新课标高中数学必修3第二章知识点总结
第二章 统计
1.简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本()n N ≤，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
2.简单随机抽样的特点：①被抽取样本的总体个数较少；②从总体中逐个地抽取；③不放回抽取；④每一次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等（即等可能性）。
从而保证了抽样方法的公平性。
3.两种简单随机抽样方法：①抽签法（抓阄法）；②随机数法
4.随机数法步骤：①编号；②随机确定开始数字；③从选定的数开始读数；④根据号码得到样本。
5.系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。
6分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样。
7.三种抽样方法的比较：
1.两种估计方式：①用样本的频率分布估计总体的分布；②用样本的数字特征估计总体的数字特征。
2.分析数据的两种基本方法：①作图②画表格
3.频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距
，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面
积表示。
各小长方形的面积的总和等于1【=⨯=频率小长方形的面积组距频率组距
】。
4.茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好。
它不但可以保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况，给数据的记录和表示都带来了方便。
5.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
7.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
6.平均数：如果有n 个数12,,,n x x x ，那么12,,,n
x x x x n
=叫做这n 个数的平均数。
7.用频率分布直方图估计中位数和平均数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
8.标准差：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示。
(n s x x =
+
+-例：若1238,,,
,a a a a 的方差为3，则()()()()123823,23,23,23a a a a ----的方差为
9.方差：从数学的角度考虑，有时用标准差的平方2s ——方差代替标准差，作为测量样本数据分散程度
的工具。
()()
()
()
222
22
12111n n i
i s x x x x x x x x n n =⎡
⎤=
-+-++-=-⎢
⎥⎣⎦∑
三、变量间的相关关系
1.相关关系：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。
2.正相关与负相关：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系成为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系成为负相关。
3.回归直线方程：回归直线方程为^
y bx a =+。
其中：b 是回归方程的斜率；a 是截距。
()()()
1
12
2
2
1
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x nx a y bx
====---=
=
--=-∑∑∑∑。
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高二数学必修三人教版第二章知识点：统计
数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。
为大家推荐了高二数学必修三人教版第二章知识点，请大家仔细阅读，希望你喜欢。
2.1.1简单随机抽样
1.总体和样本
在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体.
把每个研究对象叫做个体.
把总体中个体的总数叫做总体容量.
为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：
研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.
2.简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随
机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样
1。
高中数学必修3知识点总结
高中数学必修3知识点总结高中数学必修3知识点总结高中数学必修3知识点第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：2.算法的特点:(1)有限性；(2)确定性；(3)顺序性与正确性；(4)不唯一性；(5)普遍性；1.1.2程序框图（一）构成程序框的图形符号及其作用（二）、演算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。
2、条件结构：条件结构是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。
依据条件P是否成立而选择执行A框或B框。
无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。
一个预判判断结构可以有三十多个判断框。
3、循环结构：在一些算法中，经常会发生从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。
1.2.1输入、输出语句和赋值语句AB1、输入语句一般格式Input“提示内容”；变量Print“提示内容”；表达式2、输出语句：一般格式3、赋值语句（1）赋值语句的一般格式变量＝表达式（2）赋值语句的作用是将表达式所积极作用代表者的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中所的等号的意义是不同的。
赋值号的左右两边不必对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号右边的变量；（4）赋值语句名号左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以真值十多次赋值。
1．2．2条件语句1、条件语句的一般格式：IF语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。
if表达式语句序列1；else语句序列2；图1图2否满足条件？是语句1语句2end必修三IF语句的最简单格式为图3，对应的程序框图为图4。
1．2．3循环语句循环结构是由循环语句来实现的。
新课标数学必修3知识点总结
第一章 算法初步一，算法与程序框图1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。
4，三种程序框图（1）顺序结构：略 （2）条件结构：略（3）循环结构：直到型循环结构，当型循环结构。
注意：一个完整的循环结构，应该包括三个内容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。
二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式）1，输入语句2，输出语句3，赋值语句 注意：“=”的含义是赋值，将右边的值赋予左边的变量4，条件语句5，循环语句： 直到型 当型注意：提示内容用双引号标明，并与变量用分号隔开。
三，算法案例1，辗转相除法： 例：求２１４６与１８１３的最大公约数２１４６＝１８１３×１＋３３３ １８１３＝３３３×５＋１４８ ３３３＝１４８×２＋３７ １４８＝３７×４＋０ ．．．．．．．．．．．．．．余数为０时计算终止。
为最大公约数2，更相减损术：略3，秦九韶算法：将1110()nn n n f x a x a xa x a --=++++ 改写成1210()(()))n n n f x a x a x a x a x a --=+++++ 再由内及外逐层计算。
4，进位制：注意K 进制与十进制的互化。
1）例：将三进制数(3)10212化为十进制数 43210(3)1021213032313238101832104=?????++++=2）例：将十进制数１０４化为三进制数 １０４＝３×３４＋２ ．．．．．．． 最先出现的余数是三进制数的最右一位 ３４＝３×１１＋１ １１＝３×３＋２ ３＝３×１＋０１＝３×０＋１ ．．．．．．．．．．．． 商数为0时计算终止()310410212\=强化训练：1， 对赋值语句的描述正确的是 （ ）①可以给变量提供初值 ②将表达式的值赋给变量 ③可以给一个变量重复赋值 ④不能给同一变量重复赋值 A ． ①②③ B ．①② C ．②③④ D ．①②④ 2，用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）A ． 3B ．9C ．17D ．513，用秦九韶算法求n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，当0x x =求)(0x f 需要算乘方、乘法、加法的次数分别为_______,_______,________ 4 ，阅读右面的流程图，若输入的a 、b 、c 分别是21、32、75，则输出的a 、b 、分别是_______,_______,________5，将不同进制的数进行转化：)6(210=(10)____ ，(3)21____=6，如图所示，右边程序运行后输出的结果为_________ 7，如图所示算法，则输出的i 值为 8，若a=7,b=6,如图程序运行结果是9．设计程序语句，要求输入自变量x 的值，输出函数2250()003x x f x x x x ì->ïïï==íïï+<ïïî的值。
高中数学必修3第二章知识点总结及练习
高中数学必修3知识点总结第二章统计2.1.1简单随机抽样1．总体和样本：在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。
4．抽签法:（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
2.1.2系统抽样1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究*******************************************************************************变量相关的规则分布。
可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
高中数学必修三第二章《随机抽样》2.3.1变量之间的相关关系-2.3.2两个变量的线性相关
跟踪训练1 下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计表，判断两者是 否具有相关关系，求线性回归方程有意义吗？ 解答
年平均气温(℃) 12.51 12.74 12.64 13.69 13.33 12.84 13.05 年降雨量(mm) 748 542 507 813 574 701 432
命题角度2 函数关系与相关关系的区别与联系 例2 下列关系中，是相关关系的是__②__④____. 答案 解析 ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
命题角度1 判断两个变量的相关性 例1 为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所 得数据如下：
质量(g)
5
10
15
20
25
30
弹簧长度(cm) 7.25 8.12 8.95 9.90 10.90 11.80
判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关. 解答
反思与感悟
在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散 点图，可以作出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变 量之间的关系，即变量之间具有函数关系； (2)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关 关系； (3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，那么这两个变量之间不 具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的.
梳理 回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直附线近 ， 就 称 这两个变量之间具有 线性相关关系，这条直线叫做回归直线. (2)线性回归方程：对回应归的直方线程叫做回归直线的方程，简称回归方程.
高三数学必修三第二单元的知识点解析
高三数学必修三第二单元的知识点解析在学习上我们要作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。
建好错题档案，做好查漏补缺。
以下是小编给大家整理的高三数学必修三第二单元的知识点解析，希望大家能够喜欢!高三数学必修三第二单元的知识点解析11.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0.24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。
高三数学必修三知识点总结归纳
高三数学必修三知识点总结归纳【导语】数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
高考数学在高考中占据着重要的地位，需要我们认真学习。
以下是《高三数学必修三知识点总结归纳》，希望能够帮助到大家。
1.高三数学必修三知识点总结归纳篇一圆与圆的位置关系：外离、相切(内切和外切)、相交、内含。
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆与圆的位置关系的判断方法一、设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
1、d>R+r两圆外离;两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r两圆外切;两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r两圆内切;两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
二、圆和圆的位置关系，还可用有无公共点来判断：1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
3、有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
2.高三数学必修三知识点总结归纳篇二1、直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°2、直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
3.高三数学必修三知识点总结归纳篇三第一章：三角函数。
考试必考题。
诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行，难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位、初相，及根据最值计算A、B的值和周期，及恒等变化时图像及性质的变化，这一知识点内容较多，需要多花时间，首先要记忆，其次要多做题强化练习，只要能踏踏实实去做，也不难掌握，毕竟不存在理解上的难度。
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高中数学必修3知识点总结第二章统计2.1.1简单随机抽样1．总体和样本：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。
4．抽签法:（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
2.1.2系统抽样1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。
可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。
因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。
更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
高中数学必修3第二章 2.2.2
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征.知识点一 众数、中位数、平均数思考 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大.梳理 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数.知识点二 方差、标准差 标准差、方差的概念及计算公式(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)标准差的平方s 2叫做方差.s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数).(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近.s ＝0时，每一组样本数据均为x . 知识拓展：平均数、方差公式的推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a . (2)设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则 a .s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]； b .数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2； c .数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.1.中位数是一组数据中间的数.( × )2.众数是一组数据中出现次数最多的数.(√)3.一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近.(√)类型一众数、中位数、平均数的应用命题角度1众数、中位数、平均数的计算例1某公司的各层人员及工资数构成如下：人员：经理1人，周工资22 000元；高层管理人员6人，周工资均为1 800元；高级技工5人，周工资均为1 500元；工人10人，周工资均为1 000元；学徒1人，周工资为500元.(1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数；(2)这个问题中，平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？考点众数、平均数、中位数的综合题点具体数据中的众数、平均数、中位数解(1)众数为1 000，中位数为1 500，平均数为22 000×1＋1 800×6＋1 500×5＋1 000×10＋500×1≈2 209.1＋6＋5＋10＋1(2)虽然平均数为2 209，但由给出的数据可见，只有经理的周工资在平均数以上，其余的都在平均数以下，故用平均数不能客观地反映该公司的工资水平.反思与感悟(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量.(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题.(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中.(4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.(5)因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数. 考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m).答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m. 命题角度2 用频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 例2 已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：分组 频数 频率 [121,123) [123,125) [125,127) [127,129) [129,131] 合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 考点 众数、平均数、中位数的综合题点 频率分布直方图中的众数、平均数、中位数 解 (1)频率分布表如下：分组 频数 频率 [121,123) 2 0.10 [123,125) 3 0.15 [125,127) 8 0.40 [127,129)40.20[129,131] 3 0.15 合计201.00(2)频率分布直方图如下：(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×58＝126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x ＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3， 平均数的精确值为x ＝125.75.反思与感悟 (1)利用频率分布直方图估计数字特征 ①众数是最高的矩形的底边中点的横坐标； ②中位数左右两侧直方图的面积相等；③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致.跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.考点 众数、平均数、中位数的综合题点 频率分布直方图中的众数、平均数、中位数 解 众数＝39.99＋40.012＝40；中位数为39.99＋0.225＝39.998；四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1, 0.02×10＝0.2, 0.02×25＝0.5, 0.02×10＝0.2. 平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.类型二 标准差、方差的应用例3 计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1). 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差解 ①x ＝90＋18[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋18×0＝90；②计算x i －x (i ＝1,2，…，8)，得各数据为－1,3，－2,1,4,0，－2，－3； ③计算(x i －x )2(i ＝1,2，…，8)，得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9； ④计算方差：s 2＝18(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝448＝5.5；⑤计算标准差：s ＝ 5.5≈2.3.所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小. (2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散. (3)若样本数据都相等，则s ＝0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的.跟踪训练3 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差 解 x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100； x乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100； s 2甲＝17[[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2] ＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2] ＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)≈228.57.所以s2甲＜s2乙，故甲车间产品较稳定.1.某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.23考点中位数题点求茎叶图中的中位数答案 B解析由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.2.设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若y i＝x i＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为()A.1＋a,4B.1＋a,4＋aC.1,4D.1,4＋a考点平均数题点由两组数的关系求平均数和方差答案 A解析∵x1，x2，…，x10的平均数x＝1，方差s21＝4，且y i＝x i＋a(i＝1,2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的平均数y＝110·(y1＋y2＋…＋y10)＝110·(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝110·(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝x＋a＝1＋a，其方差s22＝110·[(y1－y)2＋(y2－y)2＋…＋(y10－y)2]＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝s21＝4.故选A.3.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是()A.73.3,75B.73.3,80C.70,70D.70,75考点 中位数题点 求频率分布直方图中的中位数 答案 A解析 由图可知小于70的有24人，大于80的有18人，则在[70,80)之间的有18人，所以中位数落在[70,80)这组内，且为70＋103≈73.3；众数就是频率分布直方图中最高的矩形底边中点的横坐标，即70＋802＝75.4.若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________. 考点 方差与标准差 题点 求标准差 答案 16解析 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ，则s ＝8， 可知数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为2s ＝16. 5.某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下： 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. 考点 平均数与方差的综合应用 题点 利用定义求平均数与方差解 (1)这10个学生体重数据的平均数为x ＝110×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71. 这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72， ∴这10个学生体重数据的中位数为71＋722＝71.5.这10个学生体重数据的方差为 s 2＝110×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，这10个学生体重数据的标准差为s ＝s 2＝11.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为11.1.标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.3.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.一、选择题1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数，众数，中位数分别为( ) A.85分，85分，85分 B.87分，85分，86分 C.87分，85分，85分D.87分，85分，90分考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 答案 C解析 平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋7510＝87，众数为85，中位数为85，故选C.2.某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：次品数0123 4频率0.50.20.050.20.05则次品数的平均数为()A.1.1B.3C.1.5D.2考点平均数题点由表或图估计平均数答案 A解析设数据x i出现的频率为p i(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，x n的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1，故选A.3.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为()A.65 B.65C.2D. 2 考点方差与标准差题点求方差与标准差答案 D解析∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，∴a＋65＝1，解得a＝－1.则样本的方差s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为 2.故选D.4.某省农科所经过5年对甲、乙两棉种的实验研究，将连续5年棉花产量(千克/亩)的统计数据用茎叶图表示，如图所示，则平均产量较高与产量较稳定的分别是()A.甲棉种；甲棉种B.乙棉种；甲棉种C.甲棉种；乙棉种D.乙棉种；乙棉种考点用样本数字特征估计总体数字特征题点平均数与方差的综合应用答案 C解析根据茎叶图的数据知，甲棉种产量为68,69,70,71,72；乙棉种产量为68,68,69,69,71.∴甲棉种的平均值x 甲＝15×(68＋69＋70＋71＋72)＝70； 乙棉种的平均值x乙＝15×(68＋68＋69＋69＋71)＝69. 甲的方差s 2甲＝15×[(68－70)2＋(69－70)2＋(70－70)2＋(71－70)2＋(72－70)2]＝2， 乙的方差s 2乙＝15×[(68－69)2＋(68－69)2＋(69－69)2＋(69－69)2＋(71－69)2]＝1.2. ∴甲棉种平均产量较高，乙棉种产量较稳定.故选C.5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为( )A.62,62.5B.65,62C.65,62.5D.62.5,62.5考点 众数、中位数的综合应用 题点 频率分布直方图中的众数、中位数 答案 C解析 ∵最高的矩形为第三个矩形， ∴时速的众数的估计值为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4. ∵0.5－0.4＝0.1，0.10.4×10＝2.5，∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.故选C.6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞a ＞bD.c ＞b ＞a 考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 答案 D解析 由已知得a ＝110×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，b ＝12×(15＋15)＝15，c ＝17，∴c ＞b ＞a .故选D. 7.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x ，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x －y |的值为( ) A.15 B.16 C.17 D.18 考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 答案 D解析 由题意得，x ＋y ＋105＋109＋1105＝108，① (x －108)2＋(y －108)2＋9＋1＋45＝35.2，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝99，y ＝117，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝99，所以|x －y |＝18.故选D.8.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6D.62.8,3.6考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 答案 D解析 每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变.9.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲＜x 乙；乙比甲成绩稳定B.x 甲＞x 乙；甲比乙成绩稳定C.x 甲＞x 乙；乙比甲成绩稳定D.x 甲＜x 乙；甲比乙成绩稳定 考点 平均数与方差的综合应用题点 平均数和方差在决策中的意义 答案 A解析 甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95， 所以x 甲＝15×(78＋77＋72＋86＋92)＝81， x乙＝15×(78＋82＋88＋91＋95)＝86.8. 所以x 甲＜x 乙，从叶在茎上的分布情况来看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定.二、填空题10.一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，则此组数据的标准差是________. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差 答案 2 2解析 ∵一组数据2，x,4,6,10的平均数是5， ∴2＋x ＋4＋6＋10＝5×5，解得x ＝3，∴此组数据的方差s 2＝15×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝8，∴此组数据的标准差s ＝2 2.11.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a ＝________；甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是________.考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数和方差在决策中的意义 答案 5 甲组解析 由题意可知75＋88＋89＋98＋90＋a5＝76＋85＋89＋98＋975＝89，解得a ＝5.因为s 2甲＝15×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝3145，s 2乙＝15×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝3305， 所以s 2甲＜s 2乙，故成绩相对整齐的是甲组.12.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________.考点 平均数与方差的综合应用 题点 求平均数与方差 答案 5743解析 ∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5， ∴4＋x 2＝5，∴x ＝6.∴这组数据的平均数是－1＋0＋4＋6＋7＋146＝5，这组数据的方差是16×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝743.三、解答题13.现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？ 考点 用样本的数字特征估计总体的数字特征的综合应用 题点 众数、平均数、中位数的综合应用解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5， 故直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数为220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，得a ＝224， 即月平均用电量的中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)内的有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量在[240,260)内的有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量在[260,280)内的有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280,300]内的有0.002 5×20×100＝5(户)，抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取25×15＝5(户).四、探究与拓展14.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x A ＞x B ，s A ＞s BB.x A ＜x B ，s A ＞s BC.x A ＞x B ，s A ＜s BD.x A ＜x B ，s A ＜s B考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差的综合应用 答案 B解析 由题图知，A 组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10；B 组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10， 所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝254，x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝353.显然x A ＜x B .又由图形可知，B 组数据的分布比A 组的均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A ＞s B .15.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示.现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时.考点平均数题点由表或图估计平均数答案50 1 015解析由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件).由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时).。
高中数学必修知识点总结：第二章_直线与平面的位置关系
第二章直线与平面的位置关系1. 三个公理：<1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理1作用：判断直线是否在平面内<2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理2作用：确定一个平面的依据。
<3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
3.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
4.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补5.注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；b5E2RGbCAP② 两条异面直线所成的角θ∈(0， >；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
6.直线与平面有三种位置关系：<1）直线在平面内——有无数个公共点<2）直线与平面相交——有且只有一个公共点<3）直线在平面平行——没有公共点7.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
8.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
9.定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
10.定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。