +-…，即(1)(3)0a a -+…，解得31a -剟．故答案为：[3-，1]．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 {|11x x <<，或6}x > ．【解答】解：由于关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，故有0a >，且1ba-=．故关于x 的不等式2056ax bx x +>--，即10(6)(1)x x x ->-+．用穿根法求得不等式的解集为{|11x x <<，或6}x >，故答案为{|11x x <<，或6}x >．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 (-∞，3)(3-⋃，)+∞【解答】解：由224936x y -=，得22194x y -=，∴y =由00x >⎧，解得3x >；由00x <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得3x <-．∴函数()y f x =的定义域为(-∞，3)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，3)(3-⋃，)+∞．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ①②④【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：x X ∀∈，设,x a bQ =+∈，则x b =+，而b X ，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =；对于②：x X ∀∈，设,,x a ab Q =+∈，令,x m n Q ∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222am a b =-，222bn a b =--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x =+=--120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设x a b Q =+∈，则1(x a b =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =．综上，①②④正确，故答案为①②④．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 5 【解答】解：据题意知，A 的元素个数小于等于1，且A I ⊆，A ∴的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}， I ∴的所有好子集的个数为5．故答案为：5．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数a ，b ，c 满足c b a <<，若“0ac <”，则0a >，“ab ac >”成立，若“ab ac >”，则0a >，但“0ac <”不一定成立，故“0ac <”是“ab ac >”成立的充分不必要条件，故选：A ．14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，则根据题意需分两种情况：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -…，解得14x …，故舍去，若2a =-时，原不等式为10-…，无解，符合题意； ②当240a -≠时，即2a ≠±，22(4)(2)10a x a x -++-…的解集是空集，∴22240(2)4(4)(1)0a a a ⎧-<⎨=+--⨯-<⎩，解得625a -<<，综上得，实数a 的取值范围是[2-，6]5．则当11a -剟时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，故选：B ．15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【解答】解：圆M 的面积为4π，∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ，60OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，3ON ==，∴圆N ∴圆N 的面积为：7π．故选：A ．16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+【解答】解：依题意，1()f x -=([1,4])x ∈，所以函数121[()](2)y f x f x x --=+=x 满足14124x x ⎧⎨⎩剟剟，即12x 剟，又y x =[1，2]上的增函数，所以函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是[12+，故选：C ．三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解答】解：依题意，得2{|20}(A x x x =-->=-∞，1)(2-⋃，)+∞，310(0,3]B x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭…，于是可解得(2A B =，3]．设集合{|20}C x x p =+<，则(,)2px ∈-∞-．由于α是β的充分条件，所以AB C ⊆．则须满足362pp <-⇒<-．所以，实数p 的取值范围是(,6)-∞-．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．【解答】解：（1）依题意，当x R ∈时，2680mx mx m -++…恒成立．当0m =时，x R ∈；当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩…即2(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+⎩…．解之得01m <…，故实数m 的取值范围01m 剟．（2）当0m =时，y =当01m <…，ymin y ∴=因此，()1)f m m 剟，易得0888m -剟．()f m ∴的值域为[0，．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．【解答】证明：（Ⅰ）1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC1AC AA ∴⊥．90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥．又1A A ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，1A A AB A =，AC ∴⊥平面11A ABB ． 1A B ⊂平面11A ABB ， 1AC A B ∴⊥．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ---，如图所示：则1(0A ，0，1)，B ，1(0,2,)2E ，F ．∴1(3,0,1)A B =-，31(1,)2EF =--． ∴1112cos ,||||A B EF A B EF A B EF 〈〉==．直线EF 与1A B 所成的角为45︒．（Ⅲ）1(0,0,)2G ，(0,2,0)GE =，31()2GF =-．1(0AA =，0，1)．设平面GEF 的法向量为(n x =，y，)z ，则n GE n GF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y y z =⎧+-= 令z =(1,0,3)n =．1113cos ,||||n AA n AA n AA ∴<>==1A 在平面EFG 内的射影为H ，1HA A ∴∠为1AA 与平面EFG 所成的角的余角，113cos |cos ,|HA A n AA ∴∠=<>=． 16HA A π∴∠=．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．【解答】解：（1）221212()24x x k x x +=…，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ．（2）解法一（函数法）:2222121212121212121221121212111111()()22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u+----=+--=+-=-+=-+ 由204k u <…，又1k …，210k -…， 21()2k f u u u -∴=-+在2(0,]4k 上是增函数所以121211()()x x x x --22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+-+=-+=-…即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．解法二（不等式证明的作差比较法）: 21212112()()()2k x x x x k---- 21212212211424x x k x x x x x x k =+----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+- 2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--，将2212124()k x x x x -=-代入得： 21212112()()()2k x x x x k---- 2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=212()0x x -…，1k …时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<， ∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---…，即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．（3）解法一（函数法）:记21212111()()2()k x x u f u x x u---=++=，则222()()24k k f k -=，即求使2()()4k f u f …对2(0,]4k u ∈恒成立的2k 的范围．由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立，必有01k <<，因此210k ->，∴函数21()2k f u u u -=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f …，必有24k …4216160k k +-…，解得208k <…．解法二（不等式证明的作差比较法）:由（2）可知222212*********()(44)112()()()24x x k x x k k x x x x k k x x -------=，要不等式恒成立，必须2212440k x x k --…恒成立即212244k x x k -…恒成立由21204k x x <…得222444k k k-…，即4216160k k +-…，解得208k <…．因此不等式21212112()()()2k x x x x k---…恒成立的2k的范围是208k <… 21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【解答】（1）解：由：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭， ()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．可得函数()f x y x =，2()f x y x=在(0,)+∞为增函数， 2()22f x y x ax b x ==++，若1()f x ∈Ω，则02a-…，即0a …2()2f x by x a x x ==++， 22by x'=+，当0b …，0x >时，0y '>，此时2()f x ∈Ω，不符合题意，舍去；当0b <时，令0y '=，解得x ，此时函数在(0,)x ∈+∞有极值点，因此2()f x ∉Ω．综上可得：当0b <时，1()f x ∈Ω且2()f x ∉Ω．（2）证明：由1()f x ∈Ω，若取120x x <<，则12121212()()()f x f x f x x x x x x +<<+．由表格可知：f （a ）d =，f （b ）d =，f （c ）t =，()4f a b c ++=， 0a b c a b c <<<<++，∴4d d t a b c a b c<<<++， 0d ∴<，4a d a b c <++，4b d a b c <++，4at a b c<++，24d t ∴+<，（3）对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，我们先证明()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记02()0f x m x => 2()f x y x=是增函数． ∴当0x x >时，022()()0f x f x m x x >=>， 2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾．即()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．∴存在()f x T ∈，()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解．假设存在20x >，使得2()0f x =， 2()f x y x =是增函数．一定存在320x x >>，使322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾． ()0f x ∴=在(0,)+∞上无解．综上，我们得到存在()f x T ∈，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立．∴存在常数0M …，使得存在()f x T ∈，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立．又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x=-在(0,)+∞上是增函数， ()f x T ∴∈，而任取常数0k <，总可以找到一个0n x >，使得n x x >时，有()f x k >．M ∴的最小值为0．。

上海民办兰生复旦中学2020年高三数学文下学期期末试题含解析

上海民办兰生复旦中学2020年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．参考答案：A不等式组对应的平面区域是由三条直线,和围成的三角形，三角形的三顶点坐标分别为、、．由题意可知在点或线段上取最大值，在点或线段上取最小值，于是有或或，解得：，故选A．2. 函数y=f（x）的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式f（x）＜f（﹣x）+2x的解集为（）A．B．C．D．参考答案：考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：根据图象得知是奇函数，据此将“不等式f（x）＜f（﹣x）+2x”转化为“f（x）＜x”，再令y=f（x），y=x，利用图象求解．解答：解：如图所示：函数是奇函数∴不等式f（x）＜f（﹣x）+2x可转化为：f（x）＜x，令y=f（x），y=x如图所示：故选A．点评：本题主要考查利用函数图象的相对位置关系来解不等式，关键是转化为特定的基本函数，能画其图象．3. 已知命题p:若，则；命题q:m、n是直线，为平面，若//,，则m//n.下列命题为真命题的是A．B．C．D．参考答案：B对于命题，将两边平方，可得到，故命题为真命题.对于命题，直线，但是有可能是异面直线，故命题为假命题，为真命题.所以为真命题，故选B.4. （5分）（2015?陕西一模）已知函数f（x）=πx和函数g（x）=sin4x，若f（x）的反函数为h （x），则h（x）与g（x）两图象交点的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 0参考答案：【考点】：反函数．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：求出函数f（x）的反函数为h（x），然后画图求得h（x）与g（x）两图象交点的个数．解：由y=f（x）=πx，得x=logπy，x，y互换得：y=logπx，即h（x）=logπx．又g（x）=sin4x，如图，由图可知，h（x）与g（x）两图象交点的个数为3．故选：C．【点评】：本题考查了反函数，考查了函数零点个数的判断，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5. 已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（）．A．B．C．D．参考答案：C∵是奇函数，∴，令，，令，，∴，∴，令，∴，令，∴，∵，∴，同理可得，，∴，故选6. 已知集合,,则（）A． B． C． D．参考答案：B略7. 的A．充分不必要条件。

2020高三数学第一轮复习指南

2020高三数学第一轮复习指南导言本文档旨在为高三学生提供一份数学第一轮复的指南。

我们将介绍一些简单的策略和方法，以帮助学生高效复数学知识，同时避免法律复杂性的问题。

目标- 确保独立决策：在复过程中，学生应独立思考和解决问题，不依赖他人的帮助。

- 发挥优势：每个学生都有自己的优势领域，应根据自身情况选择合适的复策略，并充分发挥自己的优势。

- 简单策略：复过程中应选择简单的策略和方法，避免涉及法律复杂性的内容。

- 不引用不可确认的内容：在复中，不要引用任何无法确认真实性的内容，以免造成混淆和误导。

复建议以下是一些数学复的建议，供学生参考：1. 制定计划在开始复之前，制定一个详细的复计划。

将复内容分解成小的模块，安排每天的复任务，并设定合理的时间限制。

2. 掌握基础知识数学的复建立在扎实的基础知识之上。

回顾和巩固基本的数学概念和公式，掌握基础的计算技巧。

3. 做题强化通过大量的练题来巩固知识。

选择一些经典的题目和典型的例题进行练，并逐步提高难度。

可以使用课本中的题、模拟试卷或在线资源等。

4. 合理利用资源利用各种资源来辅助复，如教辅资料、网上视频教程、同学讨论等。

但要注意，不要过度依赖这些资源，要保持独立思考和解决问题的能力。

5. 多次复将复内容分成几个阶段，每个阶段进行一次全面的复。

逐渐加深对知识点的理解和记忆，形成扎实的知识体系。

6. 错题总结对做错的题目进行仔细分析和总结。

找出错误的原因，理清解题思路，以避免类似错误的再次发生。

7. 高效复在复过程中，保持专注和高效率。

创造一个安静、整洁的研究环境，避免干扰和分散注意力的因素。

8. 考前冲刺在考试前的最后阶段，进行集中复和冲刺。

重点复重要的知识点和常考题型，做一些模拟试卷来检验复效果。

结论本文档提供了一份针对高三学生的数学第一轮复指南。

希望学生们能根据自身情况制定合理的复计划，利用简单的策略和方法来高效复数学知识。

祝愿每位学生都能取得优异的成绩！。

上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷 (含答案解析)

上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 设x ∈R ，则“x 2<1”是“lgx <0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 定义在R 上的函数f(x)的反函数为f −1(x)且对于任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=3，则f −1(x −1)+f −1(4−x)=( )A. 0B. −2C. 2D. 2x −43. 如果双曲线x 2m−y 2n=1(m >0,n >0)的渐近线方程渐近线为y =±12x ，则双曲线的离心率为( )A. 54B. 32C. √54 D. √524. 已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x +y)+f(x −y)(x,y ∈R)，则f(10)=( )A. 14B. 4C. −14D. −4二、填空题（本大题共12小题，共52.0分） 5. 计算n →∞lim(1−n n+1)的结果是______．6. 复数z =ai 1+2i (a <0)，其中i 为虚数单位，|z|=√5，则a 的值为______ ．7. 已知向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(−2,4)，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数x =______8. 集合A ={0,1，2，3}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =______．9. (x 2−2x +1)4的展开式中x 7的系数是______ ．10. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 对应的边分别为a ，b ，c ，若∠A =2π3，a =2，b =2√33，则∠B 等于_______．11. 若圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，则该圆锥的侧面积是________。

12. 首项和公比均为12的等比数列{a n }，S n 是它的前n 项和，则n →∞limS n =______．13. 在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____;乙、丙两人都选物理的概率是____． 14. 比较大小：(1)a 2+b 2_______2ab(a,b ∈R)；(2)ab +ba_________2(ab>0)．15.已知函数f(x)=2sin(x+π3),x∈(0,π3)，则f(x)的值域为__________．16.函数f(x)=2sin(2x+π6)−1在x∈[π12,π2]上的值域为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n，T n=b1+b2+⋯+b n，求T n．18.已知函数f(x)=2sin (x+π3)⋅cosx．(1)若0≤x≤π2，求函数f(x)的值域；(2)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角，且b=2，a=√7，f(A)=√32，求cos(A−B)的值．19.随着人们生活水平的逐步提高，保健品市场正在逐步扩大．某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量(k为常数)，如果不搞促销活动，保健品的年x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3−x=kt+1销量只有1万件．已知2019年生产保健品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件保健品需再投入32万元的生产费用．每件保健品的售价为其生产成本的150％与平均每件促销费用的一半之和，且当年生产的保健品正好能销完．(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t的函数；(2)该企业2019年的促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润=销售收入−生产成本−促销费用，生产成本=固定费用+生产费用)20.已知函数f(x)=x，若数列{a n}(n∈N∗)满足：a1=1，a n+1=f(a n)x+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足：c n=2n，求数列{c n}的前n项的和S n．a n21.设实数a∈R，函数f(x)=a−2是R上的奇函数．2x+1(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)当x∈(−1,1)时，求满足不等式f(1−m)+f(1−m2)<0的实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．先分别求解”x2<1”、“lgx<0”中x的取值范围，再根据必要条件、充分条件、充要条件定义判断即可．解：∵x2<1，即−1<x<1，lgx<0，即0<x<1，∴由0<x<1推出−1<x<1，而由−1<x<1推不出0<x<1，∴“x2<1”是“lgx<0”的必要不充分条件．故选B．2.答案：A解析：本题考查反函数的运算性质，属于基础题，利用反函数的运算性质即可得出．解：∵在R上的函数f(x)的反函数为f−1(x)，且对于任意x∈R，都有f(−x)+f(x)=3，∴f−1(3)=−x+x=0，则f(f−1(x−1)+f−1(4−x))=x−1+4−x=3，∴f−1(x−1)+f−1(4−x)=0．故选A．3.答案：D解析：解：∵双曲线方程为x2m −y2n=1(m>0,n>0)∴a2=m，b2=n，得a=√m，b=√n因此双曲线的渐近线方程y=±ba x，即y=±√nmx∴√n m =12，得m =4n ，所以c =√a 2+b 2=√5n 双曲线的离心率e =c a=√5n m=√5n 4n=√52故选：D ．根据双曲线方程得a =√m ，b =√n.结合双曲线的渐近线方程，得a =2b ，即m =4n ，再利用离心率的计算公式即可算出该双曲线的离心率．本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．4.答案：C解析：令y =1，则4f(x)f(1)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x +1)=f(x +2)+f(x)，所以f(x +2)+f(x −1)=0，即f(x)+f(x +3)=0，所以f(10)=−f(7)=f(4)=−f(1)=−145.答案：0解析：解：n →∞lim(1−nn+1)=n →∞lim(1−11+1n)=1−11−0=0．故答案为：0．利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．6.答案：−5解析：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：复数z =ai1+2i =ai(1−2i)(1+2i)(1−2i)=ai+2a 5，∵|z|=√5，∴√(2a5)2+(a 5)2=√5，化为：a 2=25，(a <0)．解得a =−5．故答案为：−5．7.答案：112解析：解：a⃗−b⃗ =(3,x−4)；∵(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ；∴(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =−6+4(x−4)=0；∴x=11．2故答案为：11．2可求出a⃗−b⃗ =(3,x−4)，根据(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ 即可得出(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量坐标的减法和数量积的运算，向量垂直的充要条件．8.答案：{0,1，2}解析：解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：−8解析：解：(x2−2x+1)4=(x−1)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅(−1)r⋅x8−r，令8−r=7，求得r=1，可得展开式中x7的系数是−8，故答案为：−8．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于07，求得r的值，即可求得展开式中的x7的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．10.答案：π6解析：本题主要考查正弦定理的应用.直接利用正弦定理求解sin B ，进而得到角B 的大小．解：在三角形ABC 中，由正弦定理得asinA =bsinB ，即2√32=2√33sinB，解得sinB =12，因为b <a ，则B =π6，故答案为π6．11.答案：15π解析：本题主要考查圆锥侧面积，解答本题的关键是求出圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5，然后再求它的侧面积．解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ， ∵圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，，即ℎ=4，∴圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5， ∴圆锥的侧面积，故答案为15π．12.答案：1解析：解：根据题意，等比数列{a n }的首项和公比均为12，则其前n 项和S n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ，则n →∞limS n =1；故答案为：1．。

上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期数学11月份综合练习09(简答)

复旦附中高三数学综合练习092019.11一. 填空题1. 1和4的等比中项为2. 函数1()3x f x -=（0x <）的反函数是1()f x -=3. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角θ的终边落在第三象限内，且3cos()25πθ+=，则cos2θ= 4. 如图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm5. 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于k ，另一个数小于k （其中k A ∈）的概率是25，则k = 6. 方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为7. 已知集合[1,2]A =，2{|40}B x x ax =-+≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 8. 设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ，若对任何*n ∈N ，都有23n n S S <，则q 的取值范围是9. 已知α、β均为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值是 10. 函数()sin f x x ω=（0ω>）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、i A 、p A ，使得△k i p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2020ω=11. 已知函数2()|1||1|f x x x a x =+-++有两个不同的零点，则a 的取值范围是12. 设定义域为(0,)+∞的递增函数()f x 满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有6()f x x>-，且6(())5f f x x+=，则(10)f =二. 选择题13. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线则下列命题一定正确的是（）A. l 与1l 、2l 都不相交B. l 与1l 、2l 都相交C. l 至多与1l 、2l 中的一条相交D. l 至少与1l 、2l 中的一条相交 14. 设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则20191222019222a a a ++⋅⋅⋅+的值为（） A. 2 B. 0 C. 1- D. 115. 已知{}n a 的前n 项和为n S ，则“2n S an bn c =++（0a ≠，*n ∈N ）”是“{}n a 是等差数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 设()f x 是定义域为R 的奇函数，()g x 是定义域为R 的偶函数，a 、b 是非零常数，若函数()()af x bg x +的值域为[1,3)，则函数()()af x bg x -的值域为（）A. (3,1]--B. [1,3)C. 与a 、b 的取值有关D. 以上都不对三. 解答题17. 如图所示，已知长方体1111ABCD A B C D -的棱长2AB =，1BC =，12AA =，求：（1）异面直线1BC 与1CD 所成角的大小；（2）点B 到平面1ACD 的距离.18. 已知数列{}n a 和{}n b ，对任何正整数m ，记1122()||||||m m S m a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-. （1）若21n a n =-，2n b n =-，求(1)S ，(3)S ；（2）若12n n a -=，213n b n =-，求()S m 关于m 的表达式.19. 已知函数()f x 、()g x 满足关系式()()()2g x f x f x π=⋅+.（1）设()cos sin f x x x =+，求()g x 的解析式；（2）当()|sin |cos f x x x =+时，存在12,x x ∈R ，对任意x ∈R ，12()()()g x g x g x ≤≤ 恒成立，求12||x x -的最小值.20. 已知函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ）.（1）若不等式()0f x ≤的解集为[1,3]，求实数a 和b 的值；（2）若对任意[1,1]a ∈-，都存在[2,3]x ∈-，使得()0f x >成立，求实数b 的范围；（3）已知集合{|()0}A x f x =≤，5{|(())}4B x f f x =≤，若A B =≠∅，求实数a 的取值范围.21. 对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期，已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4f T π=.（1）证明：()sin3xh x x =+是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a b <，证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =；（3）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上有解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.参考答案一. 填空题1. 2±2. 31log 1(0)3x x +<<3.7254. 4π5. 4或76. 27. (,4]-∞8. (0,1]9. 10. 40392π11. (3--- 12. 125二. 选择题13. D 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）；（218.（1）(1)0S =，(3)9S =；（2）当4m ≤，2393()212m m m S m -=-+；当5m ≥，2393()2772mm m S m -=-+.19.（1）()cos2g x x =；（2）34π.20.（1）5a =-，4b =；（2）(6,)-+∞；（3）∵A B =≠∅，∴05(())()()04f f x f x f x ≤⇒≤≤，即55(0)44f b =⇒=， ∴()0a f x -≤≤与()0f x ≤解集相同，∴254a a --≤且250a ∆=-≥，即a ∈21.（1）解：()6h x π是以为余弦周期的余弦周期函数（2）证明：()()()()()()[]0,f a c f b f a c f b c f x c a b f x R ⎫≤≤⇒-⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⇒-⎬⎪⎭在上必有解定义域值域都为()()[](),,,,c f a f b x a b f x c ∈∈=⎡⎤⎣⎦00故对于任意必存在使得（3）略。