23-基于动态利率期限结构模型的定价技术[金融计算与建模]

n
Ci (1 R i )
ti

CF (1 R n )
tn
( 2 3 .1)
i 1
其中： P为市场价格； R i 为第期贴现率，即第i个时间点的即期利率； C i 为第i期票息； CF为最后一期返还的面值； t i 为从目前时点到以后第i个计息日的时间长度（以年为单位）； n为债券剩余付息次数。 在本章中将国债的折现利率提高0.4%作为金融债的折现利率
数据预处理
/* 对原始数据及加工整理*/ data B2W; set Resdat.B2W; where '05jan2001'd<=date<='13aug2003'd; run; data floatbond; set Resdat.floatbond; run; data B2W; set B2W; dir=dif(ir); lagir=lag(ir); ivir=1/ lagir; if dir=. then delete; run; /* B2W共656个观测值 */ /* 将数据集中的数据转换成矩阵*/ proc iml; reset deflib=work; use B2W; list; list all; read all var {lagir} into ir; read all var {dir} into dir; read all var {ivir} into ivir; print ir dir ivir; store ir dir ivir; run; quit;
CIR模型
理论价格 P ( rt , ) A ( ) ex p ( B ( ) rt ) 市场价格 ln ( P * ) ln ( A ( ) ex p ( B ( ) r )) t , t t . 其中：
Pt , 是市场上观察到的贴现债券价格；
*
t . 是服从正态分布的残差项， t . N (0, 2 ) ， t . 对于不同的
挑选出在定价日有交易价格的4只贴现债券如表23.1所示。
表23.1 贴现债券信息（2003年8月13日）
债券代码| 020216 030207 030208 030211 债券名称 02国开16 03国开07 03国开08 03国开11 日期 2003-08-13 2003-08-13 2003-08-13 2003-08-13 剩余期限 2.202740 0.880837 0.405427 0.681383 交易价格 94.65 98.02 99.05 98.40
T
( ri ( ri 1 ) t i ) t i ri 1
*/
i 1
start F_BETTS(x); /* 定义似然函数模块 */ f=-(656/2)*log(x[1]**2)-1/2*(x[1]**(2))*(0.0352866416+(0.3776176352)*x[2]*x[3]+(0.008852)*x[2]+(82.768352682)*x[2]*x[2]*x[3]*x[3]+(3.594520548)*x[2]*x[2]*x[3]+(0.0392739233)*x[2]*x[2]); /* x[1]表示 x[2]表示 , x[3]表示 。且有：- T 1 2 (656/2)#log(x[1]##2)= T ln ( 2 ) ; 剩余部分=
( ri ( ri 1 ) t i ) t i ri 1
2
return(f);
finish F_BETTS;
i
/* 纯时间序列估计*/ /* 其中f就是极大似然函数 proc iml; reset deflib=work;
L
T 2 1 2
ln ( 2 )
T
T 2
ln ( )
2
1 2
ln ( r
i 1
T
i 1
)
2
ln ( t ) 2
2 i i 1
1
第23章 基于动态利率期限结构模型的定价 技术
清华大学经管学院 朱世武 Zhushw@ Resdat样本数据： SAS论坛：
利用均衡模型对浮动利率债券定价
Vasicek和CIR单因子模型都是经典的均衡利率模型。 是通过对短期利率运动趋势的描述推导出的即期利率 期限结构模型，从而能够为各种利率型金融工具进行 定价和风险管理。 利用这两种利率期限结构，可以解决浮动利率债券定 价的问题。
设 P ( )为剩余到期期限为 年的贴现债券的当前价 格。于是有， 时间点 的即期利率
1
1 R ( ) P (
1 )
连续复合利率
R ( )
ln P ( )

一年期远期利率
P ( ) f ( ) 1 P ( 1)
CIR模型利率期限结构拟合
/* 计算常数（这些常数用于直接代入似然函数中进行最优化计算）*/ proc iml; reset deflib=work; load ir dir ivir; 2 T ri 1 c1=sum(dir##2#365#ivir); /* ，注意， t 3 6 5 */ i 1 t i ri 1 c2=-2#sum(dir#ivir); c3=2*sum(dir); c4=sum((1/365)#ivir); c5=-2*656/365; c6=sum(ir#(1/365)); print c1 c2 c3 c4 c5 c6; quit; /* 结果显示： C1 C2 C3 C4 C5 C6 0.0352866 0.3776176 -0.008852 82.768353 -3.594521 0.0392739 */
P ( 1) f ( ) ln P ( )
一年期连续复合远期利率
纯预期理论将远期利率视为对未来利率的预测，因此在这 些均衡模型中，一年期远期利率可以用来替代浮动利率债 券未来的基础利率，从而确定未来的现金流。 利用现金流折现原理得到浮动利率债券的定价公式
P
2 2
CIR模型的离散状态形式为，
rt ( rt 1 ) t t
（23.3）
其中：
t 为时间间隔，这里取为一天；

t
为服从正态分布的残差， t 是待估参数。
N (0, rt 1 t )
2
, 和
因此，连同风险溢价 ，总共有5个待估参数。

k 1
ln ( Pt * ) ln ( A ( k ) ex p ( B ( k ) rT )) , k
2
假设只以时间序列数据进行估计（即第一类方法），这时，似然函数 变为，
L
T 2 1
ln ( 2 )
T
T 2
ln ( )
2
1
ln ( r 2
由于假设了这些残差都是服从正态分布的，因此可以采用极大似然法 来估计这些参数。 假设有T天的短期利率样本数据（即每天的 rt ），以及第T天的M个 贴现债券价格数据，估计第T＋1天的参数值时，构造CIR模型的对数 似然函数如下，
L T 2 1 2
T i
ln ( 2 )
T 2
data b; set Resdat.bdinfo; if Intmd='0' and trdmktflg='3' and Bdtype='3' and Issdt<'13Aug2003'd and matdt>'13Aug2003'd; keep bdcd bdnm couprt freq matdt maturity; run; data discountbd030813; set resdat.cbdqttn; if bdcd in (020304 020209 020216 030204 030207 030208 030209 030210 030212 030211) and date='13Aug2003'd; price=Cldirpr; keep bdcd bdnm date price Yrstmat ; label price='交易价格'; run; proc print data=discountbd030813 label noobs; run;
值是独
立同分布的；

2
是待估参数；
3
1 ex p ( 2 ) A ( ) 2 (ex p ( 1 ) 1) 1
B ( )
ex p ( 1 ) 1
2 (ex p ( 1 ) 1) 1
2
1
( ) 2 , 2 ( 1 ) / 2, 3 2 /
参数估计
目前，对Vasicek和CIR这两种均衡模型的参数估计方 法主要有三类： 纯时间序列数据方法（Pure Time-Series Data Method） 纯截面数据方法（Pure Cross Sectional Data Method） 混合时间序列/截面数据方法（Joint TimeSeries/Cross Sectional Data Method）。
ln ( )
2
1 2
ln ( r
i 1
T
i 1
)
2
ln ( t ) 2
2 i 1
1
T
( ri ( ri 1 ) t i ) t i ri 1 1 2
M
i 1
M 2
ln ( 2 )
M 2
ln ( )
2