利用导数求最值
专题训练--利用导数求单调区间、极值、最值
利用导数求函数的单调性、极值 、最值一．求单调区间的步骤①求定义域；①求导函数f ′(x )；①解方程f ′(x )＝0；④分区间；⑤列表定导数正负得单调区间. 二．求极值的步骤（同上） 极值的定义：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． 三．求函数最值的步骤①求极值；①求[a ，b ]端点的函数值f (a )、f (b )；①比较极值与端点函数值的大小，得最值.考向一 求单调区间【例题】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-； （2）2()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【练习】1．函数 f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ） A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)2.函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( )A.(0，1)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－∞，0)①(1，＋∞) 3．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R4．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为________．【答案】()12，＋∞ 5．函数f (x )＝x ·e x －e x＋1的单调增区间是________．【答案】 (e －1，＋∞)6．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调减区间是________．【答案】()0，1e7．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调增区间是_______．()－π，－π2和()0，π28. 函数f (x )=(x-3)e x 的单调递增区间是 。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数 (R)．(1)当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为.（2）a的取值范围是．【解析】（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2）根据= ，得到△= = .据此讨论：①若a≥1，则△≤0，此时≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .计算f（0），,得到结论.②若a＜1，则△＞0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．有．给出当变化时，的取值情况表.根据f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．作出结论.试题解析：（1）当时，，∴.令="0," 得. 2分当时,, 则在上单调递增;当时,, 则在上单调递减;当时,, 在上单调递增. 4分∴当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. 6分（2）∵= ，∴△= = .①若a≥1，则△≤0， 7分∴≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 .∵f（0），,∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 9分②若a＜1，则△＞0，∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．∴．当变化时，的取值情况如下表：x x（x，x）x++11分∵,∴.∴=.同理. ∴.令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．而当时,, 13分故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是． 14分【考点】应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想.2.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值3.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.4.已知函数,是函数的导函数，且有两个零点和(),则的最小值为()A．B．C．D．以上都不对【答案】B【解析】，由题意，当或时，，当时，，因此的最小值是，选B．【考点】函数的极值与最值．5.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．【答案】(，2)【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2.7.设函数f(x)＝x e x，则()．A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【答案】D【解析】∵f(x)＝x e x，∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)＞0时，则x＞－1，函数y＝f(x)是增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.9.若函数在区间内有极值，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数在区间内有极值，所以导数在区间内必有零点，于是.【考点】1.导数的公式与法则；2.函数的零点.10.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.你认为以上推理的 ( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】本题中，如果，则是函数的极值点是错误的.若是函数的极值点，则函数在的左右两侧异号，而否则尽管有，都不能说明是函数的极值点.如，其导数，函数在上是增函数.所以不是函数的极值点.因此本题是大前提错误.【考点】推理与证明、导数、函数的极值11.在处有极小值，则实数为 .【答案】1【解析】由得，又在处有极小值，故，解得或，当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极小值；当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极大值.综上可知.【考点】利用导数处理函数的极值12.已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.【答案】（1），无极大值；（2）见解析.【解析】（1）先找到函数的定义域，在定义域内进行作答，在条件下求出函数的导函数，根据函数的单调性与导数的关系，判断函数的极值；（2）先求出函数的导函数，其导函数中含有参数，所以要进行分类讨论，对分三种情况，，进行讨论，分别求出每种情况下的函数的单调增区间和单调减区间.试题解析：（1）函数的定义域是， 1分当时，，所以在上递减，在上递增，所以函数的极小值为，无极大值； 4分（2）定义域， 5分①当，即时，由，得的增区间为；由，得的减区间为； 7分②当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 9分③当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 11分综上，时，的增区间为，减区间为；时，的增区间为和，减区间为；时，的增区间为和，减区间为. 13分【考点】1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.13.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.14.已知函数，当时取得极小值，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，当；当；当，故在处取得最小值，即，则，所以，故选D.【考点】导数的极值点求法，导数的极值求解.15.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。
高中数学讲义：利用导数解函数的最值
函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x £，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x ³，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =Î，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z pp =+Î，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ³=，即不等式ln 1x x £-二、典型例题：例1：求函数()x f x xe -=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x \的单调区间为：x (),1-¥()1,+¥'()f x +-()f x Z ]()()max 11f x f e\==，无最小值小炼有话说：函数()xf x xe-=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
第22讲 利用导数研究函数的极值和最值(解析版)
第22讲利用导数研究函数的极值和最值【基础知识回顾】1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x ＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x ＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3、常用结论1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．1、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A.－4B.－2C.4D.2【答案】D【解析】由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.3、.函数f (x )＝e xx 2－3在[2，＋∞)上的最小值为( )A.e 36B.e2C.e 34D.2e【答案】 A【解析】 依题意f ′(x )＝e x（x 2－3）2(x 2－2x －3) ＝e x（x 2－3）2(x －3)(x ＋1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f (3)＝e 332－3＝e 36.4、函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【解析】 设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4. 当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C. 5、设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 【答案】D【解析】 因为f (x )＝2x ＋ln x ，所以f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >0.当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.考向一 利用导数研究函数的极值例1、已知函数()32331(R,0)f x ax x a a a=-+-∈≠，求函数()f x 的极大值与极小值．【解析】：由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax 2x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 变式1、已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．【解析】(1)因为f (x )＝x －1＋ae x ，所以f ′(x )＝1－aex ，又因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0， 即1－ae1＝0，所以a ＝e.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ae x ，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， 因此f (x )无极大值与极小值； 当a >0时，令f ′(x )>0，则x >ln a ， 所以f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增， 令f ′(x )<0，则x <ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值， 且f (ln a )＝ln a ，但是无极大值，综上，当a ≤0时，f (x )无极大值与极小值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，但是无极大值．变式2、 (1)若函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x 的极小值点是x ＝1，则f (x )的极大值为( ) A ．－e B ．－2e 2 C ．5e －2 D ．－2【答案】 C【解析】 由题意，函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x [x 2＋(2－a )x －1－a ]， 所以f ′(1)＝(2－2a )e ＝0， 解得a ＝1，故f (x )＝(x 2－x －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x (x ＋2)(x －1)，则f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－2)＝5e －2.(2)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫52，103 B.⎣⎡⎭⎫52，103 C.⎝⎛⎦⎤52，103 D.⎣⎡⎦⎤2，103 【答案】 B【解析】 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)，∴f ′(x )＝1x＋x －a ，∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x ＋x .设g (x )＝1x＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝2， 又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.方法总结：(1)求函数()f x 极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数()f x '；③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④列表检验在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．(2)若函数()y f x =在区间内有极值，那么()y f x =在(),a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．考向二 利用导数研究函数的最值例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）当时，，， 所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.（2）因为，因为函数处有极小值，所以，()32112f x x x ax =-++2a =()y f x =()()0,0f ()1f x x =在()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦210x y -+=49272a =321()212f x x x x =-++2()32f x x x '=-+(0)2f '=(0)1f =()y f x =()()0,0f 12y x -=210x y -+=2()3f x x x a '=-+()1f x x =在(1)202f a a '=+=⇒=-所以 由，得或， 当或时，， 当时，， 所以在，上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以的最大值为. 变式1、已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a.(1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值. 【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝3－2xx 2，则f ′(x )＝x 2·（－2）－（3－2x ）·2xx 4＝2x －6x 3. 当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4， 故y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－4(x －1)， 整理得4x ＋y －5＝0. (2)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a，则f ′(x )＝（x 2＋a ）·（－2）－（3－2x ）·2x（x 2＋a ）2＝2（x 2－3x －a ）（x 2＋a ）2.若函数f (x )在x ＝－1处取得极值， 则f ′(－1)＝0，即2（4－a ）（a ＋1）2＝0，解得a ＝4.经检验，当a ＝4时，x ＝－1为函数f (x )的极大值，符合题意.2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =23x <-1x >()0f x '>213x -<<()0f x '<()f x 22,3⎛⎫--⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭此时f (x )＝3－2x x 2＋4，其定义域为R ，f ′(x )＝2（x －4）（x ＋1）（x 2＋4）2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4. f (x )，f ′(x )随x 的变化趋势如下表：故函数f (x )极大值为f (－1)＝1，极小值为f (4)＝－14.又因为x <32时，f (x )>0；x >32时，f (x )<0，所以函数f (x )的最大值为f (－1)＝1， 最小值为f (4)＝－14.变式2、 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 【解析】 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意.②若a ＜－1e ，令f ′(x )＞0得a ＋1x ＞0，结合x ∈(0，e]，解得0＜x ＜－1a ；令f ′(x )＜0得a ＋1x ＜0，结合x ∈(0，e]，解得－1a＜x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增， 在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上单调递减， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2， 即a ＝－e 2.∵－e 2＜－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.方法总结：1.利用导数求函数f(x)在[a ，b]上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a ，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.考向三 极值（最值）的综合性问题例3、已知函数()323(,)f x ax bx x a b R =+-∈在1x =-处取得极大值为2. (1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值． 【解析】 ：(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.由题意得()12(1)0f f ⎧-=⎪⎨'-=⎪⎩，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝23a －2b －3＝0)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0)，经检验成立，所以f(x)＝x 3－3x.(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0.得x ＝±1. 列表如下：因为max min 间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c≥4.所以c 的最小值为4.变式1、设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1 B.m ＋1m －1 C.1－m m ＋1 D.m ＋11－m【答案】 B 【解析】由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0， 得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 变式2、已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( ) A ．1≤b <a B ．b <a ≤1 C ．a <1≤b D ．a <b ≤1【答案】 B 【解析】令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0， 得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析． 对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么．1、若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)ex f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．2、已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 3、（2021·广东高三月考）已知函数()322f x x ax b =-+，若()f x 区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1，则a 的值可以是（ ）A ．0B ．4C ．D ．【答案】AB【解析】()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()603a f x x x '⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得0x =或3a .①当0a ≤时，可知()f x 在[]0,1上单调递增，所以()f x 在区间[]0,1的最小值为()0f b =，最大值为()12f a b =-+. 此时a ，b 满足题设条件当且仅当1x =-，21a b -+=， 即0a =，1b =-.故A 正确.②当3a ≥时，可知()f x 在[]0,1上单调递减，所以()f x 在区间[]0,1的最大值为()0f b =，最小值为()12f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，1b =，即4a =，1b =.故B 正确.③当0<<3a 时，可知()f x 在[]0,1的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 最大值为b 或2a b -+或3127a b -+=-，1b =，则a =，与0<<3a 矛盾. 若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-0a =，与0<<3a 矛盾.故C ､D 错误.故选：AB4、（2021·广东宝安·高三月考）（多选题）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<- C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【答案】ABC【解析】对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x x f x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误. 对C, 当因为()e e x x f x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值.故选：ABC5、（2020全国Ⅰ理21）已知函数()2e xf x ax x =+-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()'21x f x e x =+-，由于()''20x f x e =+>，故()'f x 单调递增，注意到()'00f =，故：当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增．(2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①．当x=0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②．当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112xe x x g x x ---=-，()()231212'x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=-， 令()()21102x e x x h x x ---≥=，则()'1x h x e x =--，()''10x h x e =-≥， 故()'h x 单调递增，()()''00h x h ≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21102x e x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减；因此，()()2max 724e g x g -⎡⎤==⎣⎦．综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 6、（2020全国Ⅱ文21）已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f ag x x a -=-的单调性．【解析】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞，()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ≤+⇒--≤⇒+--≤*，设()2ln 12(0)h x x x c x =+-->，则有22(1)()2x h x x x -'=-=， 当1x >时，()0,()h x h x '<单调递减；当01x <<时，()0,()h x h x '>单调递增，∴当1x =时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在(0,)+∞上恒成立，只需max ()0101h x c c ≤⇒--≤⇒≥-．（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠，因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，∴()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即 ()0g x '<，∴()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，∴()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，∴()g x 单调递减，∴函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间．。
高二数学利用导数求最值和极值试题
高二数学利用导数求最值和极值试题1.函数在（0,1）内有最小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】首先对函数进行求导，即，然后根据函数在（0,1）内有最小值，讨论参数与0的大小关系，进而找到符合条件的的取值范围，即（1）若，此时，这表明在（0,1）上单调递增的，所以在处取得最小值，显然不可能；（2）若，令，解得，当时，为增函数，为减函数，所以在处取得最小值，也是最小值，故极小值点在（0,1）内，符合条件要求.综上所述，的取值范围为（0,1）.故答案应选B.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.2.已知函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数求导，求出极值点，范围在内，得到不等式关系，解不等式即可；（2）要对恒成立问题转化,转化为求最值问题，令，求出在的最小值.试题解析：（1）当x>0时，，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为.（2）当时，令，由题意，在上恒成立令，则，当且仅当时取等号．所以在上单调递增，．因此，在上单调递增，．所以．【考点】导数运算，化归思想.3.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；4.已知函数.（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）由，得切线的斜率为．又切线过点，所以直线的方程为 4分（2），则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．在上的最小值为③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为．综上：当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为． 12分【考点】（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.5.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．6.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是( ).A．5，－15B．5，－14C．5，－16D．5，15【答案】A【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.7.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.8.函数．（1）求函数的极值；（2）设函数，对，都有，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解题思路：（1）求导，令得，列表即可极值；（2）因为，都有，所以只需即可，即求的最值.规律总结：（1）利用导数求函数的极值的步骤：①求导；②解，得分界点；③列表求极值点及极值；（2）恒成立问题要转化为求函数的最值问题.注意点：因为，都有，所以只需即可.试题解析：（1）因为，所以，令，解得，或，则＋－＋故当时，有极大值，极大值为；当时，有极小值，极小值为．（2）因为，都有，所以只需即可．由（1）知：函数在区间上的最小值，又，则函数在区间上的最大值，由，即，解得，故实数m的取值范围是．【考点】1.函数的极值；2.不等式恒成立问题.9.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】求导得=，当-1＜＜0时，，当时，＜0，所以该函数在（-1,0）上是增函数，在（0,1）是减函数，故当=0时，=，所以=3，所以当=-1时，y=，当=1时，=，所以该函数在[-1,1]上的最小值为.【考点】利用导数求函数在某个闭区间上的最值10.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上 ( )A．既有极大值,也有极小值B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值D．没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．【考点】新定义,函数的极值．11.若函数在（0，1）内有极小值，则 ( )A．＜1B．0＜＜1C．b＞0D．b＜【答案】B【解析】由得：，若函数在（0，1）内有极小值，则必在区间内有解，即关于的方程区间内有解，所以有，故选B.【考点】导数与函数的极值.12.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】由函数得，令0得x=0或x=1，<0得，>0得x>1或x<0，所以函数在（0,1）上是减函数，在上是增函数，故最大值为f(0)=a=3,f(1)=,f(-1)=,故最小值为,【考点】导数与函数的极值.13.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是。
利用导数求解函数的单调性与最值问题
利用导数求解函数的单调性与最值问题在微积分学中，导数是一个重要的概念，它被应用于许多实际问题的解决中。
本文将重点讨论如何利用导数来求解函数的单调性及最值问题。
1. 导数的定义导数描述了函数f(x)在某一点x处的变化率。
它的定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)]/Δx其中Δx表示x的增量，f(x+Δx)-f(x)表示y的增量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 求解单调性问题当函数f(x)单调递增时，其导数f'(x)>0；当函数f(x)单调递减时，其导数f'(x)<0。
因此，我们可以利用导数的正负性来判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x^2，在x>0时它单调递增，而在x<0时它单调递减。
我们可以通过求导得到它的导数：f'(x) = 2x当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。
因此，函数f(x)=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减。
3. 求解最值问题函数f(x)在x处取得最大值或最小值，等价于在点x处的导数为0，或者在点x处的导数不存在。
因此，求解函数f(x)的最值问题，我们需要先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0求出x的值，即可得到函数f(x)的极值点。
最后，再对这些极值点进行比较，就可以确定函数f(x)的最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+5，我们可以先求出它的导数：f'(x) = 3x^2-3令f'(x)=0，解得x=±1。
这两个点即为函数f(x)的极值点。
我们还需要判断它们是否是函数的最值点。
当x=1时，f''(x)=6>0，说明f(x)在x=1处取得极小值；当x=-1时，f''(x)=-6<0，说明f(x)在x=-1处取得极大值。
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数在（0,1）内有最小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】首先对函数进行求导，即，然后根据函数在（0,1）内有最小值，讨论参数与0的大小关系，进而找到符合条件的的取值范围，即（1）若，此时，这表明在（0,1）上单调递增的，所以在处取得最小值，显然不可能；（2）若，令，解得，当时，为增函数，为减函数，所以在处取得最小值，也是最小值，故极小值点在（0,1）内，符合条件要求.综上所述，的取值范围为（0,1）.故答案应选B.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.2.已知函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数求导，求出极值点，范围在内，得到不等式关系，解不等式即可；（2）要对恒成立问题转化,转化为求最值问题，令，求出在的最小值.试题解析：（1）当x>0时，，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为.（2）当时，令，由题意，在上恒成立令，则，当且仅当时取等号．所以在上单调递增，．因此，在上单调递增，．所以．【考点】导数运算，化归思想.3.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；4.已知函数.（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）由，得切线的斜率为．又切线过点，所以直线的方程为 4分（2），则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．在上的最小值为③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为．综上：当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为． 12分【考点】（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.5.已知是实数，函数.（1）若，求的值及曲线在点处的切线方程.（2）求在上的最大值.【答案】（1），；（2）．【解析】解题思路：（1）先求导，进而求得值，利用导数的几何意义求切线方程；（2）求导，讨论的根与区间的关系，进而求得极值.规律总结：导数的几何意义求切线方程：；利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.试题解析：（1），因为又当时所以曲线在处的切线方程为（2）令，解得，当即时，在上单调递增，从而.当即时，在上单调递减，从而当即时，在上单调递减，在单调递增，从而综上所述.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值.6.设函数f(x)＝＋ln x，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【答案】D【解析】因为，所以当时，，当x>2时，，故知x＝2为f(x)的极小值点．故选Ｄ．【考点】函数的极值．7.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．8.已知函数在处取得极值为（1）求的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值．【答案】（1）（2）在上的最小值为【解析】（1）由，又知在处取得极值，，即可解得的值.（2）由（1）可得，即可求得函数在处有极大值，再由，可得，，再利用单调性易判断在上的最小值为.试题解析：（1）∵，∴又∵在处取得极值，∴且，即且，解得：.（2）由（1）得：，，令，解得：，极大值极小值∴函数在处有极大值，且，∴，此时，，在上的最小值为.【考点】利用函数极值求参数；利用导数求函数最值.9.定义在R上的函数，若对任意，都有，则称f(x)为“H函数”，给出下列函数：①；②；③；④其中是“H函数”的个数为( ).A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.10.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.11.函数．（1）求函数的极值；（2）设函数，对，都有，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解题思路：（1）求导，令得，列表即可极值；（2）因为，都有，所以只需即可，即求的最值.规律总结：（1）利用导数求函数的极值的步骤：①求导；②解，得分界点；③列表求极值点及极值；（2）恒成立问题要转化为求函数的最值问题.注意点：因为，都有，所以只需即可.试题解析：（1）因为，所以，令，解得，或，则x－22＋－＋故当时，有极大值，极大值为；当时，有极小值，极小值为．（2）因为，都有，所以只需即可．由（1）知：函数在区间上的最小值，又，则函数在区间上的最大值，由，即，解得，故实数m的取值范围是．【考点】1.函数的极值；2.不等式恒成立问题.12.已知既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得:在R上有两个不相等的实根,所以解得:,故选D．【考点】函数的极值．13.已知函数，存在，，则的最大值为。
利用导数求函数的极值(最值)的几个特例
Ｂｆ （。不存在 ． ）
垒 二
一
二ｏ ： 一 ） ２ …（ 一０ ） （ １（ 一 ） ５ ） △
一
、
一
，、
厶
，
、‘ Ｊ 一 一 ｕ
． ，・
ｃ 。 ０ 。 ． （ ） 或厂（ ） 在 ｆ ＝ 不存
答 案 ： Ｃ
Ｄ 。 ．（ ） ｆ 存在但可能不为０
＜ 即０ ０， ＜ ４
一
≤２ｊ ＂ ≤一— ｇ 一 ￣ ２ １
—
＜ ０
＋一 一
１
＋ ——
１
十 — —
ｌ
观 察 函数 在 各段 上 导数 的符 号 ．从 而 准确 判 断 各 段 上 函数 的 单
调 性 ． 定 函数 的极 值 和 最值 ． 确
当 ０ ，＝ ， ２ ， ， ＝ 时 ｙ Ｏ 即一 ≤） ≤２ 函数有最大值２ 最小值 一 ． ， ２
特例２ 设 函数 厂 ＝ 一 ） １下列结论正确的是（ （ （ １ｚ ， ） ＋ Ａｘ ｌ 函数 的极小值点 ，＝ 是极大值点 ． 是 ＝ ｘ０
Ｂ ＝ 及 ０ 是 函数 的 极 大 值 点 ． １ ＝均 Ｃｘ ｌ ＝ 均 是 函数 的 极 小 值 点 ．＝ 及ｘ ０ Ｄ １ 函数 的极 小 值 点 ， ． 是 ＝ 函数 无 极 大 值 点
答案 ： Ｄ
） ．
数 的公 式 求 解 即 可．
特 例４ 函 数ｙ ＝
（
） ．
Ａ 有最大值２ 无最小值 ． ，
Ｂ无最大值 ， ． 有最小值一 ２
ｃ最大值２ 最小值一 ． ， ２
答 案 ： Ｃ
Ｄ无最值 ．
解析： ）６ｘ １Ｘ ０解得 ＝ ， ＝． 令厂（ ＝（３ ） ＝ ， － ２ ． ｘ１ ０ ２ 列出表格如下
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用导数求最值导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。
导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。
下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。
一、函数的最大值与最小值在闭区间[b a ,]上连续，在（b a ,）内可导，)(x f 在[b a ,]上求最大值与最小值的步骤：先求 )(x f 在（b a ,）内的极值；再将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
求可导函数极值的步骤：首先：求导数)('x f ；再求导数)('x f =0的根；最后：检查)('x f 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取极小值。
二、利用导数求最值例1、设0>x ，求32)1(32)1(211ln -+--+x x x x 的最小值。
解：设32)1(32)1(211ln )(-+--+=x x x x x f ，则2222)1(2)1()1(1)1(2)1(11)(-+---=-+---='x x x xx x x x x f⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=2222212)1()1(21)1()1(211)1(x x x x x x x x x x.12)1(23xx x +-= 令0)(='x f ，由0>x ，解得1=x 。
列表：由表可知，当1=x 时，)(x f 有最小值1。
评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。
当函数f （x ）为连续函数且在[]b a ,上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连续函数f （x ）在（a ，b ）内只有一个可疑点时，若在这一点处f （x ）有极大（小）值，则可以判定f （x ）在该点处取得最大（小）值，这里（a ，b ）也可以是无穷区间。
练习1：已知a ≥ 0，函数f （x ）＝（x 2－2ax ）e x ，当x 为何值时，f （x ）取得最小值？并证明你的结论； 三、利用导数求最值的运用 （一）求函数的值域例2 、求函数x x x x f --++=4325)(的值域．解：由⎩⎨⎧≥-≥+0403x x 得)(x f 的定义域为43≤≤-x 。
因为0421315)4()32()5()(>++++='--'++'='='x x x x x x f y ，所以)(x f 在[]4,3-上单调递增，故当3-=x 时，4,715=--=x y 最小时，7220+=最大y 。
所以值域为[]7220,715+--。
评注：求函数的值域转化为求)(x f 在闭区间[]4,3-上的最大值和最小值的问题，考虑其单调性易求值域，必须注意函数的定义域。
练习2：已知x ，y 为正实数，且满足关系式04222=+-y x x ，求xy 的最大值。
（二）利用最值求参数的值（或范围） 例3、设132<<a ，函数)11(23)(23≤≤-+-=x b ax x x f 的最大值为1，最小值为26-，求a ，b 的值。
解：)(333)('2a x x ax x x f -=-=，当x 变化时，)(),('x f x f 变化情况列表如下： x－1 （－1，0） 0（0，a ） a （a ，1） 1 )('x f+0 － 0+)(x fb a +--231bb a +-23b a +-231当x=0时，f （x ）取极大值b ，而)()0(a f f >，)1()1(f f <-，故需比较f （0）与f （1）的大小。
∵0123)1()0(>-=-a f f ，∴f （x ）最大值为f （0）=b=1。
又0)2()1(21)23(21)()1(23<-+=--=--a a a a a f f 。
∴)1()(min -=f x f ，∴2623123-=-=+--a b a ，∴1,36==b a 。
评注：这是一道求函数的最值的逆向思维问题。
本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题一目了然，从而确定出a ，b 的值。
（三）利用最值研究恒成立问题 例4、设函数,5x 2x 21x )x (f 23+--=若对于任意]2,1[x -∈都有m )x (f <成立，求实数m 的取值范围。
解： ,2x x 3)x (f 2--='令,0)x (f ='得32x -=或1x =。
∵当32x -<或1x >时，,0)x (f >'∴)x (f y =在)32,(--∞ 和),1(∞+ 上为增函数， 在)1,32( -上为减函数，∴)x (f 在32x -=处有极大值，在1x =处有极小值。
极大值为27225)32(f =-, 而7)2(f =, ∴)x (f 在]2,1[ -上的最大值为7。
若对于任意x ]2,1[ -∈都有m )x (f <成立, 得m 的范围 7m >。
评注：利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f(x)≥a 对x ∈R 恒成立⇔ f(x)的最小值≥a 成立；f(x)≤a 对x ∈R 恒成立⇔f(x)的最大值≤a 成立。
练习2：已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与x ＝1时都取得极值。
⑴求a 、b 的值；⑵若对2[1,2],()x f x c ∈-恒成立，求c 的取值范围。
四、利用最值证明不等式例5、已知)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值-2。
（1）求 f(x)的单调区间和极大值；（2）对任意)1,1(,21-∈x x ，求证：不等式4)()(21<-x f x f 恒成立。
解：（1）∵f(x)是奇函数，R x ∈， ∴f(0)=0, ∴d=0因此c ax x f cx ax x f +=+=2'33)(,)( 由条件f(1)=-2为f(x)的极值，∴f ,(1)=0，∴⎩⎨⎧=+-=+032c a c a ，解之得：a=1，c=-3则33)(,3)(2'3-=-=x x f x x x f ， 令0)('=x f ，得1±=x∴f(x)的单调减区间是[-1，1]，f(x)的单调增区间是(][)∞+-∞-，和11，当x=-1时，f(x)有极大值2。
（2）证明：由（1）知f(x)在[-1，1]上是减函数，且f(x)在[-1，1]上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2∴对任意)1,1(,21-∈x x ， 恒有4)1()1()()(21=--<-f f x f x f评注：本题（2）借助于最值证明不等式，最值的研究利用了导数法，同时对于可导函数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为0；某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。
此外，函数的极值点也可能是不可导点。
附练习答案：1、解：（1）对函数f （x ）求导数，得f′（x ）＝（x 2－2ax ）e x +（2x －2a ）e x ＝［x 2+2（1-a ）x-2a ］e x 。
令f′（x ）＝0，得［x 2+2（1-a ）x-2a ］e x ＝0，从而x 2+2（1－a ）x －2a ＝0。
解得2111a a x +--=2211a a x ++-=，其中x 1＜x 2。
当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化如下表： x （－∞ ，x 1 ）x 1 （ x 1 ， x 2）x 2 （x 2 ，+∞）f ′（x ） +0 — 0 + f （x ）极大值极小值当f （x ）在x ＝x 1处取到极大值，在x ＝x 2处取到极小值.当a≥0时，x 1＜－1，x 2 ≥0，f （x ）在（x 1，x 2）为减函数，在（x 2，+∞）为增函数. 而当x ＜0时，f （x ）＝x （x －2a ）e x ＞0；当x ＝0时，f （x ）＝0. 所以当211a a x ++-=时，f （x ）取得最小值。
2、解：由题意，)20(2212≤<-=x x x x xy ，设f （x ）)20(2212≤<-=x x x x 。
当20<<x 时，222)23()('x x x x x f --=，令0)('=x f ，得23=x 或x=0（舍去）。
当x 在(]2,0内变化时，y /，y 有如下变化情况： x⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0 23 2,23⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2y / + 0－ y极大值833由上表可知，当x=23时，f （x ）最大值为833，亦即xy 的最大值为833。
3、解：⑴1,22a b =-=-； ⑵令32321()22g x x ax bx x x x =++=--，故对任意2[1,2],()x g x c c ∈--恒成立。
∵2()32(1)(2)g x x x x x '=--=-+，列表知对任意[1,2]x ∈-，y ＝()g x 的最大值为g（2）＝2，∴2＜c 2－c ，得c ＜－1或c ＞2。