电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读
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《电动力学第三版》chapter2_2唯一性定理
E2t E1t
D
2n
D1n
如果我们假设 E仍保持球对称性,即
E1
A r3
r
E2
A r3
r
(左半部) (右半部)
(A为待定常数),分界面两侧电场与界面相切,并有相同数值,因 而边值关系得到满足.
球对称的E在球面上处处与球面垂直,保证导体球面为等
势面. 为了满足内导体总电荷等于Q,我们计算内导体球面上
对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，将导 体看成是区域边界之一，即可证明电场被唯一确定.
对于第二类边界条件，在导体外，电荷分布给定，大区域表 面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总电荷给定.
设区域V 内有一些导体,给定导体之外的电荷分布x 给定
各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的或/n值,则V内的电
有球对称性. 试解释之.
子区域 2
子区域 4
子区域 3
i ( S i i )d S i V i i d V(1)
i
V ii( )2dVV i(i 2)dV
i
i 2dV
Vi
i S i(i )d S i S i(i n i)d S 0 (2)(3)
i S i i d S i V i i 2 d V 0
场唯一地确定. 存在唯一的解,它在导体以外满足泊松方程
2/
在第i个导体上满足总电荷条件和等势面条件
Si ndSQ i, |Sii 常量
以及在V的边界S上具有给定的|s 或/n|s值.
证明: 设有 和 同时满足上述条件. 令 '''
2 0
|si 0,
dS 0 Si n
|s 0 或
第二章 静电场
电动力学课件2-2-唯一性定理1
壳内中心放置一个点电荷 Q，
Q
求壳内场强。
解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地 0 S
2 0 (R 0) 因而腔内场唯一确定。
已知点电荷产生的电势为
1
Q
4 0 R
但它在边界上
1
Q
S 4 0a
不满足 0 S
要使边界上任何一点电势为0 ，
设 Q Q
4 0 R 4 0a
它满足 2 0 0 S
2. 实用价值:无论采用什么方法得到解，只要该解 满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯 一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题， 可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是 通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边 界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加 以修改。
四、应用举例
1. 半 径 为 a 的 导 体 球 壳 接 地
2 , , 2 0
i
i
在两均匀区界面上有
i j , i j , i j
i
i
n
j
j
n
,
i
i
n
j
j
n
i
i
n
j
j
n
在整个区域V的边界S上有
或者
S
S
0
0
S
S
S
0
n S n S n S
i ds = i ( )2 dV
Si
Vi
i ds i ( )2 dV
2i
i
两类边界条件：① 边界S上，
S 为已知，若为导体
S =常数。② 边界S上，
n S 为已知， 若是导体要给
定总电荷Q。它相当于 给定（ Q dS ）
n S
S n S
第2节唯一性定理
o R 0
M 在圆心缩为一点，条件不变，解不变。
由此得出
Q 4 0 r
1
r R0
请说明原因，并画出电力线图示。
例：求偶极子在远区的场。 偶极子：1 其线度 l r 2 电荷线度线度 l 定义——偶极矩 P ql
(r ) 1
q q q r r' r' ( ) 4 0 r r' 4 0 rr ' q l cos 1 Pr 2 3 q l q 4 0 r 4 0 r
或
u
n s
0
使等式左端=0，则右端
2 2 ( u ) 0 u 0 ( u ) dV 0
v
u 0
V内 u =常数 1）若 u 0即1 2，同一个势，对应同一 个场。 2）1 , 2 可相差一个常数，不影响场分布。 电场分布唯一确定。
r
1 Pr 1 1 E 3 ( P ) 4 0 r 4 0 r 1 3( P r )r P ( 3) 5 4 0 r r 1 P cos ( E ) r E er 2 0 r3 1 P sin ( E ) E e 3 4 r 0 (E) E e 0
2 s'
2u 0
s'
uu dS uu dS uu dS
s si
v'
(u ) dV uu dS
2 s'
在 Si 表面上 u 常数
u u dS u u dS u dS 0 su si si n i
E1 E2 n
M 在圆心缩为一点，条件不变，解不变。
由此得出
Q 4 0 r
1
r R0
请说明原因，并画出电力线图示。
例：求偶极子在远区的场。 偶极子：1 其线度 l r 2 电荷线度线度 l 定义——偶极矩 P ql
(r ) 1
q q q r r' r' ( ) 4 0 r r' 4 0 rr ' q l cos 1 Pr 2 3 q l q 4 0 r 4 0 r
或
u
n s
0
使等式左端=0，则右端
2 2 ( u ) 0 u 0 ( u ) dV 0
v
u 0
V内 u =常数 1）若 u 0即1 2，同一个势，对应同一 个场。 2）1 , 2 可相差一个常数，不影响场分布。 电场分布唯一确定。
r
1 Pr 1 1 E 3 ( P ) 4 0 r 4 0 r 1 3( P r )r P ( 3) 5 4 0 r r 1 P cos ( E ) r E er 2 0 r3 1 P sin ( E ) E e 3 4 r 0 (E) E e 0
2 s'
2u 0
s'
uu dS uu dS uu dS
s si
v'
(u ) dV uu dS
2 s'
在 Si 表面上 u 常数
u u dS u u dS u dS 0 su si si n i
E1 E2 n
关于静电场唯一性定理的讨论
关于静电场唯一性定理的讨论
静电场唯一性定理是物理中一个重要的理论，说明了每个静电场系
统有唯一的电场强度，且不会改变。
这个定理的本质就是给电场的描
述赋予了确定性，因而被称为“唯一性”。
它宣称，一个静电场系统里
有唯一的电势差和电势强度，并且这个数值的变化应该是可以计算的，而不会由于外部因素造成变化。
由于静电场唯一性定理的实用性，它被广泛应用在电动学问题中，有
助于计算电力和其他重要物理量。
因此，它也被认为是物理学中最基
本的定律之一。
此外，它还可以用来解释为什么只有恒定的电压供应，而不会因外界因素而变化。
电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读
们都能满足同一种泊松方程和边界条件,下面我们将证明 它们只能是同一种解.
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
n S n S
0
n S
(给定第二类边界条件)
下面需要证明旳是,满足以上方程和边界条件旳'和
1) 绝缘介质静电问题旳唯一性定理及证明 在有限旳边界区域V 内有几种均匀旳绝缘介质Vi 、εi
(i = 1、2、3 …) ，V 中旳自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那
么，当V 旳边界面S 上旳电势 给 定(或电势旳法向导数边
界条件) ，则V 内旳电场有唯一拟定旳解。
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
V′旳全部内、外表面上都有一定旳值或 值，应用有关绝缘介
质旳唯一性定理，则V′内旳电场必有唯一解. n
b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外旳区域V′内旳自由电荷分
布ρ已知，V′旳外表面S 上有已知旳值或 值，另外，若每个导
n 体所带旳总电量Qi 为已知，则区域V′内旳电场有唯一解。
数学表达为:
场有唯一解。这么，有导体存在时静电问题旳唯一性定理 也得到证明。
最终需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程旳详细措 施与环节,但它对于处理实际旳边值问题有着主要旳意义. 首先,它明 确了在哪些条件下能够唯一地拟定一种静电场,即给出了求解静电场 旳根据;其次,它使我们能够灵活地选用最简朴、最合适旳解题措施, 甚至能够猜一种解(即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中 旳场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就能够肯 定地说,它就是该问题中旳唯一正确旳解.
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
n S n S
0
n S
(给定第二类边界条件)
下面需要证明旳是,满足以上方程和边界条件旳'和
1) 绝缘介质静电问题旳唯一性定理及证明 在有限旳边界区域V 内有几种均匀旳绝缘介质Vi 、εi
(i = 1、2、3 …) ，V 中旳自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那
么，当V 旳边界面S 上旳电势 给 定(或电势旳法向导数边
界条件) ，则V 内旳电场有唯一拟定旳解。
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
V′旳全部内、外表面上都有一定旳值或 值，应用有关绝缘介
质旳唯一性定理，则V′内旳电场必有唯一解. n
b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外旳区域V′内旳自由电荷分
布ρ已知，V′旳外表面S 上有已知旳值或 值，另外，若每个导
n 体所带旳总电量Qi 为已知，则区域V′内旳电场有唯一解。
数学表达为:
场有唯一解。这么，有导体存在时静电问题旳唯一性定理 也得到证明。
最终需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程旳详细措 施与环节,但它对于处理实际旳边值问题有着主要旳意义. 首先,它明 确了在哪些条件下能够唯一地拟定一种静电场,即给出了求解静电场 旳根据;其次,它使我们能够灵活地选用最简朴、最合适旳解题措施, 甚至能够猜一种解(即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中 旳场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就能够肯 定地说,它就是该问题中旳唯一正确旳解.
3.2 唯一性定理
唯 性定 唯一性定理汪 毅静电问题的唯一性定理均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域Vi， 每个均匀区域的电容率为ε 设 内有给定的自由 每个均匀区域的电容率为 i，设V内有给定的自由 电荷分布ρ(x)。
电势ϕ在均匀区域Vi内满足泊松方 ρ ϕ 程：ρ ∇ ϕ =− εi2在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系：ϕi = ϕ j∂ϕ j ∂ϕi εi =εj ∂n ∂n静电问题的唯一性定理要完全确定V内电场，还必须给出V的边界S上的一 些条件。
下面提出的唯 性定理具体指出所需给定 些条件。
下面提出的唯一性定理具体指出所需给定 的边值条件： 1）给定边界S的电势 2）给定边界S的电势法向偏导数 或者说V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满 足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系， 并在 的边界上满足给定的ϕ或者∂ϕ/∂ 并在V的边界上满足给定的ϕ或者∂ϕ/∂n唯 性定理证明 唯一性定理证明 证明：假定泊松方程有两个解 ϕ1 , ϕ 2 ，满足：在边界上：ρ ∇ ϕ1 = ε2ρ ∇ ϕ2 = ε2ϕ1 S = ϕ 2令：S=ϕ S∂ϕ1 ∂nS∂ϕ ∂ϕ2 = = ∂n S ∂nSΦ = ϕ1 − ϕ2 ∇2Φ =∇2ϕ1 −∇2ϕ2 = 0 ∇ ∇唯一性定理证明Φ S = ϕ1 S − ϕ2 S∂ϕ2 ∂ϕ1 ∂Φ − =0 = ∂n S ∂n ∂n S =0S考虑第i个均匀区域Vi的界面Si上的积分∫Siε i Φ ∇Φ ⋅ dS∫根据格林第一公式： 根据格林第 公式Si ViεiΦ ∇Φ⋅ dS = ∫ ∇ (εiΦ ∇Φ )dV ∇Φ ∇⋅= ∫ εi (∇Φ ) dV + ∫ ϕεi∇ Φ dV2 2 Vi Vi唯一性定理证明 2 ε i Φ ∇Φ ⋅ dS = ∫ ε i (∇Φ ) dV ∫S Vi i对所有分 域 求 对所有分区域Vi求和∑∫iSiε i Φ ∇Φ ⋅ dS = ∑ ∫ ε i (∇Φ ) dV2 i ViΦ 在两均匀区域Vi和Vj界面上， 和ε ∇Φ 的法向分 量分别相等，但 dSi = − dS j ，因此上式左边的和 式中，内部分界面的积分互相抵消，因此只剩下整 式中 内部分界面的积分互相抵消 因此只剩下整 Φ 个V的边界面S上的积分。
电动力学2-2 唯一性定理
E1t = E2t A E1 = 3 r r
D2n = D n = 0 1
∫ D⋅ dS = ∫ ε E ⋅ dS + ∫
S1 1 1
S2
ε2 E2 ⋅ dS = Q
将电场值代入得 2π (ε1 +ε2 ) A= Q Q A= 解出 2π (ε1 +ε2 )
Qr 则 E1 = (左半部 左半部) 左半部 3 2π (ε1 + ε2 )r
2
在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系 在两区域
∂ϕ ∂ϕ ϕi = ϕ j， εi = ε j ∂n i ∂n j
除此之外，要完全确定 内的电场 还必须给出V 内的电场， 除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出 内的边界S上的一些条件。 内的边界 上的一些条件。下面提出的唯一性定 上的一些条件 理具体指出所需给定的边界条件。 理具体指出所需给定的边界条件。
Qr E2 = 右半部) 右半部 3 (右半部 2π (ε1 + ε2 )r
此解满足唯一性定理的所有条件， 此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正 确的解。 确的解。 虽然E仍保持球对称性，但是 和导体面上的电荷 虽然 仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷 仍保持球对称性 面密度σ不具有球对称性。设内导体半径为 ， 面密度 不具有球对称性。设内导体半径为a，则 不具有球对称性 球面上的电荷面密度为
§2.2 唯一性定理
一、唯一性定理的重要意义
1. 给出了确定静电场的条件，这是解决实际问题 给出了确定静电场的条件， 的依据。 的依据。 2. 在有解的情况下 ， 解是唯一的 。 因此 ， 在实 在有解的情况下， 解是唯一的。 因此， 际问题中，可以根据给定的条件作一定的分析， 际问题中，可以根据给定的条件作一定的分析， 提出尝试解， 提出尝试解，只要它满足唯一性定理所要求的条 件，它就是唯一正确的解。 它就是唯一正确的解。
3.1 唯一性定理
r
S∞
衔接条件 不同媒质分界面上的边界条件， 不同媒质分界面上的边界条件，如
∂ϕ1 ∂ϕ2 ϕ1 = ϕ2 , ε1 = ε2 ∂n ∂n
ε1 ε2
ϕ1
ϕ2
3
例：
b
y
U0
∂2ϕ ∂2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y ϕ(0, y) = 0,ϕ(a, y) = 0
ϕ(x,0) = 0,ϕ(x, b) =U0
ϕ
* S1
= ϕ1 S1 −ϕ2
∂ϕ* = 0, ∂n
∂ϕ1 S2 = ∂n
∂ϕ2 S2 − ∂n
S2
=0
∫
V
(∇ϕ ∗ ) 2 dV = 0
∇ϕ ∗ = 0
ϕ ∗ = ϕ1 − ϕ2 = 常数
解也是唯一的。 解也是唯一的。 唯一性定理得证， 唯一性定理得证，说明满足泊松方程或拉普拉斯 8 方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。 方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。
o
a
x
（第一类边值问题） 第一类边值问题）
例：
b
∂ϕ =0 ∂x
y
U0
∂ϕ =0 ∂x
o
a
x
∂2ϕ ∂2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂ϕ ∂ϕ x=0 = 0, x=a = 0 ∂x ∂x ϕ(x,0) = 0,ϕ(x, b) =U0
（第三类边值问题） 第三类边值问题）
4
二、唯一性定理
1.唯一性定理 1.唯一性定理 内容：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部 泊松方程 及所给的 内容：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部
12
S
∂ϕ ∗ (∇ϕ ∗ ) 2 dV = ∫ ϕ ∗ dS ∫V S ∂n
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例如 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中。
但具有一定的边界条件, 利用给定的边界条件去解静电 场的泊松方程,这叫做静电场的边值问题.
.
边值问题的解法有许多种,如分离变量法、镜像法、格 林函数法等等,问题是采用其中任何一种方法所得到的解是 不是唯一的、正确的? 只有唯一性定理才能对此做出明确 的回答,这就是我们必须要学好唯一性定理的原因.
同理对V2 区,设有两个解2'、2 ''都满足V2 区的场方程和
边界条件
令Φ2 = 2'- 2″
则 有 ， 22 0（ 在 V 2 区 内 ）
.
在V2区的外边界2上
2 外2 0
给定第一类边界条件
或 2 0 n2 外2
给定第二类边界条件
约定, n 2 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部;
而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值
关系
1 1
22
两式左右分别相减,得Φ1 = Φ2
.
又
2 2
2 n 2 n
1 1
两n11式 左 右相减，得：
n
2
2
n
1
1
n
n 为内边界上的法向单位矢,按约定由介质1 指向介质2
下面我们要证明, 1'和1 '', 2'和2''顶多都只能差一个常数
''顶多只能差一个常数.
利用矢量的微分运算公式:
2 2 2
等式两端对V 作体积分
d V 2d V 2 d V
V
V
V
.
d V 2d V 2 d V
V
V
V
式中 2 0
dV dS
V
s
在边界面S 上,无论 S 0 还是 ， 都0 使 n S
sdSs ndS0
2 dV 0
V
.
2 dV 0
V
注意到 2为非负数,欲使上式成立,只有 0 ,即
Φ= C ,或'-''=C，以上说明'和''顶多差一个常数,而 电势的附加常数对电场没有影响,这就证明了'和''在物
理上是同一个解,于是,唯一性定理得证.
.
b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 分别对应V1 区和V2 区
松方程,在任意两个均匀小区的分界面上满足边值关系,在整个
区域V 的边界面上满足给定的边界条件 或
.
S
n S
下面是对唯一性定理的证明。为了说理清楚，将证明分解 成几步，首先证明区域V 中只有一种均匀介质的情况，然 后再把它推广到多种介质分区分布的情形。 a)区域V 中只有一种均匀介质的情形
利用反证法证明:假设区域V 中存在两个不同的解 '和''它
下面将证明,每一个区域的解都是唯一的.
对V1 区,设有两个解1'、1 ''都满足V1 区的场方程和边界
条件
令Φ1 = 1'- 1″
则 有 ， 21 0（ 在 V 1 区 内 ）
.
在V1区的外边界1上
1 外1 0
给定第一类边界条件
或 1 0 n1 外 1
给定第二类边界条件
约定, n 1 为V1 区边界的法向单位矢量,指向V1 外部;
2 内边界
2 n22dSV2
222dV2
.
内边界11 n11dSV1112dV1
内边界22 n22d SV 22 22dV2 内边界11 n11dS11 n1dSn 1n , n 2 n 内边2 界2 n22dS22 n2dS 两式分别相加得 内边 界11 n 1 22 n 2 d S V 11 1 2 d V 1 V 22 22 d V 2
对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的 分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理 所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。
.
复习上一节课的内容
静电势的微分方程
2
边值关系 1 S 2 S
2n2 S 1n1 S
导体表面上的边值关系
|s常数
n s
.
唯一性定理指出了必须附加什么样的边界条件,泊松方程的 解才会是唯一的、正确的,下面分两种情况进行讨论.
i j
(在两种绝缘介质的分界面上)
i
i
n
j
j
n
分界面法向单位矢量n 由 j 指向i
)
或
S n S
(在整个区域V 的边界面S上给定,按 约定,边界面法线 n 指向V 外)
以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称
为定解问题. 唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是
区域V 中静电场分布的唯一解. 它在每一个均匀小区内满足泊
.
先看V1 区,利用微分恒等式
1 1 1 1 12 1 1 2 1
等式两端对V1 作体积分
11 1d V 11 12 d V 1 11 21 d V
V 1
V 1
V 1
式中 21 0
1 1 1d V 1 1 1d S由高斯公式
V
s1
1 1 1dS1 12dV 1
1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 在有限的边界区域V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i
= 1、2、3 …) ，V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那么，
当V 的边界面S 上的电势 给定(或电势的法向导数边界条
件) ，则V 内的电场有唯一确定的解。
.
数学表述如下:
2i
i
(在每个小区Vi)
s1
V 1
.
1 1 1dS1 12dV 1
s1
V 1
其中S1 为V1 的边界面,它由外边界1 和内边界两部分组成,即
11 1 d S 11 1 d S 11 1 d S
s 1
外边界1
内边界
ห้องสมุดไป่ตู้
由前所述,外边界1 上的面积分为零
内边界11 n11dSV1112dV1
同理,对区域V2 ,重复以上过程,可得到
们都能满足同一个泊松方程和边界条件,下面我们将证明它 们只能是同一个解.
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 i , 2 i , 2 0 .
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
nS nS
nS
0
(给定第二类边界条件)
下面需要证明的是,满足以上方程和边界条件的'和
§2.2 唯一性定理 Uniqueness Theorem
.
学习“唯一性定理”的重要性 静电场的基本规律是建立在库仑定律基础之上的,原则 上讲,用库仑定律可以求任意电荷分布的电场,但前提是要 求空间所有的电荷分布必须已知.
现在的问题是,如果需要求解一个区域内的电场,区域内 的电荷分布已经给定,而区域边界上的电荷分布却是未知 的, 此时就不能利用库仑定律
但具有一定的边界条件, 利用给定的边界条件去解静电 场的泊松方程,这叫做静电场的边值问题.
.
边值问题的解法有许多种,如分离变量法、镜像法、格 林函数法等等,问题是采用其中任何一种方法所得到的解是 不是唯一的、正确的? 只有唯一性定理才能对此做出明确 的回答,这就是我们必须要学好唯一性定理的原因.
同理对V2 区,设有两个解2'、2 ''都满足V2 区的场方程和
边界条件
令Φ2 = 2'- 2″
则 有 ， 22 0（ 在 V 2 区 内 ）
.
在V2区的外边界2上
2 外2 0
给定第一类边界条件
或 2 0 n2 外2
给定第二类边界条件
约定, n 2 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部;
而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值
关系
1 1
22
两式左右分别相减,得Φ1 = Φ2
.
又
2 2
2 n 2 n
1 1
两n11式 左 右相减，得：
n
2
2
n
1
1
n
n 为内边界上的法向单位矢,按约定由介质1 指向介质2
下面我们要证明, 1'和1 '', 2'和2''顶多都只能差一个常数
''顶多只能差一个常数.
利用矢量的微分运算公式:
2 2 2
等式两端对V 作体积分
d V 2d V 2 d V
V
V
V
.
d V 2d V 2 d V
V
V
V
式中 2 0
dV dS
V
s
在边界面S 上,无论 S 0 还是 ， 都0 使 n S
sdSs ndS0
2 dV 0
V
.
2 dV 0
V
注意到 2为非负数,欲使上式成立,只有 0 ,即
Φ= C ,或'-''=C，以上说明'和''顶多差一个常数,而 电势的附加常数对电场没有影响,这就证明了'和''在物
理上是同一个解,于是,唯一性定理得证.
.
b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 分别对应V1 区和V2 区
松方程,在任意两个均匀小区的分界面上满足边值关系,在整个
区域V 的边界面上满足给定的边界条件 或
.
S
n S
下面是对唯一性定理的证明。为了说理清楚，将证明分解 成几步，首先证明区域V 中只有一种均匀介质的情况，然 后再把它推广到多种介质分区分布的情形。 a)区域V 中只有一种均匀介质的情形
利用反证法证明:假设区域V 中存在两个不同的解 '和''它
下面将证明,每一个区域的解都是唯一的.
对V1 区,设有两个解1'、1 ''都满足V1 区的场方程和边界
条件
令Φ1 = 1'- 1″
则 有 ， 21 0（ 在 V 1 区 内 ）
.
在V1区的外边界1上
1 外1 0
给定第一类边界条件
或 1 0 n1 外 1
给定第二类边界条件
约定, n 1 为V1 区边界的法向单位矢量,指向V1 外部;
2 内边界
2 n22dSV2
222dV2
.
内边界11 n11dSV1112dV1
内边界22 n22d SV 22 22dV2 内边界11 n11dS11 n1dSn 1n , n 2 n 内边2 界2 n22dS22 n2dS 两式分别相加得 内边 界11 n 1 22 n 2 d S V 11 1 2 d V 1 V 22 22 d V 2
对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的 分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理 所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。
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复习上一节课的内容
静电势的微分方程
2
边值关系 1 S 2 S
2n2 S 1n1 S
导体表面上的边值关系
|s常数
n s
.
唯一性定理指出了必须附加什么样的边界条件,泊松方程的 解才会是唯一的、正确的,下面分两种情况进行讨论.
i j
(在两种绝缘介质的分界面上)
i
i
n
j
j
n
分界面法向单位矢量n 由 j 指向i
)
或
S n S
(在整个区域V 的边界面S上给定,按 约定,边界面法线 n 指向V 外)
以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称
为定解问题. 唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是
区域V 中静电场分布的唯一解. 它在每一个均匀小区内满足泊
.
先看V1 区,利用微分恒等式
1 1 1 1 12 1 1 2 1
等式两端对V1 作体积分
11 1d V 11 12 d V 1 11 21 d V
V 1
V 1
V 1
式中 21 0
1 1 1d V 1 1 1d S由高斯公式
V
s1
1 1 1dS1 12dV 1
1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 在有限的边界区域V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i
= 1、2、3 …) ，V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那么，
当V 的边界面S 上的电势 给定(或电势的法向导数边界条
件) ，则V 内的电场有唯一确定的解。
.
数学表述如下:
2i
i
(在每个小区Vi)
s1
V 1
.
1 1 1dS1 12dV 1
s1
V 1
其中S1 为V1 的边界面,它由外边界1 和内边界两部分组成,即
11 1 d S 11 1 d S 11 1 d S
s 1
外边界1
内边界
ห้องสมุดไป่ตู้
由前所述,外边界1 上的面积分为零
内边界11 n11dSV1112dV1
同理,对区域V2 ,重复以上过程,可得到
们都能满足同一个泊松方程和边界条件,下面我们将证明它 们只能是同一个解.
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 i , 2 i , 2 0 .
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
nS nS
nS
0
(给定第二类边界条件)
下面需要证明的是,满足以上方程和边界条件的'和
§2.2 唯一性定理 Uniqueness Theorem
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学习“唯一性定理”的重要性 静电场的基本规律是建立在库仑定律基础之上的,原则 上讲,用库仑定律可以求任意电荷分布的电场,但前提是要 求空间所有的电荷分布必须已知.
现在的问题是,如果需要求解一个区域内的电场,区域内 的电荷分布已经给定,而区域边界上的电荷分布却是未知 的, 此时就不能利用库仑定律