立体几何4作业 - 实验

在
C1 中，因为 1C
2
， C
1， 1
1，所以 C1
4
，
从而直线
1C
与
AA1
所成的角的大小为
4
．
【解】（I）延长 AB ，交直线 CD 于点 M ， ∵ E 为 AD 中点， ∴ AE ED= 1 AD ， 2 ∵ BC CD= 1 AD ， 2 ∴ ED BC ， ∵ AD / /BC 即 ED / /BC ， ∴四边形 BCDE 为平行四边形， BE / /CD
长为
2 3
，
A1B1
长为
3
，其中
B1 与 C
在平面
AA1O1O
的同侧。
A1 B1
A
C
（1）求三棱锥 C O1A1B1 的体积； （2）求异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小。
【解析】
河北衡水中学2020届高三数学二轮复习（实验）作业 组编：蒯彦 校对：杨晓瑞 审核：陈丽敏 学号：
姓名：
3
【解析】（Ⅰ）证明：找到 AD 中点 I ，连结 FI ，
∥
∵矩形 OBEF ,∴ EF OB ∵ G 、 I 是中点，∴ GI 是∥ ABD 的中位线 ∴ GI∥ BD 且 GI 1 BD
2 ∵ O 是正方形 ABCD 中心 ∴ OB 1 BD
2 ∴ EF ∥GI 且 EF = GI ∴四边形 EFIG 是平行四边形
E G
所以 MH// 平面 ABC ；
所以平面 GHM// 平面 ABC ，
A
由 GH 平面 GHM ，所以 GH// 平面 ABC ．
(Ⅱ) 连结 OB ， AB BC OA OB
E
以为 O 原点，分别以 OA,OB,OO 为 x, y,z 轴，
建立空间直角坐标系．
EF FB 1 AC 2 3 , AB BC ， 2
BAD 90 ，四边形 CC1D1D 为矩形，已知
AB BC1 ， AD 4 ， AB 2 ， BC 1.
C1
A
（Ⅰ）求证： BC1 // 平面 ADD1 ；
D
（Ⅱ）若 DD1 2 ，求平面 AC1D1 与平面 ADD1
B
C
所成的锐二面角的余弦值；并求多面体
ABCC1D1D 的体积；
河北衡水中学2020届高三数学二轮复习（实验）作业 组编：蒯彦 校对：杨晓瑞 审核：陈丽敏 学号：
A x
F
H C
B
z
O
F
，
C
O
B
y
OO BF 2 (BO FO)2 3 ，
于是有 A(2 3,0,0) ， C(-2 3,0,0) ， B(0,2 3,0) ， F(0, 3,3) ，
3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形 AA1O1O （及其内部）绕的 OO1
旋转一周形成圆柱，如图，
AC
姓名：
日期：
∵ PD 面 PAD
∴ AB PD
又 PD PA
∴ PD 面 PAB
z
⑵取 AD 中点为 O ，连结 CO ， PO
P
∵ CD AC 5
1、（2016年北京高考）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，
PA PD ， PA PD ， AB AD ，
n1
EF
x
，y，，z， 0
2 0 2y 0
n1 CF x ，y，，z， 2 0 2 2x 2z 0
x 2
得：
y
0
z
1
∴ n1 2 ，0，1
∵ OC 面 OEF ，
∴面 OEF 的法向量 n2 1，0， 0
cos n1 ，n2
n1 n2
n1 n2
学号：
姓名：
日期：
∴ EG∥ FI ∵ FI 面 ADF ∴ EG∥ 面 ADF （Ⅱ） O EF C 正弦值 解：如图所示建立空间直角坐标系 O xyz
z E
F
H
xC
B
G
O
A I
Dy
B 0，， 2 0 ， C 2 ，0， 0 ， E 0，， 2 2 ， F 0，0， 2
设面 CEF 的法向量 n1 x ，y， z
河北衡水中学2020届高三数学二轮复习（实验）作业 组编：蒯彦 校对：杨晓瑞
2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'
的直径，FB是圆台的一条母线.
（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（II）已知EF=FB= 1 AC= 2 2
3 ，AB=BC.求二面角 F BC A 的余弦值.
审核：陈丽敏 学号：
姓名：
日期：
可得平面 FBC 中的向量 BF (0,- 3,3) ， CB (2 3,2 3,0) ,
于是得平面 FBC 的一个法向量为 n1 ( 3, 3,1) ，
又平面 ABC 的一个法向量为 n2 (0,0,1) ，
， ∵ AB CD M ， ∴ M CD ， ∴ CM / /BE ， ∵ BE 面 PBE ， ∴ CM / / 面 PBE ， ∵ M AB ， AB 面 PAB ， ∴ M 面 PAB 故在面 PAB 上可找到一点 M 使得 CM / / 面 PBE .
（II）过 A 作 AF EC 交 EC 于点 F ，连结 PF ，过 A 作 AG PF 交 PF 于点 G ， ∵∠PAB 90 ， PA 与 CD 所成角为 90 ， ∴ PA AB ， PA CD ， ∵ AB CD=M ，
6、（2016年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，
AF=2FD， AFD 90 ，且二面角D - AF - E与二面角C - BE - F都是 60 ．
（I）证明：平面ABEF 平面EFDC；
（II）求二面角E - BC - A的余弦值．
7.图，四边形 ABCD 是梯形， AD//BC ， D1
日期：
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高 h 1 ，底面半径 r 1．
确定 A111
3
．计算 S1A11 后即得.
（2）设过点 1 的母线与下底面交于点 ，根据 1 //AA1 ，知 C1 或其补角为直线 1C
与
AA1
所成的角．确定 C
3
，
C
1．得出
C1
4
．
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高 h 1 ，底面半径 r 1．
VC1A11
1 3 S1A11
h
3 12
．
（2）设过点 1 的母线与下底面交于点 ，则 1 //AA1 ，
所以 C1 或其补角为直线 1C 与 AA1 所成的角．
由 AC 长为 2 ，可知 AC 2 ，
3
3
又 A
A111
3
，所以 C
3
，
从而 C 为等边三角形，得 C 1．
因为 1 平面 AC ，所以 1 C ．
河北衡水中学2020届高三数学二轮复习（实验）作业 组编：蒯彦
∴四边形 BCDE 是正方形， ∴∠BEC 45 ， ∴∠A∠EF = BEC 45 ，
∵∠AFE 90 ，
∴ AF = 2 AE ， 2
∴ tan∠APF = AF =
2 AD 4
2，
AP AP 4
∴ sin∠APF = 1 . 3
姓名：
日期：
5、（2016年天津高考）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形O BEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2. （I）求证：EG∥平面ADF； （II）求二面角O-EF-C的正弦值；
2
（III）设H为线段AF上的点，且AH=
3
HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
设二面角 F - BC - A 为 ，
则 cos n1 n2 1
7
．
n1 n2
77
【解】(Ⅰ)连结 FC ，取 FC 的中点 M ，连结 GM, HM ，
二面角 F - BC - A 的余弦值为
7
．
7
因为 GM//EF ， EF 在上底面内， GM 不在上底面内，
所以 GM// 上底面，所以 GM// 平面 ABC ； 又因为 MH//BC ， BC 平面 ABC ， MH 平面 ABC ，
AP 由（2）知
A0,1,
0
，
P
0,
0,1
，
AP
0,
1,1
，
B
1,1,
0
，
AM
0,
y
'
1,
z
'
有 AM AP M 0,1 ,
∴ BM 1, ,
∵ BM∥面 PCD ， n 为 PCD 的法向量
∴ BM n 0
即1 0 2
∴= 1 4
∴综上，存在 M 点，即当 AM 1 时， M 点即为所求. AP 4
设n
为面
PDC
的法向量，令
n
( x0，y0
,1)
n n
PD PC
0 0
n
1 2
，
1,1
，则
PB
与面
PCD
夹角
有
sin cos n, PB
n PB
n PB
1 11 2
3
1 11 3 3
4
⑶假设存在 M 点使得 BM∥面 PCD
设 AM ， M 0, y ', z '
2
6
3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
sin n1 ，n2