12.1实数的概念
实数的定义和性质是什么
实数的定义和性质是什么
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
什么是实数
实数释义：有理数和无理数的统称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
虚数不是实数。
|a|表示的是a的肯定值。
虚数的定义：在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = -1。
实数性质
封闭性
实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍旧是实数。
有序性
实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满意并且只满意下列三个关系之一：a＜b，a=b，a＞b。
传递性
实数大小具有传递性，即若a＞b，且b＞c，则有a＞c。
阿基米德性质
实数具有阿基米德性质，即（倒A）a，b∈R ，若a＞0，则∈正整数n，na＞b。
稠密性
R实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。
完备性
作为度量空间或全都空间，实数集合是个完备空间。
沪教版 七年级下数学12.1节-- 实数的概念【优秀课件】浦东外国语学校 励一敏
解：（1） S正方形ABCD 62 =36
36 S正方形EFGH 2 =18 EF 18
（2）这个值不是有理数。
Hale Waihona Puke AHDEGBF C
[提示]在后续课程中，我们将进一步学习 18 可化简 为3 2 。
[小结] 1、无理数的概念及举例； 2、实数的分类。
【提示】 1、由于后续课程得需要，同学们须熟记500以内 的平方数。例如，192= ，202= ，212=
12.1
实数的概念
从本章起，数的范围将从有理数
扩大到实数。为此，需要先引入 “无理数”的概念。
整数 有理数
？？
分数
[问题引入]小正方形的边长是1。
？？？
大正方形的面积是2，它的边长是多少？
[无理数举例] 1、带“ ”的数； 2、与 π 有关的数； 3、某些带省略号形式的小数。 0.1010010001…(每两个1之间0的个数依次多1个)
……。 2、请同学们课后阅读《课本》-P36上关于无理数 的拓展知识。
作业：《练习册》-习题12.1。 【说明】《一课一练》暂时不做统一要求，如 果已经有这本书，可以按照教学进度完成，并 批、订。
[注意]此类小数不要与无限循环小数混淆！
[练习]请举出3个介于4~5之间的无理数。
实数的分类（P4）：
[实数还有其他分类方法]
整数
有理数
？实？数？
分数
无？理？数？
3
2
2
[例1]将下列各数放入图中适当的位置：
9
0，-2 4， 9
练习：P5/2
2, 5 ,
0.3737737773…
[例2]如图，已知正方形ABCD的边长是6，在各边 上依次取中点连成正方形EFGH。借助图形面积的 方法我们能否求出线段EF的长？这个值是不是有 理数？
关于实数知识点总结
关于实数知识点总结一、实数的定义实数是指包括所有正数、负数、零，以及所有有理数和无理数的数集。
在数轴上，实数用来表示长度、面积、体积、温度等物理量。
1. 有理数：在有理数集中，包括整数和分数的集合。
例如，2，-5，3/4等都是有理数。
2. 无理数：无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
例如，根号2，π，e等都是无理数。
二、实数的表示实数可以用数轴来表示，数轴是一个平直的线段，上面标有零点和正负无穷大。
在数轴上，实数可以用点来表示，点的位置与实数的大小对应。
1. 正数：在数轴上，正数表示为右边的点，如1、2、3等。
2. 负数：在数轴上，负数表示为左边的点，如-1、-2、-3等。
3. 零：零表示为数轴上的原点。
实数还可以用分数、小数等形式表示，例如1/3、0.5、-2.7等都是实数的一种表示方式。
三、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数a、b、c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
加法的逆元是减法，任意实数a，存在一个实数-b，使得a+(-b)=0。
2. 实数的减法：实数的减法可以看作加法的逆运算，即a-b=a+(-b)。
3. 实数的乘法：实数的乘法也满足交换律和结合律，即对任意实数a、b、c，有a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)。
乘法的逆元是除法，任意非零实数a，存在一个实数1/a，使得a*(1/a)=1。
4. 实数的除法：实数的除法可以看作乘法的逆运算，即a/b=a*(1/b)。
四、实数的性质1. 实数的稠密性：在实数轴上，任意两个不相等的实数之间都存在其他实数，即任意实数a、b，若a<b，则存在实数c，使得a<c<b。
2. 实数的有序性：实数可以按大小进行比较，任意两个实数a、b，满足且仅满足下列三种关系之一：a=b，a<b，a>b。
3. 实数的完备性：实数满足柯西收敛准则，任意柯西数列都收敛于某一实数。
实数的概念
实数的概念
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n 为正整数，包括整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
[1]相反数（只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数，叫做互为相反数）实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
[2]绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变），a是它本身；
②a为0时，|a|=0，a也是它本身；
③a为负数时，|a|= -a（为a的绝对值），-a是a的相反数。
(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负数。
)
[3]倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）
[4]数轴
定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
（2）数轴上的点与实数一一对应。
特别规定0的算术平方根是根号0
实数分类
按性质分类是：正数、0、负数；
按定义分类是：有理数、无理数。
实数的相关概念
实数的相关概念实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
性质封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab,a=b,ab。
传递性实数大小具有传递性，即若ab,bc,则有ac。
阿基米德性实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b∈R，若ba0,则存在正整数n，使得nab。
稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。
实数的相关概念 2实数的相关概念 2：实数是有理数和无理数的总称。
实数包括有理数和无理数，实数集通常用字母R表示。
实数集与数轴上的点有着一一对应的关系，任一实数都对应着数轴上的唯一一个点。
实数是什么1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。
整数和小数的集合也是实数，实数是有理数和无理数的集合。
而整数和分数统称有理数，所以整数和小数的集合也是实数。
小数分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数(即无理数)，其中有限小数和无限循环小数均能化为分数，所以小数即为分数和无理数的集合，加上整数，即实数。
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。
什么是实数？实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
实数集通常用黑正体字母R表示。
沪教版(上海)数学七年级下册-12.1《实数的概念》 教案
《实数的概念》教案【教学目标】1、通过动手操作，回顾历史，经历发现无理数的过程，能通过二分法的原理对已知无理数进行估值，了解无理数的客观存在，以及在数轴上和有理数是稠密排列共存的。
2、通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，能够辨析一个数是不是无理数。
3、了解熟悉从整数到有理数，再到实数的一个扩充的过程，理解实数系统的构成结构，感受数学中严谨的分类思想。
【教学重点】对无理数简单的估值方法，理解无理数在数轴上是存在的。
【教学难点】理解无理数是无限不循环小数，以及实数与数轴上的点一一对应的关系【教学过程设计】一、复习引入我们对数的研究经历了一个漫长的过程，小时候自然数帮我们解决了数数的问题，直到学习了数轴我们知道了与正整数相对的还有负整数，它们与0统称为整数，至此我们学习的数的范围扩展了。
随着学习的深入我们发现在实际运算中：例如6÷3=2能整除，5÷3不能整除，因此我们有对数的学习进行了扩展，加入了分数的概念，我们知道分数可写成pq 形式，其中对p 、q 有没有什么要求呢？（p 、q 为整数，p 、q 互素，且P 不为0）。
平时为了感受分数的大小，又能够将分数p q 化为有限小数或者无限循环小数。
特别的当P=1时，p q 可以表示一个整数。
由此，我们将分数和整数统称为有理数，它们均可用pq 来表示。
问题1：数扩充至此，是不是我们生活中的所有数都是有理数，都能够表示成p q （p 、q 为整数，且P 不为0）的形式？即：有没有不是有理数的数？【分析】不是所有的数都能用这个形式表示，例如我们学的圆周率 即是一个无限不循环小数。
二、新课讲授 【活动一】正方形剪拼，引出2。
我们将桌面上的两个边长为1的正方形，分别沿着它的一条对角线剪开，得到四个形状大小相同的直角三角形，他们的面积都是21，再把这四个直角三角形拼成一个正方形。
问题1：新的这个正方形的面积是多少？（21121=+=+=S S S 正）问题2：这个正方形的边长是我们学过的有理数么？（不是，若设边长为x ，则可以得到22=x 。
专题12.1 实数的概念(解析版)
第十二章实数专题12.1 实数的概念基础巩固一、单选题（共6小题）1.下列各数中是无理数的是（）A．﹣3B．πC．9D．﹣0.11【答案】B【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，进而得出答案．【解答】解：A、﹣3，是有理数，不合题意；B、π，是无理数，符合题意；C、9，是有理数，不合题意；D、﹣0.11，是有理数，不合题意；故选：B．【知识点】无理数2.在实数﹣，﹣3.14，0，π，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：﹣3.14是有限小数，属于有理数；0是整数，属于有理数；，是整数，属于有理数；无理数有，π共2个．故选：B．【知识点】算术平方根、立方根、无理数3.在实数，0，，3.1415926，，4.，3π中，有理数的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【分析】根据有理数的定义判断即可得到结果．【解答】解：在实数，0，＝﹣1，3.1415926，＝4，4.，3π中，有理数有，0，，3.1415926，，4.，有理数的个数为6个．故选：D．【知识点】实数4.下列实数中，无理数是（）A．0B．C．D．0.1010010001【答案】C【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项即可得出答案．【解答】解：A、0是有理数，故本选项不符合题意；B、是有理数，故本选项不符合题意；C、是无理数，故本选项符合题意；D、0.1010010001是有理数，故本选项不符合题意．故选：C．【知识点】算术平方根、无理数5.关于的叙述，错误的是（）A．是有理数B．面积为10的正方形边长是C．是无限不循环小数D．在数轴上可以找到表示的点【答案】A【分析】根据无理数的定义、无理数的估算、算术平方根、实数与数轴的知识进行判断．【解答】解：A、是无理数，原说法错误；B、面积为10的正方形边长是，原说法正确；C、是无理数，是无限不循环小数，原说法正确；D、在数轴上可以找到对应的点，原说法正确；故选：A．【知识点】实数、实数与数轴6.下列说法正确的是（）A．实数与数轴上的点一一对应B．无理数与数轴上的点一一对应C．整数与数轴上的点一一对应D．有理数与数轴上的点一一对应【答案】A【分析】将无理数在数轴上表示出来，进而说明数轴上的点与实数一一对应．【解答】解：数轴不仅表示有理数，也可以表示无理数，例如：如图，矩形OABC，OA＝1，OC＝2，则OB＝，以O为圆心，OB为半径画弧交数轴于点D，则点D所表示的数为：，同理，可以在数轴上表示其它的无理数，因此数轴上的点与实数一一对应，故选：A．【知识点】实数与数轴、无理数二、填空题（共6小题）7.﹣+2的绝对值是．【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．【解答】解：﹣+2的绝对值是：|﹣+2|＝﹣2．故答案为：﹣2．【知识点】实数的性质8.﹣绝对值是，2﹣的相反数是．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答；根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【解答】解：﹣绝对值是，2﹣的相反数是﹣2，故答案为：，﹣2．【知识点】实数的性质、算术平方根9.下列各数中0.102 030 405…，，π，，，0.56，，其中无理数有个．【答案】3【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．【解答】解：，∴在0.102 030 405…，，π，，，0.56，中，无理数有0.102 030 405…，π，共3个．故答案为：3【知识点】立方根、无理数、算术平方根10.若a是一个含有根号的无理数，且3＜a＜4．写出任意一个符合条件的值．【分析】根据无理数的定义以及二次根式的性质解答即可．【解答】解：由a是一个含有根号的无理数，且3＜a＜4，可得符合条件的值可以是、等．故答案为：（答案不唯一）．【知识点】无理数11.在，，，3.10100100001个数中，无理数是．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，故在，，，3.10100100001个数中，，，3.10100100001是有理数，是无理数．故答案为：【知识点】算术平方根、立方根、无理数12.在|﹣3|，﹣2，0，π这4个数中，其中属于无理数的是．【答案】π【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．【解答】解：|﹣3|＝3，在|﹣3|＝3，﹣2，0，π这4个数中，属于无理数的是π．故答案为：π．【知识点】无理数拓展提升三、解答题（共6小题）13.把下列各数填在相应的横线上1.4，2020，，，，0，，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）（1）整数：；（2）分数：；（3）无理数：．【分析】根据整数、分数、无理数的定义判断即可．【解答】解：（1）整数：2020，0，；（2）分数：1.4，，；（3）无理数：，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）．故答案为：2020，0，；1.4，，；，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）．【知识点】实数14.把下列数按照要求填入相应的集合内：+8.5，﹣3，0.35，0，3.14，12，0.3，π，10%，﹣2.626626662…无理数集合：{…}；负数集合：{…}．【分析】根据实数的定义及其分类求解可得．【解答】解：无理数集合：{π，﹣2.626626662……}；负数集合：{﹣3，﹣2.626626662……}．故答案为：π，﹣2.626626662…；﹣3，﹣2.626626662…．【知识点】实数15.把下列各数填入相应的集合中：3，﹣7，﹣，5.，0，﹣8，15，；正数集合：{}；负数集合：{﹣﹣﹣}；实数集合：{﹣﹣﹣}；分数集合：{﹣﹣}．【分析】根据实数的分类进行归类即可．【解答】解：正数有：3，5.，15，；负数有：﹣7，﹣，﹣8；实数有：3，﹣7，﹣，5.，0，﹣8，15，；分数有：﹣，5.，﹣8，；故答案为3，5.，15，；﹣7，﹣，﹣8；3，﹣7，﹣，5.，0，﹣8，15，；﹣，5.，﹣8，．【知识点】实数16.把下列各数填在相应的大括号内：，﹣0.31，﹣（﹣2），﹣，1.732，，0，，1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）正分数：{…}无理数：{…}【分析】根据无限不循环小数是无理数，大于零的分数是正分数，可得答案．【解答】解：正分数：{，1.732…}无理数：{，1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}，故答案为：，1.732；，1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…．【知识点】实数17.把下列各数填入相应的集合内7.5，，6，，，，﹣π，﹣0.（1）有理数集合{﹣}（2）无理数集合{﹣}（3）正实数集合{}（4）负实数集合{﹣﹣}【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解．【解答】解：（1）有理数集合{7.5，6，，，﹣0.}（2）无理数集合{，，﹣π}（3）正实数集合{7.5，，6，，，}（4）负实数集合{﹣π，﹣0.}故答案为：7.5，6，，，﹣0.；，，﹣π；7.5，，6，，，；﹣π，﹣0.．【知识点】实数18.把下列各数的序号分别填入相应的集合里：①﹣1，②，③0.3，④0，⑤﹣1.7，⑥﹣2，⑦1.0101001…，⑧+6，⑨π负数集合{…}分数集合{…}无理数集合{…}整数集合{…}．【答案】【第1空】①⑤⑥【第2空】①②③⑤【第3空】⑦⑨【第4空】④⑥⑧【分析】直接利用负数、分数、无理数、整数的定义分别分析得出答案．【解答】解：负数集合{①⑤⑥…}；分数集合{①②③⑤…}无理数集合{⑦⑨…}；整数集合{④⑥⑧…}．故答案为：①⑤⑥；①②③⑤；⑦⑨；④⑥⑧．【知识点】实数。
12.1 实数的概念 课件
问题6 ： 2是个什么数？
有理数
有p (q限 小0) 数 q无限循环小数
无限不循环小数
问题7： 像这样的无限不循环小数还有吗？
0.101001000100001… (它的位数无限、相邻的两个1之间0的个数依次加1)
0.123456789101112131415161718192021…
(连续不断地有依次限写小正整数数) 有理数
12.1 实数的概念
以生命为代价de发现
古希腊的毕达哥拉斯学派 （公元前约470年前）
“万物皆为数”（指有理数）
希帕斯（Hippasus）
这意味着什么？
发现了一种实际存在的数， 却不能表示为分数。
问题3 ：面积为2的正方形边长是多少？
1
Байду номын сангаас
2
1
？
问题1 ：面积为1
的正方形的边长是多 少？
4
2
问题2： 面积为4 的正方形的边长 是多少？
实数
无限循环小数
无理数
无限不循环小数
2
例题1、将下列各数放入图中适当的位置：
22
-00..21.30.、10015000、100001、、00.3、7-323、733237、…4(3、它之3的间.1位74的、数个无7数限依且次相加邻1的) 两个
有理数 -0.101001000100001、
3.14、
22
.. 、0.23
7
整数
0、 -2
无理数
2 5
0.373373337……
正整数
4
例题2 判断下列说法是否正确，并说明理由：
1）无限小数都是无理数；…………………………（ ） 2）无理数都是无限小数；…………………………（ ） 3）正实数包括正有理数和正无理数；…………（ ）
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分析：设正方形ABCD的边长为x， 那么 x2 = 2
这个数x表示面积为2的正方形的 边长，是现实世界中真实存在的 线段长度。由于2这个数和2有关， 我们现在用 （读作“根号2”）来 表示。
42 1 x
发
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
分数
12
3 11 0.5
12
4 注意：1、有限小数和无限循环小数也是分数.
回顾有理数的定义和分类
0011
00
•
1定0 1义01：0 1整101数0和001分01数00统10称11为有理数。
1 • 分类：
正整数
有 理 数
整数零
负整数
分数负 正分 分数 数
1 –无理数包括正无理数和负无理数。
2 –只有符号不同的两个无理2数， 2
4 它们互为相反数。
归纳
• 无理数 00 11 0 010 1 01 0 110 1 00 01 01 00 1 011 • 实数
–有理数和无理数统称为实数。 –实数可以这样分类：
有限小数或 无限循环小数
41 2 无限不循环小数
• 3．请构造几个大小在3和4之间的无理数。
–3.101001000100001……（它的位数无限且相邻的两个“1”
1 之间“0”的各数依次加1个）
2 – 10
4 –
• 例题2．是非题
–无限小数都是无理数；
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
–无理数都是无限小数；
（ ）× （ ）√
–正实数包括正有理数和正无理数； （ ）√
–实数可以分为正实数和负实数两类； （
1 –带根号的数都是无理数；
（
–不含根号的数不一定是有理数；
（
2 –实数不是有理数就是无理数；
（
4 –无限小数不能化为分数；
（
）× ）×
）√
）√ ）×
练习
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• 4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、 “叫做”填空，并体会这些词的含义：
–(1) 2 不是 分数。
–(2) 0 是 有理数。
1 –(3) 无限不循环小数 叫做无理数。
2 –(4) 实数 包括有理数和无理数。
–(5) 正整数、0和负整数 统称 整数。
4 –(6) 有理数 包括有限小数和无限循环小数。
2 • 如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用 两个整数之比表p (示p, q的都分是整 数数：，且 q 0) 4 q
发现
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• 问题1：面积为2的正方形存在吗？
（小组讨论，通过动手操 作，剪拼正方形）
412
发现
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
自然数
分数、小数
负数
2 0、1、2、
4/5、0.45、
-2、-3/7、
4 3……
0.3……
-0.53……
1、把下列的数字填入适当的位置
•
3,π,0.3，0，-
1
,
3
11
,
0.101001....,
0.5
2 12 00 11 0 010 1 01 0 110 1 00 01 01 00 1 011
整数
现
• 追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表
示？若面积为5呢？
1 3
2 • 类似的，分别用 （读作“根号3”）、 5 4 （读作“根号5”）来表示。
发现
• 问题3： 2是有理数吗？
发现
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• 问题4：无限不循环小数还有吗？
（请你再举出几个无限不循环小数的例子）
例题1．将下列各数填入适当的图内：
0 、 3
、
2
、6
、3.14159
、22
、0.
•
2
•
3
、
7
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
5、、0.3737737773...
实数
有理数 整数 正整数
42 1 无理数
练习
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
– 圆周率
1 – 我们还可以构造几个无限不循环小数，
2 如：0.202002000200002……、
4 0.1234567891011121314151617……等.
归纳
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• 无理数
–无限不循环小数叫做无理数(irrational
number)。
12.1 实数的概念
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
412
认识过程
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• 人类对于宇宙的认识过程
（地心说——日心说——日心地动学说——太阳系——
银河系——仙女星系）
1 • 人类对数的认识也经历了一个逐步扩展的过程：