奥赛辅导第三讲动力学一般问题与特殊问题

第三讲动力学一般问题与特殊问题一、知识点击1．惯性系与牛顿运动定律⑴惯性系：牛顿运动定律成立的参考系称为惯性参考系．地球参考系可以很好地近似视为惯性参考系一切相对地面静止或匀速直线运动的参考系均可视为惯性参考系．⑵牛顿运动定律牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止．牛顿第一定律也称为惯性定律．牛顿第二定律：物体的加速度与其所受外力的合力成正比，与物体的质量成反比，其方向与合外力的方向相同．即F ma．常作正交分解成：F x=ma x F y=ma y F z=ma z牛顿第三定律：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一直线上．2．联结体所谓“联结体”就是一个系统内有若干个物体，它们的运动情况和受力情况都一种关系联系起来．若联结体内（即系统内）各物体只有相同的加速度时应先把这联结体当成一个整体（看成一个质点）．分析这类问题的一般方法是：（l）将系统中的每个物体隔离开来分别进行受力分析；（2）对每个物体用牛顿第二、三定律列方程，有的物体可以列互为正交方向上的两个方程；（3）根据具体情况确定各物体的运动特征量般（如速度、加速度）之间的关系．在解决联结体问题时确定齐物体加速度之间的关系是｝分币要的．3．非惯性系牛顿第一、二定律只适用十某一类参考系、这类参考系叫惯性系．比如地面就是一个相当好的惯性系，太阳是一个非常好的惯性系，一般我们认为，相对地面没有加速度的参考系，都可视为惯性系，相对地而有加速度的参考系，都可视为非惯性系．在非惯性系中，为了使牛顿第一、二定律在形式上仍然成立，我们可以给每个物体加上一个惯性力F 0．F 0的大小为ma 0（m 为研究的物体，a 0为所选参考系相对地而的加速度）， F 0的方向和a 0的方向相反．如果取一个转动的参考系，则要加上惯性离心力F 0=m ω2 R 。

惯性力是一个假想的力，完全是为了使牛顿第一、二定律在非惯性系中也能成立而人为地想象出来的，实际上并不存在．惯性力不存在施力物体，也没有反作用力．惯性力从其性质上来说，也是一个保守力，所以在有些场合也会讨论惯性力的势能．3．质心运动问题质心是物体质量中心，由几个质点组成的质点系，若这几个质点所在的位置分别是(x 1，y 1，z 1）、(x 2，y 2，z 2)……则系统的质心位置为i i i i m xx m =∑∑ i i i i m y y m =∑∑ i i i i m z z m =∑∑二、方法演练类型一、牛顿第二定律是动力学的核心，特别是质点系的牛顿第二定律解题时应用起来特别灵活多变，是解决复杂的动力学问题的主要手段。

例1．如图3—1所示，车厢B 底面放一个物体A ，已知它们的质量m A =20 kg ，m B =30 kg ，在水平力F ＝120 N 作用下，B 由静止开始运动，2s 内移动5 m ，不计地面摩擦，求A 在B 内移动的距离．分析和解：本题中由于不计地面摩擦，系统的和外力就 为F ，而在和外力作用下，系统内A 、B 都要产生加速度，故须应用质点系的牛顿第二定律求解。

对整体（质点系）利用牛顿第二定律有F=m A a A +m B a B ，即 120=20a A +30a B又212B S a t =，5/2B a m s =，9/4A a m s = 21 4.52A A S a t m == 即5 4.50.5AB S m m m =-=例2．一绳跨过装在天花板上的滑轮，绳的一端吊一质量为M 的物体，另一端挂一载人梯子，人的质量为m ，系统处于平衡状态，不计摩擦及滑轮与绳的质量，如图3—2所示，要使天花板受力为零，试求人应该如何运动． 分析和解：本题中要天花板受力为零，意味着质点系（整体）质心的加 速度为g ，竖直向下，处于完全失重状态．因运动前系统处于平衡状态，所以梯子的质量为M-m 。

由题意知，M 向下的加速度为g ，而梯子与人的质心向下的加速度也应为g ，才能使天花板受力为零．利用质点系的牛顿第二定律有1c i i i Ma m a ==∑()Mg M m g ma =--+（取向下为正）(21)M a g m=-（方向向下） 类型二、联结体的动力学问题是一类常见的问题，解题时除应考虑用整体法和隔离法外，还要特别注意是杆系、绳系速度、加速度的关联的类别以及物系内各物体之间是否存在相对速度和相对加速度．例3．绳EF 一端系于轻杆AB 中间，如图3—3所示，一端固定在天花板上，轻杆两端各有一质量为m 的小球，并通过AC 、BC 两绳系住一质量为M 的小球C ，不计绳的质量及绳的体积且AC=BC=AB ，求剪断BC 绳的瞬间，EF 绳的张力T 。

分析和解：本题首先是一个联结体的问题，物体系通过杆、绳连结，受力比较复杂，但同时还是一个力的瞬时性问题，连结的杆绳一发生状态或连结情况的变化，所受力立即发生变化，物系的加速度也将发生瞬时性变化。

设正三角形ABC 边长为l ，剪断BC 绳瞬间AC 绳张力为T 。

如图3—4， A 球的加速度可分解为水平方向x a 及竖直方向y a ．注意到剪断BC 瞬间T EF 方向竖直向上。

2cos x ma T θ=22()sin 22l l m T αθ⋅=⋅ 2y l a α=⋅ 由以上三式得：cos 2x T a m θ=，sin 2y T a mθ= 对于C ，设其沿绳方向加速度为0a ，则有0sin Ma Mg T θ=-，0sin T a g Mθ=- 又 剪断BC 后，AC 绳仍绷紧，且A 、C 无相对转动，所以A 、C 在沿绳方向加速度相等，即0cos sin x y a a a θθ=+将0a 、x a 、y a ，值代人上式，解得2sin 2mM T g m Mθ=+ 对于T EF ，考虑AB 杆，注意到其在EF 绳限制下质心无竖直方向加速度．(87)2sin 2(2)EF m m M T mg T g m M θ+=+=+ 例4．如图3—5所示，装有滑轮的桌子，质量m 1=15kg 。

桌子可以无摩擦地沿水平面上滑动，桌子上放质量m 2=10 kg 的重物A ，重物A 与桌面间的摩擦因数μ=0.6，当绕过滑轮的绳受到F=78.4 N 的水平拉力时，求：（1）桌的加速度；（2）当拉力沿竖直方向时，桌的加速度．分析和解：本题为联结体问题，但本题的关键是重物与桌面间是否发生相对运动，解题时要先通过计算作出判断，才能最后确定列式解题的依据。

（1）当拉力为水平方向时，桌子在水平方向受到三个力作用：上滑轮的绳子拉力F '，水平向左；下滑轮绳子的拉力F ，水平向右；重物对桌的摩擦力f ，水平向右．由牛顿第二定律，得11F f F m a '+-=式中1a 为桌子加速度．重物A 水平方向受到的力有：绳的拉力F ，摩擦力f 。

当max 2f f m g μ==时，重物开始沿桌面运动，这时，对重物A ，有max 21F f m a ->；由桌子受力情况，可求出max 11f a m =， 于是得max max 21f F f m m >+ 进一步求出221(1)m F mg m μ>+。

代人有关数字，得F>98N而实际作用绳上的力仅为78.4 N 。

因此，重物并未沿桌面滑动，重物随桌子一起以同一加速度运动．21278.4 3.14/1510F a m s m m ==≈++ (2)当拉力沿竖直向上方向时，只有在重物沿桌面滑动情况下，桌子才可能沿水平地面运动（当重物静止时，在水平方向它所受的上滑轮绳子拉力与静摩擦力大小相等、方向相反．这样一来，也使桌子所受绳子拉力与静摩擦力恰好平衡）．为此，作用于绳的拉力不得小于重物与桌面间的最大静摩擦力．在所讨论的情况下满足这一条件．桌子水平方向受两个力作用：上滑轮绳子拉力，方向向左；重物对桌面的摩擦力，方向向右．因为max F f >，所以桌子将向左作加速运动．2max 2111.31/F f F m g a m s m m μ--==≈ 类型三、非惯性系的问题在正常的高中物理学习中是不牵涉到的内容，但在解题时利用了参考系的变换，在选择的参考系为非惯性参考系时注意引如惯性力可以是问题得到最大程度的简化。

例5．如图3—6所示，质点A 沿半圆弧槽B 由静止开始下滑，已知B 的质量为M ，质点的质量为m ，槽的半径为R 且光滑，而槽与地面的接触面也是光滑的，试求质点A 下滑到任意位置θ角时B 对A 的作用力．分析和解：由于槽与地面的接触面是光滑的，质点A 沿半圆弧槽B 下滑时槽B 必然后退，如果要求的是状态量，可以考虑动量和能量的观点来解题，但如果要求的是瞬时量，则常规的解题方法会有很大的困难，利用了参考系的变换，在以B 为参考系时注意引入惯性力．是解决这类问题的基本方法。

设M 的加速度向左，大小为a ，有cos F Ma θ= ①对m 以B 为参考系，其相对B 的速度为u ，且必定与圆弧相切．2cos sin u F ma mg m Rθθ+-= ② 根据动量与能量守恒，并设M 的速度为υ，同时注意m 的速度u 应转换为对地速度．(s i n )M m u υθυ=- ③(水平方向动量守恒）22211sin (2sin )22mgR M m u u θυυυθ=++- ④ 由以上①②③④式可解得222sin (32cos )(cos )Mmg M m m F M m θθθ++=+ 例6．半径为r=9.81 cm 的空心球形器皿，内部有一个不大的物体，围绕穿过对称中心的竖直轴旋转．在角速度ω1=5 rad/s 时，物体在平衡状态对器壁的压力为N 1=10-2N.在平衡状态，物体在什么角速度ω2下对器壁的压力N 2＝4×10-2N?物体和器壁内表面的摩擦可忽略不计．重力加速度为g=9．81 m/s 2．分析和解：此处的平衡状态是对旋转参考系（非惯性系）而言的．图3—7上示出了钵和位于A 点的物体．0点表示球面的中心，所研讨的钵就是这个球的一部分．转动轴是用过0点的竖直断续直线表示的，研究平衡状态，较为方便的是利用半径OA 和竖直方向的夹角α．显然，02πα≤≤ 。

在旋转的非惯性系中，这个不大的物体处于平衡状态，作用在该物体上的重力（mg ）和惯性离心力（2sin m r ωα）的合力，必须和钵的表面垂直，或者说必须沿半径OA 的方向作用．假若我们用ω表示钵与物体的共同角速度，则在平衡状态，从图3一7可知22sin sin tan r r r m r r mg gωαωαα== 由上式得21sin ()0cos r r r gωαα-= 式中r α为平衡状态角α的值．从此式可知有两种情况：1）sin 0r α=，即0r α=．这个解是始终存在的．物体那时停止钵底上．它对钵壁的压力N=mg ．2）2cos r grαω=，即2arccos r g r αω= 这个解只有在21g r ω≤，或者说gr ωω≥=ωgr 的数值可以算出，为10 rad/s.题中给出的ω1＜ωgr ．这意味着物体开始停在钵底．因此它的重量（力）为N 1，质量为1N m g=。