傅里叶级数
傅里叶级数公式傅里叶级数展开傅里叶级数收敛性的计算公式
傅里叶级数公式傅里叶级数展开傅里叶级数收敛性的计算公式傅里叶级数公式的计算公式提供了一种将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的和的方法。
这种表示方法在信号处理、图像处理等领域具有重要应用。
在本文中，将详细介绍傅里叶级数展开和收敛性的计算公式。
一、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是将周期为T的函数f(t)表示为一组三角函数的和。
傅里叶级数展开的计算公式如下：f(t) = a0 + Σ (an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))，其中a0、an和bn分别为系数，ω为角频率，n为正整数。
根据这个公式，我们可以将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开的关键是计算系数a0、an和bn，这里不再赘述具体的推导过程。
二、傅里叶级数收敛性的计算公式傅里叶级数的收敛性是指在何种条件下，傅里叶级数能够无限接近原函数f(t)。
傅里叶级数的收敛性可以通过计算系数a0、an和bn来确定。
1. 正弦级数的收敛性对于奇函数，即满足f(-t)=-f(t)的函数，其傅里叶级数只包含正弦函数。
对于奇函数f(t)，其傅里叶级数的计算公式为：f(t) = Σ (bn*sin(nωt))，其中bn的计算公式为：bn = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)*sin(nωt)} dt。
当函数f(t)满足一定的条件时，傅里叶级数对奇函数收敛。
这些条件包括函数f(t)在一个周期内有有限个有界不连续点，并且在这些点上的左右极限存在。
2. 余弦级数的收敛性对于偶函数，即满足f(-t)=f(t)的函数，其傅里叶级数只包含余弦函数。
对于偶函数f(t)，其傅里叶级数的计算公式为：f(t) = a0/2 + Σ (an*cos(nωt))，其中a0和an的计算公式为：a0 = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)} dt，an = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)*cos(nωt)} dt。
同样地，当函数f(t)满足一定的条件时，傅里叶级数对偶函数收敛。
傅里叶级数
− 2
n
T 2
= bn ∫ T sin nωt d t
2
− 2
T 2
2 即 bn = T
T = bn 2
∫
T 2
T − 2
fT ( t )sin nω t d t
最后可得:
a0 fT (t) = + ∑(an cos mωt + bn sin nωt) (1.1) 2 n=1 T 2 2 其 中 a0 = ∫ T fT (t) dt T −2 T 2 2 an = ∫T fT (t) cos nωt dt (n =1,2,L ) T −2 T 2 2 bn = ∫T fT (t) sin nωt dt (n =1,2,L ) T −2
1= 12 dt = T ∫T
− 2 T 2 T 2 T 2
1+ cos 2nωt T cos nωt = ∫T cos nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
2
1− cos 2nωt T sin nωt = ∫T sin nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
T 2
f4 (t) =
n=−∞
∑ f (t + 4n),
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = ω= T 4 2 2
f4(t)
−1
T=4
1
3
t
则
1 T 2 − jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt T −2 1 2 1 1 − jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt T −2 T −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn = e = e −e −Tjωn Tjωn −1 2 sinωn 1 = ⋅ Sa(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L ) T =4 = T ωn 2
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
什么是傅里叶傅里叶级数和傅里叶变换,并说明两者的区别与联系
什么是傅里叶级数和傅里叶变换,两者的区别与联系傅里叶级数和傅里叶变换都是将信号从时域转换到频域的数学工具。
傅里叶级数：傅里叶级数是针对周期函数的，它用一组正交函数将周期信号表示出来。
具体来说，所有周期信号都可以分解为不同频率的各次谐波分量。
这意味着周期波都可分解为n次谐波之和。
傅里叶变换：傅里叶变换则是用来处理非周期函数的，它可以用一组正交函数将非周期信号表示出来。
与傅里叶级数不同的是，非周期信号可以看作不同频率的余弦分量叠加，其中频率分量可以是从0到无穷大任意频率，而不是像傅里叶级数一样由离散的频率分量组成。
傅里叶级数和傅里叶变换都是数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
但它们之间存在明显的区别和联系：1. 本质不同：傅里叶级数是周期信号的另一种时域表达方式，可以看作是正交级数，即不同频率的波形的叠加。
而傅里叶变换是完全的频域分析，它可以将非周期信号转换为频域表示。
简而言之，傅里叶级数是用一组正交函数将周期信号表示出来，而傅里叶变换是用一组正交函数将非周期信号表示出来。
2. 适用范围不同：傅里叶级数主要适用于对周期性现象做数学上的分析。
而傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。
3. 周期性不同：傅里叶级数是一种周期变换，它以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开。
而傅里叶变换是一种非周期变换，它可以将非周期信号转换为频域表示。
4. 联系：傅里叶级数可以视作傅里叶变换的特例。
当周期信号的周期趋于无穷大时，傅里叶级数可以取极限得到傅里叶变换。
此外，无论是傅里叶级数还是傅里叶变换，都是为了将信号从时域转到频域。
傅里叶级数和傅里叶变换都是强大的数学工具，用于分析和处理信号，但它们的应用范围和性质有所不同。
傅里叶数的定义式
傅里叶数的定义式
傅里叶级数是一种非常重要的数学概念，它能准确描述事物的细微特征，一般
用来表达平滑的自变量函数。
傅里叶数，是指任意一个实函数f(x)，当它可以展
开成一系列正弦函数和余弦函数的无穷级数形式，即
f(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k \cos kx+b_k\sin kx \right),
称为这个函数的Fourier级数。
a_0为常数项，a_k和b_k称为系数，用来表
示正弦函数和余弦函数的幅度，k称为频率，表示周期的数量。
它不仅能准确的表
示出一个函数及它的特征，而且具有十分优美的美学感受。
傅里叶级数的准确度在各个研究领域都有着广泛的运用，在科学技术上准确性、廉价性、可靠性和多领域性都是值得它被广泛使用的补充。
比如经典力学1中引入了不惯性系统的分析和计算，2亚贝拉计算可以通过傅里叶级数来实现，有着重要
的创新意义；从基本物理装潢到地理、几何图形等，甚至医学诊断都是它的可实现的应用场景。
此外，傅立叶级数的可容纳量大，内容全面，支持大幅度计算，准确率高，可以作为大量、复杂功能的基础性计算工具。
总之，傅里叶级数是一种重要的数学概念，无论从准确性、廉价性、可靠性和
多领域性来讲，它都可以作为一种用于研究各种函数的表征。
它的实用性已经被成功的应用在科学计算领域，推荐给更多的读者快速和有效的理解、掌握傅里叶级数，发展自己的专业特长，让这种数学概念在我们的实践中实现更大的潜力。
傅里叶级数
∫πcos nxdx = 0,
π
π
∫πsin nxdx = 0,
π
( n = 1,2,3,L)
0, m ≠ n ∫ πsin mx sin nxdx = π, m = n, 0, m ≠ n ∫ πcos mx cos nxdx = π, m = n,
π
∫π
π
sin mx cos nxdx = 0.
右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于 右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于f(x)?
f ( x)在 a, b]光滑: f ′( x )在[a , b]连续. [ 光滑: 连续. f ( x)在 a, b]按段光滑: [ 按段光滑:
f ( x )在[a , b]有定义,且至多有有限 个第一类 有定义, 间断点, 间断点, f ′( x )在 [a , b] 除有限个点外有定义且 连续,在这有限个点上 f ′( x ) 左右极限存在. 左右极限存在. 连续,
第, 古今往来,众多数学家一直在寻找用简单函数较好 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 在微积分发明之前,这个问题一直没有本质上的 在微积分发明之前, 突破. 突破. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数.
π π
1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx π
( n = 1,2,3,L)
f(x)的傅里叶系数 的傅里叶系数
1 π ) an = π ∫π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π 1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 或 2 bn = 1 π f ( x)sin nxdx, (n = 1,2,L ) ∫0 π
傅里叶级数
2. 三角级数的一般形式
一般的三角级数为
取 1, 由于
A A i n ( n x ) 0 ns n
n 1
s i n c o s n x c o s s i n n x s i n ( n x ) n n n
a0 设 A0 , 2
A s i n a , A c o s b n n n n n n
最简单的周期运动，可用正弦函数
y A s i n ( x )
( 1 )
来描写。 由(1)所表达的周期运动称为简谐振动
初 相 角 , 其 中 A 振 幅 , 角 频 率 ,
简谐振动(1)的周期为
2 T
对于较为复杂的周期运动，常可以用几个 简谐振动
f ( x )cos nxdx ，
1
n0,1,2,
f ( x )sin nxdx
1
， n 1 , 2 ,
2. Fourier系数和Fourier级数 Euler―Fourier公式：
如 f 是以2 为周期 的函数 , 则
可换为
c 2
c
设函数 f ( x ) 在区间[ , ] 上可积，称公式
1 , s i n k x sinkxdx 0 ,
k 1 , 2 , ;
k , h 1 , 2 ,
s i n k x c o s h x d x s i n, k x c o s h x 1 s i n ( kh ) x s i n ( kh ) x d x 0, 2
傅里叶级数的定理
傅里叶级数的定理傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数的级数展开形式的数学工具。
它是由法国数学家傅里叶在18世纪提出的，被广泛应用于物理学、工程学和信号处理等领域。
傅里叶级数的定理提供了一种将任意周期函数分解为正弦和余弦函数的方法，使得我们可以更好地理解和分析周期性的现象。
傅里叶级数的定理可以简单地表述为：任意一个周期为T的函数f(x)可以表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，即f(x) = a0 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中an和bn是傅里叶系数，表示了函数f(x)中各个频率分量的振幅，ω=2π/T是角频率。
a0是直流分量，对应于频率为0的分量。
傅里叶级数的定理是基于正交函数的思想而来。
正交函数是指在某个区间上两两内积为0的函数。
在傅里叶级数中，正弦和余弦函数是互相正交的，因此可以通过内积运算来确定各个傅里叶系数的值。
傅里叶级数的定理在实际应用中具有重要意义。
首先，它可以将复杂的周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，使得我们能够更好地理解函数的频域特性。
其次，傅里叶级数的定理为信号处理提供了一种便捷的方法，可以对信号进行频谱分析和滤波处理。
此外，傅里叶级数还被广泛应用于图像处理、音频处理和通信系统等领域。
傅里叶级数的定理具有一些重要的性质。
首先，对于一个具有奇对称性或偶对称性的函数，其傅里叶级数只包含正弦函数或余弦函数。
其次，傅里叶级数的收敛性得到了严格的数学证明，即对于一个光滑的函数，其傅里叶级数可以收敛到原函数。
此外，傅里叶级数还满足线性性质，即两个函数的傅里叶级数之和等于它们的傅里叶级数之和。
傅里叶级数的定理虽然强大，但也有一些限制。
首先，傅里叶级数只适用于周期函数，对于非周期函数需要进行适当的处理才能使用傅里叶级数展开。
其次，傅里叶级数的展开系数需要通过积分计算，对于一些复杂的函数可能无法得到解析解，需要使用数值方法进行近似计算。
傅里叶级数的定理为我们理解和分析周期函数提供了一种有效的工具。
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第八节 傅里叶级数内容分布图示★ 引 言★ 引 例 ★ 三角函数系的正交性★ 傅里叶级数的概念★ 狄利克雷收敛定理 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 非周期函数的周期延拓★ 例4 ★ 利用傅氏展开式求数项级数的和★ 正弦级数与余弦级数★ 例5 ★ 例6★ 函数的奇延拓与偶延拓★ 例7 ★ 例8★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题11-8★ 返回讲解注意：一、三角级数 三角函数系的正交性早在18世纪中叶，丹尼尔. 伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和. 这一事实用数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为T )/2(ωπ=的函数)(t f ，都可用一系列以T 为周期的正弦函数所组成的级数来表示，即∑∞=++=10)sin()(n n n t n A A t f ϕω (8.1)其中n n A A ϕ,,0),3,2,1( =n 都是常数.十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数. 虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念. 傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的. 而且，这种影响至今还在发展之中. 这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果.二、函数展开成傅里叶级数傅里叶系数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰--).,3,2,1(,sin )(1),,2,1,0(,cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ππππππ (8.5) 将这些系数代入(8.4)式的右端，所得的三角级数 ∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a (8.6)称为函数)(x f 的傅里叶级数.定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件） 设)(x f 是周期为π2的周期函数. 如果)(x f 满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点. 则)(x f 的傅里叶级数收敛，并且(1) 当x 是)(x f 的连续点时, 级数收敛于)(x f ；(2) 当x 是)(x f 的间断点时, 收敛于2)0()0(++-x f x f .狄利克雷收敛定理告诉我们：只要函数)(x f 在区间],[ππ-上至多只有有限个的第一类间断点，并且不作无限次振动，则函数)(x f 的傅里叶级数在函数的连续点处收敛于到该点的函数值，在函数的间断点处收敛于该点处的函数的左极限与右极限的算术平均值. 由此可见，函数展开成傅里叶级数的条件要比函数展开成幂级数的条件低得多.三、周期延拓：在区间),[ππ-或],(ππ-外补充)(x f 的定义，使它拓广成一个周期为π2的周期函数)(x F ，这种拓广函数定义域的方法称为周期延拓.四、正弦级数与余弦级数：一般地, 一个函数的傅里叶级数既含有正弦项, 又含有余弦项（例2），但是, 也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项（例1）或者只含有常数项和余弦项（例4），导致这种现象的原因与所给函数的奇偶性有关。
即：奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数.偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数.五、奇延拓与偶延拓奇延拓 令⎪⎩⎪⎨⎧<<---=≤<=0),(0,00),()(x x f x x x f x F ππ 则)(x F 是定义在],(ππ-上的奇函数，将)(x F 在],(ππ-上展开成傅里叶级数，所得级数必是正弦级数. 再限制x 在],0(π上，就得到)(x f 的正弦级数展开式.偶延拓 令⎩⎨⎧<<--≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ 则)(x F 是定义在],(ππ-上的偶函数，将)(x F 在],(ππ-上展开成傅里叶级数，所得级数必是余弦级数. 再限制x 在],0(π上，就得到)(x f 的余弦级数展开式.例题选讲：函数展开成傅里叶级数例1（讲义例1）将以π2为周期的函数 ⎩⎨⎧<≤<≤--=,0,1,0,1)(ππt t t u 展开成傅里叶级数.注：如果将本例中的函数)(t u 理解为矩形波的波形函数，则)(t u 的展开式表明：矩形波是由一系列不同频率的正弦波的叠加而成的.例2（讲义例2）设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=.0,0,0,)(ππx x x x f试将函数)(x f 展开成傅立叶级数.例3（讲义例3）设)(x f 是周期为π2为周期函数，它在],(ππ-的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<--=.0,1,0,1)(2ππx x x x f试写出)(x f 的傅立叶级数展开式在区间],(ππ-上的和函数)(x s 的表达式.周期延拓例4（讲义例4）将函数 ⎩⎨⎧≤≤<≤--=ππx x x x x f 0,0,)( 展开成傅里叶级数.正弦级数与余弦级数例5（讲义例5）试将函数x x f =)()(ππ≤≤-x 展开成傅里叶级数.例6（讲义例6）将函数2)(x x f =)(ππ≤≤-x 展开成傅里叶级数.奇延拓与偶延拓例7（讲义例7）将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.例8（讲义例8）应当如何把给定在区间()2,0π内满足狄利克雷收敛定理且连续的函数)(x f 延拓到区间),(ππ-内, 而使它的傅里叶级数展开式为∑∞=--=112.)12cos()(n n x n a x f ππ<<-x ，2,0π±≠x课堂练习1.若函数),()(x x ψϕ=-问: )(x ϕ与)(x ψ的傅里叶系数n a 、n b 与),2,1,0(, =n n n βα之间有何关系？2. 设函数2)(x x f = ),10(<≤x 而)(x f 傅里叶级数为,,s i n 1+∞<<-∞∑∞=x nx b n n 其中),,2,1(sin )(210 ==⎰n nxdx x f b n )(x s 为此傅里叶级数的和，求.21⎪⎭⎫ ⎝⎛-s狄利克雷（Dirichlet, Peter Gustav Lejeune ，1805~1859）狄利克雷(德国数学家，1805年2月13日生于德国迪伦；1859年5月5日卒于格丁根。
狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以C.F.高斯（Gauss ）为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期。
狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与C.G .J.雅强比(Jacobi)齐名的德国数学界的一位核心人物。
狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长。
狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自攒零钱购买数学图书。
1817年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好；人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生。
两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾从师物理学家G .欧姆(Ohm)，学到了必要的物理学基础知识。
16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业。
当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如时星的数学家，诸如P .S.拉普拉斯、A.勒让德等。
1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读。
1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文，题为“某些五次不定方程的不可解”。
他利用代数数论方法讨论形如555.z A y x =+的方程。
几周后，勒让德利用该文中的方法证明了z y x ''=''+''当5=n 时无整数解；狄利克雷本人不久也独立证明了同一结论。
1825年11月，法伊将军去。
1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A.洪堡的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格，后升任编外教授（介于正式教授和讲师之间的职称）。
1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院。
同年，他又被聘为柏林大学编外教授（后升为正式教授），开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯。
由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善诱，培养了一批优秀数学家，对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响。
1831年，狄利克雷成为柏林科学院院士。
1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继续任到格丁根大学任教。
与在柏林繁重的教学任务相比，他很欣赏在格丁根有更多自由支配的时间从事研究。
可惜美景不长，1858年夏他去世瑞士蒙特勒开会，作纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病。
狄利克雷虽平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞。
傅里叶（Fourier,Jean Baptiste Joseph ，1768~1830）傅里叶，法国数学家，1768的3月21日生于法国奥塞尔；1830年5月16日卒于巴黎。
傅里叶出身平民，父亲是位裁缝。
9岁时双亲亡故，以后由教会送入镇上的军校就读，表现出对数学的特殊爱好。
他还有志于参加炮兵或工程兵，但因家庭地位低贫而遭拒绝。
后来希望到巴黎在更优越的环境下追求他有兴趣的研究。
可是法国大革命中断了他的计划，于1789年回到家乡奥塞尔的母校执教。
在大革命时期，傅里叶以热心地方事务而知名，并因替当时恐怖行为的受害者申辩而被捕入狱。
出狱后，他曾就读于巴黎师范学校，虽为期甚短，其数学才华却给人以深刻印象。
1795年，当巴黎综合工科学校成立时，即被任命为助教。
这一年他还讽刺地被当作罗伯斯庇尔的支持者而被捕，经同事营救获释。
1989年，蒙日选派他跟随破仑远征埃及。
在开罗，他担任埃及研究院的秘书，并从事许多外交活动。
但同时他仍不断地进行个人的业余研究，即数学物理方面的研究。
1801年回到法国后，傅里叶希望继续执教于巴黎综合工科学术，但因拿仑常识他的行政才能，任命他为伊泽尔地区首府格勒诺布尔的高级官员。
由于正声卓著，1808年拿仑又授予他男爵称号。
此后几经宦海浮沉，1815年，付里叶终于在拿破仑百日王朝的尾期辞去爵位和官职，毅然返回巴黎以图全力投入学术研究。
但是，失业、贫困以及政法名声的落潮，这时的付里叶处于一生中最艰难的时期。
由于得到昔日现事和学生的关怀，为他谋得统计局主管之职，工作不繁重，所入足以为生，使他得以继续从事研究。