4立体几何部分及解答

立体几何部分一|知识要点（一）、角度的求法1、两条异面直线所成的角⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ 方法：通过平移化异面为共面，再解三角形可得； 2、直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πα 方法：直线与直线在平面上的射影所成的角3、平面与平面所成的角[]πβ,0∈ 方法一：定义法方法二：射影法：θcos ⋅=原影S S 方法三：三垂线定理法：“作一连一” 方法四：向量法||||cos 2121→→→→⋅∙=n n n n β（其中→1n ，→2n 分别为两个平面的法向量）（二）、距离的求法 1、两点距离),,(111z y x A ，),,(222z y x B , 则212212212)()()(||z z y y x x AB -+-+-=2、点到平面的距离（1）定义法：一作；二证；三求解。

（2）转化法：面面距→线面距→点面距。

（3）等积法：求体积→换底→等积→求距离。

即：PBC A ABC P V V --= （4）向量法：||||→→→∙=n AP n d （→n 为平面α的一个法向量，αα∈∉P A ,,d 为A 到α的距离）二、解答题训练1、在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AD CD ⊥，4=AD ，2==CD BC ，E 、P 分别为AD 、CD 的中点（如图1），将ABE ∆沿BE 折起，使二面角C BE A --为直二面角（如图2）. （Ⅰ）设M 为线段AE 的中点，证明PM ∥平面ABC ；（Ⅱ）若H 为线段AB 上的动点，当PH 与平面ABE 所成的角最大时，求二面角E PC H --的余弦值. 解法一：（Ⅰ）因为M 为线段AE 的中点，取EB 的中点N ，连接PN ，MN ，则MN ∥BA ，PN //CB ， 所以平面PMN //平面ABC ， ……………3分 因为PM 在平面PMN 内，所以PM ∥平面ABC ．………………5分（Ⅱ）连接NH PH ，，可知ABE PN 平面⊥，所以PH 与平面ABE 所成角为PHN ∠， 又tan PNPHN NH∠=，2=PN ，所以当NH AB ⊥时，PH 与平面ABE 所成角最大，……7分可得BH =，……………8分过H 做EB HR ⊥交EB 于R ，则BCDE HR 平面⊥，且21==HR BR ， 过R 做RG CD ⊥垂足为G ，连接HG ，则HG CD ⊥，所以HGR ∠为二面角H PC E --的平面角，………………10分 所以在直角HRG ∆中1tan 4HR HGR RG ∠==，所以cos HGR ∠=所以二面角H PC E --的余弦值为17． 解法二：（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0A ,()1,0,0M ,()0,1,2P ,()0,2,0B()0,2,2C ,AB 中点()1,1,0F ,所以()2,1,1PM =--,()0,0,2=,()2,2,0-=,()1,1,0= 可知0=∙,0=∙,⊥∴平面ABC ,…………3分 又0=∙PM EF ,//PM ∴平面ABC .……………5分 (Ⅱ) 可知P ( 2， 1，0 )，A(0，0，2)，E （0，0，0），B （0，2，0）， 设)(z y x H ，，，则()2,2,0-=，)2(z y x ，，-=，设λ=，则得)2220(λλ，，-H ， 所以)2212(λλ，，--=，因为点P 到平面ABE 的距离为定值2，……………7分 所以当PH 最小时PH 与平面ABE 所成角最大，此时⊥，即0=∙，得41=λ， 所以)21230(，，H ，所以)21210(，，-=，…………………8分 设平面PCH 的一个法向量为000()x y z =，，n ，(0)PC =，1，0,(2)22PH =-11，，则由0PC ⋅=n ，0PH ⋅=n ,可得00;1120.22y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，则1(2)2=，0，n ， 平面PBE 的一个法向量为()2,0,0=，…………………10分 设二面角H PC E --的大小为θ，则417cos EA EAθ∙==∙n n ……………………12分 2、如图所示，已知圆O 的直径AB 长度为4，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且BC =． 点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD BD =． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求D 与平面PBC 的距离. 解：（Ⅰ）连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点，又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，BC =知，60CAB ∠=， ∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．………（3∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥，………………………………………………（5分） 由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB …………（6分）（注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．）第2题图（Ⅱ）设D 与平面PBC 的距离为DH由（Ⅰ）可知CD =，3PD DB ==，∴111113333232P BDC BDC V S PD DB DC PD -∆=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=8分）又PB ==PC ==BC =∴PBC ∆为等腰三角形，则122PBC S ∆=⨯=． …………………（10分）由P BDC D PBC V V --=得，553=DH ………………………………………………（12分）3、如图3，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，1PA AB ==，PD 与平面ABCD 所成角是30°， 点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动． （Ⅰ）证明：PE AF ⊥；（Ⅱ）当点E 是BC 的中点时，求多面体PADEF 的体积． 解：（Ⅰ）证明：如图1，PA ABCD BE ABCD ⊥⊂平面，平面， EB PA ∴⊥．又EB AB AB AP A ⊥=，，AB AP PAB ⊂，平面，EB PAB ∴⊥平面，又AF PAB ⊂平面， AF BE ∴⊥. ……………………（3分） 又1PA AB ==，点F 是PB 的中点，,AF PB ∴⊥ PB BE B PB BE PBE =⊂又，，平面， AF PBE ∴⊥平面.PE PBE AF PE ⊂∴⊥平面，. ………………………（6分）（Ⅱ）解：方法一：PD 与平面ABCD 所成角是030，AD ∴=ABCD 是矩形，1PA AB ==，多面体PAD EF 的体积P ADE E PAF V V V --=+， ………………………………………（8分）P ADE -的高1h PA ==，底面ADE的面积1112S =⨯111133P ADE V V S h -∴====E PAF -的高12h BC '==PAF 的面积21111=2224PAB S S =⨯=△，……（10分）2111334E PAF V V S h -'∴===⨯=故多面体PAD EF 的体积P ADE E PAF V V V --=+=+=12分） 方法二：PD 与平面ABCD 所成角是30°，AD ∴=ABCD 是矩形，1PA AB ==，多面体PAD EF 的体积P ABCD P DCE F ABE V V V V ---=--， …………………………………（8分） P DCE -的高1h PA ==，底面DCE的面积1112S =⨯=，111133P DCE V V S h -∴====．PAB ABCD ⊥平面平面，又点F 是PB 的中点，E 是BC 的中点，F ABE ∴-的高1122h PA '==，底面AEB的面积2112S =⨯=，…………（10分）2111332F ABE V V S h -'∴====113P ABCD V -==，故多面体PAD EF 的体积为D A C EFPP ABCD P DCE F ABE V V V V ---=--=--=． ……………………………（12分） 4、如图4，已知,AA BB ''为圆柱OO '的母线，BC 是底面圆O 的直径，,D E 分别是AA CB ','的中点．（I ）求证：//DE 平面ABC ；（II ）若DE ⊥平面B BC '，且BB BC '=，求 二面角A B C B '-'-的余弦值． 解：（I ）连接,OE OA .因为,O E 分别为,BC B C '的中点所以//OE BB '且12OE BB ='又//AD BB '且12AD BB =' 所以//AD OE 且AD OE =所以四边形ADEO 是平行四边形………………………………………4' 所以//AO DE又DE ⊄平面ABC ,AO ⊂平面ABC ,故//DE 平面ABC . ………………………（6分） （II ）由题知：DE ⊥平面B BC '所以AO ⊥平面B BC '，即有AO BC ⊥ 故AB AC =又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥，且A A AC '⊥分别以,,AB AC AA '所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系设BB BC '==2,则(0,0,2),A B C B O '' 设(,,)n x y z =为平面A B C ''的法向量，则由0n A B ⋅''=且0n A C ⋅'=得020z =-=，取1z =，则y =所以(0,2,1)n =；又由题意可知：AO 为平面B BC '的一个法向量所以3cos ,||||n AO n AO n AO ⋅<>==由图可知：二面角A B CB '-'-为钝角，所以二面角A B C B '-'-的余弦值为12分）5、如图5，在长主形ABCD 中，2,1==BC AB ，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿直线BE 翻折成BE A '，使平面⊥BE A '平面BCDE ，F 为C A '的中点。

（Ⅰ）求证：//DF 平面BE A '；（Ⅱ）求直线C A '与平面BCDE 所成角的正切值。

解析：（Ⅰ）证明：如图4，取A B '的中点G，连接FG ，EG ． F、G 分别是A C A B ''、的中点，FG ∴12BC ，又DE 12BC ，FG ∴DE ，∴四边形DEGF 为平行四边形， ∴DF EG ∥，又DF A BE EG A BE ''⊄⊂平面，平面，∴DF A BE '∥平面．………（6分）xy图5（Ⅱ）解：取BE 的中点H ，连接A H HC '，，则AHBE '⊥， A BE BCDE A BE BCDE BE A H BCDE '''⊥=∴⊥又平面平面，平面平面，平面， A CH A C BCDE ''∴∠为与平面所成角，在△BCH中，由余弦定理得22252222CH =+-=⎝⎭，CH =得A H '=又tan A H A CH CH ''∴∠==．……………………………………………（12分）6、如图5，如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：//AF 平面PEC ； （Ⅱ）若PD 与平面ABCD 所成角为o60，且4,2==AB AD ，求点A 到平面PED 的距离 解：【法一】（I ）证明：如图，取PC 的中点O ，连接,OF OE ．由已知得//OF DC 且12OF DC =，又E 是AB 的中点，则//OF AE 且OF AE =，AEOF ∴是平行四边形，∴//AF OE又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC//AF ∴平面PEC …………………………（6分） （II ）设A 平面PED 的距离为d ， 【法一】：因PA ⊥平面ABCD ，故PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成角，所以oPDA 60=∠，所以3260tan ==oAD PA ，460cos ==oADPD ，又因4=AB ，E 是AB 的中点所以2=AE ，422=+=AE PA PE ，2222=+=AE DA DE ．作DE PH ⊥于H ，因22,4===DE PE PD ，则14,222=-==DH PD PH DH ，…………………………………………9'则221=⋅⨯=∆AE AD S ADE ，7221=⋅⨯=∆DE PH S PDE因PDE A AED P V V --=所以721272232=⨯=⋅=∆∆PDE ADE S S PA d ……………………………………………… 12' 【法二】因PA ⊥平面ABCD ，故PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成角，所以oPDA 60=∠，所以3260tan ==oAD PA ，460cos ==oAD PD ，又因4=AB ，E 是AB 的中点所以AD AE ==2，422=+=AE PA PE ，2222=+=AE DA DE ．作DE PH ⊥于H ，连结AH ，因4==PE PD ，则H 为DE 的中点，故DE AH ⊥所以⊥DE 平面PAH ，所以平面⊥PDE 平面PAH ，作PH AG ⊥于G ，则⊥AG 平面PDE ，所以线段AG 的长为A 平面PED 的距离。