排位12数2卷简明答案
2012河北专接本数二真题及答案未校对版
河北省2012年普通高校专科接本科教育选拔考试《数学（二）》（财经类、管理类）试卷 （考试时间60分钟）说明：请将答案填写在答题纸的相应位置上，填在其它位置上无效。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效） 1、函数)1ln(22-+-+=x e x x y 的定义域为( )A ．[-1,2]B （0，2] C. (-1，2] D.],0(+∞2。
极限=-→x xx x 3sin tan lim 0（ ） A ．—2 B.0 C 。
2 D.33.若函数00021)(1=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ax x x x f x在出连续，则=a （ ） A ．e B.e1 C.e D.e1 4。
由方程1=-yxe y 所确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy（ ）。
A 。
y y e xe 1- B 。
y y e xe -1 C.1-y y xe e D 。
yyxe e -15。
区间（ ）是函数22x ey -=单调递减的凸区间。
A ．)1,(--∞ B.（—1，0) C 。
(0，1）D.(1，∞+）6。
定积分dx x x ⎰-++112311=（ ） A ．0 B 。
2 C 。
2πD 。
π 7。
函数22y y x z +=在点（2，1）处的全微分12==y x dz=( ）A ．dy y x xydx )2(22++ B 。
xydy dx y x 2)2(2++ C 。
dy dx 46+ D 。
dy dx 64+8。
幂级数∑∞=⋅-12)2(n n nn x 在区间（ ）内是收敛的。
A ．)21,21(- B 。
)25,23(- C.（0，4) D.(—2，2） 9。
微分方程1-='y y 满足初始条件20==x y的特解是( )A ．xce y +=1 B.xe y +=1 C. xe y 2= D 。
2012考研数二真题答案
2012考研数二真题答案第一题：解析：本题考查的是集合的基本概念和运算。
给出的条件是集合A={2,3,4,5,6}，集合B={1,3,5,7,9}，我们需要求出(A∪B)∩(A-B)的结果。
首先，求并集A∪B，即将A和B中的元素合并，并去除重复的元素。
得到A∪B={1,2,3,4,5,6,7,9}。
其次，求差集A-B，即是在A中去掉与B中重复的元素。
得到A-B={2,4,6}。
最后，求交集(A∪B)∩(A-B)，即将A∪B和A-B的结果中相同的元素找出来。
得到(A∪B)∩(A-B)={2,4,6}。
因此，答案为{2,4,6}。
第二题：解析：本题考查的是概率基本知识。
已知事件A发生的概率P(A)=0.8，事件B发生的概率P(B)=0.5，需要求事件A和B同时发生的概率P(A∩B)。
根据概率的定义，事件A和B同时发生的概率为事件A和B的交集的概率。
即，P(A∩B)=P(A)×P(B)。
代入已知条件，P(A∩B)=0.8×0.5=0.4。
因此，答案为0.4。
第三题：解析：本题考查的是函数的性质和零点的概念。
已知函数f(x)满足f(x+f(x))=1，我们需要求函数f(x)的零点。
零点即是函数在该点的取值为0的点。
即，求解方程f(x)=0。
由已知条件得f(x+f(x))=1，代入f(x)=0，得f(x+0)=1。
因此，f(x+0)=1，即f(x)=1。
所以，函数f(x)的零点为x=1。
第四题：解析：本题考查的是极限的计算。
已知数列{an}的通项公式为an=(n+1)^2/n^2，需要求该数列的极限lim(n→∞)an。
要求数列的极限lim(n→∞)an，即是当n趋于无穷大时，数列的通项an的极限值。
计算：lim(n→∞)an=lim(n→∞)((n+1)^2/n^2)=lim(n→∞)(n^2+2n+1)/n^2=lim(n→∞)(1+2/n+1/n^2)=1+0+0=1因此，数列{an}的极限为1。
2012考研数二真题及解析
2012考研数二真题及解析考研数学二对于很多考生来说是具有一定挑战性的科目。
2012 年的考研数二真题也不例外，它全面考查了考生对数学知识的掌握和运用能力。
我们先来看看选择题部分。
比如，有一道关于函数极限的题目，要求判断某个函数在特定点的极限是否存在。
这就需要考生熟练掌握极限的定义和计算方法。
还有一道关于导数定义的题目，考查了考生对导数概念的深刻理解。
填空题中，涉及到了曲线的切线方程、定积分的计算等知识点。
像求曲线在某一点的切线方程，考生要先求出该点的导数，也就是切线的斜率，然后再利用点斜式方程求出切线方程。
接下来是解答题。
第一道通常是关于求函数的导数或者微分，这是基础知识的直接应用，但也需要考生细心计算，避免出错。
有一道关于二重积分的题目，需要考生正确选择积分顺序，并且准确计算出积分的结果。
这要求考生对二重积分的概念和计算方法有清晰的认识。
还有一道关于常微分方程的题目，考查了考生求解方程的能力。
在解题过程中，要根据方程的类型选择合适的解法。
在整个真题中，对于数学基础知识的考查非常扎实。
比如，函数的性质、导数的应用、积分的计算等，都是考试的重点。
对于这些真题，我们在复习的时候要有针对性地进行训练。
首先，要把教材中的基本概念、定理和公式理解透彻，牢记于心。
然后，通过大量的练习题来提高解题的速度和准确性。
对于做错的题目，一定要认真分析原因，总结经验教训。
是因为知识点掌握不牢固，还是因为解题方法不正确，或者是因为粗心大意。
只有找到问题所在，才能在下次遇到类似的题目时不再犯错。
在复习的过程中，还要注重知识的系统性和连贯性。
比如，函数、导数、积分这几部分的知识是相互关联的，要能够融会贯通。
另外，要培养自己的解题思维和技巧。
比如，在遇到难题时，要学会从已知条件出发，逐步推导，寻找解题的突破口。
总之，2012 年考研数二真题全面考查了考生的数学素养和解题能力。
通过对这些真题的认真分析和研究，考生可以更好地把握考试的重点和难点，为今后的复习提供有力的指导。
(推荐)2012高考全国2卷数学理科试题及答案详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理科数学(全国二卷）一、选择题1、 复数131i i-++= A 2+i B 2-i C 1+2i D 1- 2i2、已知集合A ＝}，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24y =14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列1n a 1+n a 的前100项和为 (A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a CB =→,b CA=→,a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则=→AD (A)b a 31-31（B ）b a 32-32 (C)b a 53-53 (D)b a 54-54（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β=3，则cos2α=(A) （B ） （8）已知F 1、F 2为双曲线C ：2-x 22=y 的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。
2012真题数二全
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1） 曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★ 【详解】解析：211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线. 函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线.无斜渐近线，故选C. （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0)f '=（ ）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★解析：方法一、由导数定义知：200()(0)(1)(2)()0(0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x →→-----'==-L1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L 故选A.方法二、22()(1)[(2)()](1)[(2)()]x x nx x x nx f x e e e n e e e n '''=---+---L L 22[(2)()](1)[(2)()]x x nx x x nx e e e n e e e n '=--+---L L20(0)(12)(1)(1)[(2)()]x x nx x f n e e e n =''=--+---L L1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L 故选（A ）.（3）设0(1,2,)n a n >=L ，123n n S a a a a =++++L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的（ ） （A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【考点】数列极限 【难易度】★★★ 【详解】解析：因0(1,2,)n a n >=L ，所以123n n S a a a a =++++L 单调递增. 若数列{}n S 有界，则由单调有界必有极限知lim n n S →∞存在即lim n n S A →∞=，于是11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S A A --→∞→∞→∞→∞=-=-=-=反之，若数列{}n a 收敛，但不收敛于0，则数列{}n S 无界.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. （4）设20sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 （ ）（A ）123I I I << （B ） 321I I I << （C ） 231I I I << （D ）213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★ 【详解】 解析：210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x e t dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e e xdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是（ ）（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】 解析：因(,)0f x y x∂>∂，相对x 单调上升，当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，相对y 单调下降，当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.（6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰（ ）（A ）π（B ）2（C ）-2（D ）π-【答案】D【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】解析：如图，积分区域D 被虚线分作1D 、2D 两部分12555512sin 222(1)00(1sin )DDDD D Dxx y dxdy x ydxdy dxdyx ydxdy x ydxdy dxdydx dyx dx πππππ---=-=+-=+-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中，1D 关于y 轴对称，5x y 是关于x 的奇函数，所以150D x ydxdy =⎰⎰；2D 关于x 轴对称，5x y 是关于y 的奇函数，所以250D x ydxdy =⎰⎰；故选（D ）（7）设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）（A ）123,,ααα （B ） 124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★ 【详解】 解析：（A ）1231123001,,011c c c c ααα=-=-不恒为零， （B ）1241124001,,011c c c c ααα-==不恒为零，（C ）13412311,,0110c c c ααα-=-=， （D ）23443342342341101111,,111100c c c c c c c c c c ααα--=-==-=-不恒为零，所以134,,ααα必线性相关.故选（C ）.（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -=（ ）（A ） 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ） 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ） 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★ 【详解】解析：12100110(1)001Q P PE ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，又⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-100011001)1(112E故111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选B. 二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d y dx== .【考点】隐函数的微分 【难易度】★★ 【详解】解析：等式两边同时对x 求导，得2yx y e y ''-=所以12+='y e x y ，()()21212+'-+=''y y y e y xe e y 令0x =，得0y = ，(0)0y '=， 所以(0)1y ''=（10）22222111lim 12n n n nn n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭L . 【答案】4π【考点】定积分的概念 【难易度】★★★ 【详解】解析：由积分定义，22222221111111lim lim 1212()1()1()1n n n n n n n n n n n n →∞→∞⎛⎫⎪⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭ ⎪+++⎝⎭L L110201arctan 14dx x x π===+⎰ （11）设1(ln )z f x y =+，其中函数()f u 可微，则2z z x y x y∂∂+=∂∂ 【答案】0【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★解析：()1z f u x x ∂'=⋅∂，()21z f u y y ⎛⎫∂'=-⇒ ⎪∂⎝⎭20z z x y x y ∂∂+=∂∂（12）微分方程2(3)0ydx x y dy +-=满足条件11x y ==的解为y = 【答案】2x y =（或y =【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一、方程可整理为()230ydx xdy y dy +-=，解全微分方程得C y xy =-3，又(1)1y =，得0C =，故2x y =（或y方法二、方程可整理为13dx x y dy y+=，将x 看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为()11313dy dy y y x e ye dy C y C y -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰.又(1)1y =，得0C =，故2x y =（或y = （13）曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标为 . 【答案】（-1，0） 【考点】曲率 【难易度】★★★ 【详解】解析：21,2y x y '''=+=，代入曲率公式()3221y K y ''='+，得322221(21)x =⎡⎤++⎣⎦，解得1x =-或1x =.又0x <，故10x y =-⇒=.故坐标为(1,0)-.（14）设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则*BA =_________ 【答案】-27.【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵 【难易度】★★★ 【详解】解析：设12010100001E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12B E A =，从而3**1227BA E AA A ==-=-.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）已知函数()11sin x f x x x+=- 记()0lim x a f x →=（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.【考点】无穷小量的比较 【难易度】★★★ 【详解】解析：当0x →时，331sin ()6x x x o x =-+⇒sin x x :，31sin 6x x x -:. （I ）()00011sin lim lim lim 011sin sin sin x x x x x x xa f x x x x x x→→→+-==-=+=+=（II ）()00011sin sin lim lim 1lim sin sin sin x x x x x x x x f x a x x x xx →→→+--⎛⎫⎛⎫-=--=+⎡⎤⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭()()3001sin 16lim lim sin sin x x x x x x x x x x →→-+⎛⎫== ⎪⎝⎭()300161sin lim lim 6x x x f x a x x x x →→-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以k=1 （16）求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值.【考点】函数的极值 【难易度】★★★★ 【详解】解析：()()()()()2222222222222,10,0x y x y xy x y f x y e xe x ex xf x y xe y y+++---+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P -()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y f x y xe y y++--+-+-⎧∂=-+--⎪∂⎪⎪∂⎪=--⎨∂∂⎪⎪∂⎪=-∂⎪⎩ 根据判断极值的第二充分条件， 把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()11,0,P -为极小值点，极小值为()121,0f e --=-把()21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()21,0P 为极大值点，极大值为()121,0f e-=（17）过点（0，1）作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 【考点】导数的几何意义、定积分的应用 【难易度】★★★★ 【详解】 解析：1y x'=，设切点坐标(),ln o o x x ， 切线方程为()1ln o o oy x x x x -=- 又切线过点(0,1)，所以2o x e =，故切线方程为211y x e=+ 切线与x 轴交点为B ()2,0e - 所围面积()222011y A e e y dy e ⎡⎤=--=-⎣⎦⎰ 旋转体体积()()2222221122ln 333e V e e xdx e πππ⎡⎤=---=+⎣⎦⎰ （18）计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中区域D 由曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成.【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法 【难易度】★★★★ 【详解】解析：如右图，作极坐标变换cos x r θ=，sin y r θ=， 则D 的极坐标表示是0θπ≤≤，01cos r θ≤≤+， 于是()()1cos 2041cos 0040141d cos sin 1cos sin ()41cos sin 1cos 41161415Dxy d d d d t t dt πθπθπσθρθρθρρθθρθθθθθ++-= = =+ =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （19）已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2xf x f x e ''+=（Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）求曲线220()()xy f x f t dt =-⎰的拐点.【考点】二阶常系数齐次线性微分方程；函数图形的拐点 【难易度】★★★ 【详解】解析：（I ）'''()()2()0f x f x f x +-=对应的特征方程为220r r +-=，r=-2，r=1 所以()212xx f x C e C e -=+把()212xx f x C eC e -=+代入''()()2x f x f x e +=，得到()x f x e =（II ）曲线方程为22xx t y ee dt -=⎰为求拐点，先求出y ''.2221xxt y xe e dt -'=+⎰，222220242x xxt xt y e e dt x e e dt x --''=++⎰⎰，由于令()0y x ''=得0=x . 又当0>x 时，2222202420xxx t x t y ee dt x ee dt x --''=++>⎰⎰当0<x 时，2222202420xxx t x t y ee dt x ee dt x --''=++<⎰⎰因此(0,(0))(0,0)y =是曲线的唯一拐点.（20）证明：21ln cos 1,12x x x x x ++≥+-(11)x -<< 【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★ 【详解】证明：令()21ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+---<<-，()211112lnsin ln sin 11111x x x f x x x x x x x x x x x ++⎛⎫'=++--=+-- ⎪-+---⎝⎭， 222222222(1)44()cos 1cos 11(1)(1)x x f x x x x x x -+''=+--=-----，因为)1,1(-∈x ，故2211(1)x >-，又21cos <+x ，所以()0f x ''>，)(x f '单调递增；又0)0(='f ，所以当)0,1(-∈x ，0)(<'x f ，)(x f 单点递减；当)1,0(∈x ，0)(>'x f ，)(x f 单点递增； 所以)1,1(-∈x 时0)0()(=≥f x f ，即不等式21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-成立.（21）（Ⅰ）证明：方程11nn x xx -+++=L （n 为大于1的整数）在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. 【考点】闭区间上连续函数的性质 【难易度】★★★★ 【证明】解析：（Ⅰ）令()11nn f x x xx -=+++-L12()(1)210n n f x nx n x x --'=+-+++>L ，所以()f x 在1[,1]2单调递增，又(1)10f n =->，2111112()1101222212n f =+++-<-=-L ，且)(x f 连续所以()f x 在1(,1)2上存在零点且唯一，即11n n x x x -+++=L 在1(,1)2内只有一个根.（Ⅱ）根据拉格朗日中值定理，存在点12n x ξ<<有()()121,12n n f x f f x ξ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=>-所以()110,22n n x f x f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭因为()11lim lim 022n n n f x f f →∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 由夹逼定理知1lim 2n n x →∞=（22）设10010101,00100010a a A a a β⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（I ）计算行列式A ；（II ）当实数a 取何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】★★★ 【详解】解析：（I ）按第一列展开，即得4141000101(1)10100101a a A a a a a a +=⋅+-=-（Ⅱ） 对方程组Ax β=的增广矩阵初等行变换：2321001100110010101010101010010001000100010001001a aa a a a a a a aa a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦421001010100100001a a aa a a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 可知，要使方程组Ax β=有无穷多解，则有410a -=且20a a --=，可知1a =-此时，方程组Ax β=的增广矩阵变为11001011010011000000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 进一步化为最简形得10010010110011000000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦可知导出组的基础解系为1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，非齐次方程的特解为0100⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故其通解为10111010k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（23）已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型123(,,)()T Tf x x x x A A x =的秩为2（I ）求实数a 的值；（II ）求正交变换x Qy =将f 化为标准形.【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】解析：（1）由二次型的秩为2，知()2Tr A A =，故()()2Tr A r A A == 对矩阵A 初等变换得101101101101011011011011100010010010*********a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因()2r A =，所以1a =-（2）令202022224T B A A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭202202102022(2)22(2)122(2)(6)022*******E B λλλλλλλλλλλλλλ------=--=----=----=--=-------所以B 的特征值为1230,2,6λλλ===对于10λ=，解1()0E B X λ-=得对应的特征向量为1(1,1,1)T α=- 对于22λ=，解2()0E B X λ-=得对应的特征向量为2(1,1,0)T α=- 对于36λ=，解3()0E B X λ-=得对应的特征向量为3(1,1,2)T α=将123,,ααα单位化可得1211111,1,1102ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎭⎭⎭正交矩阵0Q ⎛ =⎝，则026TQ AQ ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 因此，作正交变换x Qy =，二次型的标准形为2223()()26T T T f x x A A x y Ay y y ===+.。
2012年高考全国2卷理数试题(解析版)-打印
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B -- 得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年(全国卷II)(含问题详解)高考文科数学
2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．AB B ．C B C ．D C D ．A D2．函数1y x =+(x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1) 3．若函数()sin 3x f x ϕ+=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π34．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin2α＝( ) A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．13()2n -C ．12()3n -D ．112n -7． 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，122CC =，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A．2 B ．3 C ．2 D．19．△ABC中，AB边的高为CD．若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝( )A．1133-a b B．2233-a bC．3355-a b D．4455-a b10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )A．14B．35C．34D．4511．已知x＝ln π，y＝log52，12=ez-，则( )A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝1 3 .动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为( ) A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．(x＋12x)8的展开式中x2的系数为__________．14．若x，y满足约束条件10,30,330,x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．15．当函数y＝sin x －3cos x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A．18．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和23n nnS a+=.(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式．19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，22AC=，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．20．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．21．已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D 到l的距离．2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:1． B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集， ∴C B ．2． A ∵1y x =+，∴y 2＝x ＋1， ∴x ＝y 2－1，x ，y 互换可得：y ＝x 2－1. 又∵10y x =+≥.∴反函数中x ≥0，故选A 项． 3．C ∵()sin3x f x ϕ+=是偶函数，∴f (0)＝±1. ∴sin 13ϕ=±.∴ππ32k ϕ=+(k ∈Z)．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)． 又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，3π2ϕ=.故选C 项． 4．A ∵3sin 5α=，且α为第二象限角， ∴24cos 1sin 5αα=-=－－.∴3424sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选A 项． 5． C ∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2.又∵准线x ＝－4，∴24a c-=-.∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184x y +=，故选C 项．6．B 当n ＝1时，S 1＝2a 2，又因S 1＝a 1＝1， 所以212a =，213122S =+=. 显然只有B 项符合．7． C 由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为14A ，剩余5人进行全排列：55A ，故总的情况有：14A ·55A ＝480种．故选C项．8． D 连结AC 交BD 于点O ，连结OE ， ∵AB =2，∴22AC =.又122CC =，则AC =CC 1. 作CH ⊥AC 1于点H ，交OE 于点M . 由OE 为△ACC 1的中位线知，CM ⊥OE ，M 为C H 的中点．由BD ⊥AC ，EC ⊥BD 知，BD ⊥面EOC ， ∴CM ⊥BD ．∴CM ⊥面BDE .∴HM 为直线AC 1到平面BDE 的距离． 又△AC C 1为等腰直角三角形，∴CH =2.∴HM =1. 9． D ∵a ·b ＝0，∴a ⊥b . 又∵|a |＝1，|b |＝2， ∴||5AB =.∴1225||55CD ⨯==. ∴222545||2()55AD =-=. ∴4544445()55555AD AB AB ===-=-a b a b .10． C 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ， 由双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴2m －m ＝22.∴=22m . 又22224c a b =+=， ∴由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝2221212||||432||||4PF PF c PF PF +-=.11． D ∵x ＝ln π＞1，y ＝log 52＞51log 52=，12111e2e 4z -==>=，且12e －＜e 0＝1，∴y ＜z ＜x . 12． B 如图，由题意：tan ∠BEF =12，∴2112KX =，∴X 2为HD 中点， 2312X D X D =，∴313X D =， 4312X C X C =，∴413X C =， 5412X H X H =，∴512X H =， 5612X A X A =，∴613X A =，∴X 6与E 重合，故选B 项． 13．答案：7 解析：∵(x ＋12x)8展开式的通项为T r ＋1＝8C r x 8－r(12x)r＝C r 82－r x 8－2r，令8－2r ＝2，解得r ＝3.∴x 2的系数为38C 2－3＝7.14．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A (0,1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1. 15．答案：5π6解析：y ＝sin x －3cos x ＝13π2(sin cos )2sin()223x x x -=-．当y 取最大值时，ππ2π32x k -=+，∴x ＝2k π＋5π6. 又∵0≤x ＜2π，∴5π6x =. 16．答案：35解析：设正方体的棱长为a .连结A 1E ，可知D 1F ∥A 1E ，∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角， 在△AEA 1中，2222212222322cos 5222a a a a a AEA a a a a ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 17．解：由A ，B ，C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，A ＋C ＝120°.由2b 2＝3ac 及正弦定理得2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故1sin sin 2A C ＝.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12， 即cos A cos C －12＝12-，cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，所以A ＝90°或A ＝30°.18．解：(1)由2243S a ＝得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3； 由3353S a ＝得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1＝12133n n n n a a -++-， 整理得111n n n a a n -+=-. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…a n －1＝2nn -a n －2，a n ＝11n n +-a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得(1)2n n n a +=. 综上，{a n }的通项公式(1)2n n n a +=. 19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又PA ⊥底面ABCD ， 所以PC ⊥BD ． 设AC ∩BD =F ，连结EF . 因为22AC =，PA =2，PE =2EC ， 故23PC =，233EC =，2FC =， 从而6PC FC =，6ACEC=， 因为PC ACFC EC=，∠FCE =∠PCA ， 所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC =∠PAC =90°， 由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED ．(2)在平面PAB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面PAB ⊥平面PBC ． 又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC ．BC 与平面PAB 内两条相交直线PA ，AG 都垂直，故BC ⊥平面PAB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，2222PD PA AD =+=. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则1sin 2d PD α==. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (22，0,0)，D (2，b,0)，其中b ＞0， 则P (0,0,2)，E (423，0，23)，B (2，－b,0)． 于是PC ＝(22，0，－2)，BE ＝(23，b ，23)，DE ＝(23，－b ，23)，从而0PC BE ⋅=，0PC DE ⋅=，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE . (2)AP ＝(0,0,2)，AB ＝(2，－b,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量， 则m ·AP ＝0，m ·AB ＝0， 即2z ＝0且2x －by ＝0， 令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)． 设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量， 则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0， 即2220p r -=且22033p bq r ++=， 令p ＝1，则2r =，2q b =-，n ＝(1，2b-，2)． 因为面PAB ⊥面PBC ，故m ·n ＝0，即20b b-=，故2b =， 于是n ＝(1，－1，2)，DP ＝(2-，2-，2)，1cos ,2||||DP DP DP ⋅==n n n ，〈n ，DP 〉＝60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP 〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，P(B)＝P(A0·A＋A1·A)＝P(A0·A)＋P(A1·A)＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2)P(B0)＝0.62＝0.36，P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，P(A2)＝0.62＝0.36.C＝A1·B2＋A2·B1＋A2·B2P(C)＝P(A1·B2＋A2·B1＋A2·B2)＝P(A1·B2)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.21．解：(1)f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.①当a≥1时，f′(x)≥0，且仅当a＝1，x＝－1时，f′(x)＝0，所以f(x)是R上的增函数；②当a＜1时，f′(x)＝0有两个根x 1＝－1－1a-，x2＝－1＋1a-.当x∈(－∞，－1－1a-)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(－1－1a-，－1＋1a-)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；当x∈(－1＋1a-，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．(2)由题设知，x1，x2为方程f′(x)＝0的两个根，故有a＜1，x12＝－2x1－a，x22＝－2x2－a.因此f(x1)＝13x13＋x12＋ax1＝13x1(－2x1－a)＋x12＋ax1＝13x12＋23ax1＝13(－2x 1－a )＋23ax 1＝23(a －1)x 1－3a . 同理，f (x 2)＝23(a －1)x 2－3a .因此直线l 的方程为y ＝23(a －1)x －3a . 设l 与x 轴的交点为(x 0,0)，得02(1)ax a =-， 22322031()[][](12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+----． 由题设知，点(x 0,0)在曲线y ＝f (x )上，故f (x 0)＝0， 解得a ＝0或23a =或34a =.22．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)，故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1. 圆心为M (1，12)，MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-.由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1， 即2(x 0＋1)·2001(1)21x x +--＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)，r ＝|MA |＝2215(10)(1)22-+-=，即52r =. (2)设(t ，(t ＋1)2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M 到该切线的距离为52， 即22212(1)11522[2(1)](1)t t t +⨯--+=++-， 化简得t 2(t 2－4t －6)＝0， 解得t 0＝0，1210t =+，2210t =-.抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，② y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③②－③得1222t t x +==. 将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)． 所以D 到l 的距离22|22(1)1|6552(1)d ⨯--+==+-.。
2012河北专接本数二真题及答案未校对版
河北省2012年普通高校专科接本科教育选拔考试《数学（二）》（财经类、管理类）试卷 （考试时间60分钟）说明：请将答案填写在答题纸的相应位置上，填在其它位置上无效。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效） 1、函数)1ln(22-+-+=x e x x y 的定义域为( )A ．[-1,2]B （0，2] C. (-1，2] D.],0(+∞2。
极限=-→x xx x 3sin tan lim 0（ ） A ．—2 B.0 C 。
2 D.33.若函数00021)(1=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ax x x x f x在出连续，则=a （ ） A ．e B.e1 C.e D.e1 4。
由方程1=-yxe y 所确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy（ ）。
A 。
y y e xe 1- B 。
y y e xe -1 C.1-y y xe e D 。
yyxe e -15。
区间（ ）是函数22x ey -=单调递减的凸区间。
A ．)1,(--∞ B.（—1，0) C 。
(0，1）D.(1，∞+）6。
定积分dx x x ⎰-++112311=（ ） A ．0 B 。
2 C 。
2πD 。
π 7。
函数22y y x z +=在点（2，1）处的全微分12==y x dz=( ）A ．dy y x xydx )2(22++ B 。
xydy dx y x 2)2(2++ C 。
dy dx 46+ D 。
dy dx 64+8。
幂级数∑∞=⋅-12)2(n n nn x 在区间（ ）内是收敛的。
A ．)21,21(- B 。
)25,23(- C.（0，4) D.(—2，2） 9。
微分方程1-='y y 满足初始条件20==x y的特解是( )A ．xce y +=1 B.xe y +=1 C. xe y 2= D 。
2012高考新课标数学全国卷答案解析（理科）
2012⾼考新课标数学全国卷答案解析（理科）绝密*启⽤前2012年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分。
答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。
如需改动.⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上⽆效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上⽆效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡⼀并交回。
第⼀卷⼀．选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给同的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
（1）已知集合A?{1,2,3,4,5},B?{(x,y)x?A,y?A,x?y?A}；,则B中所含元素的个数为（）(A)3 (B)6 (C)? (D)??【解析】选Dx?5,y?1,2,3,4，x?4,y?1,2,3，x?3,y?1,2，x?2,y?1共10个（2）将2名教师，4名学⽣分成2个⼩组，分别安排到甲、⼄两地参加社会实践活动，每个⼩组由1名教师和2名学⽣组成，不同的安排⽅案共有（）(A)12种 (B)10种 (C)?种 (D)?种【解析】选A12甲地由1名教师和2名学⽣：C2C4?12种（3）下⾯是关于复数z?2的四个命题：其中的真命题为（） ?1?ip1:z?2 p2:z2?2i p3:z的共轭复数为1?i p4:z的虚部为?1(A)p2,p3 (B) p1,p2 (C)p?,p? (D)p?,p?【解析】选C z?22(?1?i)1?i ?1?i(?1?i)(?1?i)p1:z?p2:z2?2i，p3:z的共轭复数为?1?i，p4:z的虚部为?1x2y23a（4）设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上⼀点，2abE的离⼼率为（） ?F2PF1是底⾓为30的等腰三⾓形，则12?(B) (C) 23?【解析】选C(A)(D)32c3? a4F2PF是底⾓为的等腰三⾓形?PF2?F2F1?2(a?c)?2c?e?301（5）已知?an为等⽐数列，a4?a7?2，a5a6??8，则a1?a10?（）(A)7 (B) 5 (C)?? (D)??【解析】选Da4?a7?2，a5a6?a4a7??8?a4?4,a7??2或a4??2,a7?4a4?4,a7??2?a1??8,a10?1?a1?a10??7a4??2,a7?4?a10??8,a1?1?a1?a10??7（6）如果执⾏右边的程序框图，输⼊正整数N(N?2)和实数a1,a2,...,an，输出A,B，则（） (A)A?B为a1,a2,...,an的和 (B)A?B为a1,a2,...,an的算术平均数 2(C)A和B分别是a1,a2,...,an中最⼤的数和最⼩的数 (D)A和B分别是a1,a2,...,an中最⼩的数和最⼤的数【解析】选C（7）如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某⼏何体的三视图，则此⼏何体的体积为（）(A)6 (B) 9 (C)?? (D)??【解析】选B该⼏何体是三棱锥，底⾯是俯视图，⾼为3 此⼏何体的体积为V?（8）等轴双曲线C的中⼼在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2?16x的准线交于A,B 两点，AB?C的实轴长为（）116?3?3?9 32(A)(B) (C)? (D)?【解析】选C设C:x2?y2?a2(a?0)交y2?16x的准线l:x??4于A(?B(?4,?得：a2?(?4)2?2?4?a?2?2a?4)在(,?)上单调递减。
数2--12真题答案
2012年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）B （4）D （5）D （6）D （7）C （8）B 二、填空题（9）1 （10）π4（11）0 （12）x （13）(1,0)− （14）27− 三、解答题（15）（Ⅰ）1a =.（Ⅱ）1k =. （16）(1,0)为极大值点,极大值为12e −.(1,0)−为极小值点,极小值为12e−−.（17）()22π2,e 13S V ==−. （18）1615. （19）（Ⅰ）()e xf x =.（Ⅱ）(0,0). （20）略.（21）（Ⅰ）略. （Ⅱ）1lim 2n n x →∞=. （22）（Ⅰ）41a −.（Ⅱ）当1a =时无解.当1a =−时,TT(1,1,1,1)(0,1,0,0)k =+−x ，k 为任意常数.（23）（Ⅰ）1a =−.（Ⅱ）正交变换矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q ，标准形222326f y y =+.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由题可知,22(1)1(1)(1)x x x x y x x x ++==−−+,故1lim ,x y →=∞所以1x =为垂直渐近线; 又由lim 1x y →∞=,故1y =为水平渐近线,无斜渐近线,故曲线渐近线的条数为2.（2）【答案】A.【解答】因为2100()(0)(e 1)(e 2)(e )(0)lim lim(1)(1)!x x nx n x x f x f n f n x x−→→−−−−'===−−，所以选A. （3）【答案】B.【解答】因为0(1,2,)n a n >=，所以数列{}n S 单调递增.如果{}n S 有界，由单调有界收敛准则知数列{}n S 极限存在，而1n n n a S S −=−，则1lim lim()0n n n n n a S S −→∞→∞=−=，即数列{}n a 收敛. 由此可知数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分条件. 反之，若{}n a 收敛，{}n S 未必收敛，例如，取1n a =(1,2,)n =，n S n =无上界，故选B. （4）【答案】D. 【解答】因为22π21πe sin d 0,x I I x x −=<⎰故21I I <；222π3π31π2πe sin d e sin d x x I I x x x x −=+⎰⎰22ππ(π)(2π)0esin d e sin d 0x x x x x x ++=−+>⎰⎰，故31I I >.所以选D.(5)【答案】D. 【解答】因为(,)0,f x y x∂>∂所以,固定y 值由12>x x 得1121(,)(,)>f x y f x y ，同理当(,)0,f x y y∂<∂固定x 值由12<y y 得2122(,)(,)>f x y f x y ,所以有答案D.（6）【答案】D.【解答】由二重积分的区域对称性可知π1552πsin 2(1)d d d (1)d πDxx y x y x x y y −−=−=−⎰⎰⎰⎰.(7)【答案】C.【解答】由已知可得134,,0,=ααα所以134,,ααα线性相关,选C. (8)【答案】B.【解答】1223123100(,,)(,,)110001Q ααααααα⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，故11100110001−−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ ，1100100100100100110110010110010001001002001002−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P AP ，所以选B.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】1.【解答】方程21e yx y −+=两边分别对x 求导，得d d 2e d d y y yx x x−= ①， 由0=x ，0=y ，得d 0d x yx==. 对①式两边再对x 求导，得22222d d d 2e e d d d y y y y y x x x ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， 由0=x ，0=y ，d 0d x yx==，得22d 1d x yx==.（10）【答案】π4. 【解答】2222111lim ()12n n n n n n →∞++++++122222*********πlim ...lim d 14121111n n n i x n n x n i n n n n →∞→∞=⎛⎫ ⎪ ⎪=++=== ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑⎰. （11）【答案】0. 【解答】因为1(ln ),z f x y =+所以211,z z f f x x y y ∂∂−''==⇒∂∂20z zx y x y∂∂+=∂∂.（12）【答案】x .【解答】由题知该方程可化为d 3d x xy y y+=,为一阶线性微分方程,带入公式求解可得 3xy y C =+,带入初始条件可得0C =,最终可得结果.（13）【答案】(1,0)−. 【解答】由曲率公式()3/221y k y ''='+，曲线方程代入公式可得.（14）【答案】27−.【解答】由初等矩阵的性质可知010100001B PA A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,所以,**27BA PAA ==−.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分） 解:（Ⅰ）0011sin lim 1lim 1sin sin x x x x x x x x x →→+−⎛⎫−=−=⎪⎝⎭,1a =.（Ⅱ）221000sin 1()sin sin sin lim lim lim sin k k k x x x x x xf x a x x x x x x x x x x x+→→→+−−−+−−== 22110001(sin )(1)1cos 2lim lim lim (2)(2)k k k x x x xx x x x x k x k x +++→→→−+−===++， 因为它们为同阶无穷小量，所以1k =.（16）（本题满分10分）解:()()22222221e0,e0x y x y ffx xy xy++−−∂∂=−==−=∂∂，可解得1,0.x y =⎧⎨=⎩或1,0.x y =−⎧⎨=⎩. 因为22222222222222222(3)e,(1)e ,(1)e xy x y x y f f f x x x y y x xyx y+++−−−∂∂∂=−=−=−∂∂∂∂，所以当1,0.x y =⎧⎨=⎩时,11222e ;0;e A B C −−=−==−.又因为20,0AC B A −><,所以(1,0)为极大值点,极大值为12e−.同理当1,0.x y =−⎧⎨=⎩时,验证可得其为极小值点,极小值为12e −−.（17）（本题满分12分）解:设切点(,)A a b ,切线方程斜率为k ，则1k a=,ln b a =,并且(0,1)与A 两点共线,直线方程为1b ka −=,由此解得221e ,2,ea b k ===.切线方程:211,e y x =+与x 轴交于B 坐标为(1,0),直线AB 的方程22:(1)e 1AB l y x =−−,则 区域D 的面积22e 2e2222112(1)2ln d ln e 1e 12e 1e 1D x x x S x x x x x ⎛⎫−−⎡⎤=−=−−=+−+= ⎪⎢⎥−−⎣⎦⎝⎭⎰区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积()()22e 22212(1)2ππln d e 1e 13x V x x ⎡⎤−⎛⎫=−=−⎢⎥⎪−⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰.（18）（本题满分10分）解:如图，利用极坐标计算，由cos ,sin .x r r r θθ=⎧⎨=⎩，得π1cos 0d d cos sin d Dxy r r r r θσθθθ+=⎰⎰⎰⎰π401sin cos (1cos )d 4θθθθ=+⎰ π401cos (1cos )d cos 4θθθ=−+⎰141116cos (1)d 415t t t t θ−=+=⎰.（19）（本题满分10分）解:（Ⅰ）由()()2()0,f x f x f x '''+−=可知特征方程为220λλ+−=,通解为yxO2πD1cos r θ=+212e e x x y C C −=+,将其带入方程()()2e f x f x ''+=,可得2122e 5e 2e x x x C C −+=， 121,0C C ==.所以()e x f x =.（Ⅱ）由220()()d xy f x f t t =−⎰,得22'2e e d 1,xxt y x t −=+⎰2222202e e d 4e e d 2xxxt xt y t x t x −−''=++⎰⎰,令0,0y x ''==,当0x >时，0y ''>；当0x <时，0y ''<. 所以(0,0)为其拐点.（20）（本题满分11分）证明：令21()ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+−−−<<−，则有()()f x f x =−，为偶函数.所以只需讨论0x >即可.()2211212()lnsin ln sin 11111x x x x f x x x x x x x x x x x +−+'=+−−=+−−−+−−−， ()()22422416(1)()cos 1,()sin 11x x f x x f x x x x −'''''=−−=+−−.当01x <<时，()0f x '''>，则()f x ''单调递增，且(0)2f ''=，所以()0f x ''>. 所以，当01x <<时，()f x '单调递增，且(0)0f '=，所以()f x 递增，且(0)0f =， 所以，当01x <<时，结论成立.同理，在10x −<<时，结论成立.（21）（本题满分11分） 解: （Ⅰ）令1()1,nn n F x x x x −=+++−则12()(1)21n n n F x nx n x x −−'=+−+++，所以该函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增.因为1111()102222n n n F =++−=−<, (1)10n F n =−>,所以有零点定理可知方程在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个实根.又函数单调,所以有且仅有一个实根. （Ⅱ）先证明单调性.()()11111111(1)(1)00n n n n n n n n n n n n n n n n F x F x x x x x x x x −−++++++−=++−−++−=+>,而函数()n F x 单调,所以1n n x x +>,所以数列{}n x 单调递减.又1,12n x ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以数列是有界的.因此数列收敛,且lim 0n n n x →∞=.所以由1(1)1101nn n n n n nn nx x x xx x −−++−=−=−,两端取极限可得1lim 2n n x →∞=.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）4221(1)(1)A =−=−+a a a ；（Ⅱ）由题可知当0A =时，解得1=a 或1=−a .当1a =时，增广矩阵作初等变换得，()1100101101|0011000002⎛⎫⎪−⎪→ ⎪⎪−⎝⎭A β，()()|r r <A A β，故方程组无解；当1a =−时，增广矩阵作初等变换得，()1001001011|0011000000−⎛⎫⎪−−⎪→ ⎪− ⎪⎝⎭A β，()()|3r r <=A A β，方程组有解，并可求得通解为T T (1,1,1,1)(0,1,0,0)x =+−k ，其中k 为任意常数.（23）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由二次型的秩为2,知T()2r =A A ,故()2r =A ，对A 作初等变换，1011010110111000101000a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→⎪ ⎪−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ，可得1a =−.（Ⅱ）当1a =−时，得T202022224⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A .()()T 2020*******λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭E A A ，可得T A A 的特征值1230,2,6λλλ===.当10λ=时，解方程组T(0)−E A A x =0，得相应的特征向量()T11,1,1=−α；当22λ=时，解方程组T(2)−E A A x =0，得相应的特征向量()T21,1,0=−α；当36λ=时，解方程组T(6)−E A A x =0，得相应的特征向量()T31,1,2=α.因为特征值各不相等，所以特征向量相互正交，故只需单位化，得()T111,1,13=−β，()T 211,1,02=−β，()T 311,1,26=β.于是得到正交矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q . 在正交变换=x Qy 下，二次型的标准型为222326f y y =+.。
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的微分方程，解得������(������) = ������������������ + 1；
(2)
������������ ������������
=
2������−������′������(������,������)∙������������+������(1+������)−������′������(������,������)∙���1��� ������′������(������,������)∙������������������+������+������′������(������,������)∙���1���−2������
(2)证明存在������0 ∈ (0,1)，使得������(������0)是������(������)在[0,1]内的唯一最小值.
答案：������(������) = 1 − ������ + ������2 (3 − ������������������) , ������ ∈ (0,1]；证明详见课堂讲解.
4
2
21.(本题满分 11 分)若有数列{������������}由如下条件确定，������1 = 1, ������������+1 =
sin(������������������������������������������������) , ������ = 1,2, ⋯.
(1)证明数列{������������
1
max
0≤������<+∞
������(������)
≤
(2������
+
2)(2������
+
3)
答案：详见配课.
18.(本题满分 10 分)设函数������(������)在(0, +∞)上连续，������(1) = 1，且满足
������������
������
������
∫ ������(������)������������ = ������ ∫ ������(������)������������ + ������ ∫ ������(������)������������(������ > 0, ������ > 0)
⇒
���
������2
−
������
−
������ −������
+
������2(������(0)
=
0,
������2
=
1)
故������(������) = 1 ������2 − ������ − ������−������ + 1.
2
16.( 本题 满 分 10 分 )设 函数������(������) = 3 ������2 − 2������ + ������������������ + 1 (������ > 0), ������ =
+
������2 ������−������3
=
0
(A)没有根
(B)正好有 1 个根
(C)正好有 2 个根
(D)正好有 3 个根
答案：C.
2.设������(������)连续，且满足������(������)
+
2
∫0������
������(������)������������
=
������2
1
1
4
������ ∫
0
������(������������)������������ = 2 ������������(������) + ������3
则������(������) = _________.
1
答案：4������3 + ������������.
13.若������(������) = (������ + 1)2������������������������，则������(100)(0) = ________.
2
2
20.(本题满分 11 分)设函数
������(������) = ∬|������������ − ������|������������, ������ ∈ [0,1]
������
其中D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}. (1)求������(������)的初等函数表达式；
狮子数学 16 届学员排位考试 12 数学二
一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
1.设常数������������
>
0(������
=
1,2,3), ������1
>
������2
>
������3
，则方程 ������1
������−������1
+
������2 ������−������2
������1, ������2的切点分别为
(A)(−1,2)和(1, −2)
(B)(1,4)和(−1, −2)
(C)(−1,2)和(−1, −2)
(D)(−1,2)和(1,4)
答案：B.
6.设函数������(������)是初值问题{������′
−
������������������������2������ − ������ ������(0) = 0
19.( 本 题 满 分
10
分
)
设
函
数
������(������)
=
∫0������
������������������������|������������
������ ������
|������������
，
求
高
阶
导
数
������(������)(������), n = 1,2, ⋯.
答案：������(������)(������) = ������������������������ (������ + ������������) − ������������������������ (������ + ������������) , ������ = 1,2, ⋯.
=
0
(������为常数)的解，则
(A)0 是������(������)的极小值点
(B)0 是������(������)的极大值点
(C)0 不是������(������)的极值点
(D)0 是否是������(������)的极值点与������取值有关
答案：A.
7.若P, Q均为n阶方阵，且������2 = ������, ������2 = ������.又E − (P + Q)非奇异，则
(A)r(P) < r(Q)
(B)r(P) > r(Q)
(C)r(P) = r(Q)
(D) r(P), r(Q)无法比较
答案：C.
8.设A为m阶正定矩阵，B是m × n矩阵，则r(B) = n是矩阵������������������������正定
的
(A)充分而非必要条件
(B)必要而非充分条件
(C)充分必要条件
答 案 ： (1)������ = 35 ；������ = 257 ； (2) 最大 值 M = 22329 + ������������ 257 , ������ = 335 +
6
6
4
6
8
������������ 35.
6
17.(本题满分 10 分)设������(������) = ∫0������(������ − ������2)������������������2������������������������，其中������ ≥ 0, ������为正整 数，试证明：
答案：-200.
������ ������ ������ ������
14. 设A = [������������
������ ������
������ ������
������������]，矩阵������∗是矩阵������的伴随矩阵，若r(������∗) = 1，
������ ������ ������ ������
������������ 1+������2
(������
>
0)，则������(������)
(A)0
(B)������
(C)������������������������������������������
(D)2������������������������������������������
+
1，则������(������)
2
(A)存在极小值1 ������������2
2
(C)存在极小值1
2
(B)存在极大值-1 ������������2 2
(D)存在极大值-1 2
答案：A.
3.设������(������)
=
∫0������
������������ 1+������2
+
1
∫0������
(D)既非充分也非必要条件
答案：C.
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
9.数列{((11+−������������))32}的最小项的项数n = _________.
答案：5.
10. 设 不 定 积
分∫
������2+������������+2 (������+1)(������2+1)