华师大版初二数学因式分解知识点及例题详解
华师大版-数学-八年级上册--辅导-13.5因式分解 整式的乘除和因式分解
整式的乘除和因式分解【本讲教育信息】一、教学内容：期末复习1. 全等三角形2. 轴对称3. 实数4. 一次函数5. 整式的乘除和因式分解二、知识要点：1. 全等三角形的定义、性质、判定（1）____________________的三角形叫全等三角形，全等三角形的__________、__________相等．（2）一般三角形全等的判定方法有____________________． （3）直角三角形全等的特有判定方法是__________． 2. 角平分线、线段垂直平分线的性质和判定A BC OP D EA3. 轴对称图形和轴对称的定义和性质 轴对称图形：一个图形，特殊形状 轴对称：两个图形，特殊位置关系4. 等腰三角形（等边三角形） （1）定义顶角底角底边腰底角腰（2）性质：等边对等角；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合．（3）等边三角形的性质和判定：等边三角形的三个角__________，每个角为__________；__________的三角形为等边三角形．（4）在直角三角形中，如果有一个锐角为30°，那么____________________． （5）点关于坐标轴对称的特征：（x 、y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，－y ）； （x 、y ）关于y 轴对称的点的坐标为（－x ，y ）． 5. 实数相关概念及化简运算（1）平方根；（2）算术平方根；（3）立方根；（4）开方、±a （a ≥0）、3a ；（5）无理数．6. 一次函数的图象及其性质b ＝0b ＜0＞0k ＜0,k k ＜0,b7. 一次函数和一元一次不等式、方程组的关系从数的角度看：y ＝kx ＋b y ＝0时，求x解方程kx ＋b ＝0y ＝kx ＋b y ＞0（y <0）时，求x 的取值范围解不等式kx ＋b >0（kx ＋b <0） 从形的角度看：（1）y ＝0时，直线与x 轴交点横坐标的值．（2）y ＞0或y ＜0时，射线（x 轴上方或下方的图象）对应的x的取值范围．8. 幂的运算a m ·a n ＝a m ＋n ，（a m ）n ＝a mn ，（ab ）m ＝a m b m ，a m ÷a n ＝a m －n ，a 0＝1（a ≠0）． 9. 整式的乘除 平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2； 完全平方公式：（a ±b ）2＝a 2＋b 2±2ab ；因式分解：①提公因式法，②运用公式法：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ），a 2＋b 2±2ab ＝（a ±b ）2．三、重点、难点：三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的性质及应用，幂的运算和因式分解．四、考点分析：这个学期的教学内容在中考中是比较重要的，其中一次函数和三角形往往会各出现一道解答题，每题在8分左右．轴对称、实数、整式乘除和因式分解往往是以选择题或填空题的形式出现，各占3分左右．也就是说这部分内容会占到24分至30分．【典型例题】例1. 完成下列各题：（1）如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BC ＝12cm ，BD ＝8cm ，则点D 到AB 的距离为__________．ABCD(1)12ABCE (2)BCD (3)（2）如图所示，∠1＝∠2，要使△ABE ≌△ACE ，还需添加一个条件是__________．（填一个即可）（3）如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，∠A ＝30°，若AB ＝12cm ，则BD ＝__________．（4）若点M （m ，－4）、N （2，n ）关于x 轴对称，则m ＝__________，n ＝__________． （5）（2008年长沙）下面计算正确的是（ ） A. （－2）0＝－1 B. 4＝±2 C. （m ·n 3）2＝m ·n 6 D. m 6÷m 2＝m 4 （6）若点A （2，4）在函数y ＝kx －2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A. （0，－2）B. （32，0）C. （8，20）D. （12，12）解：（1）4cm ；（2）BE ＝CE 或∠B ＝∠C 或∠BAE ＝∠CAE ；（3）3cm ；（4）2，4；（5）D ；（6）A例2. 某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们确信房梁是水平的．他们的判断对吗？为什么？分析：根据题意，利用等腰三角形的“三线合一”的性质和铅锤的作用是解答本题的关键，等腰三角形底边上的中线应垂直于底边，如果线绳经过直角顶点，说明房梁是水平的，根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．解：他们的判断是正确的．因为铅锤线过三角尺的直角顶点C 和底边中点O ，根据等腰三角形的“三线合一”性质，所以铅锤线是底边AB 的垂线，所以房梁是水平的．评析：他们的判断是否正确，其实就是把同学们的检测过程转化成数学问题，如果转化后的数学问题和某些数学理论相符，他们的判断就是正确的；如果和某些数学理论相违背，他们的判断就是错误的．例3. 已知xy ＝5，a －b ＝6，求xya 2＋xyb 2－2abxy 的值． 分析：先化简，再代入求值． 解：xya 2＋xyb 2－2abxy ＝xy （a 2＋b 2－2ab ） ＝xy （a －b ）2因为xy ＝5，a －b ＝6， 所以原式＝5×62＝180．所以当xy ＝5，a －b ＝6时，xya 2＋xyb 2－2abxy 的值是180．评析：注意整体思想方法的运用．例4.如图所示，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE．问AB＝AC，AD＝AE成立吗？AEDB C分析：要证明结论中的两个式子AB＝AC，AD＝AE，可借助△ABD≌△ACE，从而得证．解：成立．因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．又因为∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，所以△ABD≌△ACE（AAS），所以AB＝AC，AD＝AE．评析：几何问题，要善于将已知条件的数量关系和图形相结合来处理，同时要把握问题的形式，准确确定要解决问题的方向．例5.某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国有出租车公司中的一家签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1、y2与x之间的函数关系图象（两条射线）如图所示，观察图象回答下列问题．（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家车合算？分析：此题是一道图文信息题，理解图象上的点所表示的实际意义是解本题的关键．解：（1）每月行驶的路程小于1500km时，租国有出租车公司的车合算．（2）每月行驶的路程等于1500km时，租两家车的费用相同．（3）如果每月行驶路程为2300km，那么这个单位租个体车主的车合算．评析：解答本题应抓住特殊点——两个图象的交点，交点左边的两个图象为横坐标相同时，上面的图象上的点的纵坐标总比下面的大，而交点右边的两个图象则相反．【方法总结】这部分用到的数学思想方法很多，比较典型的是整式乘除部分用到的整体思想、一次函数部分用到的数形结合思想、三角形全等和等腰三角形部分用到的转化思想等．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. （2007年南京）14的算术平方根是（ ）A. －12B. 12C. ±12D. 1162. （2007年济南）点P （－2，1）关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A. （2，1） B. （－2，－1） C. （2，－1） D. （1，－2）3. （2007年山东淄博）估计88的大小应（ ） A. 在9.1～9.2之间 B. 在9.2～9.3之间 C. 在9.3～9.4之间 D. 在9.4～9.5之间4. （2007年山东淄博）如图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离．．（y ）与时间（x ）之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（ ）xyOA B O5. （2007年天津）下列判断中错误．．的是（ ） A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等6. （2007年台湾）如图，△ABC 中，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝50°，且D 、E 两点分别在BC 、AB 上．若AD 为∠BAC 的平分线，AD ＝AE ，则∠AED ＝？（ ）A. 50°B. 60°C. 65°D. 80°ABCDE30°50°7. （2008年广东汕头）下列图形中是轴对称图形的是（ ）8. （2008年济南）下列计算正确的是（ ） A. a 3＋a 4＝a 7 B. a 3·a 4＝a 7 C. （a 3）4＝a 7 D. a 6÷a 3＝a 2*9. （2007年厦门）下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形.则以上结论正确的是（ ）A. 只有命题①正确B. 只有命题②正确C. 命题①、②都正确D. 命题①、②都不正确**10. （2008年海南）如图，直线l1和l2的交点坐标为（）A. （4，－2）B.（2，－4）C.（－4，2）D. （3，－1）二. 填空题1. （2008年海南）计算：（a＋1）（a－1）＝__________．2. （2008年北京）分解因式：a3－ab2＝_______ ___．3. （2007年中山）如图，在不等边△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝60°，图中等于60°的角还有__________．AD EB C4. （2007年宜宾）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D. 请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是__________．AB CD*5. （2007年武汉）如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P（－2，－5），则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是__________．三. 解答题1. （2007年北京）已知x2－4＝0，求代数式x（x＋1）2－x（x2＋x）－x－7的值．2. （2007年北京）已知：如图所示，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA＝OC，OB ＝OD. 求证：AB＝CD.AB CDOP3. （2008年四川成都）如图，已知点A 是锐角∠MON 内的一点，试分别在OM 、ON 上确定点B 、点C ，使△ABC 的周长最小．写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点_______________________________________________（要求画出草图，保留作图痕迹）4. （2008年贵阳）如图所示，在平面直角坐标系x O y 中，A （－1，5），B （－1，0），C （－4，3）．（1）求出△ABC 的面积．（2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1． （3）写出点A 1、B 1、C 1的坐标．*5. （2007年长春）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，连接AD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 是垂足．图中共有多少对全等三角形？请直接用“≌”符号把它们分别表示出来（不要求证明）．ADBCE F**6. （2007年太原）今年的全国助残日这天，某单位的青年志愿者到距单位6千米的福利院参加“爱心捐助活动”．一部分人步行，另一部分人骑自行车，他们沿相同的路线前往．如图，l 1、l 2分别表示步行和骑自行车的人前往目的地所走的路程y （千米）随时间x （分钟）变化的函数图象．（1）分别求l 1、l 2的函数表达式；（2）求骑车的人用多长时间追上步行的人．xy O246l 1l 230405060（分钟）（千米）【试题答案】一. 选择题1. B2. B3. C4. D5. B6. C7. C8. B9. C 10. A二. 填空题1. a 2－12. a （a ＋b ）（a －b ）3. ∠ABC4. BD ＝CD 或∠ABD ＝∠ACD 等5. x ＞－2三. 解答题1. 原式＝x 2－7＝－32. 提示：证明△AOB ≌△COD3. 作点A 关于OM 的对称点E ，作点A 关于ON 的对称点F ，连接EF 交OM 于点B ，交ON 于点C.4. （1）152（2）略（3）A 1（1，5），B 1（1，0），C 1（4，3）5. 共有3对．△ABD ≌△ACD ；△ADE ≌△ADF ；△BDE ≌△CDF6. （1）设l 1的表达式为y 1＝k 1x ，由图象知l 1过点（60，6），∴60k 1＝6，k 1＝110，∴y 1＝110x )60x 0(≤≤，设l 2的表达式为y 2＝k 2x ＋b 2，由图象知l 2过点（30，0）和（50，6）两点 ∴y 2＝310x －9)50x 30(≤≤（2）当骑车的人追上步行的人时，y 1＝y 2，即110x ＝310x －9 ∴x ＝45，45－30＝15（分钟）答：骑车的人用15分钟追上步行的人．。
华东师大版数学八年级上册1因式分解(共21张)
(2)3a2bc=3a.a.b.c 不是，因式分解是对多项式而言的一种变形
(3) x2－3x+1=x(x－3)+1
不是，因式分解的结果是几个整式的 积的情势
(4) x2
x
x2
1
1 x
不是，整式的积的情势
(5)3x2 2xy x x 3x 2y 不是，左边不等于右边
• 1、因式分解是整式乘法的逆变形。 • 2、因式分解的对象应是多项式。 • 3、因式分解的结果一定是积的情势。 • 4、结果中的每一个因式都必须是整式。
例1 把下列多项式分解因式：
（1）5a2+25a
（2）3a2-9ab
分析（1）：由公因式的几个特征，我们可以这样确定公因式：
1、定系数：系数5和25的最大公约数为5，故公因式的系数为5；
2、定字母：两项中的相同字母是a，故公因式的字母取a；
3、定指数：相同字母a的最小指数为1，故a的指数取为1； 所以，5a2+25a的公因式为：5a
例1 把下列多项式分解因式： （2）3a2-9ab
解(2):3a2-9ab =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
例2、把下列各式因式分解：
1、 2xy2+x2y +xy
解：（1） 2xy2+x2y+xy =2y.xy+x.xy+1.xy =xy(2y+x+1)
2、 -5a2+25a
(2): -5a2+25a = -(5a2-25a) =-(5a.a-5a.5) =-5a(a-5)
对照
1).m(a+b+c)=ma+mb+mc 2).(x+1)(x+2)=x2+3x+2
1因式分解PPT课件(华师大版)
讲授新课
典例精析
例4 分解因式： （1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2
(首)²+2·首·尾+(尾)²
③ ⑥，
① am+bm+c=m(a+b)+c
最后不是积的运算
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式，而不是单项式
③ x2-1=(x+1)(x-1) ④ (2x+1)2=4x2+4x+1
是整式乘法
⑤ x2+x=x2(1+ 1 ) 每个因式必须是整式
x
⑥ 2x+6z=2(x+2y+3z)
答：草坪的面积是32平方米.
当堂检测
4．要使多项式x2+M+2x能运用平方差公式进行分解因式，整式M可以是 （） A．1 B．-1 C．-2x+4 D．-2x-4
当a=0.5，x=1.5，y=-2时 原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5
当堂检测
3.在一块边长为a=6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为 b=1.7米的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面 积有多大？
解：由题意可知，草坪的面积是边 长为a米的正方形的面积减去四个 边长为b米的小正方形的面积，即 a2-4b2 =(a+2b)(a-2b) =(6.6+3.4)(6.6-3.4)=32(平方米).
华师大版-数学-八年级上册-分解因式的常用方法
分解因式的常用方法【精练】把下列各式因式分解（1）a ax ax +-442 （2）362-x分析：在分解因式时，一定先要认真观察，不要盲目下笔．通过观察发现（1）题的多项式含有公因式a ，因此先提取公因式a ，余下的因式1442+-x x 又可以利用公式法继续分解；而（2）题可以直接考虑用平方差公式．解答：（1）362-x a ax ax +-442=22)12()144(-=+-x a x x a （2）362-x =()()66-+x x点评：因式分解一般先考虑提公因式，然后再考虑用公式，并且要分解到底．拓广：因式分解：a a a4423++=【知识规律串讲】一、基础知识（1）因式分解：把一个多项式和的形式化为积的形式，叫做因式分解.（2）公因式：几个单项式中相同因式最低次幂的积叫做这几个单项式的公因式. 确定公因式的方法是：系数——取多项式的各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂．；（3）提公因式法：实际上是逆用乘法分配律，即()()c b a m mc mb ma ++=++（4）公式法：利用平方差公式：()()b a b a b a -+=-22 利用完全平方公式：()2222b a b ab a +=+± （5）因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；③分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．二、分解因式的几种常用方法．1．按公因式分解例1 分解因式7x 2－3y+xy+21x ．分析：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x－3)，解：原式=(7x2－21x)+(xy－3y)=7x(x－3)+y(x－3)=(x－3)(7x+y)．2．按系数分解例2 分解因式x3+3x2+3x+9．分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3，把它们按系数分组．解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．3．按次数分组例3 分解因式m2+2m·n－3m－3n+n2．分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式．解：原式=(m2+2m·n+n2)+(－3m－3n)=(m+n)2－3(m+n)＝(m+n)(m+n－3)．4．按乘法公式分组分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式．5．展开后再分组例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．分析：将括号展开后再重新分组．解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．6．拆项后再分组例6 分解因式x2－y2+4x+2y+3．分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．解：原式=x2－y2+4x+2y+4－1=(x2+4x+4)+(－y2+2y－1)=(x+2)2－(y－1)2=(x+y+1)(x－y+3)．7．添项后再分组例7 分解因式x4+4．分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．解：原式=x4+4x2－4x2+4=(x2+2)2－(2x)2=(x2+2x+2)(x2－2x+2)8．用换元法进行因式分解用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．例8 分解因式(x2+3x－2)(x2+3x+4)－16．分析：将令y=x2+3x，则原式转化为(y－2)(y+4)－16再分解就简单了．解：令y=x2+3x，则原式=(y－2)(y+4)－16=y2+2y－24=(y+6)(y－4)．因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x－4)=(x－1)(x+4)(x2+3x+6)．9．用求根法进行因式分解例9 分解因式x2+7x+2．分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解．10．用待定系数法分解因式．例10 分解因式x2+6x－16．分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x+b2)，将其展开得x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x－16相比较得b1+b2=6，b1·b2=－16，可得b1，b2即可分解．解：设x2+6x－16=(x+b1)(x+b2)则x2+6x－16=x2+(b1+b2)x+b1·b2∴x2+6x－16=(x－2)(x+8)．。
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
1、概念.
2、几点注意：
（1）在多项式中找公因式应对系数和字母分 别考虑，公因式的系数是各项系数 的最大公约 数，字母是各项相同的字母 ，字母的指数取最 低的.
（2）提取公因式的依据是乘法分配律的变形.
（3）提取公因式要一次提尽.
【理由】等式的两边恒等，但没有分解到最 简形式。
多项式2x2+6x3，12a2b3-8a3b2-16ab4 各项的公因式是什么？
如果一个多项式的各项含有公因 式，那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形 式.这种分解因式的方法叫做提公因式 法.
例：把6x2y3z－4xy2z＋2x3yz分解因式．
(× )
【理由】等式的两边不恒等．
例： 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由: (4)2(b＋c)(b－c)＋2＝2(b2－c2＋1) ( √ )
【理由】等式的两边恒等，且符合因式分解 的意义．
例： 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
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招式……最后抖起酷似软管模样的腿一笑，狂傲地从里面跳出一道神光，她抓住神光美妙地一耍，一组黄澄澄、明晃晃的功夫『银玉瀑妖老鹰头』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边振颤， 一边发出“呜嘟”的异声！超然间女总监依琦妖女闪速地使自己轻盈的浅橙色弯月模样的手指摇曳出紫红色的杠铃味，只见她细长的胸部中，猛然抖出五十片羽毛状的仙翅枕头桶，随着女总监依 琦妖女的抖动，羽毛状的仙翅枕头桶像信封一样在肚子上阴森地耍出隐隐光栅……紧接着女总监依琦妖女又让自己有角的暗灰色菜碟式样的手环睡出深黄色的铁锚声，只见她酷似土堆模样的屁股 中，快速窜出四十团脑袋状的铅球，随着女总监依琦妖女的转动，脑袋状的铅球像扫帚一样，朝着夜鳄名钻墩上面悬浮着的旋转物猛劈过去。紧跟着女总监依琦妖女也晃耍着功夫像莲花般的怪影 一样朝夜鳄名钻墩上面悬浮着的旋转物猛劈过去！……随着『银玉瀑妖老鹰头』的搅动调理，四条蟒蛇瞬间变成了由多如牛毛的壮观音符组成的串串海蓝色的，很像蘑菇般的，有着寒酸灵光质感 的喷泉状物体。随着喷泉状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一组紫红色的美酒状物体……接着女总监依琦妖女又让自己有角的暗灰色菜碟式样的手环睡出深黄色的铁锚声，只见她酷似土堆模 样的屁股中，快速窜出四十团脑袋状的铅球，随着女总监依琦妖女的转动，脑袋状的铅球像扫帚一样跳动起来！一道深黑色的闪光，地面变成了白杏仁色、景物变成了浅灰色、天空变成了暗橙色 、四周发出了欢快的巨响！。只听一声飘飘悠悠的声音划过，五只很像荡精烟斗般的喷泉状的串串闪光物体中，突然同时射出九簇流光溢彩的鹅黄色怪蛇，这些流光溢彩的鹅黄色怪蛇被风一甩， 立刻变成灿烂熠熠的泡泡，不一会儿这些泡泡就游动着奔向超大巨树的上空，很快在四块地毯之上变成了清晰可见的艺术恐怖的杂耍……这时，喷泉状的物体，也快速变成了小号模样的深红色发 光体开始缓缓下降，只见女总监依琦妖女疯力一扭碳黑色蘑菇耳朵，缓缓下降的深红色发光体又被重新转向高空！就见那个圆鼓鼓、软绒绒的，很像烟缸模样的发光体一边蠕动闪烁，一边飘浮升 华着发光体的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！看来玩这玩意儿并不复杂，只要略知一二，再加点花样翻新一下就可以弄出来蒙世骗人混饭吃了……知知爵士：“嗯嗯，关键是活学活用善于创新！ 本人搞装潢的专业可是经过著名领袖亲传的．”蘑菇王子：“哈哈，学知识就需要你这种的革新态度！”知知爵士：“嗯嗯，谢谢学长鼓励，我真的感到无比自豪……”这时，女总监依琦妖女突 然把暗橙色面具一样的
八年级数学上：12.5因式分解(第1课时)课件华师大版版
拓展 提升
1．已知：a＋b＝3，ab＝2，求下列各 式的值： (1)a2b＋ab2； (2)2（a+b)-3ab(a+b) 2. 先化简，再求值： 5x(a－2)＋4x(2－a)，其中x＝0.4，a＝102.
3.长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为
14，面积为10，则a2b＋ab2的值是多少？
1、什么叫因式分解？
[归纳总结] 运用提公因式法因式分解的基本步骤： (1)确定应提取的公因式； (2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式． 注意：(1)公因式既可以是单项式，也可以是多项式． (2)确定一个多项式的公因式时，不仅要考虑字母因式，还 要考虑系数．对于系数，取各项系数的最大公因数作为公因式 的系数，对于字母因式，取相同字母因式的最低次幂． (3)若首项系数是负数，一般要先提出负号． (4)提公因式时，如果某项就是公因式或与公因式互为相反 数，提取后不能漏掉± 1. (5)将多项式因式分解时，必须分解到不能再分解为止．
[归纳总结] 在计算求值时， 若式子各项还有公因数， 先 提取公因数再计算，可使运算简便.
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)] ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3 (1)上述分解因式的方法是___ ，共应用了____次． (2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2004，则需 应用上述方法2004次，结果是____ ． (3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n （n为正整数)．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的 式子变形叫把这个多项式因式分解。
华东师大版八年级：因式分解
因式分解1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。
2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。
一、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式解。
注意: （1） 因式分解的对象是多项式；（2）因式分解的结果一定是整式乘积的形式；（3）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； （4） 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；（5） 结果如有相同因式，应写成幂的形式；（6）题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；（7） 因式分解的一般步骤是：①通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；②若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 二、因式分解的方法 1. 提公因式法提公因式法：多项式中的每一项都含有相同的因式，这个相同的因式叫做公因式．把多项式的公因式提出来，化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．（公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式）形如：)(c b a m mc mb ma ++=++教学目标学习内容知识梳理2．公式法(1)平方差公式：))((22b a b a b a -+=-. (2)完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±. 其中，222b ab a +±叫做完全平方式.(3)补充：2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++3．分组分解法形如：))(()()()()(b a n m n m b n m a bn bm an am bn bm an am ++=+++=+++=+++，把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法. （1）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
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初二数学——分解因式
一、 考点、热点分析
整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
(一)常见形式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±
（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++
（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+
（5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．）
①二次三项式：
把多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 、 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.
在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式； 如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．
在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是 关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．
②十字相乘法的依据和具体内容
它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把 常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以 运用公式
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．
注意：公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数
的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221， 那么运用
它的特征是“拆两头，凑中间”.如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x
（6）分组分解法：
在多项式am+ an+ bm+ bn 中，这四项没有公因式，所以不能用提取公因式法， 再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式．
如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法 分别分解因式．即：
原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n)
这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以
原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)?(a +b)．
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．
（二）因式分解一般要遵循的步骤:(1)先考虑能否提公因式;
(2)再考虑能否运用公式或十字相乘法;
(3)最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的
多项式因式仍然用这一步骤反复进行．
口 诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要
合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
二、典型例题
分解因式：
1．m 2(p －q)－p ＋q ； 2．a(ab ＋bc ＋ac)－abc ；
3．x 4－2y 4－2x 3y ＋xy 3； 4．abc(a 2＋b 2＋c 2)－a 3bc ＋2ab 2c 2；
5．(x 2－2x)2＋2x(x －2)＋1；
6．(x －y)2＋12(y －x)z ＋36z 2； 7．x 2－4ax ＋8ab －4b 2；
8．(ax ＋by)2＋(ay －bx)2＋2(ax ＋by)(ay －bx)；
9．(1－a 2)(1－b 2)－(a 2－1)2(b 2－1)2；
10．(x ＋1)2－9(x －1)2；
11．x 3n ＋y 3n ；
12．(x ＋y)3＋125；
13．8(x ＋y)3＋1；
（1）1522--x x （2）2265y xy x +-
（3）3522--x x （4）3832
-+x x 四、课后练习
一、选择题
1.下列分解因式正确的是（ ）
A ． ﹣a+a 3=﹣a （1+a 2）
B ． 2a ﹣4b+2=2（a ﹣2b ）
C ． a 2﹣4=（a ﹣2）2
D ． a 2﹣2a+1=（a ﹣1）2
2.若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=﹣10，则ab 的值是（ ）
A ． ﹣2
B ． 2
C ． ﹣50
D ． 50
3.把x 3﹣2x 2y+xy 2分解因式，结果正确的是（ ）
A ． x （x+y ）（x ﹣y ）
B ． x （x 2﹣2xy+y 2）
C ． x （x+y ）2
D ． x （x ﹣y ）2
4．把a 2﹣2a ﹣1分解因式，正确的是（ ）
A ． a （a ﹣2）﹣1
B ． （a ﹣1）2
C ．
D ．
5．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（ ）
A ． 3
B ． 5
C ． 7
D ． 9
6．若（1﹣2x+y ）是4xy ﹣4x 2﹣y 2﹣m 的一个因式，则m 的值为（ ）
A ． 4
B ． 1
C ． ﹣1
D ． 0
7．若481x 2+2x ﹣3可因式分解成（13x+a ）（bx+c ），其中a 、b 、c 均为整数，则下列叙述正确的是（ ）
A ． a =1
B ． b =468
C ． c =﹣3
D ． a +b+c=39
8．已知多项式2x 2+bx+c 分解因式为2（x ﹣3）（x+1），则b ，c 的值为（ ） A ． b =3，c=﹣1 B ． b =﹣6，c=2 C ． b =﹣6，c=﹣4 D ． b =﹣4，c=﹣6
9．如果x 2+3x ﹣3=0，则代数式x 3+3x 2﹣3x+3的值为（ ）
A ． 0
B ． ﹣3
C ． 3
D ．
二．填空题
10．在实数范围内因式分解：x 3﹣2x 2y+xy 2= _________ ．
11．分解因式：2x2+2x+= _________ ．
12．分解因式：﹣x3+2x2﹣x= _________ ．
13．分解因式：x（x﹣1）﹣3x+4= _________ ．
14．将多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式得_________ ．
三．解答题
15．已知x=y+4，求代数式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值．
16．计算：
（1）（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x；
（2）已知：m﹣n=4，m2﹣n2=24，求（m+n）3的值．
（3）已知﹣2x3m+1y2n与7x n﹣6y﹣3﹣m的积与x4y是同类项，求m2+n的值．
（4）先化简，再求值：（﹣2a4x2+4a3x3﹣a2x4）÷（﹣a2x2），其中a=，x=﹣4．
17.证明：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.。