第8章：一维杆件系统的振动分析
第8章：一维杆件系统的振动分析
2
fn
n
l
T
T
4l 2
fn n
2
(1) ρ 的取值问题 ; 影响 fn的因素 : (2) 钢绞线抗弯刚度EI的影响；
J
pdx
2
t2
T x
dx mT (x, t) dx
内力—变形关系： T GJp ( / x)
运动微分方程：
等截面杆自由振动方程：
Jp
2
t2
x
GJ p
x
mT (x, t)
2
t2
G
2
x2
c12
2
x2
c1 G / 为剪切波传播的波速
第8章 一维杆件系统的振动分析
安庆长江大桥施工情况
第8章 一维杆件系统的振动分析
都江堰安谰桥(1)
第8章 一维杆件系统的振动分析
云南永平县霁虹桥
云南永平县霁虹桥，跨澜沧江，是中国现存最古、最宽、 铁索最多的铁索桥，桥净跨57.3m，全长113.4m，桥宽约 4.1m。桥底有索16根，左右栏杆索共两根，桥位于通往印 度、缅甸的千年古道上。
Y (t) B1 cos t B2 sin t Bsin( t )
A1与A2由边界条件确定，B与α由初始条件确定。
若弦在 x =0 和 x =l 两端固定，边界条件为：
y(0 , t) y(l , t) 0 (0) (l) 0
理论力学中的杆件的振动分析
理论力学中的杆件的振动分析杆件是理论力学中经常研究的一个重要物体。
它可以是直杆、曲杆或者弯折杆。
振动分析是研究杆件在外力作用下的动态响应，对于杆件在工程实践中的应用具有重要的意义。
本文将从理论力学的角度出发，对杆件的振动分析进行探讨。
一、杆件的自由振动杆件的自由振动是指在无外力作用下，杆件在某一固有频率下产生的振动。
对于直杆而言，自由振动可以通过解杆件的振动微分方程来求解。
对于曲杆或弯折杆，由于其几何形状的复杂性，需要借助数值求解方法进行分析。
自由振动的频率可以通过求解杆件的固有值问题得到。
根据杆件的几何形状和材料性质，可以导出杆件的振动微分方程。
然后，通过合适的边界条件，解出振动微分方程的特征方程，进而求解杆件的固有频率和振型。
二、杆件的受迫振动杆件的受迫振动是指在外力作用下，杆件产生的振动响应。
外力可以是静力荷载、动力荷载或者周期性激励力，例如谐振激励力。
在杆件的受迫振动分析中，需要建立动力学方程，考虑杆件的质量、刚度和阻尼等影响因素。
对于直杆而言，可以利用振动方程和边界条件求解出杆件的受迫振动响应。
对于曲杆或弯折杆，受迫振动的分析较为复杂。
通常需要借助有限元方法进行数值模拟，得到杆件的动态响应。
在模拟前，需要对杆件进行网格划分，并设置适当的材料参数和边界条件。
通过求解有限元方程，可以得到杆件的受迫振动响应。
三、振动分析的应用理论力学中的杆件振动分析在工程实践中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的应用场景：1. 结构设计优化：通过对杆件的振动分析，可以评估结构的动态性能，从而优化设计。
例如，在桥梁工程中，振动分析可以用于评估桥梁的抗震性能，确保其在地震等外力作用下的稳定性。
2. 装配工艺分析：在装配过程中，杆件的振动响应可能会引起误差或者装配不良。
通过振动分析，可以识别潜在的装配问题，并采取相应的措施进行改进。
3. 动力学仿真：在机械系统或者工艺设备中，杆件的振动会对系统的动力学性能产生重要影响。
杆件系统的自由振动频率与模态分析
杆件系统的自由振动频率与模态分析引言：杆件系统是一种常见的结构形式，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
在设计和分析杆件系统时，了解其自由振动频率和模态分析是非常重要的。
本文将介绍杆件系统的自由振动频率与模态分析的基本原理和方法。
一、自由振动频率自由振动频率是指杆件系统在没有外部激励的情况下，由初始位移或初始速度引起的振动。
杆件系统的自由振动频率与其结构的刚度、质量和几何形状等因素有关。
1. 结构刚度杆件系统的刚度决定了其自由振动频率的大小。
刚度越大，自由振动频率越高。
刚度可以通过杆件的截面积、材料的弹性模量和杆件的长度等参数来描述。
2. 结构质量杆件系统的质量也会影响其自由振动频率。
质量越大，自由振动频率越低。
质量可以通过杆件的密度和体积来描述。
3. 几何形状杆件系统的几何形状也会对其自由振动频率产生影响。
例如，杆件的长度、截面形状和连接方式等因素都会影响自由振动频率的大小。
二、模态分析模态分析是一种研究杆件系统振动特性的方法，通过计算和分析杆件系统的模态参数，可以了解其在不同模态下的振动特性。
1. 模态参数模态参数包括自由振动频率、振型和模态质量等。
自由振动频率是模态分析的核心参数，可以通过数值计算或实验测试获得。
振型描述了杆件系统在不同模态下的振动形态，可以通过数值模拟或实验观测得到。
模态质量描述了杆件系统在不同模态下的质量分布情况，可以通过数值计算或实验测试获得。
2. 模态分析方法模态分析可以通过数值方法或实验方法进行。
数值方法主要包括有限元法和模态超级位置法等。
有限元法是一种常用的数值方法，通过将杆件系统离散成有限个单元，利用数值计算求解杆件系统的模态参数。
模态超级位置法是一种基于振动测量的实验方法，通过在杆件系统上布置加速度传感器，测量杆件系统在不同模态下的振动响应，进而得到模态参数。
三、应用与意义了解杆件系统的自由振动频率和模态分析对于结构设计和工程应用具有重要意义。
1. 结构设计在结构设计过程中，通过自由振动频率和模态分析可以了解杆件系统的振动特性，从而选择合适的结构参数，避免共振和破坏性振动的发生。
第8章 弹性体振动
第八章 弹性体振动§8-1 概述任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。
但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。
然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。
xx)a )b ((图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。
如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。
两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。
这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。
弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。
当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。
因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。
这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。
从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。
从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
关于一维相对论振子
关于一维相对论振子众所周知，一维相对论振子被认为是现代物理中最重要的基础概念之一，它可以用来描述不同物理系统中的振动行为。
一维相对论振子是一种机械系统，由摆杆、块体、锚点和弹簧组成，弹簧的力与摆杆的角度成正比。
这种机械系统可以模拟不同物理系统中的振动行为，从而为物理学家们提供了一种简单而有效的方法来理解物理系统的振动行为。
首先，我们从一维相对论振子的起源说起。
它最早是由德国数学家、物理学家“拉伯特”提出的。
他指出，当一个弹簧的失稳力与摆杆的角度成正比时，振子会产生持续的振动行为。
他的理论得到了广泛的应用，给研究物理系统的振动提供了一种新的方法。
其次，一维相对论振子也可以用来模拟物理系统中的振动行为。
例如，它可以用来模拟转子振动以及地震振动。
在转子振动中，摆杆用来模拟轴转动方向，弹簧用来模拟离心力，而锚点则模拟重力和惯性力。
地震振动中，摆杆用来模拟地壳的位移，弹簧用来模拟应力，而锚点则用来模拟地壳的各种属性。
在这两种情况下，一维相对论振子可以有效地模拟物理系统的振动行为，为物理学家们提供了一种简单而有效的理论模型。
此外，一维相对论振子还可以用来描述物理系统的非线性现象。
当摆杆的弯曲程度超出一定的程度时，弹簧的力会发生变化，从而使摆杆的运动发生变化，产生非线性现象。
因此，一维相对论振子可以用来模拟不同物理系统中的非线性现象，为物理研究提供了有益的指导。
最后，一维相对论振子也可以用来研究物理系统的参数耦合和多相变化。
例如，当摆杆的物理参数发生变化时，弹簧的力也会发生变化，从而影响摆杆的运动，从而使物理系统发生参数耦合和多相变化。
因此，一维相对论振子可以用来研究物理系统的参数耦合和多相变化，为物理学家们提供了一种有效的理论模型。
综上所述，一维相对论振子是一种重要而有效的理论工具，它可以用来描述物理系统中的振动行为，也可以用来模拟物理系统的非线性现象，以及研究物理系统的参数耦合和多相变化。
因此，一维相对论振子可以说是现代物理学中最重要的基础概念之一。
《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解
A BC 0
简支梁第r阶固有频率和振型分别为
r r L
2
EI
r ( x) D sin r x
[例2] 悬臂梁情况 ( x) A ch x B sh x C cos x D sin x
3 y (0) 0 (0) 0 ( L) 0 ( L) 0 ( EI 3 Q 0) x
n
C
L
3
2 2 ,
,
扭转振动固有频率：
ni
C (2i 1) (2i 1) L 2 2L G
i 1,2
一阶固有频率：
n1
2L G
1.5708
1 G L
一阶振型函数为：
1 ( x) A1 sin
2L
x
任意阶振型i的响应为：
i ( x, t ) i ( x)qi (t ) Ai sin
总响应：
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
( x, t ) i ( x, t ) Ai sin
i 1 i 1
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
类似波动方程，有
d 2q ＋ 2 q＝0 dt 2 d 4 2 2 0 4 dx a
令 ( x) Ae x
4
代入得
a
2
a2
0 2
a
1
2
a
3 i
a
4 i
a
结构动力学一维杆件系统的振动分析
t 0
t 1
t2
c 10 , y Y1(100) x 100 x 90 x 80
分离变量法解波动方程，设 ： y(x , t) Y (t) (x)
Y(t) (x) c2 "(x)Y (t)
上标“ ′”表示对x 的偏导数
c2 "(x) Y(t) (x) Y (t)
芜湖长江大桥是一座公铁两用低塔斜拉特大桥，正桥共有15个桥墩。 大桥为双层，铁路在下层，公路在上层。铁路桥为I级，双线，全 长10511米，正桥长2193米，桥宽21米(设四车道宽18米，两侧人行 道各宽1.5米)，芜湖岸引桥长2038米，无为岸引桥长1449米。全桥 混凝土总量约为55万立方米，结构用钢材约11万吨。
结论：一个弹性系统相当于具有无穷多个自由度，具有 无穷多个固有频率，每个固有频率都对应一个振型。
常采用模态截断：
y(x
,
t)
N
Yi
i1
(t)
sin
i
l
x
第8章 一维杆件系统的振动分析
共振原理：当激振力频率等于弦的固有频率ωn ，出现共振峰。 工程应用： 测试弦的固有频率推算弦的索力。
J
pdx
2
t2
T x
dx
mT
(x,
t)
dx
内力—变形关系： T GJ由振动方程：
Jp
2
t2
x
GJ p
x
mT (x, t)
2
t2
G
2
x2
c12
2
x2
杆的纵向振动与轴的扭转振动
振动方向不同：杆的纵向振动方向 与杆的轴线方向平行而轴的扭转振 动方向则与轴的截面垂直。
实际应用场景
机械制造：在机械制造中杆的纵向振动与轴的扭转振动常常同时存在影响机器的正常运转。
交通运输：车辆、船舶等交通工具中的传动系统如发动机、变速箱等都涉及到杆的纵向振动 与轴的扭转振动。
建筑工程：在建筑工程中如桥梁、高层建筑等需要考虑到风、地震等外力作用下杆的纵向振 动与轴的扭转振动的影响。
对系统稳定性的影响
振动可能导致系统失稳产生共振现象 振动会加速系统各部件的疲劳损伤降低使用寿命 振动会影响系统的测量精度和控制稳定性 适当抑制振动可以提高系统的稳定性和可靠性
对系统效率的影响
振动会使系统中的 元件磨损导致效率 降低
振动会产生额外的 热量影响系统的热 效率
振动会干扰信号传 输影响系统的信息 传递效率
杆的纵向振动与轴的扭转振动在工 程实际中常常同时存在需要综合考 虑它们的耦合效应。
振动类型不同：杆的纵向振动是拉 伸或压缩振动轴的扭转振动是旋转 振动。
区别
振动频率不同：杆的纵向振动频率 通常较高而轴的扭转振动频率相对 较低。
添加标题
添加标题
添加标题
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影响因素不同：杆的纵向振动主要受 轴向力、阻尼和支撑的影响而轴的扭 转振动主要受扭矩、阻尼和转动惯量 的影响。
,
汇报人：
目录
定义与原理
添加标题
定义：杆的纵向振动是指杆在轴向方向上的振动是机械振动的一种形式。
添加标题
原理：当外力作用于杆的一端或杆本身的重力引起杆的轴向变形时杆的轴向会产生周期性的振动即杆的纵 向振动。这种振动可以通过弹性理论和动力学方程进行描述和预测。
影响因素
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y方向的平衡条件:
y
T
图8.1.1 弦单元体的受力分析
T
x
dx
T
2 y t2
dx
F(x
, t)
dx
0
T
x
2 y t2
F(x
, t)
(8.1.2)
几何关系: tan y / x
2y T 2y F(x , t l / c 0
非零解： A 2 0 sin l / c 0
n l / c n (n 1, 2, 3 )
n
n
l
c
n
l
T
第8章 一维杆件系统的振动分析
第n阶固有振型: n (x) An sinnx / c An sinn x / l
n ( x)
sin
n
l
x
,
n
n
l
E
(n 1, 2 , 3, )
③ 两端自由的杆： '(0) '(l) 0
n ( x)
cos n
l
x
,
n
n
l
E
(n 0,1, 2 , )
一般解：
u( x
,
t)
n (x)
( An
cosn
t
Bn
sin n
芜湖长江大桥是一座公铁两用低塔斜拉特大桥，正桥共有15个桥墩。 大桥为双层，铁路在下层，公路在上层。铁路桥为I级，双线，全 长10511米，正桥长2193米，桥宽21米(设四车道宽18米，两侧人行 道各宽1.5米)，芜湖岸引桥长2038米，无为岸引桥长1449米。全桥 混凝土总量约为55万立方米，结构用钢材约11万吨。
t 0
t 1
t2
c 10 , y Y1(100) x 100 x 90 x 80
分离变量法解波动方程，设 ： y(x , t) Y (t) (x)
Y(t) (x) c2 "(x)Y (t)
上标“ ′”表示对x 的偏导数
c2 "(x) Y(t) (x) Y (t)
2 l
l 0
f2 (x)sinm
x / ldx
bm
A m am2 bm /m 2 tan m amm / bm
第8章 一维杆件系统的振动分析
弦的受迫振动 :
2 y t2
T
2 y x2
F(x
, t)
(8.1.3)
引入广义坐标Yn(t)，应 用振型叠加法，设解：
y(x , t)
Yn (t) sin
n1
n
l
x
两式同乘m (x) sinm x / l，从0到 l 积分, 并利用正交条件 :
Ym (t) m2Ym (t) fm (t)
(m 1, 2, )
fm (t)
2 l
l 0
F(x
, t)sinm
x / l dx
A2 cos l / c 0
cos l / c 0
cos l / c 0
第8章 一维杆件系统的振动分析
n
n
1 2
l
c
n
1 2
l
E
(n 1, 2 , 3, )
振型函数：
n(x) sin
n
1 2
x/l
② 两端固支的杆： (0) (l) 0
结论：一个弹性系统相当于具有无穷多个自由度，具有 无穷多个固有频率，每个固有频率都对应一个振型。
常采用模态截断：
y(x
,
t)
N
Yi (t)
i1
sin
i
l
x
第8章 一维杆件系统的振动分析
共振原理：当激振力频率等于弦的固有频率ωn ，出现共振峰。
工程应用： 测试弦的固有频率推算弦的索力。
第8章 一维杆件系统的振动分析
安庆长江大桥施工情况
第8章 一维杆件系统的振动分析
都江堰安谰桥(1)
第8章 一维杆件系统的振动分析
云南永平县霁虹桥
云南永平县霁虹桥，跨澜沧江，是中国现存最古、最宽、 铁索最多的铁索桥，桥净跨57.3m，全长113.4m，桥宽约 4.1m。桥底有索16根，左右栏杆索共两根，桥位于通往印 度、缅甸的千年古道上。
c2 "(x) Y(t) 2
(x) Y (t)
第8章 一维杆件系统的振动分析
左边仅是 x 的函数， 右边仅是 t 的函数。
"(x) c 2 (x) 0 (x) A1 cos x / c A2 sin x / c
Y(t) 2Y (t) 0
西藏拉萨达孜桥
第8章 一维杆件系统的振动分析
达孜桥位于西藏拉萨市东郊25km处，跨越拉萨河，建于 1984年。为跨径500m的悬索桥。由于一侧的塔架和鞍座设 在山上，桥面长度仅415m。桥面宽4.5m，为单车道桥。
第8章 一维杆件系统的振动分析
江阴长江大桥悬索－吊杆特写
润杨大桥全景图
第8章 一维杆件系统的振动分析
Y (t) B1 cos t B2 sin t Bsin( t )
A1与A2由边界条件确定，B与α由初始条件确定。
若弦在 x =0 和 x =l 两端固定，边界条件为：
y(0 , t) y(l , t) 0 (0) (l) 0
(0) 0
A1 0 (x) A2 sin x / c
第8章 一维杆件系统的振动分析
§8-2 直杆的纵向振动和扭转振动
8.2.1 直杆纵向振动的微分方程
力学模型: 单元体受力分析: 0
u
x dx
u u dx x x
F ( x, t )
Adx u&&
FN
FN x
d
x
FN
轴向的平衡条件:
Fdx
图 8.2.1 杆纵向振动时单元体的受力分析
t2 x2
(8.1.3)
自由振动方程(波动方程)： 横波沿弦传播的波速：
第8章 一维杆件系统的振动分析
2y c2 2y
t2
x2
(8.1.4)
c T/
波动方程的一般解： y Y1(ct x) Y2 (ct x)
第一项表示振动波形以波速c沿x轴的正方向传播
y Y1(ct x)
2 m
l 0
A
m ( x)
n (x)
dx
l 0
d dx
[
EAm
'
(
x)]
n
(x)
dx
n
(
x)EAm
'
(x)
l 0
l 0
EAm'(x) n '(x) dx
不管两端是固定还是自由，都能保证右边第一项为零。
2 m
l 0
A
m
( x)
n
( x)
dx
l 0
EAm'(x)n'(x) dx
t)
n1
8.2.4 振型函数的正交性
第8章 一维杆件系统的振动分析
振型函数： m (x) , n (x)
分别满足特征方程：
A
m2
m
(
x)
d dx
[
EA
m
'
(
x)]
A
n2
n
(x)
d dx
[EAn
'
(
x)]
第一式两边乘以φn(x) , 从0到 l 积分，并分部积分：
第二篇 连续系统的线性振动
第8章 一维杆件系统的振动分析
描述离散系统的运动方程——常微分方程组 描述连续分布系统的运动方程——偏微分方程(组) 偏微分方程(组)所描述的是一个场的问题：
位移场 应力场 温度场 电磁场
关键问题： 控制方程、边界条件
一维问题：弦、杆、梁等结构 一个空间坐标 x 和一个时间坐标 t
l
x
sin
n
f2 (x)
A
n1
nn
sin
n
l
x
cos
n
两式同乘m (x) sinm x / l，从0到 l 积分, 并利用正交条件:
A m
s in m
2 l
l 0
f1 ( x) s in m
x / ldx
am
A mm
c os m
U (t) B1 cos t B2 sin t B sin( t )
边界条件 ： ① x =0固支，x =l自由的杆
u(0, t) 0 , N(l, t) 0
(0) 0 '(l) 0
(0) 0 '(l) 0
A1 0 (x) A2 sin x / c
铜陵长江大桥
第8章 一维杆件系统的振动分析
位于铜陵市羊山矶下游600米处，桥型为预应力钢筋混凝 土双塔索面斜拉桥，是世界上同类型第3位大跨径桥梁。 全长2592米，主桥长1152米，最大跨径为432米，桥面宽 度23米，其中4车道15米，人行道5米，通航净高24米。