第1讲函数及其表示.docx
第一讲函数及其表示 (1)
1第一讲函数及其表示 1. 一次函数：定义：在某一个变化过程中，设有两个变量x 和y ，如果可以写成y=kx+b(k 为一次项系数，k ≠0，b 为常数)，那么我们就说y 是x 的一次函数，其中x 是自变量，y 是因变量。
特别地，当b=0时，我们把y=kx 叫做正比例函数。
画法：两点确定一条直线①y=2x+3 ② y= -2x+3 ③y=2x ④y= -2x 试一试 y=x+1,y= -x+1想一想，x=0,y=1这些是一次函数吗?它们的图象又是什么？ 2.二次函数定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．画法：画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 1. 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下 2. 对称轴为2bx a=-3.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.④ 顶点坐标公式不用记，只要记得其横坐标为2bx a=-，需要求其纵坐标时把他代入函数解析式中就可以了 ⑤ 注意图象与y 轴的交点，其坐标是（0,c ） 画出以下二次函数的图像 ①225y x x =++ ②22y x x =+③2y x =试一试：223y x x =-+- 3.反比例函数定义：形如y=k/x （k ∈R 且k ≠0）的函数叫做反比例函数， 画法：高中课本上函数概念的解读1、函数的有关概念 （1）函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．注意：① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”；②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 考点一：函数的概念例．下列所示的四幅图中,可表示为y=f （x ）的图像的只可能是（ ）（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域①如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
函数与基本初等函数 (10)
第1讲函数及其表示知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．2．函数定义域的求法类型x满足的条件2nf(x)，n∈N*f(x)≥01与[f(x)]0f(x)≠0f(x)log a f(x)f(x)＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3.方法 示例 示例答案 配方法 y ＝x 2＋x －2 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ 性质法 y ＝e x y ∈(0，＋∞) 单调性法 y ＝x ＋x －2 y ∈[2，＋∞) 换元法 y ＝sin 2 x ＋sin x ＋1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 分离常数法y ＝x x ＋1 y ∈(－∞，1)∪ (1，＋∞)辨 析 感 悟1．对函数概念的理解． (1)(教材习题改编)如图：以x 为自变量的函数的图象为②④.(√) (2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一函数．(×) 2．函数的定义域、值域的求法 (3)(2013·广东卷改编)函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域为(－1，＋∞)．(×) (4)(2014·杭州月考改编)函数f (x )＝11＋x 2的值域为(0,1]．(√) 3．分段函数求值(5)(2013·济南模拟改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝139.(√)(6)设函数f (x )＝若f (a )＝4，则实数a ＝2或4.(×)4．函数解析式的求法(7)已知f (x )＝2x 2＋x －1，则f (x ＋1)＝2x 2＋5x ＋2.(√)(8)已知f (x －1)＝x ，则f (x )＝(x ＋1)2.(×) [感悟·提升]1．一个方法 判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)．2．三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)； 二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)；三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8)．考点一 求函数定义域的方法【例1】 (1)函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为________．(2)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析 (1)要使函数有意义，则log 0.5(4x －3)＞0， 即0＜4x －3＜1，所以34＜x ＜1.故函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.(2)f (x )的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，符合条件．②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0， 即m (4m －3)<0，∴0<m <34. 综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 规律方法 求函数的定义域，其实质就是使函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母不为零；②偶次根式，被开方数非负；③对于y ＝x 0，要求x ≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．【训练1】 (1)(2014·南京模拟)函数f (x )＝11－x＋log 2(2x －1)的定义域是________．(2)(2014·聊城模拟)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________． 解析 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，2x －1>0，解得12<x <1，所以f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0得－1<x <1.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (2)(－1,1)考点二 求函数的值域【例2】 求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1. 解 (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15， 即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (3)法一 (换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22， 于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.法二 (单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.(4)(基本不等式法)函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}． 当x >1时，log 3x >0， 于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2log 3x ·1log 3x －1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－log 3x －1≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．规律方法 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．【训练2】 求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－xx 2－x ＋1；(2)y ＝2x －1－13－4x .解 (1)法一 (配方法)∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y ＜1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.法二 (判别式法) 由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R .得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， 解得－13≤y ≤1.综上得－13≤y ＜1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.(2)法一 (换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24， 于是f (x )＝g (t )＝2·13－t 24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以g (t )≤g (0)＝112，因此原函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112.法二 (单调性法)函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134， 当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小， 所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是一个单调递增函数，所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝112，故原函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112.考点三 求函数的解析式【例3】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式． (3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 解 (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎨⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1). 规律方法 求函数解析式常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 【训练3】 (1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 解析 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， 所以f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3. 所以f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2. 答案 (1)2x 2－4x ＋3 (2)－x (x ＋1)21．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．教你审题1——分段函数中求参数范围问题【典例】 (2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.❶若|f (x )|≥ax ❷，则a 的取值范围是________．(1)[审题]一审条件❶：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，转化为一元二次函数与对数函数的图象问题．如图(1)．二审条件❷：|f (x )|≥ax ，由f (x )的图象得到|f (x )|的图象如图(2)．(2)三审图形：观察y ＝ax 的图象总在y ＝|f (x )|的下方，则当a ＞0时，不合题意；当a ＝0时，符合题意；当a ＜0时，若x ≤0，f (x )＝－x 2＋2x ≤0， 所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2. 综上－2≤a ≤0. 答案 [－2,0][反思感悟] (1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 【自主体验】(2014·德州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x ＞0，x ＋3，x ≤0，则f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析 因为f (1)＝lg 1＝0，所以由f (a )＋f (1)＝0得f (a )＝0.当a ＞0时，f (a )＝lg a ＝0，所以a ＝1.当a ≤0时，f (a )＝a ＋3＝0，解得a ＝－3.所以实数a 的值为a ＝1或a ＝－3. 答案 －3或1基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．下列各组函数表示相同函数的是________．①f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2；②f (x )＝1，g (x )＝x 2；③f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |；④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1.解析 ①中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同； ②中的两个函数的对应法则不一致；④中的两个函数的定义域分别是R 和{x |x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；③中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g (x )＝|x |，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数． 答案 ③2．(2014·镇江一模)函数f (x )＝ln xx －1＋12x的定义域为________．解析要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，xx －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x (x －1)＞0，解得x ＞1. 答案 (1，＋∞)3．f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )＋1，x ＜1，x －2，x ≥1，若f (a )＝3，则a ＝________.解析 令log 2(1－a )＋1＝3，得a ＝－3；令a －2＝3，得a ＝33(舍去)，所以a ＝－3. 答案 －34．(2013·江西师大附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≤0，a x ，x ＞0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于______．解析 由f (1)＝f (－1)，得a ＝1－(－1)＝2. 答案 25．(2014·保定模拟)设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是________．解析 ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1. 答案 g (x )＝2x －16．(2014·徐州质检)函数f (x )＝ln x －2x ＋1的定义域是______．解析 由题意知x －2x ＋1＞0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＞2或x ＜－1.答案 {x |x ＞2，或x ＜－1}7．(2013·福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案 －28．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________． 解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t1＋t2， 从而f (x )的解析式为f (x )＝2x 1＋x2(x ≠－1)．答案 f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1) 二、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1， ∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．某人开汽车沿一条直线以60 k m/h 的速度从A 地到150 k m 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 k m/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离s (k m)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解 由题意知：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤52，150，52<t ≤72，150－50⎝ ⎛⎭⎪⎫t －72，72<t ≤132.其图象如图所示．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．设函数y ＝f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f (4x )ln x 的定义域是________． 解析 由已知0≤4x ≤4，且ln x ≠0，x ＞0⇒0＜x ＜1. 答案 (0,1)2．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )＝1x ，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x )的解析式为________． 解析 当x ∈(－∞，－2)时，则－2－x ∈(0，＋∞)， ∴f (x )＝－1x ＋2. 答案 f (x )＝－1x ＋23．(2013·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ∈(－∞，1]，log 81x ，x ∈(1，＋∞)，则满足f (x )＝14的x 值为________．解析 当x ∈(－∞，1]时，2－x ＝14＝2－2，∴x ＝2(舍去)；当x ∈(1，＋∞)时，log 81x＝14，即x ＝＝3.答案 3 二、解答题4．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值． 解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，② 又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.第2讲 函数的单调性与最值知 识 梳 理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为A ，如果对于定义域A 内某个区间I上的任意两个自变量x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间I 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间I 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min ＝f(x0)．辨析感悟1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(2)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(√)(3)(教材改编)函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数．(×)(4)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(6)(教材改编)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(7)(2013·北京卷改编)函数y＝lg|x|的单调递减区间为(0，＋∞)．(×)(8)函数f(x)＝log2(3x＋1)的最小值为0.(×)[感悟·提升]1．一个区别“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．2．两个防范一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).考点一 确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性． (2)(2013·沙市中学月考)求函数y ＝13log (x 2－4x ＋3)的单调区间．解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2. 当a ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－ax 1x 2＜0，有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a ]上为减函数； 当x 1＞x 2≥a 时，x 1－x 2＞0,1－ax 1x 2＞0，有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数．法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )＞0，则1－ax 2＞0， 解得x ＞a 或x ＜－a (舍)．令f ′(x )＜0，则1－ax 2＜0， 解得－a ＜x ＜a .∵x ＞0，∴0＜x ＜a .∴f (x )在(0，a )上为减函数；在(a ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数．(2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝13log u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3.∴函数y ＝13log (x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数． 而函数y ＝13log u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝13log (x 2－4x ＋3) 的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1).规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．【训练1】 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝ax 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1.所以x 2－x 1＞0， x 1－1＜0，x 2－1＜0故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．考点二 利用单调性求参数【例2】 若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析 法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， ∴a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故a 的取值范围是(－∞，－1)． 答案 (－∞，－1)规律方法 解决这类问题的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题． 【训练2】 (1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是________(填序号)．①{－3}；②(－∞，3)；③(－∞，－3]；④[－3，＋∞)． (2)(2014·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________(填序号)．①(－1,0)∪(0,1)；②(－1,0)∪(0,1]；③(0,1)； ④(0,1]． 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增， 有⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1. 答案 (1)③ (2)④考点三 利用函数的单调性求最值【例3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．审题路线 (1)当a ＝12时，f (x )为具体函数→求出f (x )的单调性，利用单调性求最值．(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＞0恒成立→转化为x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立，则⎩⎨⎧ x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎨⎧a ＞－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值． φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减， ∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3.∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 规律方法 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵当x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，又函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用易错辨析1——分段函数单调性的判定【典例】 (2013·金华模拟)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．[错解]由题意知⎩⎨⎧a ＞1，4－a2＞0，解得1＜a ＜8.[答案] (1,8)[错因] 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．[正解] f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2≤a ，解得：4≤a ＜8. [答案] [4,8)[防范措施] 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法． 【自主体验】(2013·日照模拟)已知f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________．解析 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a ≥0在x ＜1时恒成立． 令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ， 则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 由2x ＋1>0，得x >－12，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4(a －3)4a ≥3，得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，343．(2013·南通月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x的取值范围是________．解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0. ∴－1<x <0或0<x <1. 答案 (－1,0)∪(0,1)4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .答案 b ＜a ＜c5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数，则log a (2a )－log a a ＝12，解得a ＝4. 答案 46．函数f (x )＝2x －18－3x 的最大值是________．解析 由18－3x ≥0，得x ≤6，又函数f (x )在定义域上显然是增函数，所以当x＝6时，f (x )取最大值f (6)＝12. 答案 127．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．∴－a2＝3，∴a ＝－6. 答案 －68．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为______．解析 由f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A 处取到，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6. 答案 6 二、解答题 9．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)． 解 任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1， ∴x 1x 2＋1＞0， ∴(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)＞0，因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数为增函数． 10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1 ＝x 1－x 2x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2， 即1a －2＝12，1a －12＝2. 解得a ＝25.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·太原一模)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是________． ①y ＝cos x ；②y ＝－|x －1|；③y ＝ln2＋x2－x；④y ＝e x ＋e －x . 解析 对于①，结合余弦函数的图象可知，y ＝cos x 在[－1,0]上是增函数；对于②，注意到当x ＝－1,0时，相应的函数值分别是－2，－1，因此函数y ＝－|x －1|在[－1,0]上不是减函数；对于③，注意到函数y ＝ln 2＋x 2－x ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋42－x 在[－1,0]上是增函数；对于④，当x ∈[－1,0]时，y ′＝e x －e －x ≤0，因此该函数在[－1,0]上是减函数，综上所述，填④. 答案 ④2．(2014·南阳一中月考)函数y ＝－(x －3)|x |的递减区间是________．解析 y ＝⎩⎨⎧－x (x －3)，x ≥0，x (x －3)，x ＜0，这个函数图象是由两部分抛物线弧组成，画出它的图象可以看出，函数的单调递减区间为(－∞，0)和(32，＋∞)． 答案 (－∞，0)和(32，＋∞)3．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 任取2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2＜0恒成立，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立，又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.法二 f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1－ax 2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，由已知条件得a ≤2，解得0＜a ≤4. 答案 (0,4] 二、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6. 故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).第3讲 函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理1．函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数 关于y 轴对称 奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有关于原点对称(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(5)(2013·山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝－2.(√)(6)(2014·菏泽模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．(×)2．对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(8)(2013·湖北卷改编)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上是周期函数．(√) [感悟·提升]1．两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f (x )是奇函数，则f (0)不一定存在；若函数f (x )的定义域包含0，则必有f (0)＝0，如(2)．2．两个结论 一是若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称，如(4)． 二是若对任意x ∈D 都有f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是以2a 为周期的函数；若对任意x ∈D 都有f (x ＋a )＝±1fx (f (x )≠0)，则f (x )也是以2a 为周期的函数，如(7)(8).考点一 函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x1＋x.(2)(2013·辽宁卷改编)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝________.(1)解 ①由⎩⎨⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0得x ＝±1. ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． ②由1－x 1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，即f (x )＝ln 1－x 1＋x的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数．(2)解析 设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )，则g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln 11＋9x 2－3x＝－ln(1＋9x 2－3x )＝－g (x )．∴g (x )为奇函数．∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝g (lg 2)＋1＋g (－lg 2)＋1＝g (lg 2)－g (lg 2)＋2＝2. 答案 2规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．【训练1】 (1)(2013·湖南卷改编)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________.解析 (1)由题意知：f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，① f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4，② ①＋②得g (1)＝3.(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1. 所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1， 所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 答案 (1)3 (2)－3考点二 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)在函数①f (x )＝1x ；②f (x )＝－x ；③f (x )＝2－x－2x ；④f (x )＝－tan x 中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是________．(2)(2013·辽宁五校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (18log x )＞0的解集为________．解析 (1)f (x )＝1x 在定义域上是奇函数，但不单调； f (x )＝－x 为非奇非偶函数；f (x )＝－tan x 在定义域上是奇函数，但不单调．(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，∴f (18log x )＞0等价于f (|18log x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|18log x |＞13，即18log x ＞13或18log x ＜－13，解得0＜x ＜12或x ＞2.答案 (1)③ (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．【训练2】 (2013·天津卷改编)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (12log a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，又因为12log a ＝－log 2a ，且f (x )是偶函数，所以f (log 2a )＋f (12log a )＝2f (log 2a )＝2f (|log 2a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log 2a |≤1，即 －1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2考点三 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小顺序为________．审题路线 f (x －4)＝－f (x )――→令x ＝x －4f (x －8)＝f (x )→结合f (x )奇偶性、周期性把－25,11,80化到区间[－2,2]上→利用[－2,2]上的单调性可得出结论． 解析 ∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数， f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数，∴f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)． 答案 f (－25)＜f (80)＜f (11)规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.【训练3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f(－x)f(x)＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．方法优化1——根据函数的奇偶性求参数值【典例】 (2011·辽宁卷改编)若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝________.[一般解法] 由题意知f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12(－x －a )＝－x2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －a )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x ＋a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －a )恒成立，所以a ＝12. [优美解法] (特值法)由已知f (x )为奇函数得f (－1)＝－f (1)， 即－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )， 所以a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. [答案] 12[反思感悟] 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为f (－x )＝±f (x )，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可采用特值法． 【自主体验】1．(2014·永康适应性考试)若函数f (x )＝ax 2＋(2a 2－a －1)x ＋1为偶函数，则实数a 的值为________．解析 由2a 2－a －1＝0，得a ＝1或－12. 答案 1或－122．(2014·山东省实验中学诊断)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数，。
第1讲 函数及其表示课件
4．(2020·山东省济宁第一中学高三考前冲刺测试)函数 f(x)＝xl－n x1的定
义域为( ) A．[0,1)∪(1，＋∞) C．[0，＋∞)
B．(0,1)∪(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析 由xx＞ －01， ≠0， 解得 x＞0 且 x≠1，∴f(x)的定义域为(0,1)∪(1， ＋∞)．故选 B．
②当 a≠0 时，要使不等式恒成立，则
a>0， Δ＝－4a2－4·a·2<0，
即aa>20a，－1<0，
解得 0<a<12.由①②得 0≤a<12.故选 D．
解析
2a－x (2)已知集合 A＝{x|(x－2)(x－3a－1)＜0}，y＝lg x－a2＋1的定义域为
集合 B．若 A＝B，则实数 a＝________.
值范围是________.
答案 [0,12)
解析
mx－1 ∵y＝mx2＋mx＋3的定义域为
R，∴mx2＋mx＋3≠0，若
m＝0，
则 3≠0 成立，若 m≠0，则等价为判别式 Δ＝m2－12m＜0，解得 0＜m＜12.
综上，0≤m＜12.
解析 答案
8．若函数 f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1的定义域为 R，则 a 的取值范围为 ________.
1．下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的函数？ (1)A＝N，B＝Q，f：x→y＝x－1 1； (2)A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学 的分数相对应． 解 (1)当 x＝1 时，y 值不存在，故不是集合 A 到集合 B 的函数． (2)不是集合 A 到集合 B 的函数，因为集合 A 不是数集．
3．(2020·安徽省合肥市高三联考)函数 f(x)＝ 1－2x＋
函数及其表示课件
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第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
求下列函数的定义域： x－10 (1)y＝ x＋1＋ ； lg2－x (2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．
解析： x－10 (1)要使函数y＝ x＋1＋ 有意义， lg2－x
x＋1≥0， x－1≠0， 应有 2－x＞0， 2－x≠1.
2a＋b＝b＋1 1 故有 ⇒a＝b＝ . 2 a＋b＝1
1 1 因此，f(x)＝ x2＋ x. 2 2
x≥－1， －1≤x＜2， 即x≠1， 有 x≠1. x＜2，
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1或1＜x＜2}．
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第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)， ∴1＜2x＋1＜3， 即f(x)的定义域是(1,3)．
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第二章
函数、导数及其应用
∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t(0≤t≤2)，
故f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．
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第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0知c＝0，f(x)＝ax2＋bx. 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
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第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念． 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方 函数及其表 法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 示 3.了解简单的分段函数，并能简单的应用．
(完整word版)函数的表示方法说课稿
函数的表示方法说课稿各位评委老师，大家好：我叫xxx，是多少多少号考生，来自xxxx。
今天我说课的题目是《函数的表示方法》。
首先，下面我将从以下几个方面进行阐述。
一、说教材的地位和作用：《函数的表示方法》是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）的第一章第二节，教学用一课时，是明确了函数概念后的又一重要知识点，为后面研究学习函数的性质做好理论铺垫，起着巩固旧知识，拓展新知识的承上启下的作用，对培养学生数形结合分析能力和解决实际问题能力都有着重要意义。
二、说教学目标：根据本教材的结构和内容分析，结合高中一年级学生的认知结构机器心理特征，我制定了一下的教学目标：（1）了解函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法，明确各自的特点。
（2）能正确认识和使用函数的三种表示法，了解每种方法的特点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）把数学和实际相联系，培养学生数形结合数学思想方法，通过小组合作培养学生的协作能力．三、说教学的重点和难点：本着新课程标准，在吃透教材的基础上，我确定了一下的教学重点和难点：本节课的教学重点是：掌握函数的三种方法表示以及各自的特点并灵活运用函数的三中表示方法。
本节课的教学难点是：针对一个实际的问题如何恰当地选择适当的函数表示方法。
四、说教法：数学是一门培养人的逻辑思维能力，抽象思维能力，空间想象能力的重要学科。
因此在教学过程中，逼近要是学生知道是什么，还要让其知道“为什么”。
八年级学生的思维已逐步从直观的形象思维为主向抽象的逻辑思维过渡，而且具备一定的信息收集的能力。
根据学生已有的知识结构和本教材的特点，我采用了一下的教学方法。
（1）问题解决法，让学生主动的参与，在实践中得到知识和体验，培养学生将课堂教学和自己的行动结合起来的能力，引导学生全面的看待问题，发展思辨能力，激发学生的学习兴趣。
（2）集体讨论法，针对学生提出的问题，组织学生进行集体和分组讨论，促使学生的独立探索性得到充分的发挥，培养学生的团结协作精神。
1 第1讲 函数及其表示
知识点考纲下载函数及其表示了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.了解简单的分段函数，并能简单应用.单调性理解函数的单调性及其几何意义.理解函数的最大值、最小值及其几何意义.奇偶性结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.指数函数了解指数函数模型的实际背景.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.知道指数函数是一类重要的函数模型.对数函数理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.知道对数函数是一类重要的函数模型.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，且a≠1).幂函数了解幂函数的概念.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况.函数的图象会运用函数图象理解和研究函数的性质.函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1．函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应函数映射名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A) 对应f：A→B是一个映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( )(2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×(教材习题改编)函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( )A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B .对于A .函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B .定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C .函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．(教材习题改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋4），x ≥0，x （x －4），x <0，则f (1)＋f (－3)＝________．解析：f (1)＝1×5＝5，f (－3)＝－3×(－3－4)＝21，故f (1)＋f (－3)＝5＋21＝26. 答案：26若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：因为x －4有意义，所以x －4≥0，即x ≥4. 又因为y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2，所以y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. 所以其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)求函数的定义域[典例引领](1)(2018·河南濮阳一高第二次检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 (2)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2(3)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为________．【解析】 (1)由1－2x >0，x ＋1≠0，得x <12且x ≠－1，所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12，故选D . (2)因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，所以a ＝2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x ＜1，即定义域是[)0，1.【答案】 (1)D (2)D (3)[)0，1[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．[通关练习]1．函数f (x )＝1ln （x ＋1）＋4－x 2的定义域为( )A.[)－2，0∪(]0，2B.()－1，0∪(]0，2C.[]－2，2D.(]－1，2解析：选B .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0. 2．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0a x －1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2x ≠0⇒0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0，2]． 答案：(0，2]3．若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. 答案：[0，4]求函数的解析式[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )的解析式为________． (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．(3)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________． (4)函数f (x )满足方程2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，x ∈R 且x ≠0，则f (x )＝________．【解析】 (1)配凑法：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)换元法：令2x ＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)待定系数法：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (4)解方程组法：因为2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝2x .② 由①②消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得3f (x )＝4x －2x . 所以f (x )＝43x －23x(x ∈R 且x ≠0)【答案】 (1)f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2) (2)f (x )＝lg 2x －1(x ＞1) (3)f (x )＝x 2－x ＋3 (4)43x－23x(x ∈R 且x ≠0)若本例(4)条件变为2f (x )＋f (－x )＝2x ，求f (x )． 解：因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .求函数解析式的4种方法[通关练习]1．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为f(x)＝__________.解析：法一：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：因为x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．答案：x2－1(x≥1)2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.答案：x2＋2x＋1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度： (1)由分段函数解析式，求函数值(或最值)； (2)由分段函数解析式与方程，求参数的值(或范围)； (3)由分段函数解析式，求解不等式．(4)由分段函数解析式，判断函数的奇偶性．(本章第3讲再讲解)[典例引领]角度一 由分段函数解析式，求函数值(或最值)(1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是________． 【解析】 (1)由题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83. f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23＝43. 所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝4.(2)由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. 【答案】 (1)B (2)109角度二 由分段函数解析式与方程，求参数的值 (或范围)(分类讨论思想)(2017·高考山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8【解析】 当0<a <1时，a ＋1>1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，因为f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a >1时，a ＋1>2，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，所以2(a －1)＝2a ，无解．当a ＝1时，a ＋1＝2，f (1)＝0，f (2)＝2，不符合题意．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.故选C . 【答案】 C角度三 由分段函数解析式，求解不等式(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．【解析】 当x >0时，f (x )＝2x >1恒成立，当x －12>0，即x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x －12>1，当x －12≤0，即0<x ≤12时，f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋12>12，则不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1恒成立．当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋x ＋12＝2x ＋32>1，所以－14<x ≤0.综上所述，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题，首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．(2)对求含有参数的自变量的函数值，如果不能确定自变量的范围，那么应采取分类讨论． (3)解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．[通关练习]1．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32 解析：选C .由题意得f (f (－2))＝f (2－2)＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12. 2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B .由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3， 解得a ＝12.故f (－3)＝(12)－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2， 则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1，3)与函数有关的新定义问题[典例引领]若函数f (x )满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立，则称函数f (x )为“1的饱和函数”．给出下列三个函数： ①f (x )＝1x ； ②f (x )＝2x ； ③f (x )＝lg(x 2＋2)．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A ．①③ B ．② C ．①②D ．③【解析】 对于①，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则1x 0＋1＝1x 0＋1，所以x 20＋x 0＋1＝0(x 0≠0，且x 0≠－1)，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则2x 0＋1＝2x 0＋2，解得x 0＝1，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则lg[(x 0＋1)2＋2]＝lg(x 20＋2)＋lg(12＋2)，化简得2x 20－2x 0＋3＝0，显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”． 【答案】 B解决与函数有关的新定义问题的策略(1)根据定义合理联想，即分析有关信息，通过联想和类比、拆分或构造，可以将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．(2)捕捉解题信息，紧扣定义，根据定义与条件一步步进行推理求解．(3)合理、巧妙的赋值，即给x ，y 等量一些特殊的数值，求得特殊函数值，从而将新定义的函数进行化简和转化，利用已有函数知识进一步求解．[通关练习]1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1，3}的同族函数有( ) A ．1个B ．2个C．3个D．4个解析：选C.由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．2．(2018·石家庄第一次模拟)若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是()A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2x解析：选D.A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当x ＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x＝±2，满足题意，故选D.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．判断一个函数解析式是否成立，一是根据“函数定义域中的任意一个自变量x在对应关系下都有唯一的函数值y与其对应”进行判断；二是结合函数解析式判断是否满足题目所给的特性．分段函数图象的画法及简单应用(1)分段函数是一个函数，只有一个图象，作图时只能将各段函数图象画在同一坐标系中，而不能将它们分别画在不同的坐标系中；根据函数的概念，可知在函数图象中，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点；画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线画出其图象，再用实线保留其在该段定义域内的图象即可．(2)已知分段函数的函数值范围求自变量(或参数)的范围问题，一般画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数图象与相应直线交点的横坐标的范围，列出函数满足的不等式(组)，求解即可．易错防范(1)因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．(2)分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．1．(2018·广东深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2，1)B ．[－2，1]C ．(0，1)D ．(0，1] 解析：选C.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1，故选C .2．(2018·宝鸡市质量检测(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0f （x －1）＋1，x >0，则f (43)的值等于( )A ．－1B ．1C .32D .52解析：选B .依题意得f (43)＝f (13)＋1＝f (－23)＋1＋1＝2cos(－2π3)＋2＝2×(－12)＋2＝1，选B .3．已知f (12x －1)＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.4．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为( ) A ．[－3，7] B ．[－1，4] C ．[－5，5]D.⎣⎡⎦⎤0，52 解析：选D .因为y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2，3]，所以－1≤x ＋1≤4. 由－1≤2x －1≤4，得0≤x ≤52，即y ＝f (2x －1)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，52. 5．定义a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ×b ，a ×b ≥0，a b ，a ×b <0，设函数f (x )＝ln x ⊕x ，则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A ．4ln 2 B ．－4ln 2 C ．2D ．0解析：选D .2×ln 2>0，所以f (2)＝2×ln 2＝2ln 2. 因为12×ln 12<0，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝ln1212＝－2ln 2. 则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝2ln 2－2ln 2＝0. 6．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．x 1 2 3 f (x )131x 1 2 3 g (x )321解析：因为g (1)＝3，f (3)＝1，所以f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 27.若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤28．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x2－1，x ≥0，1x，x <0，若f (f (a ))＝－12，则实数a ＝________.解析：若f (a )≥0，则f (a )＝1，此时只能是a >0，于是a ＝4；若f (a )<0，则f (a )＝－2，此时只能是a <0，于是a ＝－12(若a >0，由a2－1＝－2，解得a ＝－2不满足题意)．答案：4或－129．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），－2<x <0，2x ＋1，0≤x <2，x 2－1，x ≥2.(1)求f (－32)的值；(2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值．解：(1)由题意f (－32)＝f (－32＋1)＝f (－12)＝f (12)＝2.(2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4.得a ＝32.当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4得a ＝5或－5(舍)．故a ＝32或 5.10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式． 解：(1)g (2)＝1，f (g (2))＝f (1)＝0； f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，f (g (x ))＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f (g (x ))＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.同理可得g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x <－1或x >1，3－x 2，－1<x <1.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x >0，1，x <0，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2(a ≠b )的值为( )A ．aB ．bC ．a ，b 中较小的数D ．a ，b 中较大的数解析：选C .若a －b >0，即a >b ，则f (a －b )＝－1，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝12[(a＋b )－(a －b )]＝b (a >b )；若a －b <0，即a <b ，则f (a －b )＝1，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝a (a <b )，综上，选C . 2．设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A .3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围为________．解析：由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a <1时，有3a －1≥1， 所以a ≥23，所以23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，所以a ≥0，所以a ≥1，综上，a ≥23.答案：⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 4．已知函数f (x )＝x ＋a x ＋b对于定义域内的任何x 均有f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0，则a 2 018＋b 2 018＝__________．解析：由题意得x ＋a x ＋b ＋1x＋a1x ＋b ＝0，即(a ＋b )x 2＋2(ab ＋1)x ＋a ＋b ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0ab ＋1＝0，则有a ＝1，b ＝－1或a ＝－1，b ＝1. 所以a 2 018＋b 2 018＝(－1)2 018＋12 018＝2. 答案：25．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x≥0.(2)f (x )的图象如图：6．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨，3x 吨． (1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4， 乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )×1.8＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8；当乙的用水量超过4吨时，即3x >4，y ＝24x －9.6，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ，0≤x ≤45，20.4x －4.8，45<x ≤43，24x －9.6，x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均为单调递增， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，45时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫45<26.4； 当x ∈⎝⎛⎦⎤45，43时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫43<26.4；当x ∈⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，所交水费为y 1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，所交水费y 2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．。
第一讲 函数的概念及表示
A． y ( x )2 B． y x
C． y | x |
D． y 3 x3
3.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，
那么解析式为 y=x2，值域为1,4的“同族函数”共有
个。
4、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，
题型一 函数关系的判定
1、下列可作为函数 y= f (x)的图象的是（ ）
1
2．集合 M x 2 x 2 ， N y 0 y 2 ，给出下列四个图形，其中能表示以 M 为定义域，N 为值域的
函数关系的是（ ）.
y
y
y
y
2
2
2
2
-2 0 A.
及时强化
x -2 0
2 x -2 0
2 x -2 0
4、已知函数 f(x)， x a,b，那么集合 x, y y f (x), x (a,b)（ x, y）y 2中所含元素的个
数（ ）
A.0 个 B. 1 个 C. 0 或 1 个
D. 0 或 1 个或无数个
考点二.判断同一函数（同族函数）
判断两个函数相同：只看定义域和对应法则 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.
| 6.y＝tan x 的定义域为 x
x≠kπ＋π，k∈Z 2
.
7.若同时出现上述几种情况，分别找出各自的定义域取交集 （一）：求给定解析式的函数的定义域
1.函数 y x 4 的定义域为（ ） | x | 5
A．x | x 5
B．x | x 4
C．x | 4 x 5 D．x | 4 x ＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从 M 到 N 的函数 f： M→N 的是( )
函数及其表示法
指数表示法
使用指数函数的公式来表示函数，例如 $f(x) = e^x$。
优点
可以方便地表示快速增长或衰减的函数。
3
缺点
对于非指数型函数，可能不适用，且公式较为复 杂。
04 函数的参数表示法
参数方程的概念
参数方程定义
参数方程是一种描述函数关系的 方法，通过引入一个或多个参数， 将自变量和因变量的关系表示出 来。
分段函数的应用
解决实际问题
分段函数常常用于解决一些实际问题，例如利润计算、成本分析、人口统计等。通过分段来表示不同情况下的函数关 系，能够更准确地描述实际问题。
数学建模
在数学建模中，分段函数也经常被用来描述一些复杂的现象或关系。例如，在物理学、生物学、经济学等领域中，分 段函数可以用来描述一些非线性关系或突变现象。
01
Байду номын сангаас
02
03
观察图像形状
通过观察图像的形状，可 以初步判断函数的单调性、 周期性等性质。
分析函数性质
结合函数表达式和图像， 可以分析函数的极值点、 拐点等关键点，从而理解 函数的性质。
比较函数差异
通过比较不同函数的图像， 可以直观地了解它们之间 的差异和联系。
函数图像的应用
解决实际问题
教育与教学
在解决一些实际问题时，如最优化问 题、物理现象模拟等，可以通过绘制 函数图像来直观地理解和分析问题。
优点
简洁明了，易于理解和计算。
缺点
对于复杂的函数，可能难以找到合适的代数表示法。
三角表示法
三角表示法
使用三角函数的公式来表示函数，例如 $f(x) = sin(x) + cos(x)$。
优点
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函数与导数第1讲函数及其表示【2013年高考会这样考】1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法.2.考杳分段函数的简单应用.3.由于函数基础性强，渗透面广，所以也会与其他章节题口结合来考查.【复习指导】对函数概念的理解是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，不易理解，应做适量练习，通过练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误.重点解决：（1）求函数的定义域；（2）求函数解析式的基本方法；（3）分段函数及其应用.必考必记i教学相长基础梳理1.函数的概念（1）函数的定义一般地，设4, B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合4中的任意一个数x,在集合B中都有二确定的数/（兀）与之对应；那么就称: /：A~^B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=/U）,炸人.（2）函数的定义域、值域在函数）=心），«P，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛.fM\x^A｝叫做函数的值域.显然，值域是集合B的了集.（3）函数的三要索：定义域、值域和对应法则.⑷相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致,则这两个函数相等, 这是判断两函数相等的依据.2.函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.3.映射的概念设A, B是两个非空集合，如杲按照某种对应法则/,对A中的任意一个元素兀, 在B屮有一个且仅有一个元素y与x对应，则称/是集合A到集合B的映射.4.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数. ^=助禽 < 博--------两个区别(1).函数是扭殊的映射亠.其犢殊性在壬―集佥A与集介上忠能是韭空数集“即函数是韭空数集4到韭空数集$的映射-(2)一映射丕二定是一函数亠从4到Q的二仝映射'…若4…E丕是数集〉…则这仝映射•便丕是函数一:…两个防范(1)判断对应星否为-映-懸…即看…4…出兀素是査满足上每尤有象二和上且象惟二二:…但要注意二①4虫丕」司元素可有相一同的象—即允许多对二儿但丕允许二对一多;…②乞史元素可无原象，…即上…虫元素可有•剩余-(2)求分段函数应注•意的问题在求分段函数的值血°)时一二定要苴先判断也属王定义域的哪仝壬集.然后再代入相应的关系式;-分.段函数的值.域应是其定义域内丕同壬集上各关系式的取值.范围的并集:…双基自测1.(人教A版教材习题改编)函数/(兀)=些^的定义域为().A. (—°°, 4)B. [4, +°°)C. ( — I 41D. (-oo, 1)U(1,414—兀20,解析要使函数/W有意义，贝IJ 一门X— 1工()，即兀W4且兀工1・答案D2. 下列各图形屮，是函数图彖的是（）.解析 由函数的概念知：D 正确. 答案D3. （2011 •广东）函数/W=±+lg （l+x ）的定义域是（）.1 X A. （—8, -1）B. （1, +8）C. （一 1,1）U （1, 4-00）D. （-OO, +oo ）[1 +x>0, 解析由题意知：k 〜 11 —详 0,即x> — l 且兀H1. 答案Cf =（ ）•A. 4B.才C ・一4D.—才解析•••閒=10品=-2, 「2） = 2 2=4- 答案B45. （2011-浙江）设函数若加）=2,则实数 _______________________ •1 X匚 4解析由已知得：；—=2,贝ijd= —1.1 —a 答案TKA0XIAN0TANJIUDA0XI ................................................................................................................................................................................................................■ » 考向探穽导析 研析才向i案例突破考向一求函数的定义域Iog3 兀，X>0, 2\ xWO,4. （2012-西安模拟）已知函数乐）=A.(—0) B (—+s c(-*, 0ju (0, +8)D (_*, 2［审题视点］根据解析式的结构特征，由分式的分母不能为零、对数的真数大于 零列出自变量满足的不等式组，解之即可. 解析 要使函数式有意义，兀必须满足：［2兀+1>0, ［兀>_ 丄1 一 即 2，［吨(2x+l)H0, Uo.所以沧)的定义域为(―£ 0)U(0, +8). 答案c方法总结型求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则， 列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母 不为零；②偶次根式，被开方数非负；③对于耍求xHO;④对数式中， 真数大于0,底数大于0且不等于1;⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受 实际问题的约朿. 【训练1】函数歹=埋耳的定义域是 ___________ .所以函数的定义域为｛xLr<4且｝ •答案｛加<4且xH3｝考向二求函数的解析式【例2】》(1)己知.£+£)=»+$,求沧)； ⑵已知£+l) = lgx,求/(兀).［审题视点］(1)若把x++看做一个整体，只要把右边配凑成用兀+*表示的代数式, 再利用代换即可求出/a ）；（2）采用换元法. 解（1）沽+弓【例1] »(2oii •江西)若yu )= log|(2%+l),则乐)的定义域为()•(4—兀 >0， 解析4-3^0 x<4,xH3.・•・/（兀）=F —3兀（兀上2或兀W—2）・29 2（2）令；+1=心＞1）,贝ij ・\/W・g）=ig^j（Qi）・方沬总结"函数解析式的求法（1）凑配法：由已知条件./（巩兀））=尸（兀），可将FS）改写成关于gd）的表达式，然后以兀替代g⑴，便得/⑴的表达式，此时要注意g（兀）的范围；（2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数可用待定系数法）；⑶换元法：已知复合函数心（力）的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.【训练2】⑴已知心）是二次函数，若爪0）=0,且/（x+l）=/U）+%+l,试求心）的解析式.（2）已知3/（兀）+5/亡）=|+1,求函数/（兀）的解析式.解（1）设 /（兀）=d/+加+c（dHO）,•・7（0）=0, ・・・c=0,S+l）=/U）+x+l，/.t7（x+ l）2 + b（x+ l） = c/ + /?x+兀 + 1.UP 2ax+a + b=x+l,(2)以£替换原等式中的x,则3/g] + 5・/U) = 2x+l.r /n 23沧)+ 5右匕+1, 故sM£|+5/W = 2X +I,如)+1 湘 W+3,考向三分段函数求值、/(兀+1), x<4, 则 /(2 + log23)的值为().1 1 1 1 A-24B12C6D-3［审题视点］根据f(x)=f(x+l)(x<4),将自变量兀化到［4, +8)上，再求解. 解析 2+ log23<4, /./(2 + log23)=/(3 + log23).而 3 + log 23>4, ：.f(2 + log 23) =f(3 + log 23)=申3 + log 23 =|xMlog 23 =|x|=24-答案A竝边 ⑴在求分段函数的值/(必)时，一定要首先判断xo 属于定义域的哪个子 集，然后再代入相应的关系式.(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段 函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值 域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决.2'+1, %<1,【训练3】已知函数f(x)=\ 9X"十ax,兀刁1, 若f(f(0))=4a ，则实数a 等于().两式相减整理，5 3 1得/(兀)=孙一氣+工0).【例3】>(2011•长沙模拟)已知函数危)=+25/(x)=10x+5.兀24,4 B 5D. 9解析•.求0) = 2° + 1 = 2, . •.血0)) =/(2) = 2? + 2°. 又.AA0)) = 4Q , .*.22 +2fz=4«, .'.a = 2.答案C阅卷报告1——忽视函数的定义域【问题诊断】函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区 间，必须先求出函数的定义域.如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判 断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调 区间.由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误.【防范措施】研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定 义域优先”的原则.【示例】►求函数y=log|(x 2-3x)的单调区间.错因 忽视函数的定义域，把函数)=1。
母的定义域误认为R 导致出错.实录 设/=/—3兀.3 •・•函数r 的对称轴为直线故/在(一°°, |)上单调递减，在(|, +°°)上单调递增.・・・函数y=\o^(x 2-3x)的单调递增区间 正解 设r=?-3%, rtl r>0,得兀<0或x>3,即函数的定义域为(一^, 0)U(3,+ °°)・3 函数r 的对称轴为直线 故f 在(一r 0)上单调递减，在(3, +->)上单调递增. 而函数y=\o^t 为单调递减函数，由复合函数的单调性叮知，函数y=log|(/- 3x)的单调递增区间是(一8, 0),单调递减区间是(3, +->).【试一试】求函数/(x) = log 2(x 2—2x —3)的单调区间. ［尝试解答］由兀彳一2兀C. 2是(-8,I)单调递减区间是KAOTIZHUANXIANQTUPO ...................... .》考题专项突菠一3>0,得x< —1或兀>3, 即函数的定义域为(一一1)U(3, +°°).令t=x2—2x~3,则其对称轴为兀=1,故f在(一°°, —1)上是减函数，在⑶ + °°)上是增函数.又y=log2r为单调增函数.故函数y=log2(x2—2x—3)的单调增区间为(3, +°°),单调减区间为(一—1).。