人教版高中数学必修五《 余弦定理》预习导学案
新人教版高中数学《余 弦 定 理》导学案
余弦定理1.了解用向量法证明余弦定理的推导过程.2.掌握余弦定理及其推论.3.能够利用余弦定理及其推论解三角形.如图,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B、C的距离,其中AB=km,AC=1 km,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC=150°,你能通过计算求出山脚的长度BC吗?问题1:上述问题中,山脚BC长度的求解可用余弦定理,余弦定理的内容是什么?余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即a2= ;b2= ;c2= .问题2:余弦定理的推论:cos A= ;cos B= ;cosC= .问题3:余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,也是解三角形的重要工具.(1)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用的观点,可以知三求一.(2)利用余弦定理可以完成三种情形的斜三角形,分别是①已知,解三角形;②已知,解三角形;③已知,解三角形.问题4:判断三角形的形状在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,(1)若cos A=cos B,则;(2)若cos(A-B)=1,则;(3)若cos A>0⇔⇔A是锐角;(4)若cos A=0⇔⇔A是直角;(5)若cos A<0⇔⇔A是钝角.已知三角形的三边解三角形在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC各角的度数.已知两边及其中一边的对角解三角形在△ABC中,a=3,b=3,B=30°,解这个三角形.利用余弦定理判定三角形形状已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(4,-1),n=(cos2,cos 2A),且m·n=.(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.参考答案知识体系梳理问题1:b2+c2-2bc cos A c2+a2-2ac cos B a2+b2-2ab cos C问题2:---问题3:(1)方程(2)三边两边及其夹角两边及其一边的对角问题4:(1)A=B (2)A=B (3)b2+c2-a2>0(4)b2+c2-a2=0(5)b2+c2-a2<0重点难点探究探究一:【解析】∵a∶b∶c=2∶∶(+1),∴令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0),由余弦定理,得cos A=-==,∴A=45°;cos B=-==,∴B=60°;∴C=180°-45°-60°=75°.【小结】已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角.探究二:【解析】根据余弦定理,得b2=c2+a2-2ca cos B,即c2-9c+18=0,解得c=3或c=6.当c=3时,cos A=-=-,∴A=120°,故C=180°-120°-30°=30°;当c=6时,cos A=-=,∴A=60°,故C=180°-60°-30°=90°.综上所述,A=60°,C=90°,c=6或A=120°,C=30°,c=3.【小结】已知三角形的两边与一角求第三边,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边(此题也可以用正弦定理求解).探究三:【解析】(1)∵m=(4,-1),n=(cos2,cos 2A),∴m·n=4cos2-cos 2A=4×-(2cos2A-1)=-2cos2A+2cos A+3.又∵m·n=,∴-2cos2A+2cos A+3=,解得cos A=.∵0<A<π,∴A=π.(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bc cos A,且a=,∴()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc. ①又∵b+c=2,与①联立,解得bc=3,∴∴b=c=,于是a=b=c=,即△ABC为等边三角形.【小结】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:(1)利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.全新视角拓展【解析】由2sin B=3sin C及正弦定理得2b=3c,即b=c.又b-c=a,∴c=a,即a=2c.∴cos A=-=-=-=-.【答案】-。
高中数学 1.1 余弦定理导学案 新人教版必修5
一、教学目标1.知识与技能掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3.情感态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.二、教学重点、难点1.重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.2.难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.三、教学设计（一）预习指导预习教材，回答以下问题： 1.用向量方法如何推导余弦定理？2.如何应用余弦定理解决三角形A c B(图1．1-4)2.学习新知 ★【探索研究】联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c.由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题. A 如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：cos A =cos B =cos C =★【理解定理】从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角.思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.★【例题分析】例1．在∆ABC 中，已知23=a 62=c 060=B ，求b 及A例2．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形3.课堂练习 课本★【补充练习】在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A4.课堂小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边.（三）作业四、课后反思。
高中数学《1.1.2 余弦定理》预习导学案 新人教A版必修5
必修五 第一章§5-2正 余弦定理【课前预习】阅读教材完成下面填空解三角形的四种类型1．已知A,B 及a(“角边角”型)利用正弦定理2．已知三边a,b,c(“边边边”型)用余弦定理 。
3.已知两边a,b 及夹角C(边角边型)余弦定理求c,再用余弦定理求两角。
4. 已知两边a,b 及一边对角(“边边角“型)(1) 当 时，有 解(2) 当 时，有 解(3) 当 时，有 解(4) 当 时，有 解【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．在△ABC 中，若02,30b B ==，0135C =，a =则 。
4、在△ABC 中，若C cB bA acos cos cos ==，则△ABC 是【课中35分钟】边听边练边落实5、在△ABC 中，已知a=10，B=060 ,C=045，解三角形。
6．在△ABC 中，已知a=2,b=5,c=4,求最大角的正弦值。
7．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．8、在△ABC 中，已知a=5，b=7，A= 030,解三角形。
9．在△ABC 中，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=，其中R 是△ABC 外接圆的半径。
求证：C R A b B a sin 2cos cos =+。
【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ( )A ．9B ．18C ．93D ．1832．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－143．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝ 。
最新人教版高中数学必修5导学案 1.1.2余弦定理(2)
1.1.2 余弦定理(2)【学习目标】1. 利用余弦定理求三角形的边长.2. 利用余弦定理的变形公式求三角形的内角.【重点难点】灵活运用余弦定理求三角形边长和内角 【学习过程】一、自主学习：任务1:余弦定理 ：2a =____________2b = ____________2c =_____________任务2:求角公式：=A cos ____________=B cos ____________=C cos ____________二、合作探究归纳展示1. 已知在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. . A ．135° B ．90°. C ．120° D ．150°2. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定3. 在△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝4:5:6，则cosB ＝ ．4. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状三、讨论交流点拨提升例1. 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =,试判断该三角形的形状.分析：题目中有B A sin ,sin ，很容易想到________定理，之后再利用______定理建立关系.例 2. 在ABC ∆中，已知角C B A ,,所对的三边长分别为c b a ,,，且2=a ，41cos ,3==B c 。
1.求b 的值.2.求C sin 的值.分析：（1）由余弦定理2b = ____________即可得到（2）由余弦定理=C c os ____________，再利用同角三角函数的_______关系可得到 .例3.已知 c b a ,,为ABC ∆的三边，其面积312=∆ABC S ,,48=bc 2=-c b .求a .分析：由三角形的面积公式_________可求得_________，再利用______定理求得a .四、学能展示课堂闯关知识拓展若C=90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例利用它可以判断三角形状1．若222a b c +=，则角C 是直角；2．若222a b c +<，则角C 是钝角；3．若222a b c +>，则角C 是锐角课堂检测1. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.A ．60B ．75C ．120D ．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.A ．513x <<B ．13＜x ＜5..C ． 2＜x ＜5 D ．5＜x ＜5五、学后反思余弦定理 ：2a =____________ 求角公式：=A cos ____________2b = ____________=B cos ___________ 2c =_____________=C cos ____________【课后作业】（1）在ABC ∆中，若C B C B A cos cos sin sin sin ++=,试判断ABC ∆的形状. （2）已知ABC ∆中，060=A ，最大边和最小边的长是方程0322732=+-x x 的两实根，求边BC 的长.。
高中数学 112余弦定理导学案 新人教A版必修5 学案
高中数学高一年级必修五第一章第1.1.2节：余弦定理导学案Ａ．学习目标继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。
通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。
Ｂ．学习重点、难点重点：余弦定理的发现过程及定理的应用；难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。
Ｃ．学法指导探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式。
通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题。
D．知识链接本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了进一步的认识，在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
E．自主学习[提出问题]在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°.问题1：这个三角形确定吗？提示：确定．问题2：你能利用正弦定理求出BC吗？提示：不能问题3：能否利用平面向量求边BC？如何求得？提示：能．∵BC＝BA＋AC∴BC2＝BA2＋AC2＋2BA·AC＝BA2＋AC2－2BA AC cos A＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7∴BC＝7问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a?提示：能．[导入新知]余弦定理余弦定理公式表达a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C余弦定理语言叙述三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab[化解疑难]对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．F.合作探究已知三角形的三边解三角形[例1] 在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C.[解] 由于a∶b∶c＝1∶3∶2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 22×3x ×2x ＝32，故A ＝30°.同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°.[类题通法]已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角． [活学活用]1．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角的和是________．解析：设中间角为θ，由于8＞7＞5，故θ的对边的长为7，由余弦定理，得cos θ＝52＋82－722×5×8＝12.所以θ＝60°，故另外两角和为180°－60°＝120°.答案：120°已知三角形的两边及其夹角解三角形[例2] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，c ＝4(3＋1)，解此三角形．[解] 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos 60° ＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b ＝4 6.法一：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝96＋163＋12－642×46×43＋1＝22，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴8sin A ＝46sin 60°，∴sin A ＝22，∵b ＞a ，c ＞a ，∴a 最小，即A 为锐角． 因此A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. [类题通法]已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．[活学活用]2．在△ABC ，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形．解：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°) ＝8－4 3 ＝(6－2) 2∴c ＝6－ 2.法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝232＋6－22－2222×23×6－2＝22. ∵0°＜A ＜180°， ∴A ＝45°， 从而B ＝120°. 法二：由正弦定理得sin A ＝a sin Cc＝22×6－246－2＝22. ∵a ＜b ， ∴A ＜B ，又0°＜A ＜180°， ∴A 必为锐角，∴A ＝45°，从而得B ＝120°.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形[例3] 在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、角C 和边a . [解] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°， ∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理得 sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形．由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝32＋332＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3. [类题通法]已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．[活学活用]3．已知：在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.解析：A 为b ，c 的夹角，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍)．答案：5判断三角形的形状[例4] 在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．[解] 由余弦定理可得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ·a 2＋b 2－c 22ab等式两边同乘以2abc 得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)，整理化简得a 4＋b 4－2a 2b 2＝c 4， ∴(a 2－b 2)2＝c 4.因此有a 2－b 2＝c 2或b 2－a 2＝c 2. 即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2故△ABC 为直角三角形．[类题通法]判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．[活学活用]4．在△ABC 中，若cos A ＝sin Bsin C，试判断其形状． 解：由cos A ＝sin B sin C 得cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2， 因此△ABC 是以C 为直角的直角三角形．1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长[典例]如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求出BC 的长．[解题流程][规范解答]设BD ＝x .在△ABD 中，根据余弦定理，AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10×x cos 60°，即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，∴BD ＝16. ∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理，BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD ，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.[名师批注]将四边形ABCD 分解为两个△ABD 和△BCD ，利用余弦定理列出关于x 的一元二次方程，化简方程时易出错，应注意步骤及计算的准确性。
高中数学《余弦定理》(一)导学案 新人教版必修5
江苏省徐州市王杰中学高一数学必修五《余弦定理》（一）导学案 重点一、自学准备与知识导学：1．在ABC ∆中，构建三向量，，，则=_______________________，=∙BC BC ___________________=__________________________________________=_________________________________（用三角形三边和三角的字母表示）．2．余弦定理：3．练习：（1）在ABC ∆中，8=a ，7=b ，3=c ，则=B ________________．（2）在ABC ∆中，已知4=a ，6=b ，︒=120C ，则=c ________________．（3）在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，则=∠C ________________．二、学习交流与问题研讨:例1. 在ABC ∆中，（1）已知3=b ，1=c ，︒=60A ，求a ；（2）已知654===c b a ，，，求A cos ，A tan ．利用余弦定理解以下两类斜三角形：（1）已知三边,求三个角；（2）已知两边与它们的夹角，求第三边和其他两个角．例2.用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．例3. B A ，两地之间隔着一个水塘（如图所示），现选择另一点C ，测得m CA 182=，m CB 126=，︒=∠60ACB ，求B A ，两地之间的距离．B A三、练习检测与拓展延伸：1．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能构成（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不是钝角三角形2．一个三角形三条边之比为9:8:6，则该三角形是________________．3．在ABC ∆中，已知32=a ，26+=c ，︒=45B ，求b 和A ．4．在ABC ∆中，（1）已知︒=60A ，4=b ，7=c ，求a ； （2）已知7=a ，5=b ，3=c ，求A ．5．两游艇自某地同时出发，一艇以h km /10的速度向正北行驶，另一艇以h km /7的速度向东北方向行驶，问：经过min 40，两艇相距多远？四、课后反思或经验总结：余弦定理解决简单度量问题．。
高一数学(人教版)必修5导学案设计：1.1.2余弦定理
§1.1.2. 余弦定理学习目标1.通过对余弦定理的探究与证明，学会用向量法.几何法.坐标法证明余弦定理，并能利用余定理解决两类解三角形问题2.体会数学与实际生活的应用，以及在定理推导的过程中用到的数学思想方法学习重点用余弦定理解三角形学习难点余弦定理的灵活运用解三角形学习过程一、复习引入1正弦定理：2正弦定理的应用：正弦定理可解决两类问题：（1）．已知，求其它两边和一角；（2）．已知，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．在Rt△ABC中(若C=90︒)有：（勾股定理）4.在ABC∆中，(1) 已知2a=，b=，045C=，求c(2) 已知5a=，7b=，8c=，求B 用正弦定理还能解出来吗？二、自阅课本P5～P6认真理解余弦定理的推导过程并分析其结构1．用向量法探索余弦定理a2=_____________________________c2=_____________________________b2=_____________________________2.余弦定理的变形运用cosA=_________________________________ cosB=_________________________________ cosC=_________________________________思考：1、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？2、在△ABC中，若222cba+<，则A为________角，反之亦成立；若222cba+=，则A为________角，反之亦成立；若222cba+>，则A为_______角，反之亦成立3、利用余弦定理可以解决两类三角形问题：（1）已知三边，求_______.（2）已知两边和它们的夹角，求________和________.三、尝试运用（尝试解决”复习引入4”中两个问题）例、在ΔABC中，（1）a＝1,b＝1,C＝1200,求c.（2）a＝3,b＝4,c＝37,求最大角的余弦值.（3）a:b:c＝1:3:2, 求角A,B,C.四、课堂练习1.在ABC∆中，已知8c=，3b=，060A=,求a2、在ABC∆中，已知3b=，c=，030A=,求a,B,C3.在ABC∆中，2b ac=，且2c a=，求cos B五、课堂小结六、作业布置赢在课堂：P5自我检查1、2、3、4P8演练提升1、3、6。
人教B版高中数学必修五导学案-数学必修五学案：余弦定理(1)
第三课时 余弦定理（1）一、学习目标：1．理解用向量的数量积证明余弦定理的方法；2．熟记余弦定理及其变形公式；3.会利用余弦定理及其变形公式求解简单斜三角形边角问题。
二、学习重难点：重点：余弦定理证明及应用.难点：1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2.余弦定理在解三角形时的应用思路.三、自主预习：1.余弦定理：三角形任何一边的_______等于其他两边__________的和减去这两边与它们的__________的余弦的积的______________.即a 2=_______________________,b 2＝______________________________,c 2＝________________________________.2.余弦定理的推论：cos A ＝___________________, cos B ＝___________________, cos C ＝_____________.2222222223.-0,_______;(2)-,____;(2),____;ABC a b c C c a b ab C c a b C ∆+===+==+=在中：（1）若则若则若则四、自主探究：用向量的数量积证明余弦定理五、能力技能交流：活动一、已知三角形的两边及夹角解三角形：例1：在△ＡBC 中，已知b=3,c=1,A=60°，求a 。
【总结】21,-52060.ABC a b x x C c ∆+==︒变式训练、在中，边的长是方程的两根，，求变活动二、已知三角形三边求求角23,4,.ABC a b c ABC ∆===∆例、已知在的三边长为求的最大内角【总结】::ABC a b c ∆=变式训练2、在中，已知求三角形各角的度数.活动三、利用余弦定理判断三角形的形状【总结】变式训练3：以2、3、x 为三条边，构成一个锐角三角形，求x 的范围。
高中数学 1.1.2余弦定理导学案导学案 新人教A版必修5
预习案【学习目标】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握余弦定理及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.通过独立思考，合作探究，使学生学会在方程思想指导下处理解三角形问题的思想方法.3.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.通过本节的探究学习，培养学生的创新意识，不断提高自身的文化修养.重点：余弦定理的发现、证明过程及基本应用.难点：用向量方法证明余弦定理.【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握余弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.正弦定理是如何证明的？2.正弦定理是 = = = =2R（R为△ABC的外接圆半径）.3.由正弦定理可解决给出或三角形问题。
4.向量的夹角如何定义的？及向量夹角公式Ⅱ.教材助读1.已知两边和他们的夹角能否解三角形？2.余弦定理：三角形中任何一边的平方和等于减去这两边与他们的的的的3.余弦定理的符号表达式是：2a= ，2b= ，2c= 。
4．余弦定理中有个量，已知其中能求出那能否已知三边求出一角？5．余弦定理推论：Acos = ，Bcos = ，Ccos = 。
【预习自测】1.在△ABC 中，3=a，7=b，2=c，那么B等于（）30=A45=B60=C120=D2.在△ABC中，33=a，2=c，150=B，则b= .3. 若△ABC的两边a,b大小固定，角C 增大，边c 角C确定，边c【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：课本中余弦定理是用（）法证明的，也就是说，在△ABC中，已知BC=a，AC=b 及边BC，AC的夹角C，则BC=（），所以2BA=（）=（），即2c=（）探究二：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【归纳总结】1.熟悉余弦定理的（ ），注意（ ）, （ ），（ ）等。
人教版高中数学必修五导学案：1.1.2余弦定理(20210623203707)
一、有关复习复习 1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 == = ．复习 2：在△ ABC 中，已知 c 10 ，A=45 ，C=30 ，解此三角形．思虑：已知两边及夹角，怎样解此三角形呢？ 二、新课导学◆ 研究新知问题：在 AC∴ AC AC同理可得：AB 、CBC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b .，ba AcB222 bcco s ，Abc a 2b 2 2 acbo s ．C新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其余两边的 的和减去这两 边与它们的夹角的 的积的两倍． 思虑：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知此中三个量，能够求出第四个量，可否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可获得以下推论：cos A b 2 c 2 a 2 ，，2bc．◆[理解定理 ] （1）若 C= 90 ，则 cosC ，这时 c 2 a 2 b 2 由此可知余弦定理是勾股定理的推行，勾股定理是余弦定理的特例． （ 2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的随意两边及它们的夹角就能够求出第三边； ②已知三角形的三条边就能够求出其余角． 试一试：（ 1） △ ABC 中， a 3 3 ， c 2 ， B 150 ，求 b ．ABC 中，2a c 2（ 2）△ ABC 中，a 2 ，b 2 ， c 3 1，求A．◆ 典型例题例 1. 在△ ABC 中，已知三边长a 3 ， b 4 ，c37 ，求三角形的最大内角．变式：在ABC 中，若a2b2c2bc ，求角A．例 2. 在△ ABC 中，已知a 3 ， b 2 ， B 45 ，求 A, C 和 c ．变式：在△ ABC 中，若 AB＝ 5 ，AC＝5，且cosC＝9，则BC＝________．10◆ 着手试一试1.已知 a＝ 3 ，c＝2，B＝150°，则边b的长为．2.已知三角形的三边长分别为 3、5、7，则最大角为（） .A．60B．75C．120D．1503.已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x，则 x 的取值范围是（） .A． 5 x13B．13＜x＜5C． 2＜x＜5D．5＜x＜ 54.在△ ABC中，| AB |＝3，| AC |＝2，AB与AC的夹角为60°，则 | AB－AC |＝________．5.在△ ABC 中，已知三边 a、 b、c 知足b2a2c2ab ，则∠C等于．6.在△ ABC 中，已知 a＝7，b＝8， cosC＝13，求最大角的余弦值．147.在ABC 中，已知sin A2sin B cosC ，试判断该三角形的形状．三、总结提高◆ 学习小结1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．◆知识拓展在△ ABC 中，若a2b 2若a2b 2若 a2 b 2c2，则角c2，则角c2，则角C是直角；C 是钝角；C 是锐角．。
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必修五 第一章
§5-2正 余弦定理
【课前预习】阅读教材完成下面填空
解三角形的四种类型
1．已知A,B 及a(“角边角”型)
利用正弦定理
2．已知三边a,b,c(“边边边”型)
用余弦定理 。
3.已知两边a,b 及夹角C(边角边型)
余弦定理求c,再用余弦定理求两角。
4. 已知两边a,b 及一边对角(“边边角“型)
(1) 当 时，有 解
(2) 当 时，有 解
(3) 当 时，有 解
(4) 当 时，有 解
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟
1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（
）
A ．1
B ．1-
C ．32
D ．32-
2．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）
A ．006030或
B ．006045或
C ．0060120或
D ．0015030或
3．在△ABC 中，若02,30b B ==，0135C =，a =则 。
4、在△ABC 中，若
C
c B b A a cos cos cos ==，
则△ABC 是
【课中35分钟】边听边练边落实
5、在△ABC 中，已知a=10，B=060 ,C=045，解三角形。
6．在△ABC 中，已知a=2,b=5,c=4,求最大角的正弦值。
7．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．
8、在△ABC中，已知a=5，b=7，A=0
30,解三角形。
9．在△ABC中，A
R
=，C
2
2
c sin
=，其中R是△ABC外
a sin
b sin
2
R
=，B
R
接圆的半径。
求证：C
cos
+。
2
cos=
B
R
A
b
a sin
【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点
1.
2.
3.
4.
【课后15分钟】 自主落实，未懂则问
1．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，
∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ( )
A ．9
B ．18
C ．93
D ．183
2．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）
A ．23
B ．－23
C ．14
D ．－1
4
3．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109
，则BC ＝ 。
4．在△ABC 中， 若A=30°，B=60°， 则
=c b a ::（ ）
（A ）2:3:1 （B ）4:2:1
（C ）4:3:2 （D ）2:2:1
5．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（
）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
6．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）
A ．1:2:3
B ．3:2:1
C ．2
D ．2
7．在△ABC中，若角B为钝角，则sin sin
-的值（）
B A
A．大于零 B．小于零
C．等于零 D．不能确定
8．在Rt△ABC中，0
C=，则B
90
sin的最大值是_______________。
A sin
9．在△ABC中，若
a=
b
c
+
+则A= ( )
+
-
(bc
3
b
)
,
)(
c
a
A．0
150
135 D．0
90 B．0
60 C．0
互助小组长签名：。