指数函数典型例题详细解析

指数函数·例题解析第一课时【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：(1)y 3(2)y (3)y 12x＝＝＝-+---213321x x解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 31.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞）2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0)3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)【例2】（基础题）指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是[ ]A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ． b ＜a ＜1＜d ＜cD ．c ＜d ＜1＜a ＜b解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ．【例3】（基础题）比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512--()(3)4.54.1________3.73.6解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859=====解 (2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．----451245123232()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴ 4.54.1＞3.73.6．说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．例题4（中档题）【例4】解比较大小与＞且≠，＞．当＜＜，∵＞，＞，a a a aan n n n n n nn n nn n -+-+-=-11111111(a 0a 1n 1)0a 1n 10()()∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞aa a n n aa a n n n n n n n n n n n n 1111111111()()()--+--+-1a 1n 101【例5】（中档题）作出下列函数的图像：图像变换法(1)y (2)y 22x ＝＝－，()121x +(3)y ＝2|x-1|(4)y ＝|1－3x |解 (1)y (264)(0)(11)y 1＝的图像如图．－，过点，及－，．是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．()()1212121x x+解 (2)y ＝2x －2的图像(如图2．6－5)是把函数y ＝2x 的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)例6（中档题）：用函数单调性定义证明：当a ＞1时，y = a x是增函数.【解析】设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，并令x 2 = x 1 + h (h ＞0，h∈R)，很独特的方式则有)1(11112-=-=-+h x x h x x x a a a a a a ， ∵a＞1，h ＞0，∴1,01>>h x a a ， ∴012>-x x a a ，即故y = a x(a ＞1)为R 上的增函数，同理可证0＜a ＜1时，y = a x21x x a a <是R 上的减函数.【例6】解求函数＝的单调区间及值域．令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋y u x 5x 6y u u x 5xx 25x 622()()3434u＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．－＋6x x y x 25x 6(][)()(][)-+-+5252345252例题7 中档题）指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析） 二次函数为内层函数，指数函数为外层函数又∵＝－＋＝≥，函数＝，在∈，∞上是减函数，所以函数＝的值域是，．－＋u x 5x 6y u y 2x 25x 6()()[)()(]x u ----+5214143414340108324变式1求函数y=（21）xx 22-的单调区间，并证明之.解法一（在解答题）：在R 上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2，则12y y =12122222)21()21(x x x x --=（21）（x 2－x 1）（x 2+x 1－2） 【（21）为底数，红色部分为指数】 ，∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.当x 1、x 2∈（－∞，1］时，x 1+x 2－2＜0.这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＜0，则12y y ＞1.∴y 2＞y 1，函数在（－∞，1］上单调递增.当x 1、x 2∈［1，+∞）时，x 1+x 2－2＞0，这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＞0，即12y y ＜1.（此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性）∴y 2＜y 1，函数在［1，+∞上单调递减.综上，函数y 在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）： 设：x x u 22-=则：uy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21对任意的211x x <<，有21u u <，又∵uy ⎪⎭⎫⎝⎛=21是减函数∴21y y < ∴xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=在),1[+∞是减函数对任意的121≤<x x ，有21u u >又∵uy ⎪⎭⎫⎝⎛=21是减函数∴21y y < ∴xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=在),1[+∞是增函数在该问题中先确定内层函数（x x u 22-=）和外层函数（uy ⎪⎭⎫⎝⎛=21）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.变式2 已知0>a 且1≠a ，讨论232)(++-=x x ax f 的单调性.【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，指数417)23(2322+--=++-x x x ，当x ≥23时是减函数，x ≤23时是增函数，而)(x f 的单调性又与10<<a 和1>a 两种范围有关，应分类讨论. 【解析】设232u x x =-++2317()24x =--+，则当x ≥23时，u 是减函数， 当x ≤23时，u 是增函数， 又当1>a 时，u a y =是增函数， 当10<<a 时，u a y =是减函数， 所以当1>a 时，原函数232)(++-=x x a x f 在),23[+∞上是减函数，在]23,(-∞上是增函数.当10<<a 时，原函数232)(++-=x x a x f 在),23[+∞上是增函数，在]23,(-∞上是减函数.【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数； ；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.第二课时例题8：（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u 的范围)【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y 1(x 0) y u x 00u 1u x 0)y ()()[()]()[()]()()[()141212121121234121212222x x x x x x x u --+=-+-+-3401212121212121412在∈，上为减函数，在，上是增函数．但由＜≤得≥，由≤≤，得≤≤，∴函数＝＋单调增区间是，＋∞，单调减区间，u 1)0x 110x 1y 11)[01](][()()()()[x x x x当x ＝0时，函数y 有最大值为1．内层指数函数u=(1/2)x 为减，当u 在（0，1/2】时，此时外层二次f （u)为减函数，即x 在【1，正无穷大），，则复合函数为增（画草图分析法）点评：（1）指数函数的有界性（值域）：x2≥0; ax>0（2）上述证明过程中，在两次求x 的范围时，逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。

变式： 求（3）1241++=+x xy 的值域.解1421x x y +=++ R x ∈ y 22(2)221(21),x xx=+⋅+=+ 且1,02>∴>y x.故1241++=+x xy 的值域为}1|{>y y .【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.例题9 （中档题）分式型指数函数【例8】已知＝＞f(x)(a 1)a a x x -+11(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解 (1)定义域是R ．f(x)f(x)－＝＝－，a a a a x x x x ---+=--+1111∴函数f(x)为奇函数．(2)y y 1a 1y 1x 函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，a a y y y y x x -+---=+-⇒1111110即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． f(x 1)－f(x 2)＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l xx x x x -+-+--++112121*********()()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 1212反函数法，用指数函数值域变式1 设a 是实数，)(122)(R x a x f x∈+-=试证明对于任意a,)(x f 为增函数； 证明：设21,x x ∈R,且 21x x <则12()()f x f x -1222()()2121x xa a =---++ 1221122(22)22212(21)(21)x x x x x x -=-=+++ 由于指数函数y=x2在R 上是增函数,且21x x <,所以 2122x x <即2122x x -<0，又由 x2 >0得 12x +1>0, 22x+1>0所以)()(21x f x f -<0即)()(21x f x f <因为此结论与a 取值无关，所以对于 a 取任意实数，)(x f 为增函数例题10（中档题）抽象函数例题10第三课时复合函数作业课本：课本P 习题。