线性代数 3-7 第3章7讲-向量空间
线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
第7讲向量空间的基
1 0 0 0 0
故
y1 y2
yn
1 0 0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0 0 0
x1
x2
xn
,
0 0 0 1 1
所求坐标关系为: y1 x1, yk xk xk1 ( k 1, 2,, n) 。
例 设1,2,3 和 1, 2, 3 是三维向量空间的两组基 , 且
11 22 mm , 故 1 2 V。
R , 令 i ki , 则 (k11 k22 kmm ) ( k1)1 ( k2 )2 ( km )m 11 22 mm ,
故 R , V。
综上所述, 由向量空间的概念可知V 是一个向量空间。
2. 不妨设1,2,,k 是向量组 1,2,,m 的一个最大
解（二）
2 1 2 3 3 2(1 2 ) (21 32 23) 3(1 32 23) 31 142 23 ,
故向量 在基 1,2 ,3 下的坐标为 (3, 14, 4) 。
解 Rn , 设 在标准基 1,2 ,,n 下的坐标为
(x1, x2,, xn ) x11 x22 xnn , 设 在基 1, 2,, n 下的坐标为
( y1, y2,, yn ) y11 y22 ynn 。
由基的定义, 得
1 11 12 1n1 1n ,
2 01 12 1n1 1n ,
该公式称为向量 由基 1, 2,, r 到基1,2,,r 下的
坐标变换公式, 其中矩阵 A为坐标变换的过渡矩阵, 而称
公式 Y A1X 为由基 1,2 ,,r 到基 1, 2 ,, r 下
的坐标变换公式。
基变换与坐标变换的关 系
线性代数向量空间与线性变换
线性代数向量空间与线性变换线性代数是数学的一个分支，研究向量空间和线性变换的性质和特征。
向量空间是线性代数的核心概念之一，而线性变换则是在向量空间内进行变换的关键操作。
本文将介绍向量空间和线性变换的定义、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、向量空间向量空间是指一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的代数运算规律。
具体来说，一个向量空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于向量空间中的任意两个向量，它们的线性组合仍然属于该向量空间。
即对于任意向量u和v以及任意标量c和d，cu+dv仍然属于该向量空间。
2. 加法运算的结合性：对于向量空间中的任意三个向量u、v和w，满足(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法运算的交换性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，满足u+v = v+u。
4. 存在零向量：向量空间中存在一个零向量0，满足对于任意向量u，u+0 = u。
5. 存在负向量：对于向量空间中的任意向量u，存在一个负向量-v，满足u+(-v) = 0。
6. 标量乘法的结合性：对于标量的乘法运算，满足c(du) = (cd)u。
7. 标量乘法的分配性：对于标量的乘法运算和向量的加法运算，满足(c+d)u = cu+du，以及c(u+v) = cu+cv。
满足以上条件的集合即为向量空间。
在向量空间中，向量可以按照一定的线性关系进行运算和转换。
二、线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，该映射满足以下两个性质：1. 保持线性关系：对于向量空间V中的任意两个向量u和v以及标量c，线性变换T必须满足T(cu+dv) = cT(u)+dT(v)。
2. 保持零向量：线性变换T必须满足T(0) = 0，即将零向量映射为零向量。
线性变换可以通过矩阵的乘法来表示。
设向量空间V和W分别为n 维和m维的向量空间，线性变换T:V→W可以表示为一个m×n的矩阵A，其中A的第i列为T(ei)的坐标表示，ei为向量空间V的基向量。
线性代数教案-向量与向量空间
线性代数教学教案第3章 向量与向量空间授课序号01 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容一． 维向量的概念1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量.2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算1．定义：（1）分量全为0的向量称为零向量；（2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等；（4）对于，，称为与的和；（5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为.2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有：n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---Tn a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---Tn n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）；（8）.三．例题讲解例1． 某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为第二天为求两天各产品的产量和.αββα+=+)()(γβαγβα++=++αα=+00-αα=αα=⋅1αα)()(kl l k =βαβαk k k +=+)((k l )αk αl α+=+1(15,20,17,8),=T α2(16,22,18,9),=T α授课序号02 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第2节 向量组的线性关系 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法教学难点 有关线性相关、线性无关的证明 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 1．理解向量的线性组合与线性表示。
线性代数的向量空间理论
线性代数的向量空间理论线性代数是数学中的一门重要学科，其中的向量空间理论是其核心内容之一。
向量空间理论主要研究数学对象之间的线性关系，通过定义和研究向量空间的性质和运算规则，揭示了各种数学结构和现象背后的共性和规律。
本文将通过介绍向量空间的定义、基本性质和相关定理，来阐述线性代数的向量空间理论。
一、向量空间的定义向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的性质。
具体而言，一个向量空间必须满足以下几个条件：1. 封闭性：对于集合中的任意两个元素，其和仍然属于该集合。
即对于向量x和y，x+y也是向量空间中的元素。
2. 结合律：向量空间中的加法满足结合律。
即对于任意的向量x、y 和z，(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 零向量：向量空间中存在一个特殊的元素0，称为零向量，满足对于任意的向量x，x+0=x。
4. 负向量：对于向量空间中的任意元素x，存在一个负元素-x，满足x+(-x)=0。
5. 数乘运算：向量空间中的元素可以与标量相乘。
即对于向量x和标量a，存在一个元素ax，满足数乘运算的分配律和结合律。
通过这些定义和运算规则，我们可以建立起一个向量空间的抽象数学模型，便于对其进行研究和应用。
二、向量空间的基本性质在向量空间的理论中，还有一些基本性质是我们需要了解的。
1. 维度：向量空间的维度是指向量空间的基的个数。
一个向量空间的基是指一个线性无关的向量组，可以通过它们的线性组合来表示向量空间中的任意向量。
一个向量空间的维度等于其基的个数。
2. 线性无关性：如果一个向量组中的向量之间没有线性关系，即不能通过它们的线性组合来表示零向量，那么称这个向量组是线性无关的。
一个向量空间的基一定是线性无关的向量组。
3. 基变换矩阵：对于一个向量空间的两个不同的基，它们之间存在一个线性变换关系，并可以用一个矩阵来表示。
这个矩阵称为基变换矩阵。
4. 子空间：一个向量空间的子集，如果本身也是一个向量空间，则称为原向量空间的子空间。
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
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一、向量空间的定义
例3 设1 (1, 2, 1, 0)T，2 (1,1, 0, 2)T，3 2,1,1, aT 生成的向量空间
的维数为2，则a ______ .
解 即向量组1，2，3的秩为2.
1 1 2 1 1 2 1 1 2
(1 , 2
,3
)
2
1
1 0
1
0
1 0
1 1
3 0 3 0
,m ).
解 (1) Rn的维数为n，基为e1, e2 , , en ；
(2) V1 (0, a2, , an ) a2, , an R 的维数为n 1，V1的基为e2, , en ；
(3) V2 (0, 0, , 0, a) a R 的维数为1，V2的基为en ；
(4) V3 L(1,2 , ,m )的维数为1,2, ,m的秩r(1,2, ,m )， 基为1,2 , ,m的极大无关组.
例6
从R2的基1
1 0
，
2
1 1
到基1
1 1
，
2
1 2
的过渡矩阵为
______
.
解 从基1，2到基1，2的过渡矩阵P满足1，2 1，2 P
P
1，2
1
1，2
1 0
1 1 1 1 1
1 2
1 0
1 1 1 1
1 2
2 1
3 2
从基1，
，
2
， n
到基1，2，
，n
的过渡矩阵P
满足
1， 2，
，n
1，
10
二、过渡矩阵与坐标变换
例5 设向量组1 (1, 2,1)T ,2 (1,3, 2)T ,3 (1, a,3)T 为R3的一组基， (1,1,1)T
在这组基下的坐标为(b, c,1)T，求a,b, c.
解 由题意得 b1 c2 ，3
b c 1 1
bc0
a 3
即2b 3c a 1 a 2b 3c 1 b 2 .
1 0
3
0
0
2
a
0 2
a
0 0 a 6
r 1，2，3 2 a 6
故应填 6
7
本讲内容
010 向量空间的定义 02 过渡矩阵与坐标变换
二、过渡矩阵与坐标变换
定义3.12 设1,2, ,m是m维向量空间的一组基，则对V中任意向量，存在 唯一的一组实数x1, x2 , , xm，使得 x11 x22 xmm，则称 (x1, x2 , , xm )T 为向量 在基1,2 , ,m下的坐标.
b 2c 3 1
b 2c 2 c 2
定义3.12 设1,2, ,m是m维向量空间的一组基，则对V 中任意向量，存在
唯一的一组实数x1, x2 , , xm，使得 x11 x22 xmm，则称
(x1, x2 , , xm )T 为向量 在基1,2 , ,m下的坐标.
11
二、过渡矩阵与坐标变换
注 (1) 向量在一组基下的坐标是唯一的； (2) 向量空间的基不唯一，因此向量在不同基下的坐标是不同的.
过渡矩阵 设1,2 , ,m和1, 2 , , m是Rn的两组基，且有
1, 2, , m 1,2, ,m C
称C为由基1,2 , ,m到1, 2 , , m的过渡矩阵.
注 两个基之间的过渡矩阵是可逆的.
4
一、向量空间的定义
维数 m称为向量空间V的维数.
定义3.6
设向量组
i1，
，
i2
，
ir
为向量组1，
，
2
，m的一个部分组，且满足：
(1)
i，1
，
i2
，ir
线性无关；(2)
向量组中任一向量均可由
i1，
，
i2
，ir
线性表示，
则称向量组
i1，
，
i2
，ir
为向量组1，
，
2
，m的一个极大线性无关组.
定义3.8
线性代数（慕课版）
第三章 向量与向量空间
第七讲 向量空间
主讲教师 |
本讲内容
01 向量空间的定义 02 过渡矩阵与坐标变换
一、向量空间的定义
定义3.9 设V 是实数域R上的n 维向量组成的非空集合，如果V 关于向量的加法
和数乘运算是封闭的，即若 V， V，则 V；若 V，k R， 则k V，则称V 是实数域R上的向量空间.
例1 判断是否为向量空间
(1) Rn (x1, x2, , xn ) x1, x2, , xn R ； (2) V1 (0, x2, , xn ) x2, , xn R ； (3) V3 (1, x2, , xn ) x2, , xn R ； (4) V3 | k11 k22 kmm k1, k2, , km R L(1,2, ,m ).
x1 1
则
x2
1
1 0
01 2 1
1
0
1
.
x3
0 1 1 x3 0
x3 0 1 1 0 1
定义3.12 设1,2, ,m是m维向量空间的一组基，则对V 中任意向量，存在
唯一的一组实数x1, x2 , , xm，使得 x11 x22 xmm，则称
(x1, x2 , , xm )T 为向量 在基1,2 , ,m下的坐标.
，
2
， n
P；
从基1，
，
2
，n
到基1，
，
2
， n
的过渡矩阵Q
满足
1，
，
2
， n
1，
，
2
，n
Q
故应填
3
一、向量空间的定义
定义3.10 设V1，V2是为向量空间，若V1 V2，称V1是V2的子空间.
定义3.11 在向量空间V中，如果存在m 个向量1,2 , ,m 满足 (1) 1,2 , ,m 线性无关； (2) V中任何一个向量 都可由1,2, ,m 线性表示， 称1,2, ,m 为向量空间V 的一组基.
向量组1，
，
2
，m的极大无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩，
记为r
(1，
，
2
，m ).
5
一、向量空间的定义
例2 求向量空间的维数和一组基：
(1) Rn (a1, a2, , an ) a1,a2, , an R ;
(2) V1 (0, a2, , an ) a2, , an R ; (3) V2 (0, 0, , 0, a) a R; (4) V3 k11 k22 kmm k1, k2 , , km R L(1,2 ,
9
二、过渡矩阵与坐标变换
例4 已知三维向量空间的一组基为1 (1,1, 0)T ,2 (1, 0,1)T ,3 (0,1,1)T，
求向量u (2, 0, 0)T 在上述基下的坐标.
解
由定义知
u
x11
x2 2
பைடு நூலகம்
x3
，
3
x1
1
1， 2， 3
x2
u，
即
1
1 0
0 x1 2
1
x2
0，