数字图像处理 第四章 图像的正交变换
《数字图像处理》习题参考答案
《数字图像处理》习题参考答案第1 章概述连续图像和数字图像如何相互转换答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。
这样，数字图像可以用二维矩阵表示。
将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像（连续图像）信号，再由模拟/数字转化器（ADC）得到原始的数字图像信号。
图像的数字化包括离散和量化两个主要步骤。
在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。
#采用数字图像处理有何优点答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：1．具有数字信号处理技术共有的特点。
（1）处理精度高。
（2）重现性能好。
（3）灵活性高。
2．数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。
3．数字图像处理技术适用面宽。
4．数字图像处理技术综合性强。
数字图像处理主要包括哪些研究内容答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的图像。
]讨论数字图像处理系统的组成。
列举你熟悉的图像处理系统并分析它们的组成和功能。
答：如图，数字图像处理系统是应用计算机或专用数字设备对图像信息进行处理的信息系统。
图像处理系统包括图像处理硬件和图像处理软件。
图像处理硬件主要由图像输入设备、图像运算处理设备（微计算机）、图像存储器、图像输出设备等组成。
软件系统包括操作系统、控制软件及应用软件等。
$图数字图像处理系统结构图1常见的数字图像处理开发工具有哪些各有什么特点答．目前图像处理系统开发的主流工具为Visual C++（面向对象可视化集成工具）和MATLAB 的图像处理工具箱（Image Processing Tool box）。
两种开发工具各有所长且有相互间的软件接口。
Microsoft 公司的VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发出来的Win 32 程序有着运行速度快、可移植能力强等优点。
数字图像处理正交变换
反变换: f (x, y) F (u, v) exp j2 (ux vy)dudv
变换对: f (x, y) F(u, v)
2.2.2 二维傅立叶变换
2. 幅度谱、相位谱、能量谱 一般F(u,v)是复函数,即:
称为正变换核，
* (x, y) u ,v
称为反变换核。
为了使信号完整重建，正变换核和反变换核都必 须满足正交性和完备性。
2.1 图像变换的表达式－正交变换
变换核可分离性：将二维变换分解为2个 一维变换的计算。
u,v (x, y) au (x)bv (y) a(u, x)b(v, y)
N 1 N 1
F(u,v) R(u,v) jI(u,v) F(u,v) e j(u,v)
幅度谱: F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
相位谱:
(u,
v)
tg
1
I (u, v) R(u, v)
能量谱: E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
2.2.3 离散傅立叶变换
表示。 ❖ RGB图像
➢ 图像的灰度为该点的R、G、B值，直接存放在图像 灰度矩阵中。
➢ 一般每个像素需要用3×8＝24bit位来表示。 ➢ 其色彩可为224 ，一般称为真彩图像。 ❖ 其他图像－还有图像的透明因子，每个像素需要32bit 来表示。
1.3 数字图像处理的研究内容
从计算机处理的角度可以由高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
3. 求幅度谱的对数函数：
D(u,v) log(1 F(u,v) )
4. 显示D(u,v) 若D(u,v)很小或很大，则将其线形扩展或压缩到0-255
图像正交变换
H(u,v) g(,)exp[ j2(u v)]dd
G(u,v)H(u,v)
傅立叶积分定理
) , (ℱ)],1( )] , ( [
[ ℱ ℱ1
yxf
) , (ℱ)] , (ℱ)] , ( [ 1 1
[
可分离变量性
若 f (x, y) fx(x)f y(y)
相似性定理
若
F{f (x,y)} F(u,v)
则：
Ffax,by 1 Fu v,
ab a b
相似定理说明原面数空域坐标(x,y)“伸展”，其频谱函数在频 率域中是“收缩”，并且高度也有相应变化。而当原函数在空 域坐标中“收缩”时，则其频谱函数在频率城中变宽。
位移定理
2π
3π
5π
7π
绘图如下：
3、指数形式
通过欧拉公式，把正弦函数、余弦函数和指数函数联系 起来，不难证明傅里叶三角级数可以写成指数级数的形式 。
若g(x)的周期为T，在一个周期内只有有限个极值点和
不连续点，并且在一个周期内绝对可积。则g(x)可以展开
成傅立叶指数级数：
g(x)
C e
Cne n1
jn x
T Cne
2 jn x T
2
cosn x jsinn x
n1
2
T
T
a0
2
an cos n
n1
2
2
x T
bn
sin
n
T
x
得证。
傅立叶级数
数字图像处理实验4 图象处理中的正交变换
实验4 图象处理中的正交变换——频域处理一．实验目的：1．掌握二维快速傅里叶变换（FFT）的实现，对频谱图像可视化操作。
2．了解频域滤波的内容，学会如何在频域中直接生成滤波器，包括平滑频域滤波器——低通滤波器、锐化频域滤波器——高通滤波器，并利用生成的滤波器对输入图像进行频域处理。
3．掌握绘制三维可视化滤波器图形的方法。
二．实验内容：1．实现二维快速傅里叶变换，以图像形式显示傅里叶频谱。
2．利用已给出的自定义的M函数，建立频域滤波器的传递函数H(u, v)3．绘制滤波器传递函数H(u, v)三维图形，并以图像形式显示滤波器。
4．对输入图像进行频域滤波处理。
三．实验原理：1．快速傅里叶变换FFT的实现一个大小为M×N的图像矩阵f的快速傅里叶变换FFT可以通过MATLAB 函数fft2获得，其简单语法：F = fft2(f)该函数返回一个大小仍为M×N的傅里叶变换，数据排列如图4.2(a)所示；即数据的原点在左上角，而四个四分之一周期交汇于频率矩形的中心。
傅里叶频谱可以使用函数abs来获得，语法为：S = abs(F)该函数计算数组的每一个元素的幅度，也就是实部和虚部平方和的平方根，即若某个元素为F = a +bj，则S=。
通过显示频谱的图像进行可视化分析是频域处理的一个重要方面。
例如，对图4.3(a)所示的图像f (image.bmp)我们计算它的傅里叶变换并显示其频谱：>> F = fft(f)>> S = abs(F)>> imshow(S, [ ])图 4.3(b)显示了结果，图像四个角上的亮点就是四个四分之一周期的中心点。
函数fftshift将变换的原点移动到频率矩形的中心，语法为：Fc = fftshift(F)F是用fft2得到的傅里叶变换，即图4.2(a)，而Fc是已居中的变换，即图4.2(b)。
键入命令：>> Fc = fftshift(F)>> Sc = abs(Fc)>>figure, imshow(Sc, [ ])将产生图4.3(c)所示的图像，居中后的结果在该图像中是很明显的。
图像的正交变换
图像的正交变换1、二维傅立叶变换一维时间信号，可以看作是由多个单一频率的正弦信号叠加而成的，表达组成信号的每个正弦信号的频率及其幅值的空间称为频率域。
信号在时间域与频率域之间通过傅立叶变换与逆变换进行转换。
求时间信号在频率轴上的幅值分布函数过程为傅立叶变换，而由信号的在频率轴上的幅值分布函数求解时间信号的过程为傅立叶逆变换。
一维傅立叶变换的定义：()()2j t X j x t e dt π+∞-Ω-∞Ω=⋅⎰一维傅立叶逆变换定义：()()2j t x t X j e d π+∞Ω-∞=Ω⋅Ω⎰Ω为频率变量，它的连续变化使()X j Ω包含了无限个正弦和余弦项的和。
根据尤拉公式exp[2]cos 2sin 2j t t j t πππ-Ω=Ω-Ω傅立叶变换系数可以写成如下式的复数和极坐标形式:()()()()()j X j R jI X j e ϕΩΩ=Ω+Ω=Ω其中1222[()()]()RI X j =Ω+ΩΩ定义为傅立叶谱（幅值函数）1()()tan []()I R ϕ-ΩΩ=Ω为相角 而222()()()()E X j R I Ω=Ω=Ω+Ω能量谱二维平面图像是一种幅值沿纵坐标和横坐标两个方向变化的信号，其变化规律的分析也在频率域进行。
二维信号的正交变换由一维信号的正交变换扩展而得到。
连续二维函数的傅立叶变换对定义二维函数的傅立叶正变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+-=dxdy e y x f v u F vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶逆变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+=dudv e v u F y x f vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶谱 21)],(),([),(22v u I v u R v u F +=二维函数的傅立叶变换的相角 ]),(),([tan ),(1v u R v u I v u -=φ 二维函数的傅立叶变换的能量谱),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==2二维离散傅立叶变换对于一维信号()x t 及其傅立叶变换()X j Ω均进行离散（数字化），则离散的傅立叶变换定义如下：一维离散傅立叶正变换()()()11exp 2N x X k x n j kn N N π-==-∑一维离散傅立叶逆变换()()()10exp 2N u x t X k j kn N π-==∑对于N M ⨯图象，其二维离散傅立叶变换定义为：()()∑∑-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10102exp ,1,M x N y N vy M ux j y x f MN v u F π ∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(M N N M u v vy ux j v u F y x f π对于N N ⨯图象()()∑∑-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10122exp ,1,N x N y N vy ux j y x f Nv u F π∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(N N N u v vy ux j v u F y x f π1.3二维离散傅立叶变换的性质 性质1：线性性质如果：11(,)(,)f x y F u v ⇔ 22(,)(,)f x y F u v ⇔ 则有：()()()()v u bF v u aF y x bf y x af ,2,1,2,1+⇔+性质2：尺度性质1(,), 1(,)(,)u v f ax by F a b F x y F u v ab a b ⎛⎫⇔==-→--⇔-- ⎪⎝⎭当时，性质3：可分离性()()()()∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11102101022exp ,12exp ,2exp 12exp ,1,N x N x N y N x N y N ux j v x F NN vy j y x f N ux j N N vy ux j y x f Nv u F ππππ 二维傅立叶变换可分解成了两个方向的一维变换顺序执行。
医学图像处理重点知识概要
1. 灰度直方图
定义：图象中象素灰度分布的概率密度函数；是灰度级的函数，描述的是图像中各灰度 级的像素个数,即横坐标表示灰度级，纵坐标表示图像中该灰度级出现的个数；
性质:①反映图像灰度分布情况，丢失了像素的位置信息,不包含图象灰度分布的空间信 息，因此无法解决目标形状问题；②具有不唯一性，不同图象可能对应相同的直方图；③具 有可加性，即图象总体直方图等于切分的各个子图象的直方图之和；
(u,
v)
=
1 1+[D(u, v)
/
D10
]2n
n 为滤波器的阶次，D0 为截止频率
3）巴特沃斯高通滤波器：H (u , v ) = 1 + [ D0 / D (u , v )] 2n 通过高频分量，削弱低频分量
4）同态滤波：图像 f(x,y)是由光源产生的照度场 i(x,y)和目标的反射系数场 r(x,y)的共
1 I×J
I i =1
J
[x(i, j) − x(i, j)]2 归一化后： NMSE
j =1
=
i =1
[x(i, j) − x(i,
j =1
IJ
x2 (i, j)
j )] 2
i =1 j =1
∑ ∑ 绝对误差： MAE = 1
IJ
x(i, j) − x(i, j)
I × J i=1 j=1
1
∑ ∑ 峰值信噪比： PSNR = 10lg
1
x2 max
IJ
[x(i, j) − x(i, j)]2
I ⋅ J i=1 j=1
第二章 图像文件的格式
BMP 文件，不压缩形式(WORD 类型 2 个字节，DWOR、DLONG 4 个字节)
图像的正交变换.
g (3)
x(2)
g(N
)
g(N 1)
g(1) x(N )
• 对于一个线性系统，对于输入信号矢量
与信号输出矢量间的关系矩阵若是正交
的且满足逆矩阵与共轭矩阵的转置相等，
则该处理过程为酉变换，关系矩阵为酉
矩阵。
若一组向量集合
a11
•
for(int fi=0;fi<fftWidth;fi++) {
•
fRData[fi]=0; fIData[fi]=0;
•
}
•
for(DWORD j=0;j<fftWidth;j++){
•
fRData[j]=ptrRData[i+j*fftWidth];
•
fIData[j]=ptrIData[i+j*fftWidth];
一般用“*”表示卷积，写为：y(t) g(t) * x(t)
卷积的离散形式为: y(i) g(i) * x(i) g( j)x(i j)
j
卷积的矩阵形式为: g(1) g(N ) g(2) x(1)
y(i)
g(i) *
x(i)
G
x
g (2)
g (1)
F(u) 1 N1 f (x) exp j2ux / N
N x0
N 1
f (x) F(u) exp j2ux / N u0
其中：x 0,1,2, N 1 0,1,2, N 1
F(u) F(uu) u 0,1,2,, N 1
数字图像处理图像变换实验报告
实验报告实验名称:图像处理姓名:刘强班级:电信1102学号:1404110128实验一图像变换实验——图像点运算、几何变换及正交变换一、实验条件PC机数字图像处理实验教学软件大量样图二、实验目的1、学习使用“数字图像处理实验教学软件系统”,能够进行图像处理方面的简单操作;2、熟悉图像点运算、几何变换及正交变换的基本原理,了解编程实现的具体步骤;3、观察图像的灰度直方图,明确直方图的作用与意义;4、观察图像点运算与几何变换的结果,比较不同参数条件下的变换效果;5、观察图像正交变换的结果,明确图像的空间频率分布情况。
三、实验原理1、图像灰度直方图、点运算与几何变换的基本原理及编程实现步骤图像灰度直方图就是数字图像处理中一个最简单、最有用的工具,它描述了一幅图像的灰度分布情况,为图像的相关处理操作提供了基本信息。
图像点运算就是一种简单而重要的处理技术,它能让用户改变图像数据占据的灰度范围。
点运算可以瞧作就是“从象素到象素”的复制操作,而这种复制操作就是通过灰度变换函数实现的。
如果输入图像为A(x,y),输出图像为B(x,y),则点运算可以表示为:B(x,y)＝f[A(x,y)]其中f(x)被称为灰度变换(Gray Scale Transformation,GST)函数,它描述了输入灰度值与输出灰度值之间的转换关系。
一旦灰度变换函数确定,该点运算就完全确定下来了。
另外,点运算处理将改变图像的灰度直方图分布。
点运算又被称为对比度增强、对比度拉伸或灰度变换。
点运算一般包括灰度的线性变换、阈值变换、窗口变换、灰度拉伸与均衡等。
图像几何变换就是图像的一种基本变换,通常包括图像镜像变换、图像转置、图像平移、图像缩放与图像旋转等,其理论基础主要就是一些矩阵运算,详细原理可以参考有关书籍。
实验系统提供了图像灰度直方图、点运算与几何变换相关内容的文字说明,用户在操作过程中可以参考。
下面以图像点运算中的阈值变换为例给出编程实现的程序流程图,如下:2、图像正交变换的基本原理及编程实现步骤数字图像的处理方法主要有空域法与频域法,点运算与几何变换属于空域法。
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j 2 ( ux vy )
F(u,v)e M N , u 0, 1, L , M 1; v 0, 1, L , N 1
MN u0 v0
处理离散信号时，应将连续傅立叶变换的积分形式转变为离散傅立 叶变换的求和形式，把连续傅立叶变换的积分区间转变为离散傅立叶变 换的求和区间。
4.1.1 傅里叶变换的定义
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)
f (x, y)e M N
x0 y0
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
[c1 f1(x, y) c2 f2 (x, y)]e M N
x0 y0
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
函数F(x,y) 的傅立叶变换一般是一个复数，则它可由下式表示：
F (u, v) F (u, v) e j(u,v) R(u, v) jI (u, v)
频谱信号的相位谱和幅度谱
(u, v) tg1[ I (u, v) ]
R(u, v)
F (u, v) [R2 (u, v) I 2 (u, v)]1/2
(1) 一维离散傅立叶变换 一维离散信号的傅里叶变换及其逆变换如下：
M 1
j 2 ux
F(u) f (x)e M
x0
u 0,1,L , M 1
f (x)
1
M 1
j 2 ux
F(u)e M
M u0
x 0,1,L , M 1
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换 可以证明，F(u)和F(x)是周期为M 的周期函数
f
x, y
F
u,v
f
f
x, y
e F j
2
u0 x M
v0 y N
u u0 , v v0
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换
（2） 二维离散傅立叶变换
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F(u, v)
f (x, y)e M N , u 0, 1, L , M 1; v 0, 1, L , N 1
x0 y0
f (x, y)
1
M 1 N 1
c1
f1(x, y)e M N c2
f2 (x, y)e M N
x0 y0
x0 y0
c1F1(u, v) c2 F2 (u, v)
图像 f1(x, y)
图像 f2 (x, y)
DFT ( f1) DFT ( f2 )
DFT ( f1 f2 )
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（二）、可分离性 二维离散傅立叶变换（2D-DFT）可以分解为沿x,y 两个方向的一维
4.1.1 傅里叶变换的定义
（一）、连续函数的傅里叶变换及其逆变换 二维连续函数的傅立叶变换及其逆变换的表达式如下：
F(u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy f (x, y) F(u, v)e j2 (uxvy)dudv
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换
F(u) F(u k M )
f (x) f (x k M )
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换 当u取不同值后，有下式：
F(0) f (0) f (1) ... f (M 1)
j 2 1
j 2 M 1
F(1) f (0) f (1)e M ... f (M 1)e M
4.1.1 傅里叶变换的定义
原始图像
图像的傅立叶频谱
பைடு நூலகம்
如果频谱图的亮点在中心区域比较集中，说明图像含有较多的低频分量； 如果频率图的亮点在边缘部分比较集中，则说明图像含有较多的高频分量。
4.1.1 傅里叶变换的定义
图像的幅度谱
图像的相位谱
4.1.1 傅里叶变换的定义
人为加入噪声后的图像
人为加入噪声后图像的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（一）、线性性质 离散傅立叶变换是线性变换，因此其线性性质可表达如下
f1 ( x, f2 (x,
y) y)
F1 (u, v) F2 (u,v)
c1
f1
(
x,
y)
c2
f2
(
x,
y)
c1F1
(u,
v)
c2
F2
(u,
v)
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
证明过程如下
1
M
F(M 1)
1
1
1
j 2 1
j 2 M -1
e M ... e M
f (0)
f (1)
M
M
j 2 M 1
e M ...
e
j 2
(M
1)( M M
1)
f
(M
1)
4.1.1 傅里叶变换的定义
从Z变换的单位圆上的角度看，频域采样的情况如下图
离散傅立叶变换的含义是有限长信号的离散频谱，严格的说是F(u) 在周期内的一些离散值。
1
N 1
j 2 vy
F(u,v)e N ,
x 0,1,L
, M 1; y 0,1,L
, N 1
M u0
N v0
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（a）原始图像 (b)二维离散傅立叶变换的频谱 (c)先进行行变换，再进行列变换后得到的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（三）、平移性 傅立叶变换的平移性质可表示为
j 2 (M 1)
j 2 ( M 1)(M 1)
F (M 1) [ f (0) f (1)e M ... f (M 1)e
M
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换
从另一个角度来理解离散傅立叶变换的含义，首先可以将 F(u)进 行如下变换
1
F(0)
F (1)
离散傅立叶变换（1D-DFT），且先进行x方向的傅立叶变换再进行y方向 的傅立叶变换。
M 1 j2 ux N 1
j 2 vy
F(u,v) e M f (x, y)e N , u 0,1,L , M 1; v 0,1,L , N 1
x0
y0
f (x, y)
1
M 1 j 2 ux
eM
第四章 图像的正交变换
4.1 图像的傅里叶变换 4.2 图像的离散余弦变换 4.3 图像的沃尔什变换 4.4 离散K-L变换
4.1图像的傅里叶变换
4.1.1 傅里叶变换的定义
（一）、连续函数的傅里叶变换及其逆变换
一维连续函数的傅立叶变换及其逆变换的表达式如下：
F (u) f (x)e j2uxdx f (x) F (u)e j2uxdu